Некоторые граничные свойства аналитических в поликруге функций, образующих линейно-инвариантные семейства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 16, 2009

УДК 517.54

Е. Г. ГАНЕНКОВА

НЕКОТОРЫЕ ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ, ОБРАЗУЮЩИХ ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА

В работе изучаются граничные свойства модулей производных функций из линейно-инварианитных семейств в поликруге. Рассматриваются вопросы о поведении модулей производных в угловых областях, используется связь линейно-инвариантных семейств и класса Блоха.

§ 1. Введение

Объектом изучения будут являться функции

/ (г) = / (¿1,. .., ¿”), г = (гь ...,гп) е Д”, аналитические в поликруге Д” = Д х ... х Д е С” (Д = {г е С : |г| <

”

1}), образующие линейно-инвариантные семейства.

Термин линейно-инвариантного семейства был введен Х. Помме-ренке в [1] для функций, аналитических в единичном круге Д. Семейство М функций /(г) = 2 + ... , аналитических и локально однолистных в Д, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией /(г) оно содержит также и функцию вида

/(У(г)) - /(У(0)) = +

/ '(¥>(0)М0) + ...

для любого конформного автоморфизма у>(г) единичного круга Д.

Изучение таких семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений являются

© Е. Г. Ганенкова, 2009

линейно-инвариантными семействами. Следовательно, появилась возможность изучать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений в большей части основывалось на геометрических свойствах, характерных для функций данного семейства, то с введением понятия линейной инвариантности стало возможным разработать универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.

В [2] Я. Годуля и В. В. Старков обобщили понятие линейно-инвариантного семейства на функции, аналитические в поликруге Д”.

Зафиксируем число I, 1 < I < п.

Определение 1. Семейство М; аналитических в Д” функций /(г) называется 1-линейно-инвариантным семейством, если для каждой функции из этого семейства выполняются следующие условия:

2) /(¿ег0)е г0 € Ш[ для любой функции / € М; и любого в = (вь ...,в”) € М”, где ¿ег0 = (¿1 ег01 ,...,гпег0п);

3) для любой функции / € М; и для любого а = (а1,..., ап) € Д”

Определение 2. Порядком функции из линейно-инвариантного семейства М; называется число

1) /(г) =0 в Д", /(О) =0, (О) = 1, где О = (0,...,0)

центр поликруга;

где

¿1 + а1 1 + (21^1 ’ ’

автоморфизм поликруга Д”.

Норму в С” определим формулой

||г|| = тах |гй| для г = (¿1, ..., ¿”).

к

Пусть

/^,—) = 1 + cl(/, а)г1 + ... + Сп(/ а)гп + °(УгУ).

2 аЄДп

Порядком линейно-инвариантного семейства Mi называется число

ord Ml = sup ord f.

f EMl

Определение 3. Универсальным 1-линейно-инвариантным семейством 1А1а порядка а называется объединение всех 1-линейно-инвариант-ных семейств, порядок которых не превосходит а:

и; = и М;.

о^М; <а

В [2] показано, что Ц, = 0 при а < 1.

Важным при изучении аналитических функций является вопрос

о поведении этих функций при приближении их аргумента к границе. Одной из задач этого класса является описание характера роста модулей функций и их производных вблизи остова поликруга {z = (zi,...,zn) G C” : |zk| = 1, k = 1,...,n}. В случае функций одного переменного (n =1) это было сделано в работах [3-7]; для функций, аналитических в поликруге, теоремы, описывающие решение данной задачи, получены в [8-10].

Естественно рассматривать симметричную задачу: описать характер убывания тех же величин при приближении z к дД”. Для одномерного случая в [11] была получена теорема, утверждающая, что модули производных функций из Ц, убывают гладко, регулярно. В

[12] этот результат был обобщен на случай поликруга.

Обозначим rfc = |zfc |, г = (ri,..., rn), где G (0; 1) Vk = 1,..., n, тогда z = reiö. Пусть I = (1-,..., 1—). Для непрерывной в Д” функции p(z) и фиксированного r G (0; 1) обозначим

m(r, p) = min |p(z)|.

II z II

Для f G Ц, введем обозначение

Фе (г) =

f (re-)

özi

Теорема A (регулярности роста в Ula) [12]. Пусть f (z) G Ц,. Тогда

1) для любого фиксированного в величины Ф9 (г) и шшФ^(г) не

9

убывают по каждой переменной € (0; 1); величина

т

не убывает по г є (0; 1);

2) существуют такие 6 є [1, те] и во є К”, что

1ішшіпФе(г) = Ііт ФЄо (г);

3) 6 =1 / (г) = (г)

1 - е_ІЄк

1 + 2^ Є_іЄк

а.

1 + ^(21, . . .,2;_1,2; + 1, . . .,2”),

где Q — любая аналитическая в Д” 1 функция, такая, что ф(О) = 0.

Определение 4. Вектор в0 є К” из п. 2) теоремы А будем называть направлением максимального убывания (н.м.у.) функции /(г) є Ц,.

Определение 5. Направлением интенсивного убывания (н.и.у.) функции /(г) є 1А1а будем называть каждый вектор в = (в1,..., вп) є [0; 2п)”, такой, что

Определение 6. Будем называть ¿9 числом Хеймана функции / по аналогии с терминологией теорем регулярности роста.

Данная работа является продолжением исследований, связанных с теоремами регулярности убывания в семействе .

§ 2. Поведение производных в угловой области

Будем рассматривать функции / € , имеющие хотя бы одно

н.и.у.

Обозначим N0 = N и 0.

В данном разделе будет показано, что если функция /(г) € имеет н.и.у. 7 = (71,... ,7„) с соответствующим ему числом Хеймана

г —>1

Ііт Фе(г) = 6е < те.

д?+1/

1 (С)

дгг д^1 ... дгП

д?+1к

д *7 (С)

дгг дг?1 ... дг”'

• 5

5, то поведение величин

при Д ^ 1 — мало отличается в угловой области

Д”(Д,п) =

= (С =(Сь...,Сп) € Д” : | arg(1 — Сй е-^ )| <п V*, Д< ||С || < 1},

П € (0; п/2), для любых чисел ^ € N0, ^1 + ... + д” = д, удовлетворяющих условиям:

< а, при а € N , ,

дй — любое натуральное, при а € N.

Сначала докажем вспомогательную теорему.

Семейство и1а разобьем на непересекающиеся подклассы и1а (5), 5 € [1; те], полагая, что класс и1а(5) состоит из всех функций из и1а, которым соответствует одно и то же 5 — число из теоремы А.

Обозначим и]а(5) = {: / € и1а<

Теорема 1. Пусть ду (г) € 1Л1а(5) и ду (г) ^ дч^) равномерно внутри Д” при 5 ^ 1 _ . Тогда д1(г) = (г) при некотором в € М”.

Доказательство. В [2] доказано, что семейство и1 компактно в топологии равномерной сходимости внутри Д”. Поэтому д1 € и1 (5о) при некотором 5о € [1; те].

Предположим, что теорема не верна, то есть д1 (г) = (г) ни при

каком в € М”. Тогда по теореме А 50 > 1.

Зафиксируем £ € (0; г°— 1) . По теореме А величина

(1+г)“”+1

Кг д1)

(1 — г)

1

не убывает по г € (0; 1). Следовательно, существует такое г(£) > 0, что для любого г € (•(£); 1) выполняется неравенство

(1+г)“”+1 '(1 — г)с

т(г,д1^^—.лгу”- 1 > 5о — £.

Зафиксируем го € (г(£); 1). Так как ду(г) ^ д1(г) равномерно внутри Д” при 5 ^ 1_, то V5 € (1; )

(1 + г0) “”+1 |т(го,дй) — т(го,д1)| (1 _ го)а”-1 <£.

Следовательно,

. (1_ го)«”+^ (1_ го)“”+1

т(го,д<5^> т(го,д1^^-т—г— £ >

(1 — г0)а”-1

(1 — го)

1

> 50 — 2£ >

5о _1 2

> 5.

Но из неубывания по г € (0; 1) величины т(г, дг)

(1 _ г)

а ”+1

(1 — г)

1

следует,

5 > т(го, дг)

(1_ го) “”+1

(1 — г0)а”-1'

Полученное противоречие показывает, что

д1(г) = (г)

при некотором в € М”. □

Теорема 2. Пусть а > 1, /(г) € и;(50), 50 < те и 7 = (71,... ,7”) — н.и.у. функции / (г), которому соответствует число Хеймана 5 € [5о; те).

Тогда для любых д&, * = 1,. .., п, удовлетворяющих условиям (1), д = д1 _ ... _ д”, и для любого фиксированного п € (0; п/2)

д?+1/

е-*Ф(С) дг;дг”1 .. . дг”’

-(С)

д9+1*^

5

дгг дг”1 ... дг”’

-(С)

при Д”(Д, п) Э С ^ е®7, где

Ф(С) = arg /(р(С)е®7),

р(С) = р = (рь..., Р”), Рй = Рй(с) =

41 — г2)2 1

4г0с|

г2 2ей

1-4

ей = Ие^ е }— tg п| 1ш(Сй е т }|, * = 1, ...,п, го = эт п.

что

1

г

0

Доказательство. Доказательство теоремы для случая д = 0 в идейном плане повторяет доказательство аналогичной теоремы 3.1 из [9]. Докажем сначала, что для любого фиксированного го € (0; 1)

д/ / —і + рі^1 + рпе^

д- VI + Ріе-^1 *і1 + р„е-^

/ «ре^ >

дк^ ( *і + ріе®71

д- VI + ріе-і71 *і'

—” + р”е 1 + рпе-і7п

дк

тА (рег7) 0*1

(2)

равномерно в поликруге Д”о = {— Є С” : || — || < го} при р, стремящемся к I.

В случае / Є и1а(те) утверждение (2) очевидно, так как тогда по

0/ дк

теореме А функция —— (—) совпадает с ——^ (—).

д-і д—

Рассмотрим случай ¿о Є (1; те). Пусть 6 — число Хеймана, соответствующее н.и.у. 7; 1 < 6о < 6 < те. В [12] показано, что 7 — н.и.у. функции /(—) тогда и только тогда, когда 7(0) = (7і(а),... ,7”(а)) — н.и.у. функции /(—, а), а Є Д”, и

Рт(а) = ет - ак

1 — Як е®7к '

к = 1, .. ., п.

Пусть 57(а) — число Хеймана функции /(г, а), соответствующее н.и.у. 7(а). Тогда числа 5 и 57(а) связаны равенством (см. [12], доказательство теоремы 2):

67(а)

1 — К |2

£ (а) (1 — |аг|2) кА=АД |1 + акег7к |2

П

(3)

Пусть а = ре^, где р = (рі,..., р”) Є (0; 1)”, тогда (3) перепишем в виде

67(а) 6 '

д/ ( ) я~(а) д—і

П

к = і

(1 — р2)

0

—5-

а

Переходя в этом равенстве к пределу при р ^ I, по определению 5 получим, что &у(а) ^ 1 при р ^ I.

В [2] показано, что функции семейства равномерно ограничены внутри Д”. Тогда по принципу компактности ([13], с. 23) для любой последовательности р(№) = (р^),... ,р”№)) € (0; 1)” такой, что р(№) ^ I при N ^ те, последовательность ^(г,р(№)е®7) равномерно внутри Д” сходится к некоторой аналитической функции. По теореме 1 этой функцией является д”(г) для некоторого в € К”.

Докажем, что в = 7. Обозначим

Д

(№) _ + Рк )

к = 1,

Д(№) = (Д(" ),...,Д”№)).

Тогда

1-ш

N ——те

^ (р(№У7, гв*7)

дк^ ¿7\ д!Г(гв )

1-ш

N ——те

|£ (Д(N У7)

(Р(N У7) ■|1+ р^ )Т; |2

1-ш

N—-те

х Иш

N—-те

|£ (Д^ У7)

(Р(N) в47)

02;

1 + Д

(N )'

(N)

1 - Д

1+р^)' 1 - РkN),

(1 - (Д^))2)

1 - (рГ))2

х Иш

^ (1 - (Д^))2) |1 + р^)Т;|2

Так как

(N)

Иш 1 - Дк

N1-—» 1 - р^)

1 - г2

= Иш (Дк )(рй))/ = 1-ш

N—те к ^ N—те Л , ^Л2

(ч1 + г*р* );

к

СК

X

1

а

X

то с использованием определения 5 получим, что

1 ” / 1 \ а / 1 I

1 -1—г / 1 - ГЙ /1 + Г;

дк^ ¿7\ -5— (ге'7) 02;

1 - Г; (1 + Г; ) 2

п

к = 1

1 - Гй

1 + Гй

Следовательно,

дк^ ¿7\ (ге’ >

1 - ГГ

0

при гй ^ 1-, г^ € Д (^ = к) для любого фиксированного

к € {1,..., п}. А это возможно только в случае в = 7, так как

дк^ ¿7\ а£7(ге 7 >

| 1 - Г; е

-¿(0г—п) Iа —1

|1 + Г;в—®(®г—П) | а+1

п

к=1

к=;

1 - Гй е

-¿(®к —Гк)

-7к)

Так как функции семейства равномерно ограничены внутри Д”, то, применяя обобщенную теорему Витали (см. [14], с. 710) к функци-

/ (х,ре'7)

дх;

заключаем, что

/

<9к^

Йт '*-ре” >ё <*>

равномерно внутри Д”. В частности, для любого фиксированного го € (0;1)

/ ^ Х1 + р^71 2” + р^7-

дх; \ 1 + р1 е '71 ’1+ р”е '7п2”

д/ (ре'7 ) ■ (1+ р;е—'7г 2;)2 02;

при р ^ I стремится к

1

1 - 2? е—2'7г

п

к=1

1

СК

1

а

а

равномерно в поликруге . Таким образом, функции

д/ ( 21 + рів*71 2П + рие*7п

дгД 1+ рі е-*712і ’...’ 1 + р„е-і7п 2ЭТ

д/>

1

дк^ ( 2і + рів*71

2„ + Рпв*

02; \1+ рів *71 Х\"' ’1+ р„в *7п 2„

П

к=і

Як

д- (ре*7)

02;

(Л -*Тк 2к + рк в*7к

1 — е *7к •

\

1 + р& в *7к 2Й

1 + в-*7к

.*7ь

1

2й + рк е 1 + рк в-*7к 2Й У

1 - рк

2; + р;в*' 1 + р; е-

*7г

2;

П

к = і

-2*7г

*7к

п

к=і

1 + рк / 1 — р;

1 - 2йв-1 + 2йв-*7к

(1 + р;е-*71 2;) 2 1 - 2;2 е—2*7г

і

равномерно в Д” при р ^ I сходятся к одной и той же аналитической в Д” функции, то есть выполняется утверждение (2).

Функции

й

2й + рй е*7к 1 + рй е-*7к 2Й ’

к = 1,. .., п,

однолистно отображают круг {2^ Є Д, 2| < го} на круг с центром

1___г2 Го (1_____^^2)

Сй (рй) = е*7к рй----2°2 и радиусом гй (рй) = —------_г4г. Следователь-

'1 _ рк го

1 р2 г2

1 _ ркГо

Пт>

/ (ре,Т) " ^ (ре-') ^

02; 02;

0

(4)

равномерно в поликруге

Кр(го) = {С = (Съ ... ,С”) € Д” : |0к - Сй(рй)| < Гй(р*.), к = 1,... ,п}.

и

а

X

а

1

X

2

е

О!

Так как

Ь (С)

Ul? W£i----------------------=0’

1- ( ®7

7Й7 'Pe")

то (4) эквивалентно тому, что

равномерно в Kp(ro).

— (Z ) ^ (peiY )

dz; dz;_^ -

^ (Z) • — (pei7) —^

dz; (Z) dz; (pe )

—

dkY

Обозначив Ф(Z) = arg —— (pe®7) и учитывая, что arg —- (pe®7) = 0

z;

—(Z)

dz; yZ)_________

dkY

äzr(Z) e-l({>

z

£ 'P'', >

Ш^) d - )

k = 1

1 - Pk

— )

11(1+40 ”d - p?>Pl'

fc=1

1 — Pfc

по определению 5, получим, что

—(С)

дх; е—*ф(с)______. 5

дк!(г) е /5

д2; (^ )

равномерно в Кр(го). То есть для любого е > 0 существует М € (0,1)

такое, что условие р : ||р|| € (М, 1) влечет выполнение неравенства

—(Z)

dz;

— (Z) dz; ^

< e, VZ e Kp(ro).

(5)

Пусть 2вк — величина угла с вершиной в точке е®7к и сторонами, касающимися круга {0% € С : |Сй - сй(рй)| < гй(рй)}. Тогда

Б-П вк

rfc (Pfc )

ro(1 — Pk)

ro(1 + Pfc)

1 — |cfc (pfc )| 1 — Pkr2 — pfc + pfc rg 1+ pfc r

^(Pfc),

и

1

2

o

Функция "0(pfc) возрастает с ростом pk. Поэтому совокупность поликругов Kp(ro) заполняет некоторую подобласть Д”, содержащую Д”(Д,п) при некоторых R и п. В качестве п можно взять arcsinro, т. к. "0(pfc) возрастает. То есть п можно брать сколь угодно близким к п/2, если ro достаточно близко к 1. Таким образом, (5) выполнено в Д”^, п), где п можно считать любым заданным числом из (0, п/2), R зависит от е. При этом каждому Z e Д”^, п) соответствует некоторое Ф = Ф(Z) (не единственное, поскольку Z принадлежит многим Kp(ro)), где р такое, что Z e Kp(ro). Следовательно, для Z e Д”(R, п) можем выбрать р = (pi , ...,pn), такое, что для каждого k = 1,..., n точка Zk будет лежать на радиусе круга {u e C : |u — Ck(pk)| < rk(pk)}, ортогональном одной из сторон угловой области {u e C : | arg(1 — ue-i7fc )| < п}. Тогда

. / п \ Im[(Zk — Ck (pk ))e-i7fc ] sin 77 — п =

2 7 |(& _ сй(рк))е-*7к |

Будем предполагать, что 1ш((д;е-*7к) =0. В противном случае попадает на радиус круга {и Є С : |и — (р^)| < г^(р^)}, ортогональный

0Д в точке е*7к. В этой ситуации будем полагать, что совпадает с центром Ск(р*.) круга {и Є С : |и - (р*.)| < гЙ(р*.)}. Поэтому

1 /Re(Cfce i7fc) - |cfc (pfc

cos2 n V Im(Cfce-iYk)

2

+ 1.

То есть

Re(Cfc e ) - |cfc (pfc)

| Im(Cfce )|

|cfc| = |cfc(pfc)| = Re(Cfce-m) - tg n| Im(Cfce-

1 — r2

Так как |cfc(pfc)| = pfc--------------------------------^, то p|r2|cfc(pfc)| + pfc(1 -r2) - |cfc(pfc)| = 0

1 - pfc ro

_ , /(1 - r2)2 1 1/1

(й-r¡ + 2¡ckil1 -r¡

где ro = sin n. Теорема для q = 0 доказана.

Перейдем к доказательству теоремы для q > 1. Будем дифференцировать (2) по переменным Zfc (k = 1,...,n) q^ раз соответственно (q = qi + ... + qn), причем каждый раз после дифференцирования

и

полученный результат будем умножать на (1 + 2крке-*7к)2, где к — индекс переменной 2к, по которой производится дифференцирование. Тогда по теореме Вейерштрасса (см. [15], с. 34) получим, что

£9+1/

21 + ріе

.*71

2” + р”е

.*7п

д2; дх^1 . ..д2”п \1 + ріе *7121’”’ ’ 1 + ри е *7п 2” у ^ (і - р2 ^ -

д/

д2;

^(ре*7)

к=1

д9+1к.

21 + р1е*71

2” + р”е

д2; д2?1 ...д2Пп VI + р1е-*7121’"' ’ 1+ р„е-*7п

дк

(рег7)

д2(

стремится к нулю при р ^ I равномерно в Д”. Так как

П(1 - рк)

2 ) Як

к=1

2” + р”е

дк7 / 21 + р1е*71

"д27 \1 + р1е-*7121,..., 1 + р„ е-*7^ дк

тА (рег7) д2;

1 - 2;Є-І7і

М 1 + 2;е-*7*

равномерно внутри Д”, то

1

п

к = 1 к=1

1 - 2ке-*7к 1 + 2к е-*7к

дЯ+1к^ / 21 + р1е*71

2” + р”е

д2г д2Я1 ...д2”п Vl+ р1е-*7121’’'., 1 + рп е-*7^ 2” дк

тА (рег7) д2;

П (1 - рк )Як

к=1

Р—I

Р—I

(-2)Я

-*(Е 7к9к) /1 + 2;е-і7і ^ (а - 9;)

е V 1 - 2;е-*7і •

п

к=1

а(а - 1) ... (а - 9к + 1)

*7к

”

”

а

а—Як

X

равномерно внутри Д”, а, следовательно, и равномерно в Д”о. Поэтому функция

дЯ+1к7 ( 21 + р^1 X” + Р”^

д;; д;?1 . ..д;”’ \1+ Р1в ¿71 ’1 + Р”в ¿7п 2”/ 1Т(1_ 2 )д._

дк7, 4 ’! 1( Рй )

а;; (ре >

отделена от нуля в Д” при р ^ I для всех , к = 1,..., п, удовлетворяющих условиям (1). Значит, для указанных , к = 1,..., п,

д9+1/ //Л дк^

- (Ре')

1 (6)

д;г д; Я1 ...д;”’ (С) д;1^)

д9+1 к7 ,>ч д/,_

-(С) тА(р^)

д;г д;Я1 ...д;”п^ д;г равномерно в Кр(го). Далее, как в случае д = 0, из (6) получим, что

___д!+/________к)

-¿Ф(С) д;гд;?1 ... д;”п

е (С)-------дЯ+1к---------> 5

___д ^________(С)

д;г д;Я1 ... д;”п ^

равномерно в Д”(Д, п) при Д ^ 1 — . □

§ 3. Теорема регулярности убывания для производных высших порядков

Следующая теорема является аналогом теоремы А для частных производных любого порядка.

Теорема 3. Пусть / € Ц,, 7 — н.и.у. функции /, 5 — число Хеймана, соответствующее этому н.и.у. Тогда для любых ^ € N0,

к = 1, .. ., п, удовлетворяющих условиям (1), ^1 + ... + ^” = д, существует

Иш

г-> I

д9+1 / (1 — Г1)

д;г д;Я1 ... д;”’

-(гег7)

П (1 — гй)“-№ й=1

О1 П|«(<> — 1)... (а — « + 1)|*

Доказательство. Вычислим предел

д9+1ко(;) (1 — ;;)

Иш

Д’Эг-

д;;д;91 ...д;”п ^ (1 — ;й)а_дк

к=1

(7)

Поскольку

д9+1к« дя /(1-Л д9* /1 -

(;) =

А(1 — ;;)а-А Л д9к /1 — ;Л(

^(1 + ;,)“+А У д;9к и + ;й/

д;;д;?1 ... д;”п д;,91 чч_ ,

1 1 44 ' у к=1

к=1

и для «к > 1, к = 1,...,п, при ;; ^ 1 —

дя

^ [(1 — ;)а—1 • (1 + ;Г“-1] =

(1 _ ) а —9г —1

= ( —1)91 [(а — 1)(а — 2) ... (а — «;)рп91 • ( (— +;))^ (1 + о(1 — ;;))

и

д

[(1 — ;к)а • (1 + ;к) “] =

(1 _ )а — 9к

= ( —1)9к [а(а — 1) ... (а — ^ + 1)]а1«п 9к • ( (—^к;^)а (1 + о(1 — ;*)),

то искомый предел (7) будет равен

( — 1)91 [(а — 1)(а — 2) ... (а — «г)]818п91

п

2 +1

( — 1)9к [а(а — 1) ... (а — «к + 1)]8«п 9к

2

й=1

к=;

• П[»(»■ !)..• (“"«к + ')]■

2а”+1а

к=1

X

В частности,

Ііт

г-> I

д9+1ко(г) (1 - Г;)

д^дх91 . ..д4п

П (1 - Гк)а-9к к=1

П [а(а - 1)...(а - + 1)]-9к.

к=1

По теореме 2 для любых %, к = 1,.. ., п, удовлетворяющих условиям (1), 21 + ... + 9„ = 9,

д9+/

д^дх91 ...дх”’

-(гег7)

д9+1к^

д^дх91 ...дх”’ что эквивалентно тому, что

д9+1/

-(геі7)

г—I

д^дх91 ... дх”’

■(геі7)

д 9+1 кг

-(г)

• ¿.

д^д^1 .. . д4п

Следовательно, для указанных 9к, к = 1,..., п, получим, что

Ііт г-> I

д9+1 /

дх дх91 ... дх”’

-(геі7)

(1 - Г)

П (1 - Гк)“-9к к=1

2“”+1а Теорема доказана. □

і+Г“ Г! |а(а - 1)...(а - +1)1

в^п 9к

к=1

§ 4. Аналог теоремы регулярности для функций Блоха

Определение 7. Аналитическая в поликруге Д” функция д называется функцией Блоха, если

тах яир

к=1,...,” А’

(1 -|Хк |2) £(х)

< 00.

Множество В всех функций Блоха называется классом Блоха.

Интерес к этому классу в данной работе вызван существованием связи между функциями этого класса и функциями из линейноинвариантных семейств.

Теорема В [2]. Пусть I € {1,..., п} фиксировано. Тогда следующие условия эквивалентны:

0) д € В;

(И) существует функция / € и иа такая, что

а<те

g(z) -

1 д/, s

log—(z). dz;

Используя эту взаимосвязь, получим аналог теоремы регулярности для класса В.

Теорема 4. Пусть д € В,

а = оМ^ вхр{д(21, . . . ,2;_1,Мг+1,...,£„) - д(О)} А.

Тогда

1) существует такие S € [0; те] и 0q € Rn, что

S = lim

r^-1-

1 I r

i(r, g(z) — g(O) + an log---------------1 log(1 — r2)

1 — r

lim r-> I

minRe{#(re) —

” 1 _ r + a log , r& +log(1 — r2)

k=i

1 + rfc

lim

rI

Re{g(rei0°) — g(O)} + a Y] log 1 - r'k +log(1 — r2)

f J -U r-j

k=1

1 I rk

2) величина, стоящая под знаком первого предела, не убывает по r € (0; 1); величины, стоящие под знаками второго и третьего пределов, не убывают по каждому rk € (0; 1), k = 1,..., n;

П 1 _ Zj e

3) S = 0 ^ g(z) = g(O)+ a£ log k — log(1 — z2e-2i0‘).

k=1 1 + zk e

Доказательство. Пусть д € В. Тогда по теореме В существует функция / € ^ такая, что

/(г) = J ехр{д(гь ... ,2;_1,4,2г+1,... ,г„) - д(О)} А,

0

константа а определяется равенством

а = оМу ехр{д(гь. ..,гг_1 ,М;+1 ,...,£„) - д(О)} А.

0

Учитывая, что

д/ () dz;(z)

n /1 i \ a

n (i+rk)(1—r?)

k=1 — k

= |exp(g(z)—g(o))| • exp (lo^n (ЬттО (1 — rj2))) =

m r.

k=1

d/ \ (1 + r)an+1

exp ( Re{g(z) — g(O)} + a^ log - - rk +log(1 — rf)

’ dz; / (1 — r)a

1

= exp ^m(r, Re{g(z) — g(O)}) + an log ------+ log(1 — r2)^ ,

а также используя факт неубывания по x € R функции exp x, из первого пункта теоремы А получим, что величины

k=1

Re{g(z) — g(O)} + aV log 1 - rk +log(1 — r2), ^ 1 + rk

mjn Re{g(z) — g(O)} + a^2 log - - Tk +log(1 — rf)

k=1 +rk

и

не убывают по каждому г- G (0; 1), k = 1,..., n, а величина

m(r, Re{g(z) — g(O)}) + an log -------+ log(1 — r2)

не убывает по r G (0; 1).

Из второго и третьего пунктов теоремы А будет следовать, что существуют такие ¿о G [1; те] и $о G К”, что

¿о = lim exp ( m(r, Re{g(z) — g(O)}) + an log —+----+log(1 — r2)) =

+1-

1r

lim exp i min Re{#(reift) — g(O)} + a Elog1- rk +log(1 — r2)

k = 1

1 + rfc

= lim exp i Re{g(reift°) — g(O)} + a^2 log 1 + ^ + log(1 — rf)

I

k = 1

1 + rfe

причем, ¿о = 1 тогда и только тогда, когда

e*fti

f (z) = — 2a

П

k=1

1 — zk e_iftk 1 + Zk e_iftk

1

+ Q(z1,...,z;_1,z;+1,...,zn),

где Q — некоторая аналитическая в Д” 1 функция. Откуда заключаем, что существует такое 6 € [0; те], что

¿ = lim

Г —— 1 —

1 + r

lim

r—I

min Re{#(reift) — g(O)} + a V log — k +log(1 — rf)

ft 4-ri.

k=1

lim

rI

Re{g(reift°) — g(O)} + aS' log ——- +log(1 — r2)

^ 1 + r-

1 — r

1 — rk

1 + rk

1- - rk

k=1

при этом

¿ = 0 g(z) =

Теорема доказана. □

k=1

— log(1 — z2e_2iftl)

a

2

Resume

In this paper we investigate some boundary properties of derivatives of functions from linearly invariant families in the polydisk. In particular, we analyze angular behaviour of a such functions and apply the relationship between linearly invariant families and Bloch class.

Список литературы

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.I / Ch. Pommerenke. // Math. Ann. 155 (1964). P. 108-154.

[2] Godula J. Linearly invariant families of holomorphic functions in the unit polydisk / J. Godula, V. V. Starkov // Generalizations of Complex Analysis. Banach Center Publ. 37 (1996). P. 115-127.

[3] Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions / J. Krzyz // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. CI (1955). No 3. P. 203-206.

[4] Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Иностранная литература, 1960.

[5] Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln/ L. Bieberbach // S. B. Preuss. Acad. Wiss. 138 (1916). P. 940-955.

[6] Campbell D. M. Locally univalent functions with locally univalent derivatives / D. M. Campbell // Trans. Amer. Math. Soc. 162 (1971). P. 395-409.

[7] Старков В. В. Теорема регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков // Сердика. 11(1985). P. 299-318.

[8] Годуля Я. Теорема регулярности для линейно-инвариантных семейств функций в поликруге/ Я. Годуля, В. В. Старков // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 8 (1995). С. 21-33.

[9] Godula J. On regularity theorems for linearly invariant families of analytic functions in the unit polydisk / J. Godula, V. V. Starkov // Computational Methods and Function Theory. 1997. P. 241-257.

[10] Godula J. On regularity theorems for linearly invariant families of analytic functions in the unit polydisk, II / J. Godula, V. V. Starkov // Ann. Univ. Mariae Curie-Skiodowska Sect. A. LII.1,3 (1997). P. 15-24.

[11] Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Известия ВУЗов. Сер. Математика. № 2(537) (2007). С. 75-78.

[12] Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. 14 (2007). С. 14-30.

[13] Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, Х. Росси. М.: Мир, 1969.

[14] Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов: В 5 т. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977.

[15] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: В 2 ч. Ч. 2 / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1976.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]