Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 13, 2006

УДК 517.54

Е. Г. ГАНЕНКОВА

ТЕОРЕМА РЕГУЛЯРНОСТИ УБЫВАНИЯ В ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ФУНКЦИЙ

В статье доказываются теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций и некоторые прилегающие к ней результаты.

Понятие линейно-инвариантных семейств дано Х. Поммеренке в 1964 году.

Пусть Д = {г : \г\ < 1} — единичный круг. Обозначим через £ множество всех конформных автоморфизмов единичного круга Д:

, , -а г + а

<£>(г) = е ---—, а € Д, в € И.

1 + аг

Определение 1. ([1]) Множество Ш аналитических в круге Д функций /(г) = 2 +5^ ап(/)гп называется линейно-инвариантным

п= 2

семейством (л.-и.с.), если для любой / € Ш выполнены 2 условия:

1) /'(г) = 0 для каждого г € Д (локальная однолистность);

2) для любого <р € £

/(у(^)) - /(у(°)) //(^(0))^/(0)

Л^[/(г)] = / -/^>> = г + ... Є М.

Многие свойства л.-и.с. зависят от порядка этого семейства. Определение 2. ([1]) Порядком л.-и.с. Ш называется число

огёШ = яир \ а2(/)\.

I е м

© Е. Г. Ганенкова, 2006

Определение 3. ([1]) Пусть /(г) = г + ... локально однолистна и аналитична в Д; порядком функции /(г) называется число

огё / = огё Ш [/],

где Ш [/] = {Л^[/(г)] : ^ € £} — л.-и.с., порожденное функцией /.

Определение 4. ([1]) Универсальным л.-и.с. порядка а называется объединение всех л.-и.с. Ш, для которых огё Ш < а, оно обозначается

иа.

В [1] доказано, что 1Ла = 0 при а < 1 и 1Л\ совпадает с классом выпуклых функций, то есть с классом аналитических функций, однолистно отображающих Д на выпуклую область.

Интерес к л.-и.с. вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются л.-и.с. Таким образом, появляется возможность с общих позиций изучать свойства многих классов локально однолистных в Д функций.

Самым известным примером л.-и.с. является класс Б однолистных в Д функций (огёБ = 2). В этом классе известна теорема регулярности роста функций и их производных.

Для непрерывной в Д функции ф обозначим

М(г, 0) т(г, 0) :

тах I 0(г) И=г'

тіп | 0(г)

Теорема Л (регулярности роста в Б) [2; 3, с.121-123; 4, с.104-105; с.120-121]. Пусть / € Б. Тогда

1) существует

Ііт

Т—> 1 —

М (г, /)

(1 — г)2

Ііт

Т1

М (г,//)(1-Г^ 1 + г

£ Є [0, 1],

при этом 5 =1 только для функции Кебе /в(г) = г(1 — ге—в)-2, где в € К — фиксированное число; при 5 =1 величины, стоящие под знаком предельного перехода, строго убывают с возрастанием г,

0 < г < 1;

2) если 5 = 0, то существует € [0, 2п) такое, что

Ііт

Т1

|/(ге

(1 — г)2

г і =т

Иш

г-> 1-

I/'(г

,(1 — г)3

1 + г

V = ^

V = V0;

величины, стоящие здесь под знаком предела, также убывают по г € (0, 1).

Кемпбеллом была высказана гипотеза о справедливости теорем регулярности в произвольных л.-и.с. конечного порядка (см. обзор [6]). Гипотеза оказалась верной. Теорема, подтверждающая эту гипотезу, была доказана в 1984 г. Фрагмент этой теоремы приводится ниже (теорема В.)

Теорема В (регулярности роста в иа) [6-9]. Пусть / €ТЛа. Тогда

(1 — г)“+1

1) при каждом V € [0;2п) величины |/'(ге

«V)

М(г, /')

(1 — г)

а+1

(1

г ) а— 1

—1 убывают по г на (0,1);

(1 + г)а—1

2) существуют постоянные 50 € [0,1] и V0 € [0; 2п) такие, что

Иш

Г—> 1 —

М(г, /)2а

1г

Иш

Г—> 1 —

I/'(ге;

1 + г (1 — г)а+1

Иш

Г—> 1 —

(1 _ г)а+1 М (г,/')( )

(1

г ) а — 1

(1

г ) а — 1

Иш

г—► —1

I/(ге‘* )|2а

3) 50 = 1

/ (г) = кв(г) = —

1 + ге 1 ге

-«в

-«в

1

1 — г

1 + г

, в € К фик-

сированно.

В связи с теоремой В естественно поставить вопрос о регулярности убывания функций |/'(гегу)| и т(г, /') при г ^ 1 — . Следующая теорема говорит о том, что в этом случае ситуация, в некотором смысле, симметрична описанной выше.

Все полученные ниже теоремы являются аналогами результатов, приведенных в [8-10].

Для доказательства следующей теоремы нам потребуется формула из [1] для вычисления порядка л.-и.с. Ш и порядка функции:

огё Ш

яир яир

/е М хеД

—-г +

1 — |г|2 /''(г)

/ '(г)

(1)

оМ / = яир

хеД

1 — Iг|2 /''(г)

/'(г)

(2)

а

0

5

а

а

Также будет нужна оценка для модуля производной функции / € и (см. [1]):

(1 — г)а—1 ^ (1 + г)а—1

(1 + г)

а+1

< №1 <

(1 — г)

г = |г|.

(3)

Теорема 1 (регулярности убывания в иа). Пусть / Є 1Ла. Тогда 1) существуют постоянные Є [1, те] и <£>о Є К такие, что

Ііт

Т —— 1 —

г(г, //)

/Л1 + г)

а+1

(1 — г)

а1

Ііт

Т1

|//(ге'

.гро '

I (1 + г)

а+1

(1 — г)

1

Выражения, стоящие под знаком предела, не убывают по г € (0; 1) для любого vo € К;

Ав

2) £о = 1 /(г) = кв(г) = ——

2а

-ів

1 — ге

1 + ге—ів

1

,0 Є К фик-

сированно.

Доказательство. 1) Докажем, что для любой функции / €ТЛа при каждом V € [0, 2п) величины

I/ /(г

(1 + г)

а+1

(1 — г)

1

(1 + г)а+1

т(г, //)

(1 — г)а

1

не убывают по г на [0,1).

Действительно, неубывание функции |//(геір

(1 + г)а+1

I (1 + г)

а+1

равно-

сильно неубыванию Іп

(1 — г)а—1

тановить, что не убывает функция

I//(ге;

гр)

(1 — г)а—1

. То есть необходимо ус-

у>(г) = И.е {Іп /^ге^)} + (а +1) Іп(1 + г) — (а — 1) 1п(1 — г).

Докажем, что —— ф(г) > 0, то есть аг

й Г ///(г) ,-р! а +1 а — 1

а^(г) = Ее{/^ } + ^ + у—->0.

а

Здесь г = гегу. Домножая на г последнее неравенство, получим

^ . / (*) 1 а +1 а — 1

И.е ^ .., ' * ^ + г--+ г- > 0.

1г

/ 4*0 'Л 1 + г

Осталось доказать неравенство:

> -

2г(а — г)

1 — г2

Поскольку / Є иа, то по равенству (2):

—*■ +

1 — |*|2 /"(*)

//(*)

а.

Домножая это неравенство на |г| и учитывая, что

Ие % —* +

1 —1*|2 /// (*) 2 //(*)

<

—-г +

1 — |*|2 ///(*)

//(*)

получаем:

или

—аг < Ие <{ —|*|2 + 1—/■/((**)) ^ < аг

—аг < —|*|2 + И.е

1 — |*|2 /"(*) 2 //(*)

* > < аг.

Таким образом, имеем:

—аг + г < И,е

1 —1*|2 /"(*)

2 //(*) *

2г(а — г)

1 г2

(4)

Получили требуемое неравенство (4).

■ (1 + г)а+1

Следовательно, |/'(гегу)|------- _. не убывает для любого V € К.

(1 — г) (1 + г)а+1

Теперь перейдем к рассмотрению величины т(г, /')----------------- ----т.

(1 — г) а-1

Пусть т(г, /') = |/'(гегу(г))|, то есть минимум достигается для какого-то v(г). Для любых г, г1, 0 < г < г1 < 1, имеем

»(г, //)

(1 + г)

а+1

(1 — г)

(1 + г)а (1 — г)а

1<

< |//(ге;

ір(ті)'

(1 + г)

(1 — г)

а+1 а—1 <

< |//(г1е'

ір(т1))| (1 + г1) + = т(г1,//)_(1+ г1) +

(1 — г1)а—1

(1 — г1)а—1

То есть выражение т(г, //)

л(1 + г)а+1

1 не убывает по г для всякой

’ (1 — г)а—1 функции / € 1Ла.

Неравенство (3) выполняется для любых г = гегр из Д. Поэтому

(1 — г)

1

(1 + г)а+1

< т(г, //).

Следовательно,

(1 + г)а+1 m(г,//)(1 + г)с - > 1.

)а—1

Из вышеизложенного вытекает существование предела:

(1+ г )а+1 ■

Ііт

Т—> 1 —

|//(ге'

■гр)

(1 — г)

а—1

^о Є [1, те].

Докажем, что существует vo € К, для которого выполняется второе равенство теоремы. Как и ранее определим вещественную функцию v(r),r € [0, 1), условием т(г,/') = |/'(гегр(г))|; можно считать, что значения v(г) лежат в [0, 2п). Выбираем такую возрастающую последовательность гп € (0,1), гп ^ 1—, что v(гn) ^ Vo. Поскольку (1 + г)а+11

возрастает по г € (0,1) при каждом

величина

|//(ге;

*р)

^ Є К, то получим:

(1 — г)

1

(1 + г)а+1

т(г, //)(1+ )_ 1 <|//(геірп)

(1 + г)

а+1

(1 — г)а

(1 — г)

1<

< |//(г„еі(

(1 + г„)а+1 (1 — гп)

1

т(гп, / )

/Л1 + гп)

а+1

(1 — гп)'

Устремляя здесь п к бесконечности, в пределе получим:

(1+ г )а+1

(1 + г)а+1

т(г, //)((1 + г)а—1 <|//(геіро)

(1 — г)

1<

Переходя в этом неравенстве к пределу при г ^ 1 — , получим:

Ііт

Т—1 —

|//(г

(1 — г)

а+1

(1 + г)

1

2) Пусть 5о = 1 для /о Є Ма. Преобразованием поворота

еір/(*е ір) добьемся того, что ^о = 0. Так как |/(г) убывает по г, то

(1 + г)

а+1

(1 — г)

а— 1

не

|/(г;

(1 + г)

а+1

(1 — г)

-Г = 1, г Є (0, 1).

(5)

Тождеству (5) удовлетворяет функция ко(*).

Предположим, что этому тождеству удовлетворяет также какая-то другая функция /1 Є Ма. Тогда /1 (*) = к^(*)ег^(х), где "(*) — регулярная в Д функция, вещественная на [0,1).

огё /1 = яир

2ЄД

—-г +

1 — |*|2 №)

/1 (*)

>

>

—* +

1 — и2 ^ад

к/ (г)

+ *0/(*)

—г +

1 — г2 (2(—а + г) 1 — г2

+ *0/(г)

1 а2 + ( ——— "^(г) ) > а.

Но огё /1 < а. Следовательно, должно быть 0(г) = 0. По теореме единственности 0(г) = 0 в Д, и /1 = ко. □

Определение 5. Число vo из п.1) теоремы 1 назовем направлением максимального убывания (н.м.у) функции / € иа..

Определение 6. Направлением интенсивного убывания (н.и.у.) функции / назовем каждое в € [0, 2п), для которого

■о (1 + г)(а+1)

Ііт |//(геів)| (1 + )( 1)

Т— 1— ^ л (1 — г)(а—1)

Є [1; те).

Семейство иа можно разбить на непересекающиеся подклассы иа(^о), ^о € [1; те]. Функциям из Ма(^о) соответствует одно и то же 5о — число из теоремы 1.

г=т

Поскольку объектом изучения данной работы являются л.-и.с., интересно иметь информацию о н.и.у. функции

/(г, а)

а € Д (см. определение 1). Справедлива следущая

Ч Ш—/ <“>

//(а)(1 — И2) ,

Теорема 2. Пусть / € Ма, а € Д. Для фиксированного вещественного <р обозначим

Д(г)

ге®р + а

1 + аге®^

/ \ ге®р + а

7(г) = агё , , _ , ге ^ = —а.

1 + аге®р

1) Чтобы <р было н.и.у. для /(г, а), необходимо и достаточно, чтобы

1 - ае^

(6)

где 7 — н.и.у. функции /(г).

То есть при конформном автоморфизме круга Д каждое н.и.у. функции /(г) переходит в н.и.у. функции /(г, а) (и наоборот) и эти числа связаны равенством (6).

2)

(1+ г)“+1'

Ііт

Т1

Ііт

Т—1 —

|//(ге®^

|//(Д(г)е®7(т)

(1 — г)а—1

(1 + Д(г))а+1 '(1 — Д(г ))а—1 _

где в®7 = . .

1 + ав®^

Доказательство. 1) Докажем необходимость. Фиксируем —н.и.у. для /(г, а).

Для / = /(г) справедлива формула (|/1/ = вательно,

1 - |а|2

Следо-

Д/(г) = Д(г) И.е

(1 + аге®^)2 ге®р + а 1 + аге®^

1

е

а

е

е

Т

-.шЛ в'^-н2)

1- Ц1 + ав' V )(в' V + а)

1 - |а|2 г, Г в®р(1 + ав—^) Ше

|1 + ав' V |2

Поскольку

в' ч> + а

/'

1 - н:

|1 + ав' V |

2

^ ^ ч1 +аг

/ (г,а) = Р( \(Л , - ч / (а)(1 + аг)

Иш

1 - г 1 11 + ав'|2

.. ---------- = ПШ ------------- = --------------—

1- 1 - Д(г) т—1— Д'(г) 1 - |а|2 ,

то существует

Иш

Т —— 1 —

|/ ,(Д(г)в'7(г^1 (1 + Д(г))“+1

= ^, •/,(а)| • |1 + ав^ |

Л(1 - Д(г))а—1 2 (|1 + ав'|:

где

|/,(гв', а

1 - |а|2

(1 + г)“+1

= 5 < оо,

(1 - г)

а—1

Д(г) возрастает на некотором интервале (го, 1). Поэтому при го < г < г1 < 1

|/,(Д(п)в'7(Т1))|(1 + Д(г\))а+1 > |/,(Д(г)в'7(Т1^1 (1 + Д(г))“+1

'(1 - Д(г1))а—1

(1 - Д(г))а

1

Устремляя в последнем неравенстве г1 к 1, получим У г € (го, 1) :

5 > |/,(Д(г)в^

'7 + 1 + Д(г))а+1

(1 - Д(г))

1

Следовательно,

Иш

Т1

|/,(Д(г)в

(1 + Д(г))а+1 '(1 - Д(г))а—1

5 < .

Т

2

и

Т

Значит, 7 является н.и.у. функции /(г). Необходимость доказана.

Докажем достаточность.

Обозначим /1(г) = /(г, а), А = |в'7: 7— н.и.у. функции /(г)},

в' + а

В = {

н.и.у. функции /1 (г)}, С = {е®п : п — н.и.у.

1 + аав' функции /1(г, -а)}.

По доказанному ранее следует, что С С В С А. Но Д(г, -а) = /(г). Следовательно, А = С. Значит, А = В.

Утверждение 1) теоремы доказано.

2) Возможны два случая.

а) Если 7 не является н.и.у. функции /, то из первого пункта леммы следует

Ііт

Т—1—

(1 + г)

а+1

а1

Ііт

Т1

|//(Д(г)е

| //(ге (

®т(т)\1 (1 + Д(г))

(1 — г)

а+1

'(1 - Д(г))а—^ б) Пусть 7 является н.и.у. функции /(г).

Ранее было показано (см. (7)), что 6 < 5 < те. Докажем, что

6 > 6. Обозначим Д1(г) =

. Так как /1(2, —а) = /(г), то

1 - агв'^

7 является также и н.и.у. функции /(г, -а). Значит, существует

6* = Ііт

Т—— 1 —

/ г а® — а (1 + Д1(г))а+11

_ ’’ 1 V 1 — аге®^ ) (1 — Д1(г))а—^

Так как

_

1 - ае^

в' , то, применяя (7) к /1 (г), получим

Ііт

Т—1 —

|/1 (г

(1 + г)

а+1

Ііт

Т1

(1 — г)а—1

|//(Д(г)е®7(т))| (1 + Д(г))а+1

|//(а)|| 1 + аге®р|2 (1 — Д(г))

а—1

Ііт

1

< 6*

1 — Д(г)

1

< 6*

6

(1 —

2 а 1

|//(а)||1 + ае® р|2 |1 + ае® р|2(а—1)

6

6

1 — г

6 * |//(а)||1 + ае® р|2а

(1 — |а|2)

2 а 1

С другой стороны, /1,

//(2)

2 — а \

1 — аг / / 2 — а

//(а) 1 + а-—

1 — аг

а

а

Т

2

поэтому

Иш

Г—> 1 —

|/'(ге

®7)

(1 + г)

а+1

|//(а)|11 + а

ге

■®7 _

а

(1 — г)'

1

■ иш (^гт

г^1- у 1 — Й1(г)

1 — аге®^

а — 1

(5

|/'(а) ||1 + аег(^ |2 у-^1— Д1(г)

Иш

1

а — 1

5(1 — |а|2)с

|/'(а) || 1 + ае® ^|2а '

Следовательно, 6 < 5 Окончательно получаем 6 = (5. Достаточность доказана. □

Следствие 1. Если /(г) € Ма(те), то /(г, а) € Ма(те) при всех а € Д.

Следствие 2. Пусть / € Ма. Тогда для любого € [0;2п) существует такое 6(<£>), что для любой окружности в широком смысле Г, ортогональной дД в точке е® р,

I/'(£)|

(1 + |е|)а+1 (1 —1£|)

а—1

6М

при £ —> е® р вдоль Г, при этом 6(<^>) не зависит от Г.

Замечание. Следствие 1, вообще говоря, перестает быть верным, если в нем убрать требование ортогональности Г к дД.

Действительно, рассмотрим функцию

*о(г) = — 2а

1 — г

1 + г

1

€^а(1).

Пусть Г1 — отрезок из Д, ортогональный дД в точке г = 1. Тогда вдоль Г1

1*0 <0|£« -1.

(1 — И)

а — 1

«^1

Пусть теперь Г2 — отрезок из Д, оканчивающийся в точке г = 1 и образующий с Г1 угол, равный в € ^0; —^. Обозначим х = |1 — £|.

=1=

6

а

Тогда вдоль Г2

lim

Г2Э£— І

jko (Є)І

(1 + ІЄІ)а+Г]_f,.„ |1 - ега-і (1 -іеі)

а-І

lim . .

Г2Э«—1 1 - |Є|

= (,im 7 x у- = 1 = L

\х—0 1 - y/x2 - 2x cos в + 1) (cos в)а-1

То есть число -(y>) будет зависеть от угла между Г и дД.

Теорема 3. Пусть семейство функций g^ (z) G Ua(-) и g^(z) —> gi(z)

6—— 1

равномерно внутри Д. Тогда gi(z) = (z) при некотором веществен-

ном 0.

Доказательство. Будем доказывать от противного. Пусть gi(z) = (z) для любого вещественного 0. Так как семейство

Wa компактно в топологии равномерной сходимости внутри Д, то gi(z) G Wa(-o), и, по теореме 1, <5о > 1.

Зафиксируем £ G ^0; ^ . По теореме 1 величина

( , )(1+ r)“+1

т(Г,д1 )(1 - r)a-1

возрастает по r. Следовательно, существует такое r(£) > 0, что для любого r G (r(£), 1)

(1+ г)а+г (1 - г)с

Зафиксируем ro G (r(£), 1). Из равномерной сходимости следует,

/1 “0 + 1

что для всех 1,

< є.

2

Д1+ Г0)а+Г

(m^g^) - m^o, g°))

(1 - Г0)'

*-1

Тогда

'(1 - Г0)а-І >m('0,gi)(i - Г0)а-І є >-0 2Є > 2

/ /\(1+ Г0)а+Г / /\(1 + Г0)а+Г х 0 -0 + 1 х

m(гo, g«) ^—:г^г > m(гo, g,)(і г„)а_і - є > -o- 2є > >-.

С другой стороны, из возрастания по r величины

( , )(1+ r)“+1

т(Г,д^)(1 _ r)a-1

следует, что

^ ( / )(1+ ro)a+1

- ^ m(ro’9‘>(1 _ r0)°-. '

Противоречие. Следовательно, g1(z) = kg (z). □

Resume

In this paper it is proved the regularity theorem for linearly invariant families of analytic function in the unit disk and some results, connected with this theorem.

Список литературы

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.I / Ch. Pommerenke // Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[2] Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions / J. Krzyz // Bull. Acad. Polonici Sci. 1955. V. CI. N 3. P. 203-206.

[3] Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Иностранная литература, 1960.

[4] Bieberbach L. Einfiihrung in die konforme Abbildung / L. Bieberbach. Berlin: Sammlung Goschen, 1967.

[5] Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н. А. Лебедев. М.: Наука, 1975.

[6] Годуля Я. Линейно-инвариантные семейства / Я. Годуля, В. В. Старков // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. Вып. 5. Петрозаводск, 1998. С. 3-96.

[7] Campbell D. M. Locally univalent function with localy univalent derivatives / D. M. Campbell // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. P. 395-409.

[8] Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна 1984). София, 1984. С. 76-79.

[9] Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков // Болгарский математический журнал "Сердика". 1985. Т. 11. C. 299-318.

[10] Starkov V. V. Directions of intensive growth of locally univalent functions / V. V. Starkov // Complex Anal. and Appl.’87. Sofia, 1989. P. 517-522.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]