ПЕРЕЛЕТЫ СО ВСТРЕЧЕЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ НЕ БОЛЕЕ ВИТКА МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ОКОЛОКРУГОВЫМИ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78.076.66

перелеты со встречей продолжительностью не более витка между близкими околокруговыми компланарными орбитами

© 2020 г. Брагазин А.ф., усков А.в.

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070,

e-mail: post@rsce.ru

Рассматриваются перелеты со встречей космических аппаратов в классе компланарных непересекающихся околокруговых орбит корабля и орбитальной станции. Продолжительность перелета предполагается ограниченной одним витком. Рассмотрены возможности реализации встречи с использованием оптимального двухимпульсного межорбитального перелета. Для определения единственного свободного параметра перелета — момента его начала, обеспечивающего встречу в заданный момент времени или с заданной скоростью в конце перелета, — получены соответствующие уравнения.

Для реализации в алгоритмах наведения предложены оптимальные трехим-пульсные программы коррекций для достижения встречи в заданный момент времени с заданной относительной скоростью в момент контакта космических аппаратов. Определен диапазон разностей фаз на начало маневрирования, в котором характеристическая скорость встречи совпадает с минимальной характеристической скоростью межорбитального перелета. Приведены результаты моделирования схем «быстрой» встречи с использованием предложенных программ.

Ключевые слова: космический корабль, орбитальная станция, «быстрая» встреча, перелет, программа встречи.

DOI 10.33950/spacetech-2308-7625-2020-3-82-93

TRANSFERS wiTH A RENDEZvOuS LASTING NO more than ONE ORBiT BETwEEN close

near-circular coplanar orbits

Bragazin A.F., uskov A.v.

S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail: post@rsce.ru

Consideration has been given to orbit transfers involving spacecraft rendezvous which belong to a class of coplanar non-intersecting near-circular orbits of a spacecraft and a space station. The duration of the transfer is assumed to be limited by one orbit. The feasibility of a rendezvous using an optimal two-burn orbit-to-orbit transfer is studied. To determine a single free parameter of the transfer, i.e. the time of its start, ensuring a rendezvous at a given time or at a given velocity at the end of transfer, appropriate equations have been obtained.

To implement in the guidance algorithms optimal three-burn correction programs are proposed to achieve a rendezvous at a given time with a specified

relative velocity at the moment of spacecraft contact. A range of phase differences at the start of maneuvering is determined, within which the characteristic velocity of the rendezvous is equal to the minimum characteristic velocity of the orbit-to-orbit transfer. The paper presents simulation results for «quick» rendezvous profiles that use the proposed programs.

Key words: spacecraft, orbital station, «quick» rendezvous, orbit transfer, rendezvous program.

БРАГАЗИН А.ф. УСКОВ A.B.

БРАГАЗИН Александр Федорович — кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru

BRAGAZIN Aleksandr Fedorovich — Candidate of Science (Engineering), Lead research scientist at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

УСКОВ Алексей Викторович — ведущий инженер-математик РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru

USKOV Aleksey Viktorovich — Lead engineer-mathematician at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

Аппаратура спутниковой навигации, установленная на современных космических аппаратах (КА), значительно повысила оперативность и точность навигационного обеспечения системы управления сближением и обеспечила необходимые условия для реализации так называемых схем «быстрой» встречи КА [1, 2]. Расчетная продолжительность встречи российских кораблей серий «Союз» и «Прогресс» для исходных некомпланарных орбит с момента начала маневрирования до момента встречи в алгоритмах наведения [1, 3] ограничена снизу двумя витками. В работе [4] предложены программы встречи КА для околокруговых компланарных непересекающихся орбит, дополняющие алгоритм наведения [1, 3] для продол-жительностей встречи от одного до двух витков. Программы содержат на конечном участке перелета трехимпульсную программу встречи продолжительностью

виток, определенную по методу распределения импульсов оптимального межорбитального перелета. Фазирование для достижения необходимой разности фаз на начало трехимпульс-ной программы встречи обеспечивается маневрированием на предшествующем участке полета и достигается разделением импульсов оптимального межорбитального перелета, не приводящим к увеличению расхода топлива.

Программы для продолжитель-ностей встречи не более витка рассматриваются в предлагаемой статье. Назначение продолжительности встречи в пределах витка позволяет рассмотреть возможности использования оптимального двухимпульсного перелета между околокруговыми компланарными орбитами для достижения встречи. Для продолжительности встречи, превышающей продолжительность оптимального двухим-пульсного межорбитального перелета,

определены условия существования трех-импульсного перелета с фиксированным значением конечного импульса, обеспечивающего заданные априори конечные условия встречи.

Статья дополняет исследование алгоритмов встречи [4] для околокруговых компланарных непересекающихся орбит. Предложенные оптимальные решения задачи встречи продолжительностью менее двух витков содержат только транс-версальные импульсы одного направления и относятся к так называемым компланарным особым решениям в соответствии с терминологией, предложенной в работе [5].

Представление относительного движения кА для компланарных орбит [3]

Вектор относительного положения двух КА в проекциях на оси опорной орбитальной системы координат (ОСК), вращающейся с угловой скоростью ш? = const, определяется как разность Ar = (x, y) = гП - rA, где rA — вектор положения активного корабля (АК), выполняющего маневры; г П — вектор положения пассивного корабля, например, орбитальной станции (ОС). Аналогично определяется вектор ДУ относительной скорости КА. Безразмерный вектор относительного положения определяется

по формуле где R0 — радиус опорной R0

орбиты; безразмерный вектор скорости —

по формуле . В качестве независимой R0®0

переменной в линеаризованных дифференциальных уравнениях движения [6] принимается центральный угол J = w?t, определяющий положение ОСК, являющийся безразмерным аналогом времени, и по отношению к J в статье используется терминология, принятая для реального времени. Параметры относительного движения АК и ОС определим по формулам:

c1 = x - 2y'; c2 = 2y + x'; c3 = -3y - 2x'; c4 = y'

(1)

(штрихами помечены производные координат по аргументу д) и представим решение уравнений относительного движения в виде:

С1 (д) = С1(д0) - 3с2(^ - д0);

С2(&) = ^^^ (2 )

Cз(J) = Cз(Jo)cos(J - до) + ^до^тд - до);

c4(J) = ^(до^д - до) - cз(3о>т(3 - до).

Физический смысл параметров относительного движения поясняется в работах [3, 7].

реализация встречи на двухимпульсном оптимальном межорбитальном перелете между близкими околокруговыми компланарными непересекающимися орбитами

Для непересекающихся орбит АК и ОС параметры относительного движения удовлетворяют ограничению:

J = 4^ - c2 - c2 > о, ( 3 )

где ] — инвариант невозмущенного относительного движения двух КА. Без ограничения общности далее будем полагать, что е2 > о.

Оптимальный межорбитальный перелет продолжительностью менее витка содержит два трансверсальных импульса

Au? =

J

1 4(2c+ C,)'

(4)

Au? = 4(2c + c ) [(2c2 + c3)2 + c2J = ^ - ^

если предположить дополнительно, что 2c2 + ^ Ф о.

Начало перелета д1 — произвольный момент времени; момент окончания перелета д2 = д1 + то, где

т? = p + 2arctg

2С2 + С3

(5)

— продолжительность оптимального перелета, о < т < 2р.

При 2е2 + е3 = о единственный импульс, прикладываемый в начале перелета в точке касания орбит, определяется по формуле

Au? = ?,25(2c2 + {c[+cl ) = c2.

(6)

Графическое представление характеристик перелета содержится в работе [3].

1

c

4

Характеристики оптимального межорбитального перелета зависят только

от параметров c2, c3, c4, определяю-

щих размеры и форму исходных орбит. Встреча по завершении оптимального двухимпульсного перелета достигается при условии, что на момент J разность фаз встречающихся КА удовлетворяет уравнению [3]

c1(»1) - S 3(J - »¿Au. =

i = 1

(7)

= ciJi) - 3t0(&I) Au02 J = 0.

Связь (7) между параметрами относительного движения определяет положение соединения, когда одновременно с завершением межорбитального перелета достигается встреча КА.

Представим параметры относительного движения на момент ». как функции аргумента 0 < ф < 2п, отсчитываемого

от момента прохождения максимального по модулю отклонения по высоте у* траектории относительного движения, и параметра формы траектории e*, определяемого как отношение минимального у** и максимального отклонения по высоте (ё* = у**/у*):

с2(ф) = 0,25(у* + у**) = 0,25у*(1 + в*);

c3(9) = 0,5(y* - y**)cos9 = = 0,5y*(1 - e*)cos9;

(8)

^(ф) = -0,5(у* - у**)з1пф =

= -0,5у*(1 - в*)siпф.

Без ограничения общности положим у* = 1.

Представление о совокупности положений соединения в декартовых координатах ОС К можно получить, выразив координаты как функции аргумента ф:

х(Ф) = c*(9) + 2c4(9) = c*(9) + 2у'(Ф) = c*(ç) - (1 - e*)s^; У(ф) = 2c2 + е3(ф) = 0,5[1 + e* + (1 - е*^ф],

(9)

где с*(ф) определяется связью (7).

Общий вид положений соединения в ОСК с началом в центре масс орбитальной станции (ОС) представлен на рис. 1. Параметром кривых является e*. Отметим, что при значениях ф = 0 и ф = п значение т0 = п, а положения соединения принадлежат выделенной синим пунк-

3п

тиром прямой x

4

- y, называемой линией

хомановских переходов [7].

Рис. 1. Положения соединения на плоскости X0Y ОСК орбитальной станции

Возможности практического использования двухимпульсного оптимального перелета для достижения встречи ограничены, так как единственным свободным параметром является момент

начало перелета. В известных

алгоритмах управления сближением [1, 3, 8] назначаются момент встречи Фпр и так называемая прицельная скорость Упр = (V , 0, 0) на момент контакта, выбираемая исходя из требований навигационного обеспечения и безопасного сближения при подлете АК к ОС. Выбором начала перелета можно обеспечить либо встречу КА в заданный момент времени, либо величину скорости в момент контакта КА в диапазоне, ограниченном апсидальными импульсами оптимального межорбитального перелета.

Будем полагать, что на момент »^ разрешенного начала маневрирования заданы параметры относительного движения с2, с3, с4.

Оптимальный двухимпульсный перелет продолжительностью т0, заканчивающийся встречей КА, начинается в момент ». = Ф - т0. Значение ».

1 пр 1

является решением трансцендентного уравнения на интервале ( Ф^, Ф ):

апр - а = да). (10)

Рис. 2 иллюстрирует нахождение решения уравнения (Ю). Аргумент д и функции Дд) = дпр - д; то(д) выражены в градусах. Решение &1 для начала оптимального двухимпульсного перелета далее будем обозначать &°о по аналогии с другими характеристиками такого перелета. Оно определяется как абсцисса точки пересечения прямой ^д) = дпр - д, выделенной синим цветом, и

функции то(д) на интервале (дд, дпр)

Рис. 2. Иллюстрация к решению трансцендентного уравнения (10)

На рисунке представлены решение &о уравнения (Ю) для заданного дп при фиксированном значении e и интервал допустимых значений (&™п, дпр), а также максимальный в предположениях задачи интервал (дд, О™*) продолжительностью виток. Будем предполагать, что заданное значение д > 0ш1п.

' " пр пр

Очевидно, граница Э™п определяется по формуле

ОТ = + д)

(11)

где то(дд) — продолжительность оптимального перелета, начинающегося в момент рассчитывается по формуле (5). Разность фаз на момент начала перелета определяется связью (7). Разность фаз на момент определяется по формуле прогнозирования переменной е1(&).

Параметры, определяющие размер и форму исходных орбит КА, ограничивают возможность назначения произвольного значения V при реализации оптимального двухимпульсного межорбитального перелета. В самом деле, значения импульсов, рассматриваемые

как функции начала перелета ф, летворяют очевидному ограничению

о,25у** < Аи°> (ф) < о,25у*; о,25у** < Аи? (ф) < о,25у*,

удов-

(12)

где у** и у* — отклонения вдоль радиус-вектора в апсидальных точках невозмущенного относительного движения. Если заданная величина прицельной скорости удовлетворяет неравенству .* * <г- л т/ <<

У*

< 4 V < у*

пр

(13)

перехода с при-находится

Аио = V

2 пр

то момент начала цельной скоростью из уравнения:

Аu0 = о, - Аи° = V .

2 2 1 пр

С помощью формул (4), (8), получим уравнение относительно ф:

V

2е* - (1 + е*)

1 + е* - 4-

пр

У* J

= (1 - е*)

1 + е*

V

У* J

(14)

COSф.

Напомним, что ф отсчитывается от большей по величине апсиды траектории относительного движения. В соответствии с формулами (8) аргумент фд этой апсиды на момент определяется через параметры с3(дд) и с4(дд). Начало перелета нетрудно привязать к

= д + (ф - фд)

Очевидно, момент встречи не может задаваться независимо от V и определяется по формуле д пр = д + то(&4), где то(&4) — продолжительность перелета. Разность фаз на момент начала перелета определяется связью (7). Значение с1(дд) на разрешенное начало маневрирования определяется по формулам прогнозирования невозмущенного движения.

оптимальная трехимпульсная встреча для непересекающихся орбит

Для обеспечения заданной прицельной скорости V в заданный момент встречи дпр рассмотрим трехимпульсную программу с трансверсальными импульсами. Для фиксированного начала перелета всегда существует оптимальный двухимпульсный межорбитальный перелет продолжительностью то(&4), рассчитываемый по формулам (4)-(б). Будем

далее полагать, что заданный момент встречи апр > а1 + т0(Ф1), а программа встречи имеет вид

а1

Ди

Ф2

Ди

а3 = а

3 пр

Ди3 = V .

3 пр

12

Представим уравнения связи между параметрами движения и импульсами [3] в следующем виде:

с1(Ф1> - ЗФ2 - Ф^и - 3(Фпр - Ф^ Vпp = 0;

С2(а1) - Ди1 - Ди2 - Vпp = 0;

с3(а1) + 2Ди1 + 2Дu2cos(а2 - а1) + + - а1) = 0; (15)

с4(а1) + 2Ди^т(а2 - а1) + + 2V siп(а - а,) = 0.

пр пр 1

Последние три уравнения системы (15) определяют характеристики Ди1, Ди2, Ф2 межорбитального перелета, начинающегося в момент а = а1. Выделим их как отдельную систему:

с2 - Ди1 - Ди2 = 0;

(16)

с3 + 2Ди1 + 2Дu2cosт = 0; с4 + 2Дu1siпт = 0,

где с2 = с2 (ф1) = С2(ф1) - 7Пр;

с3 = с3 (а1) = С3Ф1) + 2 ^(ф - а1); (17) с4 = с4(а 1) = с4(а1) + ^пф - а>); т = а2 - аГ

Система (16)-(17) определяет оптимальный двухимпульсный перелет с началом в произвольный момент а = а1 только для непересекающихся компланарных орбит. Представим инвариант относительного движения с параметрами с', (г = 2, 3, 4) в виде:

J = 4с22 - с32 - с42 = 4с22 - с32 -с 4 - 4^рУ0(апр) = Jo - ^прУ0^

где

т = 4с2 - с2 - с2 =

^0 ь3 4

= (2с2 + V + с4 )(2с2 - )1с23 + с24 ) = у*У

У0(апр) = 2с2 + с3^(^р - +

+ С4Siп(апp - а!).

Условие непересечения орбит принимает вид:

Л - 4^рУ°(апр) > 0. (18)

Отсюда, в частности, следует, что оптимальное решение существует даже для исходных орбит, касающихся в момент а = а , если с - V > 0.

пр 2 пр

Решением системы (16)-(17) является оптимальный двухимпульсный перелет с начальной орбиты, определяемой параметрами с.(ф1) (г = 2, 3, 4) движения относительно круговой опорной орбиты, на некоторую промежуточную орбиту, при движении по которой в момент а3 = апр достигается цель. На момент а = а2 параметры относительного движения, определяющие промежуточную орбиту, суть:

с2(а2) = К,

с3(а2) = -2^(апр

с4(ф2) = -2VпpSiп(а

пр

а2);

Ф2^

(19)

и значения ординат апсидальных точек траектории относительного движения в орбитальной системе координат:

у

^ (

= 2с2 + {С3+С3 = 4 Уг

пр

Ур = 2с2 - ^с4 + с4 = 0,

т. е. переходная орбита касается орбиты ОС. Траектория перелета с момента а до момента а = а является

2 3 пр

частью траектории хомановского перелета между близкими околокруговыми компланарными орбитами. В самом деле, представим декартовы координаты в ОСК корабля на момент а2 через параметры относительного движения:

а = с^) + 2с4(Ф2) =

= Vпp[3(апp - а2) - 4Siп(апp - а2)]; (20)

У(а2) = 2^ + С3 Ф = 2Упр[1 - шф - а^].

Формулы (20) являются параметрическим представлением траектории хомановского перелета на отрезке [а2, апр]. Для представления траектории в ОСК ОС в формулах (20) следует изменить знаки х(Ф2) и у(ф2) на противоположные.

В уравнениях (15)—(17) варьируемые моменты начала и конца перелета удовлетворяют ограничениям &ЛГ < &1 < &пр и & - &., < 2р. Обозначим Л& = & - &.,

пр N пр 1'

где Л& > т0(&1).

Если Л& = т0(&1), то трехимпульсный перелет в точку встречи вырождается в двухимпульсный перелет.

Если Л& = 2р, то трехимпульсный перелет для встречи, начинающийся в момент &1 = &ЛГ и рассчитанный по уравнениям (16)-(17), иллюстрирует метод распределения (расщепления) импульсов двухимпульсного межорбитального перелета [7] между исходными орбитами АК и ОС. В этом случае первый импульс Ли! межорбитального перелета делится на два импульса программы встречи следующим образом:

Ли1(&1) = ЛИ0 - Упр; Л«з(&Пр) = Л"э(&1 + 2п) = ^Пр.

Если т0(&1) < Л& < 2р, то уравнения (15)-(17) позволяют определить множество трехимпульсных перелетов с заданной прицельной скоростью Упр. Далее рассматриваются два типа перелетов, представляющих практический интерес.

1. Трехимпульсные перелеты первого типа. Начало перелета &1 — варьируемый параметр, конец перелета &пр фиксированный параметр. Фиксация конца перелета используется, например, для обеспечения приемлемых условий освещенности на случай перехода к ручному управлению, для обеспечения резервирования связи между кораблем и ЦУП на конечном участке встречи.

2. Трехимпульсные перелеты второго типа. Начало перелета &1 — фиксированный параметр, конец перелета &пр варьируемый параметр. Перелет используется для обеспечения минимальной продолжительности операции с момента выведения.

Будем полагать, что для заданных на момент & = &Д, параметров относительного движения неравенство (18) справедливо.

Рассмотрим трехимпульсные перелеты первого типа. Найдем решение уравнения (10), определяющего момент &0 начала оптимального двухимпульсного перелета, заканчивающегося встречей в момент &пр. Начало &1 трехимпульсного перелета назначим на интервале (& &0). Тогда назначенная продолжительность трехимпульсного перелета &пр - &1 > т0(&0).

Первые два импульса трехимпульс-ного перелета составляют оптимальный перелет с исходной орбиты корабля на промежуточную хомановскую орбиту, при движении по которой в момент & = &пр обеспечивается заданная прицельная скорость Упр. Продолжительность т двухимпульсного перелета на промежуточную орбиту рассчитывается по формуле (5) для параметров относительного движения с'(&1) (г = 2, 3, 4).

Для существования трехимпульсного перелета необходимо, чтобы было удовлетворено неравенство:

&1 + т(&1) < &п

(21)

Покажем, что, если &1 < &0, то (21) справедливо. Рассмотрим функцию

/(&) = & + т0(&) = & + р + 2агС#

оХ О

2 о2 + с3( О)

продолжительность опти-

где т0(&)

мального двухимпульсного перелета для исходных орбит. Производная этой функции с помощью (8) представляется в виде:

/'(&) =

2 в*

(1 - в*2)ео8$ + (1 + в*2)

и положительна при е* > 0. Поскольку &0 — решение уравнения (10), то

&0 + т(&0) = &пр,

и для &1<&0 справедливо неравенство

&1 + т0(&1) < &

пр

(22)

Для справедливости неравенства (21) достаточно показать, что

т (&1) < т0(&1).

(23)

Поскольку аг^х — монотонно возрастающая функция при -да < х < да, преобразуем неравенство (23) с помощью формулы (5) к виду

<

2о2 + о; 2о2 + Оз

и подставим переменные с. (г = 2, 3, 4), определенные по формулам (17). Используя уравнения (9) и (17), перепишем неравенство(23)в виде

о

о

4

УФ,) + ^Ч» -

<

У'(&1>

y(&!> + 2Упр[ео8(Фпр - ^ - 1] y(dt)

после несложных преобразований приведем к неравенству

У'(»1>

<

y(&l) 008(0 - öt> - 1

которое равносильно неравенству

„ „ ®.р -Ctg — » ■

Последнее неравенство равносильно неравенству (22), и существование трехимпульсных перелетов для &1 < доказано.

Разность фаз на фиксированное начало & = &1 трехимпульсного маневра встречи, определяющая единственное положение соединения для заданных параметров относительного движения с.(»1) (г = 2, 3, 4) и параметров встречи & , V , рассчитывается с помощью

1 пр пр7 1 ^

первого уравнения по формуле:

системы

с1*(»1) = 3хАм2 + 3А&Уп

(15) (24)

Параметры относительного движения на начало маневрирования & = &N определяются по формулам прогнозирования невозмущенного движения (2). Положение соединения достигается при пассивном полете с момента & = &„ до момента & = &1.

На рис. 3 представлены границы оптимального диапазона разности фаз c^XJ) = с1*(&) и cmax(&) для трех-импульсных перелетов с варьируемым моментом & (&N < & < &0) приложения первого импульса. Расчет произведен для параметра e* = 0,6.

На момент &N = 0 значение параметра, определяющего ориентацию разности векторов эксцентриситетов, ф = 90°. Фиксированный параметр &пр = 360°. Значения &N и &пр представлены на рисунке вертикальными прямыми.

Продолжительность оптимального двухимпульсного перелета между исходными орбитами т0 = 208,07°, отсюда следует, что &0 = 151,93°. Нижняя граница диапазона определена по формуле (24).

Верхняя граница диапазона разности фаз определена по формуле:

стах(а) = С1*(&0) + 3с2(»0 - а). (25)

Пунктирные линии на рисунке соответствуют пассивному полету корабля с момента до момента &1 начала

трехимпульсного перелета со встречей в момент &

пр

4,8 4,4 4,0 3,6 3,2 2,8 2,4 2,0

\ 1

\ I

\

1

\

V 1

\ 1

л ч

ч \ ч \

ч \ \ \ .0

1

\ \ \ [

\ ч ч k 1

л ч \ \ \ i .

L \ ч V м

н ч

■ 1 1 1 1 ■ ■ ■ 1

60 120 ISO 24Ü 300

э, &, а,

9

'1 1

Рис. 3. Диапазон оптимальных фаз для трехимпульсных перелетов первого типа

На рис. 4 представлены траектории относительного движения с момента & до момента & . На момент &.,

^ пр N

траектории начинаются на линии с разностью высот у = 0,8, траектории отличаются значением момента первой коррекции &1, координаты первой коррекции трехимпульсного перелета отмечены на рисунке красным кружком.

N

все

У

>.Q -4 ,0 2 ,0 1 1 ,0 1 1'

У

1

/ /

i У/, 7

/ /

151,9 3 20 90 601 ) <

х

--0,2

-0.4

0.6

0.8

4-1,0

Рис. 4. Траектории относительного движения с момента &N до момента &п для перелетов первого типа

Рассмотрим перелеты второго типа. Будем считать, что оптимальный двух-импульсный перелет начинается в момент & = а его продолжительность — t0(&n). Трехимпульсные перелеты с закрепленным началом &1 = &N существуют, если назначаемый момент окончания перелета &п варьируется на интервале &N + t0(&n) <\р < &N + 2p. В самом деле, продолжительность двухимпульсного перелета, определяемого системой уравнений (16)-(17), не превышает продолжительности оптимального двухимпульс-ного перелета между исходными орбитами АК и ОС, если оба перелета начинаются в один и тот же момент времени. Очевидно, что минимальное значение &пр для трехимпульсного перелета второго типа

£mm = О + Т0(Л ) + g,

пр N V N' '

где g > 0 — сколь угодно малая величина.

Разность фаз на фиксированное начало &1 = &N трехимпульсного маневра встречи, определяющая единственное положение соединения, рассчитывается по формуле (24) и представлена на рис. 5. Исходные параметры относительного движения на момент

&1 - &N = 0

суть е* = 0,6; ф(0) = 90°. Назначаемый момент встречи &пр варьируется на интервале т0(0) < & < 3б0°, где т0(0) = 151,93°.

Рис. 5. Оптимальная разность фаз на начало трехим-пульсных перелетов второго типа

На рис. 6 представлены траектории относительного движения с момента до назначенного (варьируе-

&N= 0

мого) момента &пр. На момент &N все

траектории начинаются на линии с разностью высот y = 0,8. Красным цветом выделена траектория двухимпульсного перелета со встречей.

Рис. 6. Траектории относительного движения с момента &я = 0 до варьируемого момента &пр для перелетов второго типа

Построение трехимпульсных перелетов для заданных параметров относительного движения

Перелеты первого типа (с фиксацией & ). Первый этап построения перелета -решение трансцендентного уравнения (10) относительно &0 определяющего верхнюю границу значений &1 для начала трехимпульсных перелетов, < < &0. Верхняя граница диапазона оптимальных фаз на момент определяется по формулам (24) и (25). Нижняя граница — ст&) = с*&).

Трехимпульсный перелет для заданных значений с&д^) (г = 1, 2, 3, 4) существует при условии, что

C1min(&N) < Ci(&n) < C1maX(&N).

Момент

(26)

1 начала перелета находится как решение трансцендентного уравнения

на интервале &N < &1 < &0 c1(&) = с™п(&),

(27)

где нижняя граница оптимальных фаз ст;П(&) определяется по формуле (24) и достигается после пассивного полета с момента &N до момента &. Разность фаз на момент & определяется по формуле

Ci(&) = Ci(&n) - 3С2(& - &N).

(28)

На рис. 3 моменты &1 определяются как точки пересечения пунктирных прямых (28) с функцией с*(&) = о™"»).

При подготовке полета АК достаточно хорошо известны характеристики ракетоносителя, определяющие размер и форму орбиты АК, т. е. параметры с2, с3, с4 относительного движения АК

и

ОС

на момент

J

разрешенного

начала маневрирования. Разность фаз назначается, исходя из неравенства (26).

Перелеты второго типа (с фиксацией J = JN). Продолжительность t°(&n) оптимального двухимпульсного перелета определяется по формуле (5). Разность фаз на фиксированное начало &1 = трехимпульсного маневра встречи рассчитывается по формуле (24). Нижняя граница диапазона разностей фаз соответствует &п = t°(&n); верхняя граница »пр = Э1 ПРгде Этрах < + 2р — априори заданная продолжительность трехим-пульсного перелета. Значение параметра c1(&w) должно удовлетворять неравенству вида (26). Значение &пр находится как решение уравнения

J) = С» JA

где cJ фпр) = Зта^2 + 3(»пр в соответствии с формулой (24).

Результаты моделирования

(29)

Предложенный подход может использоваться для реализации сближения российских кораблей с ОС. В качестве исходных орбит примем орбиту выведения корабля с перигеем 180 км, апогеем 220 км и круговую орбиту ОС высотой 400 км (высоты отсчитываются от поверхности шара с радиусом 6 378,136 км). За момент отделения корабля от носителя принят момент прохождения перигея &0 = 0. Плоскости орбит корабля и ОС в момент &0 = 0 совпадают. Разность фаз корабля и ОС на момент &0 = 0 составляет 11°. Разрешенное начало маневрирования &д = 90°, момент встречи — &пр = 400°. Относительная скорость на момент встречи % = (^ 0, где 7р = Ю м/с.

Перелет первого типа. Оптимальный двухимпульсный межорбитальный перелет с фиксацией &пр имеет следующие характеристики:

&0 = 213,166°; Аи0 = 62,497 м/с;

Au2° = 53,191 м/c; т0 = 186,834°; c1(&°) = 3,859°.

Диапазон оптимальных фаз для трехимпульсных перелетов на разрешенное начало маневрирования определяется границами с™"»^) = 4,801°; c—(&N) = 9,392°. Заданная разность фаз на c1(JN) = 6,957°, и неравенство (26) ■ справедливо.

Решение уравнения (27) для начала трехимпульсного перелета J1 = 159,027°. Программа перелета представлена в табл. 1. Характеристическая скорость VX = 115,687 м/с.

Таблица 1

Программа встречи для перелета первого типа

Моменты приложения импульсов градусы от J° = 0 Моменты приложения импульсов витки от = 0,25 Значения импульсов Au., м/с

159,027 0,1917 59,749

322,738 0,6465 45,938

400,000 0,8611 10,000

Траектория перелета в ОСК ОС с момента & = 0 до момента & = 400°

0 пр

выделена на рис. 7 черным цветом и надписью с1(&0) = 11,0°. Координаты в мо-

менты

и

моменты

приложения

импульсов выделены «жирными» метками.

-1200

-800

-400

О

9

iu I—1-.

; , Ш пр

.........4.......:....... ........j.......... ......Î....... ..........I.......... ..........i.......... щ2У

........1..... ........... ■

! .........i.......... i /

: ..........I.......... / / 1 ;

!

1

Au

■c;Ç9()) -1 Au I

Йш = 8,844°

-40

■-2-10

Разность координат вдоль орбиты, км

Рис. 7. Траектории относительного движения в ОСК ОС для трехимпульсных перелетов

Перелет второго типа. Оптимальный двухимпульсный межорбитальный перелет с фиксацией &д имеет следующие характеристики:

т0 = 168,579°; Ли0 = 57,265 м/с; Лм20 = 58,422 м/с; c1(&N) = 3,824°.

В данном случае, когда &пр - &N < 360°, принято в качестве & = 400°. Раз-

пр

ность фаз с^&д,) определена по формулам (29). На момент &0 = 0 разность фаз составляет 8,844°. Программа перелета представлена в табл. 2. Характеристическая скорость Ух = 115,687 м/с.

Таблица 2

Программа встречи для перелета второго типа

Моменты приложения импульсов градусы от &0 = 0 Моменты приложения импульсов витки от &N = 0,25 Значения импульсов Ли., м/с

90,000 0 47,981

250,536 0,4459 57,707

400,000 0,8611 10,000

Траектория перелета в ОСК ОС с момента & = 0 до момента & = 400°

0 пр

выделена на рис. 7 красным цветом и надписью с1(&0) = 8,844°. Координаты в моменты и в моменты приложения импульсов выделены «жирными» круглыми метками.

Быводы

Показано существование трехим-пульсных оптимальных программ встречи продолжительностью менее витка, обеспечивающих заданную величину относительной скорости в заданный момент встречи. Поскольку продолжительность двухимпульсного оптимального межорбитального перелета менее витка, существует возможность варьирования моментов начала и конца трехимпульс-ной программы встречи для выполнения конечных условий встречи. Эта возможность позволяет расширить диапазон начальных фаз, в котором характеристическая скорость встречи равна характеристической скорости оптимального межорбитального перелета.

Рассмотрены два типа трехимпульс-ных перелетов со встречей, имеющих, по мнению авторов, прикладное значение. Первый тип — перелеты с фиксированным моментом встречи и заданной прицельной скоростью. Второй тип перелеты с фиксированным моментом

приложения первого импульса и заданной прицельной скоростью, обеспечивающие «быструю» встречу с минимальной продолжительностью перелета. Приведены результаты моделирования сближения АК и ОС с использованием предложенных программ для исходных орбит, типичных для российских кораблей и МКС.

Список литературы

1. Микрин Е.А., Орловский И.В., Брагазин А.Ф., Усков А.В. Новые возможности автономной системы управления модернизированных кораблей «Союз» и «Прогресс» для реализации «быстрой» встречи с МКС // Космическая техника и технологии. 2015. № 4(11). С. 58-67.

2. Муртазин Р.Ф. Схемы ускоренного доступа к орбитальной станции для современных космических кораблей // Космические исследования. 2014. Т. 52. № 2. С. 162-175.

3. Брагазин А.Ф. Управление сближением космических аппаратов (навигация, наведение, коррекция движения). Королёв: РКК «Энергия», 2018. 472 с.

4. Брагазин А.Ф., Усков А.В. Перелеты со встречей продолжительностью от одного до двух витков между околокруговыми компланарными орбитами // Космическая техника и технологии. 2020. № 1(28). С. 85-97. DOI 10.33950/ spacetech-2308-7625-2020-1-85-97.

5. Баранов А.А. Маневрирование космических аппаратов в окрестности круговой орбиты. М.: Спутник, 2016. 512 с.

6. Clohessy W.H., Wiltshire R.S. Terminal guidance system for satellite rendevous // Journal of Aerospace Sciences. September 1960. P. 653-658.

7. Ермилов Ю.А., Иванова Е.Е., Пан-тюшин С.В. Управление сближением космических аппаратов. М.: Наука, 1977. 448 с.

8. Бажинов И.К., Гаврилов В.П., Ястребов В.Д. и др. Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса «Салют-6» - «Союз» - «Прогресс». М.: Наука, 1985. 376 с.

Статья поступила в редакцию 16.10.2019 г. Окончательный вариант — 16.01.2020 г.

Rerference

1. Mikrin E.A., Orlovskii IV., Bragazin A.F., Uskov A.V. Novye vozmozhnosti avtonomnoi sistemy upravleniya modernizirovannykh korablei «Soyuz» i «Progress» dlya realizatsii «bystroi» vstrechi s MKS [New capabilities of the autonomous system of upgraded Soyuz and Progress spacecraft for implementing a «quick» rendezvous with the ISS]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2015, no. 4(11), pp. 58-67.

2. Murtazin R.F. Skhemy uskorennogo dostupa k orbital'noi stantsii dlya sovremennykh kosmicheskikh korablei [Arrangements for accelerated access to an orbital station for modern spacecraft]. Kosmicheskie issledovaniya, 2014, vol. 52, no. 2,pp. 162-175.

3. Bragazin A.F. Upravlenie sblizheniem kosmicheskikh apparatov (navigatsiya, navedenie, korrektsiya dvizheniya) [Control of spacecraft rendezvous (navigation, guidance, motion correction)]. Korolev, RKK «Energiya»publ., 2018. 472p.

4. Bragazin A.F., Uskov A.V. Perelety so vstrechei prodolzhitel'nost'yu ot odnogo do dvukh vitkov mezhdu okolokrugovymi komplanarnymi orbitami [Transfers with a rendezvous lasting one to two orbits between near-circular coplanar orbits]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2020, no. 1(28), pp. 85-97. DOI 10.33950/spacetech-2308-7625-2020-1-85-97.

5. Baranov A.A. Manevrirovanie kosmicheskikh apparatov v okrestnosti krugovoi orbity [Maneuvering spacecraft in the vicinity of a circular orbit]. Moscow, Sputnik publ., 2016. 512 p.

6. Clohessy W.H., Wiltshire R.S. Terminal guidance system for satellite rendezvous. Journal of Aerospace Sciences, September 1960, pp. 653-658.

7. Ermilov YuA, Ivanova E.E., Pantyushin S.V. Upravlenie sblizheniem kosmicheskikh apparatov [Control of spacecraft rendezvous]. Moscow, Naukapubl., 1977. 448p.

8. Bazhinov I.K., Gavrilov V.P., Yastrebov V.D. etc. Navigatsionnoe obespechenie poleta orbital'nogo kompleksa «Salyut-6»-«Soyuz»-«Progress» [Navigational support of the flight of orbital complex Salyut-6-Soyuz-Progress]. Moscow, Nauka publ., 1985.376 p.