Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 14, 2008

УДК 517.54

Е. Г. ГАНЕНКОВА

ТЕОРЕМА РЕГУЛЯРНОСТИ УБЫВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ

В предлагаемой статье доказывается теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функции в поликруге, являющаяся обобщением аналогичного результата для единичного круга.

В 1964 году в [1] ОЬ. Pommerenke было введено понятие линейноинвариантного семейства функций, аналитических в единичном круге Д = {г : |г| < 1}. Линейно-инвариантные семейства стали играть важную роль в теории конформных отображений, так как появилась возможность с общих позиций изучать свойства многих классов локально однолистных в Д функций.

В [2] понятие линейно-инвариантного семейства было обобщено на случай функций, аналитических в поликруге Д” = Д х ... х Д С С”. Будем рассматривать функции

/(г) = /(г1,.. ., г”), г = (гь .. ., г”) € Д”,

аналитические в поликруге Д”. Норму в С” будем определять как

||г|| = тах |гй|.

к

Зафиксируем I, 1 < I < п. Приведем четыре определения из [2].

Определение 1. Семейство М; аналитических в Д” функций /(г) называется I-линейно-инвариантным семейством, если для каждой функции из этого семейства выполняются следующие условия:

1) /(г) = 0 в Д”, /(О) = 0, /(О) = 1, где О = (0,..., 0);

2) /(¿ег0)е-г0г € М; для любой функции / € М; и любого е = (0Ь...,0”) € М”, где ге*е = (^е^1 ,...,2”в40п);

© Е. Г. Ганенкова, 2008

3) для любой функции / € М; и для любого а = (а1, ..., а”) € Д”

/а(г) = /У” - /(У-(О)) € от,,

/ (а)(1 -|а;|2)

где

/ N А г1 + а1 г” + а”

^“(г) = -----------,..., --------

\ 1 + а1^1 1 + 0”^”

— автоморфизм поликруга Д”.

Заметим, что множество указанных автоморфизмов является лишь подгруппой группы всех автоморфизмов поликруга Д”.

Пусть

— /

—— (г) = 1 + С1(/)г1 + ... + С”(/)г” + о(|г|).

дг;

Определение 2. Если функция /(г) удовлетворяет условию 1) определения 1, то порядком функции называется число

ordf = sup -

а£Дп 2

V—

- SUp ||(ci(/0), . . . , Ci(/0

2 оЄД"

Определение 3. Порядком линейно-инвариантного семейства Ж; называется число

ord Ж; = sup ord f.

f EMi

Определение 4. Универсальным l-линейно-инвариантным семейством Ula порядка a называется объединение всех l-линейно-инвариантных семейств, порядок которых не превосходит a:

Ula = U(M[ : ordMi < a}.

При п =1 эти определения совпадают с определениями ОЬ. Роттегепке из [1].

Пусть Т = —Д, Т” — остов поликруга. Важным для изучения функций, аналитических в Д”, является вопрос о поведении этих функций при приближении г к остову Т”.

В случае п = 1 для линейно-инвариантных семейств функций, аналитических в единичном круге Д, существует класс теорем, известных как теоремы регулярности роста. Утверждения данного типа

характеризуют порядок роста модулей функций и их производных при приближении z к дД. Так, например, для одного из самых известных линейно-инвариантных семейств — класса S однолистных в Д функций — такие теоремы были получены в работах [3-5]. Для универсальных линейно-инвариантных семейств такие утверждения были доказаны в [6-8].

Принимая во внимание вышеописанный класс теорем, естественно было поставить вопрос о порядке убывания подобных величин. Вследствие этого, автором данной статьи была получена теорема регулярности убывания для универсальных линейно-инвариантных семейств функций, аналитических в единичном круге Д (см. [9-11]).

После того как понятие линейно-инвариантного семейства было обобщено на случай поликруга, появилась возможность ранее известные результаты для одномерного случая, касающиеся регулярности роста, перенести на поликруг. Это и было сделано в [12], была доказана следующая теорема:

обозначим z = (rie®01 , ...,rnei0n), 9 = (#i,...,0n) G R”,

r = (ri,... ,rn), I = (1-,..., 1—), для аналитической в Д” функции M(r,p) = max |p(z)|, для f G Ula

Теорема A (регулярности роста в Ula) [12]. Пусть f (z) G Ula. Тогда

z ||<r

1) для любого фиксированного 9 величины Fg(r) и max Fg(r) не

0

возрастают по каждой переменной r^ G (0; 1); величина

не возрастает по r G (0; 1);

2) существуют такие J° G [0,1] и 90 G R”, что

3) 5° = 1 ^ f (z) = K0 (z) =

1 + Q(zi,...,z;_i ,z; + i, ...,z”),

где Q — любая аналитическая в Д” 1 функция, такая, что ф(О) = 0.

В данной работе приводится обобщение результатов из [9-11] для случая Д”.

Для /(г) € обозначим

Фе (г)

п

к = 1

1 + Гк 1 - Гк

(1 - г;2);

для аналитической в Д” функции т(г,р) = тіп |р(г)|.

2 ||<Г

Теорема 1 (регулярности убывания в Ц,). Пусть /(г) € Ц,. Тогда

1) для любого фиксированного в величины Ф9 (г) и штФ^ (г) не

9

убывают по каждой переменной € (0; 1); величина

ал (1 + г)“”+1

&гг у (1 - г)а”—1

не убывает по г € (0; 1);

2) существуют такие ¿о € [1, те] и во € И”, что

¿п

Ііт

Г—— I —

<9/\ (1 + г)

а ”+1

”-1

3) ¿п = 1

(1 - г)

/ (г) = ке (г) =

2а

п

к=1

1 - гйе— 1 +

1

Ііт тіпФе(г) = Ііт ФЄо(г);

г——I— Є г—I—

+ ф(гь. ..,г;—1,гг+1,...,^”),

где Q — любая аналитическая в Д” 1 функция, такая, что Q(O) = 0.

Доказательство. 1) Для доказательства первого пункта теоремы важную роль будет играть формула из [2] для вычисления порядка функции:

ог/ = тах вир

к 2ЄДП

д2/(г) / /Л 1 -І*к I

- ^¿к

(1)

здесь — символ Кронекера.

Неубывание функции Ф9 (г) по переменной г^ равносильно неубыванию функции 1п Ф9 (г) = Т (г^).

О.

тг

тг

а

е

2

дТ(гк) о

Докажем, что — ------- > 0, то есть что справедливо неравенство

дгк

Г д2/(г) / д/ 1 а + 1 а - 1

Ке{е ‘ -д5т/ аїЧ + П^ + 1-7 > 0 при к ='

Г д2/(г) / д/1 а +1 а - 1

Ее1 ек^~я~/я~(г) Ґ + + т--- > 0 пРи к = ^

[ д^к/ дгг ] 1 + гг 1 - гг

после домножения обеих частей неравенства на Гк получим ^ Г д2/(г) / д/ ] -2г;(а - п)

Ке{а“з^/(Ч > 1- г? при к =1 (2)

или

^ ( д2/(г) / д/ | -2агк

КеГ'—/^ Ч при к = '■ (2)

Для доказательства этого неравенства будем использовать формулу

(1). Поскольку ог/ < а, то из (1) будет следовать, что

//) //П 1 -Ы2

V дг2 / дг, / 2

< а при к = I

//)/ /(г)\ 1 -|гк |

\8zi8zJ дгг / 2

< а при к = I.

Домножая это неравенство на |г^| (при соответствующем к) и переходя от модуля к вещественной части, будем иметь:

^ ( (д2/(г) /д/(г) ^ 1 - Ы2 , ,2^ , ,

МЧ—) ~2Т~ -Ы) г-аг‘ при к ='

^ д2/(г) /д/(г)^ 1 -|2^|2 ) ( = ,

КП Ч кл/-2—)--аг‘ при к='•

После упрощения получим требуемые неравенства (27) и (2"). Следовательно, величина Ф9 (г) не убывает по каждой переменной г^, к = 1,..., п.

2

Для любых т'к,т", 0 < т'к < т'к < 1, к = 1,...п, по доказанному выше получим, что

штФ0(тх,... ,т£.,...,т„) < ш1пФ0(тх,... ,т'',... ,т„),

9 9

т. е. функция шш Ф9(тх,... ,тп) не убывает по каждой переменной т ^, 9

к = 1,..., п. Полагая здесь тх = ... = тп = т, получим неубывание <9/\ (1+ т)“"+1

величины m r.

’ dzi У (1 - r)an-1‘

Л f 1 ( f (1 + r)“”+1

2) Так как m U, —— =1 и величина m r, —— ------ ---7 не

V dzi) V özj (1 - r)an—1

убывает по r € (U; 1), то существует предел

lim

Г—— 1 —

öA (1 + r)“m+1

m r,

= ¿0 є [1; те].

dzi) (1 - r)am—1_

Зафиксируем вектор г = (r1,..., rn); r k € (U; 1), k = 1,..., n. Пусть

r' = minr k, r" = maxr k. Из неубывания величины тшФе(г1,...,rn) k k 0

по каждой переменной rk € (0; 1) следует, что

/ . д/ - (1 + r/)“n+1 . ж .

” V • (1 - r/)»m —1 < ™пФ«(>'Ь . • • - r») <

, // f - (1+ r//)an+1

< m r , ——

’ OzJ (1 - r//)an—r Переходя в этом неравенстве к пределу при г ^ I-, получим

lim minФ0(г) = ¿п.

г—I — 0

Докажем, что существует #о € Rn, для которого выполняется третье равенство пункта 2) теоремы. Выберем возрастающую последовательность чисел r(k) > 0, r(k) ^ 1. Пусть минимум m ( r(k),-f )

V dzi/

достигается в точке z = z(k) = r(k)ei0< ) = (r(k) ei0i ) , ...,r(k) ei0n )). Из #(k) выбирем подпоследовательность, сходящуюся к #0, и будем считать, что #(k) ^ #о. Для фиксированного вектора г = (r1,... , rn) существуют такие числа r и r(k), что 0 < r < min rm < max rm < r(k).

m m

Тогда получим

/ d/ - (1 + r)“n+1 ^r,Ö^J (1 - r)an—1 < m0inф0 (r1,...,rn) < Ф0(к) (r1,...,rn) <

< Ф0(к) (r(k),. .., r(k)) = m ^r(k), ^

k ^ те, в предел d/ \ (1+ r)“n+1

dA (1 + r(fc))arn+1

Z; у (1 _ r (k) )am-1 '

Устремляя здесь k ^ те, в пределе будем иметь

’ dz; / (1 _ r)

an— 1

< Ф0(О)(r1,... ,r„) < ¿Q.

Переходя в этом неравенстве к пределу при r ^ 1_, получим, что

lim Ф0о(г) = Jq.

+/-

3) Пусть ¿о = 1 для какой-то функции /о(г) € Ц,. Преобразованием поворота в-®9/(гв®9) добьемся, чтобы для этой функции $о = О. Так как величина Фо(тъ ..., тп) не убывает по каждой переменной т^ € (0; 1), к = 1,...,п, и Фо(О) = 1, то

Фо(т1, .. . ,т„) = 1 Утй € (0; 1), к =1,...,п.

Этому тождеству удовлетворяет также функция ко (г). Тогда

fQ ( )

ЖТ(z)

dkc

dz

■(ф

¿0(z)

где 0(z) — аналитическая в Д” функция, вещественная при Zk G (0;1), k = 1,...,n,

ад = _. Ц f и/ |o. (,)).

Из принадлежности функции /о (г) семейству Ц, следует, что ог/о < а. С другой стороны,

ord/ = max sup

k zEÄ"

f d2/o(z) /d/o(z)^ 1 _ |zfe|

_ zk

max sup

k z£Ar

d2ko(z) /öko(z) . d1 _ |zk|

max

k

dzk

+ ’“ I ---------i !--------zkJk

>

/ ч / dk^ .00 \

(г)/ a!T(r) + ’diT(r)J

1 r2

_ rk J

r

2

2

max

k

. d0 1 - r| -а + *— (г)-----------------—k

dzk 2

d0

, 2 і d0 1 - r|

maxVа2 + ((г)^т-

> а.

Следовательно, —— (г) = 0 для всех к = 1,..., п, Уг = (г1,..., Г”); г^ = дх^

дд

|х&| € (0; 1). То есть —— (х) обращается в нуль в действительной дХ&

окрестности точки £(0) = х(0) + *у(0) € А”, где у(0) = 0, х(0) =

(ж^,... , ж”о)), xku) Є (0; 1) Vk. Тогда по теореме единственности ([13, д0

с. 32]) следует, что —— (z) =0 в Д”. Поэтому 0(zi,..., zn) = 0 в Д”, dzk

откуда получаем, что fo(z) = ko(z). □

Определение 5. Вектор 0о Є R” из п. 2) теоремы будем называть направлением максимального убывания (н.м.у.) функции f (z) Є Ц,, число ¿о — числом Хеймана функции f (z).

Определение 6. Направлением интенсивного убывания (н.и.у.) функции f (z) Є будем называть каждый вектор 0 = (0i,..., 0n),

0k Є [0;2п), такой, что

lim Ф0 (г) = ¿0 < те,

r^-J-

при этом ¿0 будем называть числом Хеймана, соответствующим н.и.у. 0.

Семейство Ц, разобьем на непересекающиеся подклассы Ц,(¿о), ¿о Є [1; те]. Функциям из Ula(¿о) соответствует одно и то же число Хеймана ¿о.

Следующие две теоремы дают информацию о том, как изменяются н.и.у. и числа Хеймана функции fa(z) при изменении а Є Д”.

Теорема 2. Пусть f Є Ц,. Для фиксированного а = (ai,..., an) Є Д” и ф = (<£>i,...,y>”) введем обозначения:

Д°)ї

R(r) = (Ri(ri),..., й”(Г”)) =

rieiV1 + ai Г”Є®^П + а”

1 + airiei^1 ,. .., 1 + а”Г”Є®^п

Y(r) = arg

rieiV1 + ai 1 + airi e®^1

, arg

1 + а”Г”Є®^п

Тогда

2

r^e

а

”

1) чтобы <р являлось н.и.у. функции /а(.г), необходимо и достаточно, чтобы

ai

і - а„ e*Yn

(3)

1 - äie*Yi

где Y = (yi,.. ., Yn) — н.и.у. функции f (z).

То есть при голоморфном автоморфизме поликруга Д” каждое н.и.у функции f (z) переходит в н.и.у. функции fa(z) и эти векторы связаны равенством (3);

2) lim Ф7(г) = lim Ф7(г)(Д(г)), где y и р связаны формулой (3).

r^-J- r^-J-

Таким образом, предел выражения

д/ ( ) dz;(z)

п(і-¡».і2)

k = 1

при Zk ^ вдоль окружностей в широком смысле, ортогональных

дД, не зависит от вида этих окружностей.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть ^ — н.и.у. функции /а^), то есть существует

lim

r^I-

^ (reiv) dz.

п

fc=i

і + rfc і — rfc

(і — Г;2) =f ¿a < те.

В то же время, так как

— (reiv) — dz; (re ) d/

(ß(r)eiY(r) dz; V

тр“(а) • (і + ä,neiVi)2 dz.

lim і — Rk(rk> — lim Rk(rt)- і — 1 ak 1 2

rk ^1- і — Tfc Tk ^1-

то получим, что

і і + äfce^k | 2’

¿a — lim

r—>•/—

z Öz( (ß(r)eiY(r))

d/ ( ) dz(a) • | і + a.r. e®^11 2

п

і + Rfc (rfc) і — Rfc (rfc)

(і — Rl (rfc))

®/n ____

e

e

a

n

CK

и

Ct

X

lim

r-► I-

п

k=1

і Rk (rk )

і — ГІ

Л

|f (а)|(і — |a.|2) J=H ¡і + айeiVk і2

П

і — rk J Vі — Rk(rk )/

і — |ak |2

lim Ф7(г}(Д(г)). rI

Поскольку последнее выражение в квадратных скобках конечно, то существует предел

lim Ф7(г)(Д(г)) = S < те.

r^J-

Величины Дк(rk) возрастают на некотором интервале (го, 1) для всех k = 1,. .., m. Поэтому при го < rk < r'k < 1 по теореме 1 будем иметь

Ф7(г0(д(г,)) >

здесь rk = (г, ,..., г” ). Устремляя в этом неравенстве rk ^ I—, для всех г = (г,, ..., Г”) : rk € (го; 1) Vk = 1,..., n получим, что

6 > Ф7(R(r)).

Следовательно,

def

S — lim Ф7(r) — lim Ф7(Д(г)) < 6 < те.

I

I

(4)

Это и означает, что 7 является н.и.у. функции /(х). Необходимость доказана.

Достаточность. Обозначим ^(х) = /а(х),

A = (e®7 : y € R” _ н.и.у. функции f (z)}, e®vi + а, e®Vn + ап

B

: (^i,...,^n) - ... F(z)

1 + ахв®^1 1 + а„е1^"

С = {в®п : п — н.и.у. функции ^_а(х)}.

По доказанному ранее следует, что С С В С А. С другой стороны, ^_а(х) = /(х), значит, А = С. Следовательно, А = В.

2) Возможны два варианта.

а

і

r

r

а) Если y не является н.и.у. для функции f (z), то из первого пункта теоремы следует, что

lim Ф7(г) = lim Ф7(г)(Д(г)) = те.

б) Пусть 7 — н.и.у. функции /(г), 6 — то же, что и в п.1). Ранее было доказано, что 6 < 6 < те (см. (4)). Остается показать, что 6 > 6. Введем обозначения:

Д—(г) = (Д— (г1),...,Д-(г„)) =

/ riei7l -

Y (r) = ( arg ----=------,..., arg -

r1e'Yl — a1 r e'Yn a / ne

1 — a1r1e'Yl ,. .., 1 — a„r„eiY"

e'Yn _ ,

lim

r^J—

1 — a1r1e*Yl

dfa / ri eiYl — _____________

dz; І1 — a1r1e*Yl , , 1 — onr„elY"

П

k = 1

1 + Д— (rk ) 1 — Д— (rk)

(1 — R-(r;)2)

Перепишем (4), заменяя в этом неравенстве функцию / на /а, 7(г) на 7-(г), Д(г) на Д-(г), £ на и учитывая связь между 7 и ^ (см. (3)):

lim

—

что равносильно

dfa (re'») dz;

П

k=1

1 + rfc 1 — rfc

(1 — r2)

< r

lim

r—>•/—

f (R(r)e‘Y<r>) dz;

df ( ) dz;w |1 + a;r;e'»i |2

П(! + Дi?i) (1 — R2(r;))

lim

r—>•/—

П

k=1

1 — Rfc (rfc)

1 — Rfc (rfc ) 1 — r;

1 — rfc у 1 — Д; (r;)

< ¿—.

Вычисления, аналогичные приведенным при доказательстве необходимости, показывают, что

df ( ) dz <“>

,, |, ,2, Л ( l' + ä‘ e'»' і2“ ^ (1 "k;|) Ml (1 — К |2 )ö / .

X

a

X

a

X

С другой стороны,

Иш

г—>•/—

д/ / ¿7Ї

5ІТ(ге’)

д/ ( ) 511(а)

Аш_ П

'і + а, 2 “Л1 - гк

ч 1 - Я;г^ )

1 - Гй 1 - Д- (г;)

П (1 - г;)2

+/ \й=Л 1 - Д-(гк)

1 - г;

66

й (а)

|1 + -; е1^ |

• Иш

2 г^Т-

П

1

;=л (Д-(гк))'

(Д-(г;))'

66

П

й(я) (1 - |а;|2) *=Л11+ ^е^|2“^

(1 - 1«к|2)с

так как

і™ (Д ЫУ = ,/ ,2

тк^1- |1 - с—е*^ |2

1 - |ак |2

|1 + -йе^к |2

1 - К|2 '

Следовательно, 6 < (5. Достаточность доказана. □

Теорема 3. Пусть /(г) € Ц,(60). Тогда

1) если 60 = те, то /(г, а) € (те) для любого а € А”;

2) если 6о € (1; те), то для любого 6 € (1; 6о] существует такое

а € А”, что функция /а(г) € (6).

Пусть 7 — н.и.у. /(г) и ему соответствует по формуле (3) ^(а) — н.и.у. /а(г). Тогда для любого 6 € (1; те) существует такое а € А”, что

6 будет являться числом Хеймана функции /а(г), соответствующим н.и.у. ^(а) этой функции.

3) Пусть 6о € (1; те) и существует такое натуральное ц : 1 < ц < п,

что |7д : 7 = (71,..., 7”)— н.и.у. функции /(г)} не попадают в некоторый интервал (ж', ж") С [0;2п). Тогда для любого 6 € (1; те) существует такое а € А”, что /а (г) € (6).

Доказательство. 1) Пусть 60 = те. Это означает, что у функции /(г) нет н.и.у. Но, по теореме 2, у функции /а(г) также не будет н.и.у. Следовательно, /а(г) € (те).

6

х

сх

2

2) По теореме 1 для любого y = (71,..., 7n) € R” существует

предел lim Ф7(г) = 67.

r—J-

Для фиксированных а € А” и 7 € И” воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 2 для Д—(г) и 6— = 6—(а). Тогда

6-( ) 6 1 А |1 - а^е®7к|2а (5)

67(а)= 67 —------------------ [[ —------. г^— . (5)

7 ^(а) (1 — |а;|2) к=1 (1 -|а:|2)а

Пусть 7 будет н.и.у. функции /(г) и а = ре®7, р = (Р1,...,Р”), р: € (0; 1) Ук = 1,..., п. Тогда (5) будет иметь вид

”

с— / \ 67 тт / 1 — рк \ 67

67 (аД

П

f (ре®7) (1 - р2) kiiV 1+ РкУ Ф7(р)'

Из первого пункта теоремы 1 следует, что непрерывная по а € А” (если а = ре®7, р € (0; 1)”) функция 6— (а) принимает все значения из (1; ].

Число Хеймана функции fa (z) будет равно 6-(а) = min 6—(а),

7 7

здесь 7 пробегает множество всех н.и.у. функции f (z). Докажем, что функция 6-(а) непрерывна в А”. Будем доказывать от противного. Предположим, что а(0) = (а10), ..., а”0)) — точка разрыва функции 6-(а). Тогда существует такая последовательность

a(m) = (a1m), .. ., а”0)) € А”, a(m) ^m—TO а(0), что lim 6-(a(m)) = 6-(а(0)). Возможны два варианта:

m—

а) существует такое е > 0, что при достаточно больших m е + 6-(а(0)) < 6-(a(m)).

Так как при некотором 7(0) имеет место 6-(а(0)) = 6—(0)(а(0)) и

(„ (mh

(0) I

7.о. (а

6-(а(т)) < 6—0) (а(т)), то

е + Г(0) (а(0)) = е + <Г (а(0)) < 6-(a(m)) < 6-0) (a(m)).

То есть при достаточно больших т имеет место неравенство 1|6—(0)(а(т)) — 6—(о)(а(0))|| >е,

что противоречит непрерывности по а 6-(0) (а);

б) существует такое е > 0, что при достаточно больших т

е + 6-(а(т)) < 6-(а(0)).

Поскольку 6- (а(т)) = 6-(т) (а(т)) для некоторого н.и.у 7(т) функции /(г) и 6-(а(0)) < 6-(т) (а(0)), то

є + <Т<„) (а(т)) <^-(а(0)) < <Лт) (а(0)).

(6)

/ («("))

д£;

1

По теореме искажения в (см. [2]) величины

-1

ограничены сверху некоторой положительной константой М (здесь учитываем, что ||а(т) — а(0)|| —> 0). Тогда с учетом (5)

т—

будем иметь:

|6-т (а(т)) — 6-(т) (а(0))| <

5/ <“(0)>

< ¿7(т) М

(1 -1а(т)12) (1 -Кт)|2)а

П

|1 - а^е^ |2с -,(т)|

(1 - |а(0)|2) ¡Ц (1 - |ак0)|2)

0.

Это противоречит (6).

Значит, 6-(а) непрерывна в А” и, следовательно, принимает в А” все значения от 1 до 6* (О) = 60.

Для фиксированного 7 положим в (5) а = —ре®7. Тогда будем иметь

(а) =

1 + Рк

й (ре^7) (1 - р2) ¡=1 V 1 - Рк

П

^7 П

1 + Рк ¡¡==1 V 1 - рк

Ф7 (Р)

Р^1-

1

а

2

.

Значит, 6-(а) может принимать сколь угодно большие значения, следовательно, может принимать все значения из [67; те), так как 6-(0) = 67. Ас учетом того, что 6-(а) принимает все значения из промежутка (1; 67], следует, что 6-(а) принимает все значения из (1; те).

3) В случае 6 € (1; 60) утверждение было доказано в п. 2 без каких-либо ограничений на множество н.и.у. функции /(г).

Остается проверить справедливость п. 3) в случае 6 € (60; те).

Обозначим х" — х' = 2п, вд = ж' + п, в: (к = ?) — любые фиксированные числа из [0; 2п), в = (01,..., в”), а = ре®0.

Пусть ^ = ^(а) — н.м.у. функции /а(г). По теореме 2 при голоморфном автоморфизме поликруга А” оно перейдет в некоторое н.и.у. 7 = (71,..., 7”) функции / (г) и связь между этими векторами будет определяться по формуле (3). Для фиксированного а € А” число Хеймана функции /а обозначим

6 (а)

Иш

г—I-

д/а (ге®*) дг\

П

:=1

1 +

1 — Гк

(1 — г2).

Применяя теорему 2 (заменяя / на /а, 7 на у>, Д(г) на Д (г), 7(г) на

7(г)) и равенство (5), получим

6 (а)

Иш

г-> I-

д/а / ^е®71 — а1

I 1 — а1е®^1 '

й=Л1 — Д- (г: )

п(1+Д^) (1—я-(г<)2)

|1 — аке®7к |2а

(1 — |а:|2)а :

= 67-------------------------------П

й(а) (1 — |а;|2) к=1

здесь Д-(г: ) определяется так же, как и в п. 2).

Положим а = ре®7, 7 — н.и.у. функции /. По теореме 1 существует предел

Иш

р—I-

д/ ( ) ^(а)

П

: =1

1 + р: 1 — р:

(1 — р:)2

€ [1; те).

(7)

О!

г» ю" т ' ”е

а

”

х

1 - й”е®^п

X

По условию теоремы выполняется неравенство || Yq — II > П, поэтому

п

fc=1

1 - Pfc

|1 — Pfcei(Yk 0fc) |

2a

<

1 — Pq

|1 — pqei(Yq 0q ) I/ p—-f

2a

0.

(8)

Из (7) и (8) следует, что

dfa ( )

я-(a)

п

k=1

(1 — КI2)a

|1 — äfce^fc |2a p—/-

0.

Учитывая последнее соотношение, получим, что lim S (a) = те. По-

-

этому существует такое ao G А”, что для функции fa0 (z) число Хей-мана S-(a) > S. Тогда по п. 1) теоремы для функции F(z) = fa0 (z) G (S-(a)) существует такое a G А”, что Fa(z) G (S). □

Resume

In this paper the theorem of regularity of decrease for linearly invariant families of functions in the unit polydisk was proved. This result generalizes the analogous theorem for the unit disk.

Список литературы

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.I / Ch. Pommerenke // Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[2] Godula J. Linearly invariant families of holomorphic functions in the unit polydisk/ J. Godula, V. V. Starkov// Generalizations of Coplex Analisis. Banach Center Publ. N 37. 1996. P. 115-127.

[3] Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions / J. Krzyz // Bull. Acad. Polonici Sci. 1955. V. CI. N 3. P. 203-206.

[4] Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Иностранная литература, 1960.

[5] Bieberbach L. Einfuhrung in die konforme Abbildung / L. Bieberbach. Berlin: Sammlung Goschen, 1967.

[6] Campbell D. M. Locally univalent function with localy univalent derivatives / D. M. Campbell // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. P. 395-409.

[7] Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна, 1984). София, 1984. С. 76-79.

[8] Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков // Сердика. 1985. Т. 11. C. 299-318.

[9] Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейноинвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Известия вузов. Математика. № 2. 2007. С. 75-78.

[10] Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейноинвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. Математика. Вып. 13. Петрозаводск, 2006. С. 46-59.

[11] Ganenkova E. G. On the theorem of regularity of decrease for universal linearly invariant families of functions (в печати).

[12] Годуля Я. Теорема регулярности для линейно-инвариантных семейств функций в поликруге / Я. Годуля, В. В. Старков // Известия вузов. Математика. № 8. 1995. С. 21-33.

[13] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: В 2 т. Т. 1 / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1976.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]