Об интегральных средних для мероморфных звездообразных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Совокупность первых двух из этих условий определяет множество Е'[, в то время, как третье условие приводит к неравенству (2). Таким образом, вариант (Ь) доказывает теорему 1 для (cc,ß) е Е".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьева Е. В. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций // Тр. Петрозаводск, гос. ун-та. Сер. Математика. 2000. Вып.7.

2. Prokhorov D., Vasileva Z. Linear extremal problems for univalent function close to identity//Bull. Soc. Sei. Lettr. Lodz. 1995. Vol. 45. P. 11-47.

УДК 517.546

Л. Л. Громова

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ МЕРОМОРФНЫХ ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ*

Обозначим через * класс мероморфных функций IV = , регулярных и однолистных в области

£={с|си,

за исключением простого полюса при С, = оо, отображающих О на область, дополнение которой звездообразно относительно точки м> = 0.

Известно (см., например, [1]) интегральное представление для

ПО 6 2*:

= ^ехр|2 }к>2(] -(1)

71

|ф- 1,ц(?) -неубывающая функция в промежутке [- тс;я] и |ф.(?) = 1.

-л

Полагая ступенчатой, имеющей скачки в точках ¡к,

- к < ^ < <•••</„< л, получаем из (1) функции вида

= (2) к=1 к= 1

образующие подкласс 2 л с £ * > всюду плотный в £ *• ТЕОРЕМА. Для е ^ * справедливо неравенство

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842.

при вещественном р > 1 и С, = ре'6, р > 1, где

Г

1- —

С

с

(4)

- ОД, + = 2,а,Р - произвольные вещественные числа. Доказательство. Предполагаем противное, что для экстремальной функции имеется более двух скачков. Положим, не уменьшая общности, что, например, у1 > 0,у2 > 0,у3>0, и покажем, что это приводит к противоречию.

Используем вариацию X. Поммеренке [2]. Для этого введём вещественные числа р1,р2,...,(Зя,р1+(32+р3 =0,р4 =---=Р„ =0 и числа

п

У*к к -0 достаточно малых 5 такие, что =1. Обозначим

4=1

через ^„'(С) функцию, у которой в формуле (2) вместо ук записаны у\,к= 1,«. Для удобства в дальнейшем положим Г*(С) = Р„(й). Тогда

р/2

¿9.

Пусть С, 1 = 2, е"к = гк , Имеем

р)= |

к=1

Ш-М

4=1

4=1

4(У*+5р*) лр/2

р/2

¿6 =

где с=£уА

-714

У

4=1

Введём вещественное / следующим равенством:

/=£Р*1оё|1-2*г|-

4=1

В новых обозначениях имеем

МК(р) = 28

= í

(c|2+25Re(cè) + 52|Z>|2

/

zF.\ -

exP 4¿Pit51og|l-z)tz|

V k=i y

Pn

de =

= J I с |2 +25Re(c¿>) + 52 | è |2 ^ zF„í—] (l + 48/+ 852/2 + 0(53))

\p! 2

ú?e =

-í

zF„°í—

( |с|р +Ъ(р\с\р~2 Re(cb)+2pl\c\p) + 62(p/2\c\p-2\b\2 +

+ p(p/2-l)\c\p~4 [Re(cb)]2 +2p2\c\p~2 lRe(c¿>)+1с4p/2 +

+ 2p(p - 2)l2 |c|p) + 0(83) )¿9. В силу экстремальности функции F„°(Q имеем неравенство

J

+ 2p I с |p~2 /Re(cô) + 2 pi2 \c\p)d<d < 0.

Выбираем теперь = 1,2,3, так, чтобы

, р

(5)

Í

zf:I i

IP-2

/Re(cZ>)¿e = 0.

Легко доказать, что в формуле (5) второй сомножитель Р(0) > 0 при р > 1. Отсюда следует, что для непрерывных функций Р{6) = 0 или Ъ = 0.

Последнее равенство означает, что три различных точки wk =

1 + ^ 1 - Z¡,Z '

А=1, 2, 3, лежат на одной прямой, чего не может быть, и экстремальная функция имеет вид (4).

Следствие. Из неравенства (3) следует оценка сверху для Т7^) е 2 *,полученная ранее Р. Бутельером [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: Наука, 1966.

2. Pommerenke Ch. On rneromorphic starlike function // Pacific Journal of Mathematics. 1963. Vol. 13, № 1. P. 221 - 235.

3. Boutellier R. Le théorème de déformation de la classe £ * H C.R.Acad. Sci. Paris, 1978. T. 286. P. 33 - 35.