Некоторые классы мероморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 1999, Том 1, Выпуск 2

УДК 517.54

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ X. X. Меликов

1. Введение

Пусть Е — класс функций вида

^ оо

/(*) = - + Е°***> к Е N = {1,2,...}, (1.1)

2 к=1

которые регулярны в области Ео = Е \{()} = (г : 0 < \г\ < 1} с простым полюсом в точке г = 0 и вычетом равным 1.

Пусть Е8 подкласс Е, состоящий из однолистных функций в Ео. функция Лг) € Е8 называется мероморфно-звездообразной, если } > 0. Через Е* обозначим

класс всех мероморфно-звездо- образных функций.

Функция ¡(г) € Е8 называется мероморфно-звездообразной порядка а, если

> а

/(*)

для всех 2 € Ео и для некоторого а (0 ^ а < 1). Класс мероморфно-звездообразных функций порядка а обозначим через Е*(а).

Через Е *(—(3,а(3), 0 ^ а < 1, 0 < /3 ^ 1, обозначим класс функций вида (1.1), удовлетворяющих условию

*/'(*)//(*) + 1

ах?(*)//(*) - 1

<(3 {г(ЕЕа).

Через Е*(2а(3 — 1,2(5 — 1) обозначим класс мероморфно-звездообразных функций порядка а и типа ¡3, которые удовлетворяют условию

zf,(z)/f(z) + 1

< 1

2/?(*/'(*)//(*) + а) - (*/'(*)//(*) + 1)

для всех 2 € Еа и для некоторых а и/З (0 ^ а < 1,0 </3 ^ 1).

оо

Заметим, что £*(—1,0) — класс функций /(г) = - + ^ , которые удовлетво-

к=1

ряют условию

(с) 1999 Меликов X. X.

Введем класс Т,*(А,В) следующим образом:

zf'(z) _ 1 + Aw(z) f(z) ~ ~1 + Bw(z)'

(1.2)

где — 1 ^ A < В ^ 1, w(z) — функция, регулярная в E и удовлетворяющая условиям: iü(0) = 0, |iü(z)| < 1, если \z\ < 1.

Заметим, что Е*(-1,1) = Е*, Е*(2а - 1,1) = Е*(а).

Класс Е*(а) рассматривали Pommerenke [11], Clunie [3], Miller [9] и другие. Класс Е*(2а/3 — 1,2/3 — 1) был введен Aouf М. К. [1], Mogra, Reddy и Juneja [10]. Интегральными преобразованиями класса Е*(а) занимались Л.В.Зарудняк [6] и Goel и Sohi [5].

оо оо

Пусть f(z) = j + Y1 anZn и g(z) = j + Y1 bn принадлежат классу E. Тогда

n=l n=l

произведение Адамара функций f и g определяется равенством

^ оо

(f*9)(z) = - + Y^anbnzn, z € Eq.

n=l

Пусть

Bw=*№) =; ■+1 (L3)

Далее, пусть Mn(A,B) — класс функций вида (1.1), которые удовлетворяют условию

Dn+1f(z) 0 п + 1 + (пД + ЛЦг)

£>«/(*) (п + 1)(1 + Вгф))

где п € iVo = {0,1,2,...}, —1 ^ .-1 < В ^ 1. w(z) — функция такая, как в (1.2).

В работе будут рассмотрены основные свойства класса Мп(А,В): критерий принадлежности функции f(z) к классу Рп(А,В), оценки коэффициентов, интегральные операторы и ряд других вопросов.

2. Класс А!„(А, В)

оо

Теорема 2.1. Пусть /(;) = - + V м/,;*' принадлежит классу !'„ (.1. В). Тогда

Z k=1

круг |iü(z)| si г < 1 отображается функцией F = Dn+1 f (z)/Dn f (z) — 2 в круг

\F-a\^d, (2.1)

где

1 — _Bcr2 (-B — c)r nß + А

" - B^- d=TTBV2' c= n +1 ■ ( }

Доказательство. Из определения класса МП(А,В) имеем

_ n + 1 + (nß + A)w(z) _ 1 + cw(z) , .

{n + l){l + Bw{z)) ~~1 + Bw(z)' ''

Из (2.3) получаем

гф) = - 77 + 1 + 1|2 < г2|с +

с + В г

или

л 1 — £?сг2

1 - В2г2

(В - с)2г2

Из (2.4) следует (2.1).

оо

Теорема 2.2. Пусть /(;) = - + X) принадлежит Мп(А, В). Тогда для ^

г к=1

г < 1 верны оценки

п+1 ^ (пВ + А)г%п { Вп+1Лг) 1 п + 1 + (пВ + ^)г

2 > ^

(п + 1)(1-Вг) [ £>п/(г) ] (п + 1)(1 + Вг)

Результат следует непосредственно из теоремы 2.1. Следствие 2.1. Пусть ¡(г) € М0(А,В) = Тогда

ад

1 — В г /(г) ) 1 + Вг

Теорема 2.3 [1]. Пусть /(г) € Т,*(А,В). Тогда на \г\ = г < 1 имеем

(1 - Вг){в~А^в (1 + Вг){в~А^в

- < \№\ < ^^-, (2.6)

г г

если В ф О,

^ехр^г < |/(гг)| < ^ехр(-Аг), (2.7)

если В = 0.

Результат теоремы 2.3 следует из (2.5), если сначала вычесть из частей неравенств по 1, а затем разделить на г и проинтегрировать по 2 от 0 до г. функция f(z), определенная равенством

г/' (г) 1 + Аг ¡{г) 1 + Вг'

показывает, что оценки (2.5)-(2.7) точные.

Давая частные значения А и В, класс МП(А,В) будет сводиться к известным подклассам звездообразных мероморфных функций: Л/„ = Мп(—1,1), Мп(а) = Мп(2а — 1,1), Мп[а] = Мп(—а,а), Мп(-р,ар), Мп(2а/3 - 1, 2/3 - 1).

оо

Следствие 2.2. Пусть = V принадлежит Л/„. Тогда п + 1^(п^1)г < ГД"+1/Сг) < п+1 + (п^1)г

(та +1)(1 - г) [ £>п/(г) ] (п + 1)(1 + г)

При п = 0 имеем

1 — г 1+г

оо

Следствие 2.3. Пусть = Е а^ принадлежит Мп(а). Тогда

к=1

п + 1 - (п- 1 + 2а)г 1 п + 1 + (п - 1 + 2а)г

^ эг \ —^—--2 > €

(п + 1)(1-г) 1 £>П/Сг) ] (п + 1)(1 + г)

1-(2а-1)г Г^ГЩ < 1 + (2а — 1)г

1 — г /(г) ] 1 + г '

(1 \2(1-а) /1 , \2(1-а)

1-£-< «{/(*)} < ^-•

оо

Следствие 2.4. Пусть функция /(,) = - + X] принадлежит Мп[а]. Тогда

п + 1 — а(п — 1)г .„(Е™'1'1!^) г,1 п+1 + а(п^1)г

^ эг % —^—--2 > <

(п + 1)(1 — аг) 1 ] (п + 1)(1 + аг)

1 +

1 — аг I /(г) ] 1 + аг

(1^аг)2 < од,)} < (1 + аг)2.

оо

Следствие 2.5. Пусть /(,) = ^ + X) ^^ 6 Мп(^(3,а(3). Тогда

к=1

п + 1 - /3(па - 1)г 1 п + 1 + /3(па - 1)г ^ эг "ч —~—ГТ"^--2 > <

п + 1)(1 — а/Зг) 1 ] (п +1)(1+ а/3г)

1+рг I—/Зг

1 — а(3г ¡{г) ) 1 + а/Зг'

(1 - а(3г){1+а^а тг,, (1 + а/3г)(1+а)/а) - -

оо

Следствие 2.6. Пусть /(,) = ^ + Е а*** € Мп{2а(3 -1,2(3- 1). Тогда

к=1

п + 1 - [п(2/3 - 1) + 2а/3 - 1]г т(Оп+1/(г) 1 п + 1 - [п(2(3 - 1) + 2а/3 - 1]г

^ эг \ —~—ГТ"^--2 > <

п + 1)[1-(2/3-1)г] \ ] (п + 1)[1 + (2/3-1)г]

1-(2а/3-1)г <ш Г£/Ч£)1 < 1 + (2а/3 — 1)г

1 — (2/3 — 1)г [ /(,) ] 1 + (2/3 — 1)г '

2,3(1 — а) 20(1-а)

3. Теорема включения

оо

Теорема 3.1. Пусть ¡(г) = + Е ак*к € Мп(А,В). Тогда Мп+1(А,В) С

г к=1

Л/„ (А, В) для любого в6^о = {0,1,2,...}.

Доказательство. Пусть функция /(г) € Мп(А,В). Тогда, согласно теореме 2.2, для \г\ < 1 имеем

п(1 - В) + 1 - А ^ _ 21 п(1 + Д) + 1 + А (зд)

(п + 1)(1-В) 1 \ (п + 1)(1 + В)

При фиксированном А и В функция -Х+т~~в) возрастает с возрастанием п, а функция _па+в)+1+л убьшает с возрастанием п. поэтому

п(1 - В) + 1 - А < (п + 1)(1^ В) + 1^ А < ^ ( Вп+2/(г)

(n + l)(l-5) (п + 2)(1 — В) " [^/(г)

(» + !)(!+ Д) + 1 +А п(1 + Д) + (1 + А)

^ (п + 2)(1 + В) < (N + l)(l + B) '

Из последних неравенств и следует справедливость утверждения. Следствие 3.1. Справедливы следующие включения:

Mn+1(a) С Мп(а), Мп+![а] С Мп[а], Mn+1(-ß, aß) С Mn(^ß,aß), Mn+i(2aß — l,2ß — 1) С Mn(2aß — 1,2/3 — 1), n € iV0 = {0,1,2,...}.

Из теоремы 3.1 и следствия 3.1 следует, что классы функций МП(А,В), Мп(а), Мп [а], М„ [—ß, aß], Л/„ (2aß — 1,2/5 — 1) являются подклассами однолистных функций.

4. Интегральные операторы

оо

Теорема 4.1. Пусть функция f(z) = j + Е afc^n Для данных n € Nq и с > 0 удовлетворяет условию

С"+1/(г) 2|<1-'"(1+В» + (1+ ■4)'("+1), (4.1)

] (п + 1)(1 + В)(с+ 1)

Тогда функция

г

Р(*) = ^Т I (4.2)

о

принадлежит МП(А, В) для -Р(г) ф 0 в Ед. Доказательство. Используя тождества

г(ОпЕ(г)У = сОп/(г) - (с + 1 (4.3)

г(РпР(г))' = (п + 1 )Рп+1Р{г) - (п + 2)РпР(г), (4.4)

условие (4.1) можно записать в виде

~ (" + 2 - с) | 1 _ [П(1 + в) + (1 + Л)] (с + 1) п-Ы-Сп-Ы-с)^^ | (п + 1)(1 + В)(с+1) '

Мы должны показать, что неравенство (4.5) сводится к неравенству (см. теорему

3.1)

¡Рп+11(г) \ п(1 + В) + (1 + А) \ £>«/(*) ] (п + 1)(1 + В) '

Определим в Е через

Рп+1/(г) _ п + 1 + [{п + 2)В ^ АЩг) £>»/(,) ~ (п + 1)(1 + Вт{г)) '

(4.6)

Очевидно, что ю(г) регулярна в Р и ги(0) = 0. Нам надо показать, что («;(,)| < 1, , € Р. Логарифмическим дифференцированием получаем

(п + Ю дч+1р(г) - (п + 2^с) ^ _ П + 1 + (пВ + А)и)(г) п + 1 — (п

_(В - А)ггу'(г)_

{п + 1){1 + Вт{г))[{1 + с)В ^ АЩг) + с]' К ' '

Если т(г) не удовлетворяет условию |г«(г)| < 1, г € Е, то по лемме Джека [7] существует точка |,о|, |,о| < 1 такая, что

гою'(го) = Кги(г о), (4.8)

где |«;(,о)| = 1 и К ^ 1. Из (4.7) и (4.8) имеем

+ ~ (п + 2^с) | _ п + 1 + (пВ + А)и)(га)

п + 1^(п + 1^с)вТ+Щ1} I ~ (п + 1)(1 + ВтЫ)

, _(В-А)Кт(г0)_

Таким образом, левая часть (4.9) больше, чем

1-(п(1 + Д) + 1 + А)(с + 1)

(п + 1)(1 + В)(с+ 1)

которое противоречит (4.1). Следовательно, |«;(,)| < 1, и из (4.6) следует, что Е{г) € Мп(А,В).

Полагая .1 — В II! условиях теоремы 4.1, получаем следующий результат.

Следствие 4.1. Пусть f(z) € Л/„ для данных п € Nq и с > 0 удовлетворяет условию

Dnf(z) J 2(n + l)(c+l)

Тогда

z

F(z) = ^ri / tCf^dt 0

принадлежит классу Mn для F(z) Ф 0 в E0.

оо

1

Следствие 4.2. Пусть функция = —Ь Е Для данных п € и с > О удовлетворяет условию

21 < 1 — 2(п + а)(с + 1) ^ (410)

Dnf(z) J 2(n + 1)(с + 1) '

Тогда функция

с

F(z) = —i ] <7(<)d< (4-11)

о

принадлежит классу Mn(a) для F(z) ф 0 в Е0.

оо

Следствие 4.3. Пусть функция f(z) = j + Y1 akZn для данных n € Nq и с > О

k=1

удовлетворяет условию

Dn+1f(z) 21 1-[„(1 + а) + 1-а](с+1)

£>п/(г) J (п + 1)(1 + а)(с + 1)

Тогда функция

z

F(Z) = ^7T [ tCf(t)dt

принадлежит классу М„ (а).

оо

Следствие 4.4. Пусть функция /(.г) = - + Е ак%к Для данных п € Щ и с > О

к=1

удовлетворяет условию

21 < 1-[»(1 + а/3) + 1-/?](с + 1)

Dnf(z) J (n + 1)(1 + a(3)(c + 1)

Тогда функция

z

С

о

принадлежит М„ (—/3, а(5).

оо

Следствие 4.5. Пусть функция f(z) = - + Е akzk Для данных п € Nq и с > 0

k=1

удовлетворяет условию

Dn+1f(z) 21 l-2ß(n + a)(c+l)

Dnf(z) J 2ß{n + l)(c + 1) ' Тогда функция

z

С

принадлежит классу Mn(2aß — 1,2/3 — 1).

При п = 0 из теоремы 4.1 получаем следующий результат Goel и Sohi [5].

оо

Следствие 4.6. Пусть /(;) = - + V a^zk принадлежит Е* и удовлетворяет

k=1

условию

'zf'(z) 1 1

1 < 777-TT, z€E, с > 0.

/(z) j 2(c + 1)

Тогда

z

С

о

принадлежит E* для f(z)j^()B()<\z\<l.

При n = 0 в условиях теоремы 4.1 получаем следующий результат Goel и Sohi [5]. Следствие 4.7. Пусть f(z) € Е удовлетворяет условию

zf'(z) 1 < 1

/(*) J 4'

Тогда

т = I t°f(t) dt

принадлежит Е* для -Р(г) ф 0 в 0 < \г\ < 1.

При п = 0 получаем следующий результат (Ы.Е.СЬо [2]).

оо

Следствие 4.8. Если ¡(г) = \ + Е акгк € Е*(А,В), то

г к=1

F(z) = -^r I tcf(t)dt

будет принадлежать классу >^' (.1. В).

При п = 0, А = /3(2а — 1) и В = /3, где 0 ^ а < 1, получаем результат ]У^га, ИеёсИ и Juneja [10].

Теорема 4.2. Пусть / € Л/„(.4. />'). тогда

г

о

для -Р(г) ф 0 в 0 < < 1.

Доказательство. Имеем

сОп/(г) = (п + - (п + 1 - с)ОпР(г)

и

сВп+1/(г) = (п + 2)Вп+2Р(г) - (п + 2 - с)Вп+1Р(г). При с = п + 1 из этих соотношений получаем

(п + _ £>п+1/(.г)

которое сводится к

(п + 2) Вп+2Р(г) 1 _Вп+1/(г) (п + 1) Вп+1Р(г) ~ п + 1 ~ Бп/(г) '

Таким образом, в соответствии с (3.1) имеем

п + 2С«+2^(г) 1 2] (Рп+Ч{*) Л п(1 + В) + 1 + А

п + 1 ] ^ ) (п + 1)(1 + В) '

Из последнего неравенства следует, что

Вп+2Р{г) 21 {п+ !){! +В)+ 1 +А

) (п + 2)(1 + В)

Это завершает доказательство теоремы. При А = —1, В = 1 из теоремы 4.2 следует результат Ganigi и 1Тга^ас1сИ ([4],Т.З).

6. Класс Рп(А, В)

Через Рп(А,В) обозначим подкласс функций класса Мп(А,В) вида

^ оо

= - + ак ^ О

к=1

с неотрицательными коэффициентами.

оо

Теорема 6.1. Пусть функция ¡(г) = + Е ак%к-, ак ^ 0, регулярна в Е0 = {г :

к=1

О < < 1}. Тоща ¡(г) € Рп(А,В) тогда и только тоща, когда

^(п + 1)(п + 2)...(п + 1 + к)[к(1 + В) + 1 + А}

(к + щв^А) ' [ 1

1 < А < В, 0 < В < 1.

Доказательство. Предположим, что функция/(г) принадлежит /,„(.1. />'). Тогда из (1.4) имеем

|гф)| =

(п +1)рп+1/(,) ^ £>"/(*))

£>"/(*)[(« + 2) В - А] ■ ' (п + 1 )В

Из этого неравенства получаем

(п + 1)[ао + £ (п+2)(п+3;!-(п+1+^^^]

< 1.

к=1

{В-А)\- Е (п+1)(п+й■;)\п+1+к)(Вк + А)акг" к=1

Так как |ги| для любой функции т, то имеем

(п + 1 )ак + £ ^Щ^^а^

< 1.

к=1

В^А^^ (п+1)("У+1 ]{Г+1+к)(Вк + А)акгк к=1

< 1.

(6.2)

Выбираем значение г на вещественной оси, чтобы знаменатель был вещественным. Очевидно, знаменатель будет принимать вещественные значения и при ; > О по вещественной оси. Так как при г = 0 знаменатель положителен и непрерывен и |г«(г)| < 1, то знаменатель принимает только положительные значения при г > 0.

Устремляя , —у 1, после упрощения из (3.2), получаем (3.1). Обратно, предполагая, что (3.1) верно для всех допустимых значений А и В, имеем

1П + 1

п+1 .

= (п+ 1)

(п + 2) (п + 3)... (п + 1 + к) ь, [«о + ----т~1 -~акгкл

к=1

к\

(5 - А) ± - £ + + 1 + {Вк + А)акгк

к=1

(к+ 1)1

ИЛИ

Ф(1>«/,Л«"/) < (П + 1)[оо + £ (П + 2)(П + 3^-(П + 1 + &)а^]

/г=1

_ _ 1 _ £ (■, + !)(,, + 2) (,, + 1 + Ц

2 ^^ (к + 1)!

Так как полученное неравенство верно для всех \г\ = г,0<г< 1, то, устремляя \г\ —)■ 1, имеем

^ (п + 1)(п + 2)... (п + 1 + к)[к( 1 + В) + 1 + А]

-■ -г;-ак < 1-

к=О

■ + 1)!(В - А)

Отсюда следует, что Лг) принадлежит классу Рп(А,В) Заметим,что Р${А,В) = Е *(А,В).

оо

Следствие 6.1 [2]. Функция ¡(г) = - + Е ак%к-, ак ^ 0, принадлежит классу

г к=1

Е* (А, тогда и только тоща, когда

оо

ЕШ1 + + 1 + А}«/, В - А. к=1

Результат точный для функции

1

№) = - +

В-А

г к(1 + В) + 1 + А

гк.

Заметим, что для класса РП(А,В) верны теоремы 3.1 и 4.1 в силу того, что РП(А,В) является подклассом МП(А,В).

7. Радиус выпуклости

оо

Теорема 7.1. Пусть функция ¡(г) = + V г//,;*' принадлежит классу РП(А,В).

к=1

Тоща мероморфно выпуклая порядка 5 (0 ^ <5 < 1) в круге < г = г(А, />'. п, где

г (А, В, п, 5) = ш£ к>1

(п + 1)(п + 2)... (п + 1 + /г)[/г(1 + Д) + 1 + А](1 - ¿) (В-А)/г(/г + 2-5)(/г + 1)!

/г+1

Результат точный.

Доказательство. Достаточно показать, что

2 +

для ^ г(А,В,п,5). Имеем

2 +

оо

Е (А; +

к=1

к-1

Оно ограничено числом 1-й, если

оо

Е

72 — Е к" к; к

-1

&=1

£ к(к + 1)а/г|2|/г+1

/г=1_

оо

1- Е ь*!*^1

к=1

к=1

--—-^И ^ 1.

1 — 0

(7.1)

Так как функция /(г) € РП(А,В), то из (6.1) следует, что (7.1) будет верно, если

к(к + 2 - 6) к+1 (п + 1)(п + 2)... (п + 1 + к)[к( 1 + В) + 1 + А] 1-й ^ (В — А)(к +1)!

т. е. если

_ ¡(п + 1)(п + 2)...(п + 1 + к)[Н1 + В) + 1 + А](1-6)\т& 1 '"1 (В - А)к(к + 2 — 6)(к +1)! / ' ^ [ }

Полагая \г\ = г(А,В,п,6) в (7.2), получаем результат. Результат точный для функции

ш = 1 +_{к + 1)'_^ к> 1

]к{1 г (п + 1)(п + 2)...(п + 1 + к)[к(1 + В) + 1 + А} ' ^

При п = 0, получаем следующий результат.

Следствие 7.1. Пусть функция /(;) = ^ + «1; + — .... м/, > 0 принадлежит Е*(А,В). Тоща ¡(г) мероморфно выпуклая порядка 5, 0 ^ 5 < 1, в круге ^ г (А, В, 6), где

(В - А)к(к + 2 - 6) )

Результат точный для функции

1 к _ А

Следствие 7.2. Пусть функция ¡{г) = —Ь Е принадлежит классу Е*(а),

т.е. классу мероморфно звездообразных функций порядка а. Тогда она мероморфно выпуклая порядка 5 (0 ^ 5 < 1) в круге < г = г (а, 5), где

/ . ^ (1-5)(1 + 5)

г(а,о) = 1ш 1 1

1 Ц1 - а) к (к + 2 -6) Результат точный.

оо

Следствие 7.3. Пусть функция /(;) = - + Е "к'-1' принадлежит классу

г к=1

Е *(—(3,а(3), 0^а<1, тогда она мероморфно выпуклая порядка 5

(О < 5 < 1) в круге И < г = г(а,0,6), где г(а,0,6) = ■

Результат точный.

оо

Следствие 7.4. Пусть функция / (г) = - + Е мероморфно звездообразная

порядка а и типа ¡3. Тогда она будет мероморфно выпуклой порядка 5 (0 ^ 5 < 1) в круге < г = г(а,(3,6), где

, а п -г, (1~6)(к + а) г(а,р,о) = 1ш 1 1

1 Ц1 - а) к (к + 2 -6) Результат точный.

8. О свертках в классе Рп(А,В)

оо оо

Теорема 8.1. Пусть функции/(г) = -+ Е ак%к и9(%) = Е Ьк%к принадлежат

г к=1 г к=1

классу РП(А,В), п > 0. Тогда

^ оо

(/ * = - +

2 к=1

также принадлежит РП(А,В), п ^ 0.

Доказательство. Пусть и д(г) принадлежат классу РП(А,В). Тогда по теореме 6.1 имеем

Е'"+ '('Г+щв1 + к) 1Н1 + в> +1+<

к=0

Так как /(z) и g(z) регулярны в = {z : 0 < \z\ < 1}, то (/ * g)(z) регулярна в /'-о. Далее имеем

^ (п + 1)(п + 2)... (n + 1 + к)[к( 1 + В) + 1 + А] t^o (fc + l)!(5-A) ak к

(* + !)!(*-А) ) °fc6fc

^ (n + l)(n + 2)... (n + 1 + fc)[fc(l + В) + 1 + A]

^ (n + l)(n + 2)... (n + 1 + fc)[fc(l + В) + 1 + A]

По теореме 6.1 (/ * <7)(z) € Pn(A,B). При n = 0 из теоремы 8.1 следует результат N. Е. Cho [2].

Литература

1. Aouf M. К. On the coefficients of some meromorphic classes of order a and type /3 // Rend. math, e appl. 1988. V. 8. № 2. P. 211-221.

2. Nak Eun Cho. On certain class of meromorphic functions with positive coefficients // Math. Jap. 1989. V. 34. № 6. P. 901-907.

3. Clunie J. On meromorphic schlicht functions // J. London Math. Soc. 1959. V. 34. P. 215-216.

4. Ganigi M. R., Uralegaddi B. A. New criterio for meromorphi univalent functions // Bull. math. Soc. math. E.S.E. 1989. T. 33(81). № 1. P. 9-13.

5. Goel R. M., Sohi M. S. On a class of meromorphic functions // Glasnic, Mat. 1982. V. 17(37). P. 19-28.

6. Зарудняк Л. В. Об интегральном преобразовании некоторых классов мероморфных функций // Экстремальные задачи теории функций. Томск, 1986.

7. Jack I. S. Functions starlike and convex of order a // J. London Math. Soc. 1971. V. 2. P. 469-474.

8. Juneja O. P., Reddy T. R. Meromorphic starlike univalent functions with positive coefficients.

9. Miller J. E. Convex meromorphic mappings and related functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 25. P. 220-228.

10. Mogra M. L., Reddy T. R., Juneja O. P. Meromorphic univalent functions with positive coefficients // Bull. Austral. Math. 1985. V. 32. P. 161-176.

11. Pommerenke Ch. On meromorphic starlike functions // Paccific. J. Math. 1963. V. 13. P. 221-235.