О радиусе звездообразности в классах конформных отображений, связанных с линейно-инвариантными семействами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517.54

О РАДИУСЕ ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ В КЛАССАХ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ , СВЯЗАННЫХ С ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫМИ СЕМЕЙСТВАМИ

этой статье рассматривается задача нахождения радиуса звез-дообразности класса функций Та (с), которая является детализацией задачи из [1].

Пусть *5- класс функций /(г) = г + ... регулярных и однолистных в круге А = {г : \г\ < 1}. Обозначим 5* = 5*(0) класс звездообразных функций, т.е. функций /(г) Е Б, однолистно отображающих А на области, звездообразные относительно 0. Через 5* {(3) обозначим подкласс класса 5* функций, звездообразных порядка /5, то есть

Обозначим К = Х(0) класс выпуклых в А функций, т.е. функций /(г) Е *5, отображающих А на выпуклые области.Через К(/3) обозначим функции, выпуклые порядка (3, т.е

Н. Г. Павлова

По аналогии с задачей нахождения радиуса звездообразно-сти семейства функций введенного Г. Димковым [1], в

(/?) = {/(*)

Є 5* : Ііе

Кф) = {/(*) Є к : 11е(1 + > /?, И < 1} ,/3 е [0,1)

В [1] рассматривался класс функций, представимых в виде

© Н. Г. Павлова, 1996

комплексные постоянные. Очевидно,

д(г) = [ ———(1,8 £ К(Р) / е Б*(/3) <^>

«/о 8

<<=> Н(г) = [ (д'(з))13^ Е К р(г) = гЪ!{г) Е 5*.

«/о

Таким образом, f(z) Е 5*(/5) <(=> Зр(г) Е 5* :

Следовательно, функции вида (1) могут быть записаны в виде

™ -п (^)ч = П (йМ)411-*’./, 6 гю.» 6

Пусть А - некоторый класс регулярных и локально однолистных в А функций /(г) = г + — Радиусом звездообразности Я* класса А называется верхняя граница радиусов кругов Аг = {г : \г\ < г} таких, что /(Аг) - звездообразная область для любой функции /(г) Е А. Для фиксированного М > 0 в [1] был введен класс функций ^

указанного выше вида (1), для которых

п

5>-&)1<ъ-1 <м,

.7 = 1

и подкласс РсМ^ С для фиксированного

п

с € [-М, М] : = {ВД е ^(М) : ^(1 - &)11еа, = с}.

3=1

В [1] доказана

Теорема А. Радиус звездообразности класса равен

гп =

М + 7М2 - 2с + 1 ’ Радиус звездообразности класса равен

Пусть £ - множество всех дробно-линейных автоморфизмов Ф(;г) круга А. Класс функций $(г) = г + ... регулярных и локально однолистных в А называется линейно-инвариантным семейством [2] если для любой функции Ф(;г) Е £ функция

_ /(Ф(г)) - /(Ф(0)) _

} /'(Ф(0))Ф'(0)

также принадлежит этому классу.

Пусть ЭД1 - линейно-инвариантное семейство; порядком ж называется число

ОГ(1Ш!= 5ир /«1 /€®!I 2 >

Универсальным линейно-инвариантным семейством [/а, 1 < а < оо, в [2] называется объединение всех линейно-инвариантных семейств ЭД1, порядок которых не превосходит а. Многие известные классы функций являются линейно-инвариантными семействами. Например, С/1 = К, Б - линейно-инвариантное семейство порядка 2.

В [3] (см. также [4]) введено линейно-инвариантное семейство и1а порядка а > 1. Это множество функций, представимых в виде

рг р2п

f(z) = / ехр[—2 / 1од( 1 — £е-г*)е£/х(£)]е£8,

Jo Jo

где /х(£)- комплекснозначная функция ограниченной вариации на [0,27г], удовлетворяющая условию

/»27Г /*27Г

| / ф(£) — 1| + / |ф(£)| < а.

«/о «/о

Множество таких функций /х(£) обозначим /а. Как показано в [3],

/ е и'а <=> /' = нш /;,

п—^ оо

где

п п п

ш = пда* ’ ^IЕ ^ - !| + Е N ^а- (2)

.7 = 1 .7 = 1 .7 = 1

Для фиксированного с Е С обозначим через

р2тт

Ica — {ц Е Ia : / dfi(t) — с — const.};

Jo

Через U^(c) обозначим класс функций f(z) Е U'a, которым в их интегральном представлении соответствуют функции ji(t) Е /^. Пусть М = a — \с — 1\. Рассмотрим класс функций

Ta(c) = {F(z) = zf(z) : f G U'a(c)}.

Обозначим г*(а, с) радиус звездообразности класса Та{с). В случае, если функции /п имеют вид (2), F(z) = zf'n(z) Е Та{с) (т.е. Y^j=i bj — с) и bj = aj(l — Qtj),j = 1,..., п, задача нахождения радиуса звездообразности множества таких функций является детализацией задачи Г.Димкова из теоремы А при М = а — \с — 1|.

Имеет место следующий аналог теоремы А для семейств Та(с).

Теорема 1. Радиус звездообразности класса (с) равен

г* (а, с) =------,

М + ум2 - 2Rec + 1

где М = a — \с — 1|.

Доказательство. При a = 1 класс Т\{с) с 5*, поэтому r*(l,c) = 1 и далее будем считать a > 1. Пусть F(z) = zf'(z) Е Ta{c). Звездо-образность области F(Ar) означает, что для всех z Е Аг выполняется неравенство

Re

При фиксированном z = гег0 Е А рассмотрим экстремальную задачу нахождения

min Re

feU’a(c)

Так как U^(c) инвариантен относительно преобразования вращения ег6> f(ze~l°), то (3) эквивалентна экстремальной задаче

- Re(^). (4)

feU^(c) { f'(r) J

Далее понадобятся следующие результаты, полученные в [3] ([4]). Пусть Са- класс функций

pZ7T

Ф(г)= g(z,t)d/j,(t), fj,(t) G Ia,

Jo

g(z, £)-какая-либо функция, регулярная в A no z, 27г-периодическая и непрерывно дифференцируемая по t; Ia(n) - подкласс Ia кусочнопостоянных функций, имеющих не более п разрывов на [0, 27г); пусть

Ga{n,fM>) = е Ga : ф(г) = j g(z,t)dfi(t),fi(t) £ Ia(n),

J dfi(t) = J dfj,0(t)>.

Пусть F - дифферецируемый по Фреше функционал, Ьф - его дифференциал в точке ф. В [3] показано, что, если

р2п

Фп(г) = / g(z,t)dfj,„(t)-

J о

экстремальная функция в задаче

А min Re , ае[1,оо), (5)

феиа(п,ц о)

tj - точки разрыва fin и 6j = argdfin{tj), j = 1,..., й,то tj и 6j удовлетворяют системе

Г Re{eiei^n[g(z,tm)] - 1фп[д(г,^)])} =0 , .

\ Re{e*^„[^(Mj)]} = 0

для всех j, ш, если для всех j = 1,..., kOj = в = const. Если же существует по крайней мере 2 различных то все tjnOj удовлетворяют системе

Г Im{(e^ -Д*„[5(Мт)])} =0 , Л

I Re{e^^„[^(z,^)]} = о

Причем, если для нескольких точек разрыва nn{t) argd/j,n(tj) в этих точках совпадают, то совпадают и значения Ьфп[д(г^^\ в этих точках. В [3] также показано, что из системы (7) следует

Г [#(^5 А;)] — Сп\2 — [#(^5 ^га)] — сп|2

1 Re(|^J5t(z,i)]-c„|2);|t=tj=0

для некоторого комплексного сп.

Экстремальные задачи (5) являются промежуточными при рассмотрении экстремальной задачи

тт 11е{^(0)}, а Е [1, сю). (8)

Из последовательности экстремальных в (5) функций фп можно выбрать подпоследовательность равномерно внутри А сходящуюся к функции фо Е , экстремальной в (8). Пусть Г - диференцируемый по Фреше функционал на нормированном пространстве регулярных в А функций, Lf - его дифференциал в точке /; пусть /о(^) - экстремальная функция в задаче

тт 11е |^[(/о£/')(п)]} , а Е [1, оо), п — 0,1, 2,...

и существует целое неотрицательное к > 1 — п такое, что

Ь^од^(п)(гк) Ф 0. Тогда, как показано в [3], степ/о = а. Здесь под степ/ - степенью функции / Е — понимается наименьшее из чисел а*, таких , что / Е и'а . Этот результат применим в нашем случае при п = 1. Следовательно, для экстремальной функции /о в (4) степ/о = а.

С учетом интегрального представления для / Е и'а{с) задача (4) может быть переписана в виде:

^~гмп}' <9)

Пусть /1о - функция, соответствующая /о(^) в ее интегральном представлении.

2тг

(*) = с (Ю)

(9)- задача типа (8) с д(г^) = ен_г, Р{ф{г)) = ф{\г\). Следовательно, переходя к рассмотрению экстремальной задачи (5) с этими д(г^) и т.е к экстремальной задаче

тт

271- 2Г ^ /*27Г

:йд(Х)| : д(£) € 1а(п), у с?д(г)

Ее ^-----с?д(£) > : д(£) € 1„(п), / с?д(Л = с

(П)

надо учитывать, что в условиях (6), (7), (7')^ = Ьфп для всех п. Заметим, что условия (6), (7), (7') получены с помощью вариационных формул в 1а (см. [3],[4]), которые остаются справедливыми и в

/£. Таким образом, при решении задачи (9) можно основываться на

(6), (7), (7').

Пусть fin - экстремальная функция в (11); ап = степ/п,где/п Е U!a{c) и ей в интегральном предстевлении соответствует функция Цп] Мп = ап-\с- 1|. Ясно, что

\dfj,n (£) | — сх,п

i|.

так как, если для всех п Е N существует е > 0 такое, что ап < а — б,

то и

*(*) = /

J О

Г2ж 2z

2z

elL — z

-d/jbn(t) E Ga-e] следовательно, существует

-dfi^(t) , экстремальная в задаче (9), Е Ga-e.

Это противоречит тому, что степ/о = а для всех экстремальных функций в (4).

а) Пусть реализуется случай, приводящий к системе (6). Тогда

2 г

7ТГ-

0

Im { f/tk-% } = 0 (eo = argdjj.nitj) \/j).

Ь)} =

Уравнение Im j ^Jt °^2j = 0 приводится к алгебраическому

уравнению второй степени относительно elt. Следовательно, функция цп (t) имеет не более двух точек разрыва. Применение же первого условия системы (6) и теоремы Ролля приводит к тому, что функция fjLn(t) имеет одну точку разрыва t\. Тогда

R ефп(г) = Re

2 гс

о _____ /

= min Re

t£[ 0,2тг]

2 гс

= 2г\с\ min Re te[ 0,2тг]

oiO

elL — Г

rcosO — 1 1-r2 5

здесь с = |с|ег6>. Итак, в рассматриваемом случае минимум в (11) равен

2г2|с| соъб — 2г\с\

1 — г2

б) Перейдем к рассмотрению системы (7'). Из первого ее условия следует, что Ьфп[д(г^к)\ = е1?^_г расположены на окружности с

центром сп, причем второе условие системы (7') - условие касания кривой енг_г окружности, на которой лежат точки eu^_r, к >2. Поэтому окружность, на которой лежат точки eu^_r есть окружность

{^Г7’ * G [0,2тг)| (12)

Эта окружность имеет для всех п центр сп = и радиус sn = •

Обозначим ctk = \ak\el$k = d/jn(tk) для всех точек разрыва tk функции цп. Тогда из равенства

{Ьг - cn)eie1 = ... = (Lk - спув“ = ±sn (13)

(см. [3], (2.14)), где Lk = Ьфп [g(z, i*.)], следует для всех к

([Ьк ~ гг^) ак = ±Г372

, _(ST ^ 2r2 _L 2г ^_ c2r2 2rMn

Z^Lkdk - I 2^«fc I 1_r2 ± l_r2Z^ l°fcl - I _r2± I _r2-

к \ к / к

Тогда в рассматриваемом случае для экстремальной в задаче (11)

ФУНКЦИИ fJLn(t)

т, i f2n 2г , /ч! т. ) 2Recr2 =Ь 2Mnr

Re | Jo eit rd^n(t)j - Re j - i _ r2 *

Поэтому ясно, что в последней формуле, а значит и в (13) перед sn = Yz^2 надо взять знак Из второго условия системы (7) следует

е»*=±Ш L'k = ЬфМ^н)]. (14)

Ьк

Выбор перед sn знака в (13) означает выбор знака ”+” в (14), т.е.

е»ь = (eith-r)2

I — f I 2

При этом минимум в (11) в рассматриваемом случае будет равен

2Recr2 — 2 Мпг 1 — г2

И, ясно, что Мп = М, т.к. в качестве /хп(£) можно взять любую п—ступенчатую функцию с разрывами в точках £п, такую, что

г»2тг ^

а — |с — II = М.

r*Z7Г pZTT

/ dfin(t) = с, / = .

«/о «/о

— ((3^ — т*)

Ф^п(^) = " ГГ [2

|б — г| егг

Очевидно, все такие функции будут экстремальными в (11) в рассматриваемом случае.

Таким образом, в случае б) в (11) для всех п минимум равен

2Иесг^ — 2Мг и д0стигается на функЦИЯХ

/*2тг _2 г(еИ_г\2

Фп(г) = / — 2 и и

J0 |егг — г2| егг (егг — 2:)

где Рп(ї) - любая вещественная неубывающая на [0, 27г] п—ступенча -тая функция с полной вариацией М, такая, что

f

Jo

/о \е — г | е*

Следовательно, система (6) не приводит к экстремуму в (11), т.к.

2r2Rec — 2Mr ^ 2r2|c| cos# — 2г\с\

1 — г2 ~ 1 — г2

После перехода к пределу при п —>• оо и применения принципа выбора Э.Хелли и теоремы Э.Хелли о предельном переходе в интеграле Стилтьеса получим, что минимум в задачах (9) и (4) также равен

2Recr2 — 2 Mr

I — г2

и достигается в (4) на функциях fo(z) Є U^(c) таких, что

(еи -г)‘

fo(z) = exp

f2w (еН — г)2

' / (! - VJt--------

Jo \егЪ — r\ егЪ

(15)

где /?(£)- вещественная, неубывающая на [0, 2тт] функция с полной вариацией М, удовлетворяющая условию

/

«/о

- (ен - г)

---------:ф(і) = с.

Тогда минимум в задаче (2) равен 1 + 1г_г2 ; он неотрицателен

при

#/ ч М - УМ2 - 2Кес + 1 1

г > г (а, с) = —

2Иес - 1 М + \/М2 - 2Иес + 1

Теорема доказана. □

Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 ясно, что если функция /о такая, как в (15), то Ие|і + | > 0 в Дг*(а?с), но при г >

г* (а, с) существует х Є Дг : Ие |і + ^

Найдем радиус звездообразности В,* (а) класса

^а = {ВД:ад = ^), /єс^Ь

Теорема 2. Радиус звездообразности класса равен

1

77* _

Л,, —

: + л/а2 — 1

Доказательство. Радиус звездообразности Я*(а) = гшпСг*(а,с). Как показано в (5), для а > 1 и ц Е 1а множество значений функционала /0 о?/х(£) = с - эллипс

£4сєС!<^+м!<Л.

Этот эллипс имеет фокусы в точках 0 и 1 и большую полуось Ясно, что мы найдем ттсг*(а,с), если найдем

ШЗе

[а — |с — 1| + у/(а - |с - 1|)2 - 211ес + 1] . (16)

Мы получим в (16) максимум при минимальных \с— 1| и Иес. Зафиксируем Иес, тогда |с — 11 будет минимальным, если с вещественно,

т.е. максимум в (16) достаточно рассматривать для вещественных с. Поэтому он равен а + у/а2 — 1, а

Я" (а) =

а + у/а-

Теорема доказана.

□

Замечание 2. Из доказательств теорем 2 и 3 ясно, что если функция /о (г) такая, как в (15) с с — 1, то Ие|1 + } > О в н0

при Я > Я* (а) существует г Е Дя : Ие |1 + ^ П°СК0ЛЬКУ

и'а С IIа для всех а > 1, то естественно рассмотреть расширение

^ = вд = */'(*), /еиа

класса ^ и в этом классе тоже найти радиус звездообразности Я$ (а). Очевидно, что Я^(а) ^ Я*(а).

Теорема 3. Радиус звездообразности класса равен

Щ(а) =

а + у/а-

Доказательство. Пусть Р(г) = zf,(z) Е / Е £/а. Радиусом выпуклости Яс класса А локально однолистных функций /(г) = z + ... называется верхняя граница радиусов кругов Дг таких, что /(Дг)-выпуклая область для любой функции / Е А. Условие звездообразности области ^(Дг)

условие выпуклости /(Дг). Поэтому радиус звездообразности класса равен радиусу выпуклости [/«, т.е. (см. [2]) равен

а2 — 1

Теорема доказана. □

Замечание 3. Таким образом, получили, что радиус звездообразно-сти класса Та совпадает с радиусом звездообразности класса ТЦ : Я* (а) = Щ(а).

Найдем радиус выпуклости порядка /5 Е (0,1) класса иа.Это -верхняя граница чисел г Е (0,1), для которых

ПШ1 11е (\ + >р, V/ £ иа.

1*1=*- V /'(*) /

Теорема 4. Радиус выпуклости порядка /3 класса IIа равен

Щ(а) =---------

/ЗV а + ^а2 - (1 - /З)2

Доказательство. Пусть /(г) е [/„. Тогда (см. [2])

вир

/'(*)

< а.

Следовательно,

Ие

а — л/ а2 + (З2 — 1

г <

1 + [3

Неравенство точное; равенство достигается для функции

~ '1 + г' ~

Следовательно,

Теорема доказана.

□

R(z) = Щ(а) =

1-z

1

1

2 а

1-/3

а + у/а2 - (1 - (З2)

Литература

[11 Dimkov G. On products of starlike functions // Polonici mathematici, N55,-1991,— C.75-79.

[2] Pommerenke Ch.Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.IJ/ Math. Ann.,— 1964,— Hf.155,— C.108-154.

[3] Старков В.В. О некоторых линейно-инвариантных семействах функций■, имеющих интегральное представление.// Деп. ВИНИТИ N 3341,—1981,—С.1-46.

[4] Старков В.В. О некоторых линейно-инвариантных семействах функций, имеющих интегральное представление.// Известия вузов (математика),— 1983,— N 5,—С. 82-85.

[5] Bartnik D. On some class of functions generated by complex functions of bounded variation.// Ann., Univ. Mariae Curie-Sklodowska,—1995,—C.l-13.