CC BY
26
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 153, кн. 1 Физико-математические пауки
2011
УДК 517.54
БИФУРКАЦИИ И НОВЫЕ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ
A.B. Казанцев
Аннотация
Определены типы бифуркаций пулей градиента гиперболической производной голоморфной функции в единичном круге, вложенной в семейство ее «лилий уровня». Установленный характер зависимости движения пулей от кривизны гиперболической производной позволяет расширить возможности теоремы Пуанкаре Хопфа для построения класса новых условий единственности пуля в форме неотрицательности функционалов типа кривизны. Данный класс содержит одпопараметрическую серию неравенств Эпштейна, получаемых из условия линейной выпуклости по Вепке Пешлю областей Хар-тогса специального вида. При этом возникает своеобразный эффект жесткости: указанные неравенства содержательны только па конечном отрезке параметров.
Ключевые слова: гиперболическая производная, конформный радиус, бифуркации критических точек, линейная инвариантность, линейная выпуклость по Вепке Пешлю.
Введение
Согласно теореме Римана нормированное конформное отображение F гиперболической области D С С та круг Ед порождает некоторую поверхность (в R3) над D [1, с. 32]. Эта поверхность, R = RD (z), характеризуется тем, что каждая ее линия уровня представляет радиус R «мишени» Ед, центром которой является F-образ текущей точки указанной линии. Величина Rd (z) называется (внутрен-
Dz
С помощью биголоморфизма f : D ^ D ситуация переносится в пространство над единичным кругом D = {Z G С : |Z| < 1}, так что конформный радиус в точке f (ш) оказывается равным значению функции
hf (Z) = ( 1 -|Z l2)|AZ)| (i)
в точке Z = ш G D [2, с. 28], [3]). Для заданной области D выбор такого f единствен
D
D
Df
выводит на первый план изучение соответствий f ^ hf, сменяющих соответствия D ^ Rd для различных классов областей при первоначальной D-постановке. f
f
экстремумы (1) «формализуют препятствия» при исследовании корректности ряда задач математической физики и теории функций (см. [6] и библиографию в [7]). Различие (обычно отождествляемых посредством z = f (Z)) представлений R = = Rd (z) и h = hf (Z) становится существенным при «пересчете на» Z G D выражений для их гауссовых кривизн, неотрицательность которых приводит к условиям [8]
|{/, С}| < I —2/(1 - ICI2)2 + (1/2)|(/7/,)(С) - 2С/(1 - |С|2)|2|, С g D, (2)
где {f,Z} = (f"/f')'(Z) - (f"/f')2(Z)/2 - производная Шварца функции f в точке Z, и |{f, Z} + 2(ln hf (Z))z (f7f')(Z)| < |- 2/(1 -|Z|2)2 + 2|(ln hf (Z))z |2|, Z G D.
Аналогичный «пересчет» для логарифмов ln R и ln h дает неравенства
|{/,C} - (1/2)((//7/')(С) - 2С/(1 - 1С12))2| <2/(1-ICI2)2, CGD, (3) и К/'УЛ'Ю - 2Г/(1 - 1С12)21 < 2/(1 - ICI2)2, С G D.
Общий подход к построению подобных условий был намечен М.И. Киндером в [9] в связи с проблемой единственности критической точки функции (1) (см. разд. 1): в работе [8] полностью исследован случай (2). В настоящей статье в рамках указанной проблемы исследуются условия вида
J(f, Z) > 0, Z g D, (4)
для голоморфных в D функций f щи J = Ga, /g и KY, где
GM, С) + |{/, С} + (3/2 - а)[(/7А2(С) - 4С2/(1 - |С12)2]| =
= Ie(f, Z) + |{f, Z} + 2(2в - 1)(ln hf (Z))21 =
= ЗД о + \(Г/П'(С) - 7C2/(1 - ICI2)2| = 2/(1 - ICI2)2.
Выбор H - класса голоморфных в D функций - в качестве области определе-J
D
J совпадает с одним из функционалов Ga (при а = 3/2), /а (с в = 1/2) или К7. Случай J = G3/2 = I1/2 приводит к известному неравенству Нехари
|{f,Z}|< 2/(1 -|Z|2)2, Z g D, (5)
f
f
f
них: использованный в [10] и развитый в [11] метод радиальной суперпозиции, а также метод бифуркаций параметрических семейств [13, 14], связанный со сконструированным в [15, 16] вариантом теоремы Пуанкаре Хопфа для векторного поля Vhf. В настоящей статье оба указанных метода «сравниваются на доказательстве» (не более чем) единственности критической точки (1) для функций f G H, удовлетворяющих неравенству /g(f, Z) > 0, Z G D, которое возникает
как условие слабой линейной выпуклости областей Хартогса специального вида в С2
метода бифуркаций упрощается за счет обобщения упомянутой версии теоремы Пуанкаре Хопфа (теорема 1).
fGH
Ho = {f G H : f'(Z) = 0, Z G D} - класс голоморфных локально однолистных функций в D. Легко проверить, что при J = Ga, /д или KY выполнение
Df
влечет за собой f G H0. Таким образом, если специально не оговаривается противное, все рассматриваемые далее в статье функции предполагаются локально D
жательности условий вида (4). Решение этого вопроса оказывается существенно связанным с применением (в духе [18]) классической теоремы Плеснера: тем не менее удобно использовать следующее определение.
Функционал J : Н0х В х М ^ М : (/, С, ш) ^ Jш (/, С) > порождающий семейство классов = {/ е Н0 : (/, С) > 0, С е В}, назовем жестким по параметру ш,
или просто жестким, если множество О = ) = {ш е М : = 0}, которое будет
называться носителем, функционала представляет собой от резок в М. Решающую роль, которую функционал Нехари
Сэ/2(/,С) = 11/2(/,С) = 2/(1 - |С12)2 - |{/,С}|
и связанное с ним неравенство (5) сыграли в свое время в постановке задачи построения функционалов ^ ^^отством « J > 0 ^ единственный экстремум (1)», может прояснить, например, следующее наблюдение. На элементах
М; = {а е В : (<%/5С)(а) = 0}
- множеств критических точек (1) при / е Но - функционал Нехари совпадает как с функционалами Оа, 1р и К7 (независимо от значений параметров), так и с функционалами, порождающими неравенства (2), (3) и их аналоги. Эффективность отмеченной постановки связана с расширением набора ситуаций, подтверждающих справедливость следующей «метатеоремы», которая уже на этапе работы над [11] и [9] превратилась из рядового предположения в руководящую гипотезу ( [19]):
Гипотеза М.И. Киндера. Пусть J : Н0х В ^ М - функционал со свойством
sgn J(/, а) = sgnН/2(/, а), а е Mf, / е Но, (6)
и пусть класс 3 = {/ е Н0 : J(/, С) > 0, С е В} непуст. Тогда если / е 3 и kf < то, то kf < 1.
Здесь kf = #М^ ^ элементов Mf . Случай kf = то может возникать
только в двух ситуациях: при наличии в М^ ададитических дуг (с концами на д В при / е Но) [20] и когда М^ ^ предельные точки па д В [21].
1. Проверка гипотезы
Особое место функционала 11/2 в рассматриваемой постановке основано на том, что на элементах М^ он, кж и функционал К2, является знакоопределяющим сомножителем в выражении для кривизны Kf (С) функции 1п(С):
К1 (а) = [2/(1 - |а|2)2 + |{/, а}|]/1/2(/, а), а е Mf. (7)
Отметим также соотношение Kf(() = [1 + \Е\2]~2 Jf(0, С £ В, где Jf(() = = (|Н;| + |^|)Н2(/,С) якобиан векторного поля У1п/?./(С) — ^ = 2(1п/?./)^,
а ^ = Р(С,С) = ///(С)///(С) — 2^/(1 — СО отображение Гахова с множеством нулей Mf [6].
Более тонкой характеристикой поверхности h = hf (С) в окрестности изолированных элементов Mf является индекс
7,(*) = -(2 ж0- /
1С-“1=р
точки а е Mf, особой для векторного поля Vhf(С); Mf р|{|С — а| < р} = {а}. Известно [15, 16], что Yf (Mf) С {±1,0}. Обозначая = #{а е Mf : Yf (а) = е1}, получим kf = ш+ + ш0 + ш-. Объединенная классификация изолированных элементов Mf (/ е Но) выглядит следующим образом (см., например, [13]).
Предложение 1. На дискретной части Mf имеем Yf ^п ^ = ±1) = sgn Kf, 7f ^пKf = 0) С {-1, 0 + 1}, причем sgnKf0ф(а) = sgnKf (ф(а)) и 7^0(а) = = Yf (ф(а)), а е Mf, ф - автоморфизм В Поверхность h = (С) над элементами
Mf Э а ~ (sgn^(а),7f (а)) допускает следующее строение: (+1, +1) - эллиптический максимум (омбилика при {/, 0} = 0); (0, +1) - параболический максимум; (0, 0) (0, -1) (-1, -1)
перболическое седло. Все варианты, реализуемы.
Отправной точкой для исследования сформулированной гипотезы можно считать следующую версию [15. 16] классической теоремы Пуанкаре Хопфа ( [22. с. 223]), в которой В0 = {/ е Н : Иш^- ^ дВ (С) = 0} - малый класс Блоха.
Предложение 2. Если / е В ПН0 , kf < то, то 7f (а) = ш+ -ш^, = 1.
а е Mf
Замечание 1. Как показывает пример функции / е В0 ПН0 со счетным Mf , построенный в [21], второе условие kf < то в приведенном утверждении не может быть снято за счет первого.
Для подтверждения гипотезы в частном случае в работе [9] был введен класс Т функций / е Н, восстанавливаемых из представлений 1п/'(С) =
2п
= (1/2п^ У р(0)(ег0 + ()/(ег0 - () ¿0 с р е С[0, 2п]. Справедливо
0
Предложение 3. Пусть J : Н0х В ^ М - функционал со свойством (6) и пусть функция / е Т удовлетворяет строгому неравенству (4), то естъ
J(/,С) > 0, С е в. (8)
Тогда kf = 1.
Включение / е Т обеспечивает одновременное выполнение обоих условий предложения 2, применение которого с учетом (6) (а также (7) и предложения 1) и доказывает предложение 3: ш- = ш0 = 0 и kf = ш+ = 1.
В качестве иллюстрации приведенного утверждения в работе [9] предложены строгие версии следующих неравенств при С е В:
A) С0(/,С) > 0;
Б) ¿з/2(/,С) > 0, ВДе Ь (/,0 = 1/(1 -|С |2)-|С||(/7/")(С){/,С} + 2£(1п hf (С))с |;
B) |С||(/"'//")(С) -з/2(/"//')(с)| < 1/(1 - |С|2); г) |С|2|2(/у/"у(с) + 1| < 1.
Справедливо
Предложение 4. Функционалы О : (/, С, а) ^ Оа(/, £) и Ь : (/, С, ^) ^
Ь(/, С) являются жесткими по своим, параметрам с носителями |2а - 3| < 1 и |^| < 1/2 соответственно. В частности, неравенства А) и Б) не являются
Н
Доказательство. Согласно классической теореме Плеснера [23] найдутся точ-дВ В
ветствующая последовательность значений голоморфной функции (/"//')' + (1 -
- а)(/''//')2 имеет конечный предел. Осуществляя указанный предельный переход в неравенстве (1 -|С|2)2Оа(/, С) > 0 (С е В), получим, что |2а-3| < 1. Жесткость функционала Ь устанавливается аналогично. □
Функционалы, соответствующие В) и Г), определены на H \ {аС + b : а, b G C}, условие f G H0 следует из В) автоматически, а для Г) налагается дополнительно; при этом в обоих случаях С = 0 не может быть омбиликой. Выполнение условий В)
f
также для функций вида f (С )= a+bfs«), где fs(C) = (1/2)ln((1+C )/(1—С)) (f (D) -полоса), a, b G C |£| = 1: в В) равенство достигается па диаметре D, а в Г) - всюду в D. Если 0 G Mf , то строгая оценка В) может выполняться только при 0 < |С| < 1 : в точке С = 0 левая часть В) равна |{f, Z}|/|(f''(С)/f '(С))/С||^_0 = 1-
f (0) = 0
неравенству |С2м '(С)/u2(С) | < 1> С G D, эквивалентному Г) с учетом
f "(С)/f '(Z)=2u(Z)/(1 - Zu(Z)). (9)
Оценка Г) оказывается строгой; частные случаи м'/м2 = —1, м'/м2 = 1 и м'/м2 = 0 включают соответственно примеры f (С ) = eTZ G F (г G R \{0}) с kf = 1,
f(С) = În(1/(1 — С)) f(С) = 1/(1 — С) G B, (10)
где B = {f G H : вирС g D^f (С) < то} _ класс Блоха. В двух последних случаях kf =0. Таким образом, строгость Г) сама по себе еще не обеспечивает наличия
D
f (0) = 0
точки 0 G Mf : условие |{f,0}| > 2 - это Г) при С = 0. Параболический случай |{f,0}| = 2 исчерпывается некоторым явно выписываемым семейством вне F, содержащим fs. Пример фун кции f G F с 0 G Mf и строгой оценкой Г) получается из (9) при 1/м(С) = 1/(аС) + Ф(С), ОДе a > 2, ф'(С) = (1 — 1/а2)(1 — С2/а)-1 и ф(0) = 0. Здесь
f ' '(О/f ' (С)=2аС/(^(С ) + ^(С ))
<Ж) = 1 — С 2/а, ф(С) = (1 — 1/а2)^У t2(1 — t2/a)-1 dt.
o
Легко проверить, что |^|^d > 1 — 1/® > (1 + 1/а)/3 > |^|^D ПРИ а > 2, отсутствие полюсов f"/f в D устанавливается теперь на основе теоремы Руше.
Как резюме получается такое уточнение следствия теоремы 5 из [9].
Предложение 5. При f G F строгая оценка, В) дает 0 G Mf и kf = 1;
строгая оценка Г) - kf = 3, если 0 G Mf, kf = 1, если 0 G Mf.
0 / Mf
зоваться предложением 3. Пусть теперь для f G F справедлива строгая оценка Г) и 0 G Mf. Как отмечалось выше, в этом случае |{f, 0}| > 2, то есть Kf (0) <
< 0. В силу предложения 1 Yf(0) = — 1. Имеем m- = 1 и mf = 0, так как при
а Mf \ {0}
есть Kf (a) > 0, значит, Yf (a) = +1. Предложение 2 дает m+ = m- + 1 = 2 и kf = m jr + m.J = 3. □
Замечание 2. Замена (9) позволила С.Р. Насырову упростить обоснование (5) в классе S0 нормированных выпуклых функций в D (см. [11, 24]), а Ф.Г. Авхадие-ву, обнаружившему данное свойство S0 [25], - полностью описать класс функций с условием (2) [8].
2. Обобщение теоремы Пуанкаре — Хопфа
В монографии [26. с. 117] приводен следующий вариант теоремы Пуанкаре Хопфа для единичного круга:
Лемма 1. Пусть векторное поле, непрерывное вВ и непрерывно дифференци-В В дВ
M с В Тогда если якобиан поля положителен на M, то M одноточечно.
Для исследуемого в настоящей статье векторного поля У1п с / е Н0 лемму
1 можно усилить, снимая граничные условия. А именно справедливо такое обобщение Предложения 3:
Теорема 1. Если / е Н0, Mf непусто и Yf (Mf) = +1, то kf = 1.
Нам понадобится следующий результат [13] о бифуркациях элементов множеств Mr := Mfr для семейства /г (£) = /(г£) «линий уровня» функции / е Н0, в котором каждая /г определена при |£| < 1/г, г е (0, +то). Обозначим Ж = Rf =
= 11г е (0, +то) Мг х {г}, ^ 7г = 7^ и £(С) = С/',(С)// '(0, £г(С) = £(гС)-
Лемма 2. Пусть / е Н0 и а - изолированный элемент, Mp, 0 < р < 1, имеющий кратность k в качестве нуля функции ^Р(С) - 5Р(а).
1) Если а = 0 либо а = 0 и ^(а) = 0, то слоение Ж вблизи точки (а, р) состоит из k ^ = 2 при а = 0) аналитических кривых, пересекающихся в этой точке. Кроме того, индекс 7 : (а, г) ^ 7г(а) не исчезает на Ж \ {(а,р)} вблизи (а, р), о величина К = #{Mr р|(достаточно малая окрестность а)} равно k для
г = р р р
2) Соотношение ^ (а) = 0 устойчиво относительно «возмущений» /г функции /р при г, близких к р: ^(аг) = 0, где аг - (единственный) элемент Mr такой, что ар = а (аг = 0 при а = 0). Если а = 0, то с возрастанием г вблизи р модуль |аг| возрастает при Kp(аp) > 0 либо убывает при ^(ар) < 0.
3) Пусть ^(а) = 0. При k = 1 (кроме «устойчивой» ситуации ^ = 1 для г, близких к р, при |7Р(а)| = 1) возможны «рождение» или «аннигиляция» одного максимума и одного седла в (а, р) при 7Р(а) = 0. ^сли а = 0, то 0 е Mf для всех г е (0, +то) с 7Г (0) = sgn (р - г), г = р, и ^ = 2 + 7Р(а)sgn (г - р) для г = р
р
«Рождение» стилизуется далее значком и, символ Ф используется, когда мак-г < р г > р
9Ц/) = е I Мг х {/’}, где / С (0,1], и функционал г = гf = эир € (0,1] : г € е (0, С] =^ kfr = 1} первого выхода из множества Н = {Л е Н0 : ^ = 1} по «линиям уровня» функции /. Величина г отделена от нуля радиусом выпуклости функции /, поэтому г > 0.
Пусть Д = {г е (0,1) : 0 е ^(Mr)}. С помощью леммы 2 легко показать, что множество Д не более чем счетно и может иметь не более одной предельной точки (г = 1). Далее, 9^(0, г) простая Сш-кривая, допускающая параметризацию (а(г), г), г € (0,г), в которой С = а,(г) непрерывная функция с Итг д_|_о(/’) = = 0, 7г (&(?’)) = +1 и (кусочно при (0,г)р|Д ф 0) вещественно аналитическими модулем и аргументом. При этом а(г) = 0 либо |а(г)| возрастает по параметру г.
Если г < 1, то Му состоит из точки а(г) = Игсц. ^_о('г) с 7г(а(г)) = +1 и не более чем конечного числа точек нулевого индекса. Последние, если существуют, дают бифуркации типа и. Точка а(г) может порождать бифуркацию только типа Ф (необходимо, если Му = {о(г)}). В случае /"(0) = 0 дополнительно определим для р > г множество Ж! = <Я[г, р] \ ({0} х [г, р\) и величину рр = Ш |о|.
(а,г)£ЭТр
Лемма 3. Пусть / G Но, О G М/, 7/(0) = +1 и ¥ < 1. Тогда функция ju : /? I—s- рр непрерывна справа и убывает на [г, 1]. Если ар элемент Мр с \ар\ = рр, ¥ < р < I, то 7Р(ар) = —1 при р £ R и jp{ap) ф +1 при р £ R.
Доказательство. Непустоту У{'р, р £ [г, 1]. достаточно проворить при р = ¥. Согласно лемме 2 (а = 0) из условий 7/(0) = +1 и г < 1 следует, что в Му х {г} есть точки типа U, то есть Му \ {0} ф 0. Значит, р определена корректно и 0 < рр < 1, р £ [г, 1]. Равенство рр = 0 означало бы, что д\'р имеет продольную точку на {0} х [г, 1]. По лемме 2 ею могла бы быть только (0,1). что невозможно ввиду 7/(0) = +1. Далее, возьмем (an,rn) £ R с |an| ^ рр. Сходимость подпоследовательностей ап> —*■ ар, гп> —*■ гр(£ [г,р]) дает \ар\ = рр £ (0,1), откуда ар £ D\{0}. Наконец, включение (ap, rp) £ 9t[r, р] следует из непрерывности отображения Гахова, а поскольку ap = 0, будем иметь (ap, гр) £ то есть ap £ МГр \ {0}
с Гр < р.
Покажем, что ар элемент Мр \ {0}, р £ [г, 1]. Предположим, что гр < р. Тогда по лемме 2 имеется одна из двух следующих возможностей для некоторой окрестности U х V С Вх[г, р) точки (ap,rp): 1 £ jr(Mrf)U) при всех г < гр из ^ ши —1 £ Yr (Mr р| U) при вс ex г > гр из V. В каждом из этих случаев найдется ветвь C“-кривой из R гада (a(r),r) с a(rp) = ap, где г пробегает соответствующую полуокрестность V р|{г ^ г^}. Так гак (при г = гр) производная d|a(r)|/dr имеет знак величины sgnKr(a(r)) = Yr(a(r)) = sgn (гр — г) (см. лемму 2, п. 2, и предложение 1), то в указанной полуокрестности должно выполняться неравенство |a(r)| < рр, противоречащее определению рр. Таким образ ом, гр = р и ар £ Мр \ {0}. Кроме того, \ар\ = min{|o| : а £ Мр \ {0}}, р £ [г, 1], по определению величины рр.
Из приведенных рассуждений следует YP(ap) = +1, а также монотонность функции р.Действительно, предположение yp (ap) = +1 в силу леммы 2 открывает первую из указанных выше возможностей (1 £ Yr (Mr р| U) при вс ex г < rp = р из V). При р £ R полученное неравенство уточняется до YP(ap) = —1, так как в этом случае 0 £ yp(Mp). Теперь докажем импликацию г < р ^ рг > рр. Выше было установлено, что если a £ Mr \ {0}, г < р и |a| = р^, то г = р. Это означает, что из a £ Mr \ {0} с г < р следует |a| > рр, откуда и получается, что pr = |ar | > рр. № убывайия р следует ее непрерывность справа в точках [г, 1) р| R. При этом используются лемма 2 и непрерывность р вне R как нижней огибающей конечного числа C“-функций на каждом из интервалов, составляющих [r,l)\R. ' □
Доказательство теоремы 1. В силу предложения 1 можно считать, что 0 £ Mf. Предположим, что kf > 1. Тогда если ¥ = 1, то элементы множества М/ \ {0} порождают бифуркации типа U, то есть y/(М/ \ {0}) = 0. Если же г < 1, то согласно лемме 3 ближайший к нулю элемент из М/ \ {0} будет иметь индекс, отличный от — 1. В обоих случаях получается противоречие, которое и доказывает теорему.
Лемма 2 позволяет также установить звоздообразность класса НП{/ £ Н : / "(0) = 0} по «линиям уровня». Именно, справедливо
Следствие 1. Если / £ Н0 с М/ = {0} и y/(0) = +1, то / = 1, г £ (0,1).
Доказательство. Предположим, что существует г £ (0,1) такое, что / > 1. Тогда ¥< г < 1, следовательно, по лемме 3 для любого р £ [г, 1] множество Мр \ {0} непусто, что заведомо не выполняется при р = 1. □
Существенность условия / ''(0) = 0 в следствии 1 демонстрирует следующий пример.
Пример 1. Рассмотрим «линии уровня» функции /( е Н0) с / "(С)// '(С) = = (1/2)/(1 - С)2. Несложный, то рутинный анализ показывает, что слоение Rf над (0,1] состоит из единственной Сш-кривой {р,г(р)), р (Е (0,1]. Функция г = г(р), кроме концевых экстремумов 0 и 1, имеет два внутренних: максимум гт = \/3/2 в точке р = 1/\/3 и минимум г = (2/3) \/5/3 при р = у^З/Б. Возьмем произвольное
г0 е (гт:
1). Тогда к^о = 1, но к^гд > 2 при г/г0 < t < гт/г0.
Теорема 1 полностью подтверждает строгий вариант гипотезы М.И. Киндера:
Следствие 2. Пусть J : Н0х В ^ М - функционал со свойством (6), и пусть функция / е Н0 удовлетворяет неравенству (8). Тогда kf < 1.
Доказательство. Если Mf = 0, то неравенство (8) и свойство (6) с учетом (7) и предложения 1 обеспечивают дискретность Mf [27, с. 209] и выполнение условия rЧf(Mf) = +1. По теореме 1 отсюда следует = 1. □
Следствие 3. Пусть J : Н0х В ^ М - функционал со свойствами:
1) / е ^1/2 (/г, а) > 0, а е Mfr, г е (г0,1) с некоторым г0 = г0(/) е [0,1);
2) / е 3 ^ / о ф е 3 для каждого автоморфизма ф круг а В.
Тогда для любой функции / е 3 имеет место альтернантва: либо kf < 1, либо Mf содержит, континуум.
Доказательство. Пусть Mf непуст о (kf > 1) и дискретно (иначе, согласно [20] Mf содержит континуум). Покажем, что kf = 1.
Сразу отметим, что в силу предложения 1 и теоремы 1 свойство 1) можно продолжить до / е 3 ^ kfr = 1, г е (г0(/), 1).
Фиксируем произвольное а е Mf. Если Kf (а) > 0, то Yf (а) = +1. Пусть теперь Kf (а) = 0. Рассмотрим функцию / = / о ф (е 3 в силу условия 2) настоящего следствия), где ф - автоморфизм В с ф(0) = а. Имеем 0 е MJ и ^^0) = 0
по предложению 1, а также kJ = 1, г е (г0(/), 1), согласно отмеченному выше. По лемме 2 отсюда следует, что С = 0 - точка бифуркации типа Ф (при г = 1) в слоении Ж, а значит (вновь то предложению 1), Yf (а) = 7^(0) = +1.
Итак, 7/(М/) = +1, откуда по теореме 1 = 1. □
Замечание 3. Установленный результат сохраняется при замене импликаций 1) и 2) условиями 1') J(/, а) > 0 (> 0) ^ 11/2(/, а) > 0 (> 0) , а е Mf, / е Н0: 1") J(/r^) >0, г е (г0,1), / е 3, и 2') ^/,а) = 0 ^ д'(а) =0, а е M/, / е 3 (д = С/ ''// ')• Можно показать, что функционалы и Ну удовлетворяют г0 = 0
пому условию J(/г, С) > г2J(/, гС), г е (0,1), С е В (эквивалентному неравенству Альфорса [17] в случае J = С' = Следствие 3 и его получающийся таким
образом аналог обобщают конструкции условий единственности вида (4) из [13] и [28] для функционалов J = /'/2 и J = 2/(1 - |С|2) - К/"//')'(С)| соответственно и выделяют ситуации, в которых гипотеза М.И. Киндера подтверждается с видоизменением условия (6). Очевидно, справедливость гипотезы в любом случае связана с исключением элементов а е Mf нулевого индекса.
3. Линейная выпуклость областей Хартогса и неравенство Эпштейна
Рассмотрим класс N (в) (в е М) нормированных голоморфных функций /, удовлетворяющих условию /д (/, С) > 0, Се В, или, подробнее,
|{/,С} + (/?- 1/2)((/7//)(С) -2С/(1 - 1С12))2! < 2/(1 - |С12)2, Сев. (И)
Пусть Б - гиперболическая риманова поверхность, / : В ^ Б - ее голоморфная параметризация единичным кругом. Область Хартогса над Б определяется как Н = {(г, ад) е Б х С : |ад| < П(г)}, где функция И е С2(Б) положительна и удовлетворяет неравенству (1пГ2)г;~ < 0 в В (то есть Н строго псевдовыиукла). В качестве определяющей функции для Н будем использовать г(г, ад) = 1п |ад| -
- 1п П(г). Одна из версий определения линейной выпуклости, восходящих к класси-
Н
ции г, Иеввг(г, ад)(А, ^) > 0 для любой точки (г, ад) е г-1(0)р|(Б х С) и любого
С
вектора (А, ^) го комплексной касательной плоскости ш^(дН).
Имеют место соотношения (1/2) Невв?’^, ад)(А, р) = — (1п П)г^ |А|2 — Ее {/12/2ад2 + + (1пП)22А2} и ТСш)(дН) = {(А, ^) е С2 : ^/ад = 2(1пП)2А} (см., например, [30]). Таким образом, согласно указанной версии И.е {[(1пП)22 + 2(1пП)2]А2} <
— (1п П)г^|А|2 , С € В, А € С, или эквивалентно
|(1пГ2)-~ + 2(1пП)2| < — (1пГ2)-з-, С € В. (12)
Замена П = л/Н/е1* (Н = Н(г) конформный радиус) с последующим переходом к единичному кругу, г = /(£), <г(£) := в(/(С)), преобразует оценку (12) в неравенство Эпштейна [17]
ксс-^-{/,С}/2-(2С/(1-|С12)К| <^с + 1/(1-1С12)2, сев. (13)
Известно [17, 31], что если |ст^| < |С|/(1 - |С|2)) г0 < |£| < 1, для некоторого г0 (0, 1) / В
Н
Б (в смысле подходящей версии определения), то любое голоморфное накрытие римановой поверхности (римановой области над С” в случае п > 2) Б однолистно.
Вернемся к условию (12) в частном случае И = Дв; при переходе к В имеем в точности неравенство (11).
Теорема 2. Если в е [0,1], то N (в) - линейно-инвариантное семейство порядка огё N (в) < (1 - в)-1/2> содержащее класс 50 выпуклых функций. Классы N (в) пусты при в е [0,1] •
Доказательство. Линейная инвариантность классов N (в) проверяется непосредственно. Действия
Л0С/(г) = (/(фс(г)) - /(фс(0)))/(ф£(0)/ '(фс(0))) = г + ^ А„(/, С)гп
п=2
на функции / € N{¡3) мебиусовыми автоморфизмами ф$(г) = ^ + С)/(1 + (¿) (см. [32]) позволяют переписать (11) в терминах коэффициентов Ао(/, С), Аз(/,() с учетом соотношений А3(/,С) С) = (1/6)(1 - |С|2)2{/, С} и А2(/, С) = ~С +
+ ((1 - |С|2)/2)(/ ''//')(С):
|3Лз(/,С )+2(в - 2)А2(/,С )|< 1, Се В. (14)
Далее, при переходе от / € N{¡3) к функции (С) = Ё/(ьгС)/'г, г € (0,1), |е| = 1, последнее неравенство усложняется до
|3^4з(/г 1 С) — 3^2(/^, С) + (2/3 — 1)[^2(/г, С) + С7г(С)]“| < г“(1 — |С|“7г(С))Л (15)
где 7Г(С) = (1 - г2) /(1 - г21С|2)-
Покажем, что порядок огё / = вир^ е в|А2(/, С )| любой фу нк ции / е N (в) конечен при любом в = 1 с непустым N (в) • Зафиксируем произв ольное в е М и предположим, что существует / е N (в), такое ч то а = огё / = +го. В этом случае, как и при конечном а [33], для растяжений /г(С) = /(гС)/г имеет место предельный переход аг := огё /г ^ ^ щ)п г ^ 1-. На основе легко проверяемого соотношения А2(Г,еС) = £Ао(/, С), ( е В, |е| = 1, где /е(С) = ё/(еС), позволяющего «овеществить» второй коэффициент, условие аг > 1, справедливое при г < 1, близких к 1, обеспечивает существование точек Сг е В и ег е д В таких, что А2(/:г, Ст) = аг(< +го). Тогда в силу теоремы 2.3а из [32] выполняется соотношение Аз(/Г:г, Сг) = (2а;: + 1)/3. Подстановка полученных выражений для коэффициентов в (15) с е = ег и С = Сг приводит к выполнению неравенства |1 - а2 + (2/3- 1)[аг + Сг7г(Сг)]2| < ?’2(1 - |Сг|27г(Сг))2 Для всех г < 1, близких к 1. Разделив обе его части на а;; и переходя к предел у при г ^ 1 —, с учетом ограниченности 7г (С) в В и сходимости аг ^ +то будем иметь в =1- Таким образом, для любого в = 1 из / е N (в) следует, что огё / < +го.
Теперь выясним, при каких в классы N (в) непусты. Предположим, что класс N (в), в = 1 > непуст, и покажем, что в это м случае в лежит в промеж утке [0,1). Отметим, что непустота N (в), в е [0,1], следует го включения Б0 С N^5 в е [0,1], устанавливаемого та основе известной оценки |А3 - А2| < (1 - |А2|2)/3 для коэффициентов А2 = А2(/, £) и А3 = А3(/, (^и / е Б0 ( [25]).
Итак, пусть в N (в) при в = 1 содержится функция / с огё / = а < +то. Принцип компактности для последовательности {/„ = ЛфСп/ : п е М} с |А2(/, £и)| ^ а, Си е ^^п п ^ то, и |А2(/п, С)| < а, Се В, и линейная инвариантность класса N (в) обеспечивают существование функции д(£) = С+а2С2+а3С3 + • • • е ^в) П такой, что а2 = а, гДе Аа — универсальное линейно-инвариантное семейство порядка а [32]. Тогда, вновь примени теорему 2.3а из [32], но к а2 = а = А2(д, 0) и а3 = А3(д, 0), и подставляя получающееся со отношение а3 = (2а2 + 1)/3 в (14) с д вместо / и с С = 0, получим неравенство |2(в - 1)а2 + 1| < 1, то есть 0 < (1 - в)а2 < 1 в < 1 в = 1
а > 1 в > 0
Кроме того, если / е ^в) П с в е [0,1), где &а = {Не Аа : огёН = а},
то а = огё / < (1 - в)-1/2 > т0 есть пересечения N (в) П пусты при в е [0,1) и а > (1 - в)-1/2 • Поскольку, как показано выше, в N (в) при в е [0,1) функций бесконечного порядка пет, то отсюда следует, что огё N (в) < (1 - в)-1/2) в е [0,1]. Теорема 2 доказана. □
Замечание 4. Соотношение N(0) = Б0, попутно обоснованное в приведенном доказательстве, получено другим методом в работе [34].
Следствие 4. Функционал / : (/, С, в) ^ (/, С) является жестким по па-
раметру в с носителем [0,1].
Частичное достижение равенства в оценке огё N (в) < (1- в)-1/2 иллюстрирует
Пример 2. Функция /,(С) = [((1 +0/(1 - С))9 - 1]/(2<?), д > 1, с ог(1/9 = q принадлежит классу N(¡3) при д < (1 — /З)-1/2 , если /3 € [0, 2/3], и при д < Л/Н((3), если в е [2/3,1], где Н(в) = в/(8в2 - 11в + 4). Указанные оценки неулучшаемы.
Теорема 3. -Если в е [0,1] и / е N([3), то kf < 1 либо /(В) - полоса.
Доказательство. Случай kf =0 содержателен: функции (10) принадлежат N (в) при люб ом в е [0,1]. Предполож им kf > 1 и рассмотрим следующие варианты (ср. с [13]).
1. М, дискрет,но в В
Подставляя С = га, а е М,г, в условие (11), получим |{/г, а} + 2(2в -
- 1)7г(о)2о2/(1 - |а|2)2| < 2г2/(1 - г2|о|2)2, откуда /1/2(/г,а) > 0 при г € (0,1), в [0, 1]
2. М, содержит свои предельные точки.
Как известно [20], любая предельная точка М, в В содержится в аналитической дуге {С = С(^)> 4 е Т С М} С М,. Таким образом, (1пН,)^| ^=^(4) = 0, 4 е Т, или
(/7Л(С(*)) = 2Ф)/(1 - 1Ф)|2Ь # € Т. откуда
{/,С(0}С'(0 = 2с'(0/(1 - 1С(012)2, (16)
|| к,(С) = (1 - |С|2)2|{/, С} + 2(2в - 1)(1пН,)2| достигает своего максимума, равного
2, в точках С = С(¿)> 4 е Т, которые удовлетворяют уравнению (1пк,)^ = 0:
{/, СМ/, С}|с=с(0 = 4ф)/(1 - |ф)|2), * е Т. (17)
Без ограничения общности считаем, что С(^о) = С(^о) = 0 для некоторого 1а £ Т, а ввиду аналитичности дуги имеем С ' (¿0) = 0.
Для интегрирования системы (16), (17) с приведенными начальными данными перейдем к комплекснфнкацням вещественно аналитических в Т функций £(#) и С(#), то есть голоморфным в полоске Т С Т С С функциям ы(т) и и(т) таким, что и|т = С и "У|т = С- Условия «(¿0) = «(¿0) = 0 и «'(¿0) = 0 позволяют перейти к
суперпозиции ад(«) := «(г(«)), голоморфной в некоторой окрестности точки и = 0 и удовлетворяющей условию ад(0) = 0. Комилексификация тождеств (16) и (17) в терминах ад = ад(«) приводит соответственно к соотношениям
{/, «} = 2ад '(«)/(1 - «ад(«))2 и {/, «}'/{/,«} = 4ад(«)/(1 - «ад(«)). (18)
Первое из них дает |ад ' (0)| = (1/2)| (1 - «ад(«))2{/, «}| |и=0 = 1 (в сил у к, (С (¿)) = 2),
это позволяет принять без ограничения общности ад '(0) = 1.
Из тождеств (18) следует, что ад "(«)/ад '(«) = 2(ад(«) - «ад '(«))/(1 - «ад(«)). Поэтому ад''(0) = 0 и {ад, «} = 0, откуда с учетом ад(0) = 0 и ад '(0) = 1 будем иметь ад (и) = и, что влечет за собой заключение /(В) полоса. Теорема 3 доказана. □
Несложной модификацией метода, обеспечившего первое доказательство импликации «(5)^ kf < 1 либо /(В) - полоса» [10, 11], устанавливается
Теорема 4. Пусть а > 0 и для / е Н0 выполнены уеловия / ''(0) = 0 и
Ке (в420{/, С}) < 2/(1 - г2)2 + 4(а - 1) [И.е в40(1п Н,(С))с]2 + 2|(1п Н,(С))с |2 (19)
при С = гв40 е В. Тогда если /(В) не является полосой, то
Ке в40 (/ ''//' )(С) < 2г/(1 - г2), Се В. (20)
Доказательство. Введем в рассмотрение функции д(4, 0) = /(г(4)в40) и «(¿, 0) = |д*(4, 0)|-а, где г = г(4) - обратная к 4 = /я(г) (в [10] зависимость от 0 те использовалась). Тогда при а > 0 условие (19) эквивалентно неравенству
а 1««/« = -Ие {д ¿} + (а - 1/2) (Ке (д**/д*)) + (1/2) (1ш (д*4/д*)) > 0, (21)
(¿,0) е [0, +то)хМ. Вместе с /''(0) = 0 оно обеспечивает неубывание функции « по £ для любого фиксированного 0. В терминах д это означает, что выполняется
Ке д**/д* < ° (X 0) е [0, +то) х М, (22)
- нестрогое неравенство (20). Равенство в (22) в некоторой точке (¿0,00), ¿0 = 0, благодаря (21) распространяется на отрезок [0, ¿0] х {00}, где, таким образом, « = = с(= |/'(0)|-а). Предположение о существовании I € (0, #о] с 1т(ди/дг)(1, 0о) Ф 0 в силу ид/и = (аг/( 1 — г2))1тда/дь приводит к неравенству и(1, 0) < с(= «(0,0)) 0 00
установленному выше условию неубывания « (по ¿). Таким образом, равенство в (22) при (¿,0) = (¿0, 00) влечет за собой тождество д**/д* = 0 па [0, ¿0] х {00},
откуда, по теореме единственности, /(В) полоса. □
Теорема 3 может быть получена на основе такого утверждения.
Следствие 5. Пусть в е (-то, 1], / е Н0, / ''(0) = 0 и Ке {в420{/, С} + (в - 1/2)(в40(/ ''// ')(С) - 2г/(1 - г2))2} < 2/(1 - г2)2 (23)
при С = гв40 е В Тогда выполняется утверждение теоремы 4.
Доказательство. При ¡3 < 1 оценка (23) влечет за собой (19) с о > 1 — /3. □
Обоснование теоремы 3 получается просто: условие / е N(в), в е [0,1], обеспечивает выполнение неравенства (23), оценка (20) — выполнение равенства kf = 1, / (0) = 0
N (в).
Отметим, что рассмотренный подход не «работает» для условия Са(/, С) > 0, Се В (|2а - 3| < 1), за исключением случая С3/2 = /1/2 . Пока можно утверждать лишь справедливость заключения kfr = 1, г е (0,1), при выполнении указанного неравенства, а также следствия 2 для 7 = .
4. Неравенство К7 (/, С) > 0, Се В
Лемма 4. Пусть вещественнозначная функция О е С2 (В) удовлетворяет
||
|«сс(0| < -%(С), сев. (24)
Тогда если О^ исчезает, в двух различных точках £0г С1 е В, то О^ =0 на прямолинейном отрезке, соединяющем (0 и С1 ■
Доказательство. Полагая Ф(р, 0) = О(С0+рв40), получим Фр-*Ф0/р = 2в40О^, Фрр — 1(Фд/р)р = 2[е*20П(;(; + П(.^]. Пусть С1 = Со+Р1е®01 • Тогда из условия равенства значений О^ в лотках С0 и С1 получаем, что Фр(р1, 01) = ФР(0, 01), откуда следует равенство пулю интеграла по отрезку Т = {С0+тв401 : т е [0, р1]} от неположительной функции + которая, таким образом, исчезает на нем. Поэтому,
в силу (24), имеем Нее®201^^ = |е*201 1 = — следовательно, и 1т е®201^^ =
= 0 на Т. Интегрируя итоговое тождество е*201^^- + П = 0 (при С е Т) по г от 0 до р £ [0, р1\, приходим к требуемому заключению = 0, С е Т. □
Справедлива
Теорема 5. Если функция / е Н удовлетворяет условию
1(1 - 1С|2)2(/7/,),(С) - 7С2| < 2, С е В, (25)
-2 < 7 < 2, то kf < 1. При |71 > 2 условия (25) и / е Н несовместны.
Доказательство. Жесткость функционала по параметру Y с носителем [-2, 2] устанавливается так же, как и в предложении 4.
Пусть П = ln f Тогда условие (25) при С = ( £ D) приобретает вид
^е*20^^- + (2 — 7)/э2/(1 — р2)21 < —2Г2 -^, откуда Ree®20^^ + Г2< 0 в В, если
Y < 2.
Предположим, что = 0 в лотках С0, С1 £ D (Со = Cl)- Как и в лемме 4, при С £ Т второе из двух последи их неравенств оказывается тождеством, подстановка которого в первое приводит к оценке | — 2П^ + 2г Im е*201 + (2 — ~f)p2/{ 1 — /э2)2 | <
< —20,^, С £ Т, заведомо не выполняющейся при 7 < 2. Таким образом, < 1, если y £ [-2, 2).
Пусть 7 = 2. Тогда (25) есть в точности (24), и согласно лемме 4 0,^ = О на Т. Это означает, что (/"//'КСМ) = 2С(т)/(1 - |СМ|2Ь где СМ = Со + те*01, т £ [0, р1], - параметрическое представление отрезка Т.
Аналитическое продолжение последнего тождества по т в круг С-1 (D), распространяющее отрезок Т критических точек функции hf до хорды S = = С (С -1(D)p| К), устанавливает явный вид предшварциана f''//С точностью до вращений в плоскости С можно считать, что Со = ih и S = {*/? + г : г G ( —л/1 - h2, л/1 - /г2)} (/г G (-1,1)), тогда (f"/f)(C) = Ж ~ ih)/(l - С(С -
— *h)). Громоздкий анадпз показывает, что для любой функции /(С) с указанным иредшварцианом (а значит, и для всех ее «вращений» е_1/(еС), |е| = 1) неравенство (25) теряет силу в точках D, близких к (\/1 — h2 + ih)(s) £ <9В. Таким образом, функции / с kf > 1, не входят в класс, определяемый условием (25), что и требовалось доказать. □
Часть результатов настоящей работы анонсировалась в [35, 36].
Summary
A.V. Kazantsev. Bifurcations and New Uniqueness Criteria for the Critical Points of Hyperbolic Derivatives.
The article describes bifurcation picture for the gradient zeros in the unit disk of the hyperbolic derivative of the liolomorphic function imbedded in the family of its “level lines”. The dependence of the motion of zeros 011 the curvature of the hyperbolic derivative allows us to extend the Poincare Hopf theorem to construct a new class of zero uniqueness criteria as the non-negativity of the curvat.ure-like functionals. This class contains one-parameter series of Epstein inequalities, which are the reformulations of the Belinke Pesclil condition for the special Hart.ogs domains. A new rigidity phenomenon occurs: the inequalities mentioned above are contensive only for certain segment of parameters.
Key words: hyperbolic derivative, conformal (inner mapping) radius, bifurcations of the critical points, linear invariance, Belinke Pesclil condition.
Литература
1. Голути Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
2. Полна Г., Се-гё Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978. Ч. 2. 432 с.
3. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebiet.sgrossen // Compositio Math. 1950. V. 8, F. 2. P. 81 111.
4. Garnett J., Nicolau A. Interpolating Blaschke products generate H“ // Pacific J. Math. 1996. V. 173, No 2. P. 501 510.
5. Yamashita S. The Scliwarzian derivative and local maxima of the Bloch derivative // Math. Japonica. 1992. V. 37, No 6. P. 1117 1128.
6. Аксе.нтьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом
области // Изв. вузов. Матем. 1984. Л'! 2. С. 3 11.
7. Kawohl В. Rearrangements and convexity of level sets in PDE // Lect. Notes Mat.li.
1985. V. 1150. 136 p.
8. Авхаднев Ф.Г. Копформпо-ипвариаптпые неравенства и их приложения: Препринт
НИИММ им. Н.Г. Чеботарева. Казань: Казан, фонд «Математика», 1995. 26 с.
9. Аксеитьев Л.А., Казанцев A.B., Kuudep М.И., Киселев A.B. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т. 1990. Вып. 24. С. 39 62.
10. Gehring F. W., Pummerenke Ch. On t.lie Neliari univalence criterion and quasicircles // Comment. Mat.li. Helv. 1984. V. 59. P. 226 242.
11. Аксеп'тьев Л.А., Казанцев A.B. Новое свойство класса Нехари и его применение //
Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. уп-т. 1990. Вып. 25. С. 33 51. (Краткое сообщение в Изв. вузов. Матем. 1989. Л'! 8. С. 69 72.)
12. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань: Казап. фонд
«Математика», 1996. 216 с.
13. Kazantsev A. V. On a problem of Polya and Szegö // Lobaclievskii J. Mat.li. 2001.
V. 9. P. 37 46. (URL: http://www.kcii.ru/tat. eii/scieiice/ljm/coiit.eiit.s.lit.ml).
14. Казанцев A.B. Бифуркации корней уравнения Гахова с левперовской левой частью // Изв. вузов. Матем. 1993. Л'! 6. С. 69 73.
15. Кнндер М.И. О числе решений уравнения Ф.Д. Гахова в случае мпогосвязпой области // Изв. вузов. Матем. 1984. Л'! 8. С. 69 72.
16. Кнндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае мпогосвязпых областей // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т. 1985. Вып. 22. С. 104 116.
17. Epstein C.L. The hyperbolic Gauss map and quasiconformal reflections // J. Reine Angew. Mat.li. 1986. Bd. 372. S. 96 135.
18. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization //
Complex Variables. 1996. V. 29. P. 193 201. (Краткое сообщите в Докл. РАН.
1996. Т. 349, Л» 5. С. 583 585.)
19. Казанцев A.B., Кнндер М.И. Условия единственности решения внешней обратной краевой задачи // Программа итог. науч. копф. КГУ за 1985 г. Казань: Казап уп-т. 1985. С. 21.
20. Ruscheweyh St., Wirths K.-J. On extreme Bloch functions with prescribed critical
points /,/ Math. Z. 1982. Bd. 180. S. 91 106.
21. Киселев A.B., Насыров С.P. О структуре множества корней уравнения Ф.Д. Гахова для одпосвязпой и мпогосвязпой областей // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казап. гос. уп-т. 1990. Вып. 24. С. 105 115.
22. Мнлнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир.
1972. 279 с.
23. Plessner A.I. Uber das Verhalten analytischer Funktionen am Rande ihres Definit.ionsbe-reiclis // J. Reine Angew. Math. 1927. Bd. 158 . S. 219 227.
24. Насыров C.P., Хохлов Ю.Е. Единственность решения внешней обратной краевой
задачи в классе спиралеобразных областей // Изв. вузов. Матем. 1984. Л'! 8.
С. 24 27.
25. Авхадиев Ф.Г. Об условиях однолистности аналитических функций // Изв. вузов.
Матем. 1970. № 11. С. 3 13.
26. Pommerenke Gh. Boundary beliavior of coiiformal maps. Berlin-Heidelberg: SpringerVerlag, 1992. 1X^300 p.
27. Вакелъмаи И.Я., Вернер A.JI., Kaumop Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973. 440 с.
28. Казанцев A.B. Гиперболические производные с предшварциапами из пространства Влоха // Труды Матем. центра им. H.H. Лобачевского. Казань: Казан, матем. о-во, 2002. Т. 14. С. 135 144.
29. Behnke H., Peschl E. Zur t.lieorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Konvexität in bezug auf analytische Ebenen im kleinen und grossen // Math. Ann. 1935. Bd. 111, H. 2. S. 158 177.
30. Шабат B.B. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985. Ч. 2. 464- с.
31. Chuaqui М. А unified approacli t.o univalence crit.eria in t.he unit. disc // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123, No 2. P. 441 453.
32. Pommerenke Gh. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen // Math. A1111. 1964. - Bd. 155, H. 2. S. 108 154.
33. Campbell D.M. Locally univalent functions wit.li locally univalent, derivatives // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162. P. 395 409.
34. Аксен'тьев JI.A. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса
для плоской области // Изв. вузов. Матем. 2002. ,V> 4. С. 3 12.
35. Казанцев A.B. Линейная выпуклость областей Хартогса в C2 и новые классы плоских дисков с единственным экстремумом гиперболической производной // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казан, матем. о-во, 2003. Т. 19.
С. 113.
36. Казанцев A.B. К гипотезе М.И. Киндера // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казап. матем. о-во, 2004. Т. 23. С. 97.
Поступила в редакцию 23.11.10
Казанцев Андрей Витальевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры математической статистики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаіІ: кагапйгеуОЗбЗвгатЫег. ги
