Оценка линейного функционала для однолистных функций, близких к тождественной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. В. Григорьева

УДК 517.54

ОЦЕНКА ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ, БЛИЗКИХ К ТОЖДЕСТВЕННОЙ*

Пусть S(M), М > 1 - класс голоморфных однолистных в единичном круге D функций

f(z) = z + a2z2 +... , \z\<\, (1)

таких, что |/(z)| < М. Функция Пика Рм (z) е S(M) отображает D на круг

радиуса М с разрезом вдоль отрезка на отрицательном направлении вещественной полуоси.

Пользуясь разложением (1), рассмотрим двупараметрическое семейство линейных непрерывных функционалов пятого порядка L(a,p;/) = а5 +aa4 + pa3 +3aа2, (a,fi)<zR2 в классе S(M). В настоящей статье найдено все множество значений

(a, Р), для которых max Re L(a, Р; /) = Re L(a, Р; Рм ) при М, близких к 1.

/ eS(M)

Решение этой конкретной экстремальной задачи основано на общей теореме автора [1], которая применительно к функционалу L(a,P;/) может быть сформулирована в следующем виде.

ТЕОРЕМА А [1]. Пусть тригонометрический многочлен <2(и) = -2[cos 4и + а cos Зи + р cos 2и + 3a cos и], Q\n) < О, достигает максимума на [0,2л] только в точке и = п. Тогда существует М =М(a,P) > 1 такое, что для всех М е (l,M(a,P)) максимум ReL(a,P;/) в классе S(M) достигается только функцией Пика Рм (z).

Как видно из теоремы А, решение поставленной задачи сводится к исследованию критических точек алгебраического многочлена четвертой степени. Этим обстоятельством продиктован выбор функционала L(a,P;/), точнее, специальный выбор коэффициента За при а2, который позволяет провести полное исследование многочлена. Заметим, что соответствующая экстремальная задача для двупараметрического семейства функционалов четвертого порядка N(a,P;/) = а4 + аа3 + ра2 решена Д. В. Прохоровым и Ж. Е. Васильевой [2].

Введем следующие обозначения. Положим

* Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842.

Я, = {(a,ß): ß > 4,ß < 2a,ß < 3a -4}, E'2 = {(a,ß):a >0,ß <-3a-4}, E"2 = {(a,ß): a > 0,ß < 4,|ß + 4\< 3a}, область E2 состоит из точек (a,ß) e Е"г, удовлетворяющих неравенству

з

a(9a2 - 32ß +128)2 > 27a4 - 144a2ß + 576a2 + 128ß2 -

- 4096a+ 1024ß +2048, (2)

E2 ~ E2 U E2 , E - E i U E2.

ТЕОРЕМА 1. Для всякой точки (a,ß) е Е существует M(a,ß) >1 такое, что для всех Me(l,M(a,ß)) функция PM(z) доставляет максимум Rel(a,ß;/) в классе S(M).

Доказательство. Согласно теореме А достаточно установить, что при (a,ß) е Е тригонометрический многочлен Q(u) достигает максимума на [0,2тт] только в точке и = к. После .замены у = cos и тригонометрический многочлен Q(u) сводится к алгебраическому многочлену четвертой степени

Р(у) = Q(arccosy) = -16 у4- 8ау3 - (4ß -16 )у2 - 2 + 2ß.

Осталось показать, что Р(у) достигает максимума на [-l;l] только в точке у = -1.

Доказательство разбивается на два случая.

1. Пусть ß > 4 . В этом случае Р(у) имеет в точке у = 0 локальный максимум, а производная Р'{у) обращается в нуль в точках ух, у2, _у3 = 0, У\ < Уг < Уз ■ Многочлен Р(у) достигает максимума на [- l;l] лишь в точке у = -1 при выполнении условий: ух<-1, у2 > -1 и Р(-\) > Р(0).

Совокупность первых двух из этих условий эквивалентна неравенству ß < За - 4, в то время, как третье условие приводит к неравенству ß < 2a. Таким образом, первый случай доказывает теорему 1 для (a,ß) е Ех.

2. Пусть ß<4. В этом случае Р(у) имеет в точке у = 0 локальный минимум, а производная Р'(у) обращается в нуль в точках ух < 0, у2= 0, у3 > 0. Многочлен Р(у) достигает максимума на [- l;l] лишь в точке у — —1 в одном из двух вариантов.

a) У1 <-1,Л>1и /,(-1)>Р(1).

Третье условие приводит к неравенству а > 0, а совокупность первых двух условий эквивалентна неравенству ß < -За - 4. Таким образом, вариант а) доказывает теорему 1 для (a,ß) е Е'г.

b) у1<-1,у2<\иР(-\)>Р(у2).

Совокупность первых двух из этих условий определяет множество Е'[, в то время, как третье условие приводит к неравенству (2). Таким образом, вариант (Ь) доказывает теорему 1 для (cc,ß) е Е".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьева Е. В. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций // Тр. Петрозаводск, гос. ун-та. Сер. Математика. 2000. Вып.7.

2. Prokhorov D., Vasileva Z. Linear extremal problems for univalent function close to identity//Bull. Soc. Sei. Lettr. Lodz. 1995. Vol. 45. P. 11-47.

УДК 517.546

Л. Л. Громова

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ МЕРОМОРФНЫХ ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ*

Обозначим через * класс мероморфных функций IV = , регулярных и однолистных в области

£={с|си,

за исключением простого полюса при С, = оо, отображающих О на область, дополнение которой звездообразно относительно точки м> = 0.

Известно (см., например, [1]) интегральное представление для

ПО 6 2*:

= ^ехр|2 }к>2(] -(1)

71

|ф- 1,ц(?) -неубывающая функция в промежутке [- тс;я] и |ф.(?) = 1.

-л

Полагая р(/) ступенчатой, имеющей скачки в точках ¡к, - к < ^ < <•••</„< л, получаем из (1) функции вида

= (2) к=1 к= 1

образующие подкласс 2 л с £ * > всюду плотный в £ *• ТЕОРЕМА. Для е ^ * справедливо неравенство

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842.