Энергетически Оптимальные импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Н. Кирпичников, М. В. Иванова

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ КРУГОВЫМИ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ*

Пусть на граничных (начальной и конечной) орбитах находятся некоторые активный космический аппарат (КА) и пассивный космический объект (КО). Существуют два вида межорбитальных импульсных маневров: перелет с мягкой встречей КА и КО на конечной орбите и перехват (полет) с жесткой встречей КА и КО на конечной орбите.

В работах ([1, 2] и др.) предложен метод исследования энергетической оптимальности конкретного (единичного) двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных. В статьях ([3, 4] и др.) разработан метод определения числа импульсов при энергетически оптимальных межорбитальных перелетах и перехватах со свободным временем между близкими орбитами. В цикле работ ([5-9] и др.) эти методы обобщены для качественного исследования целого класса оптимальных импульсных маневров между круговыми компланарными граничными орбитами. Под таким классом понимается множество оптимальных маневров выбранного вида, отвечающее всевозможным начальным конфигурациям КА и КО, радиусам граничных орбит и т. д. При использовании этого метода сначала исследуется все множество оптимальных маневров с наименьшим возможным числом импульсов — одноимпульсных перехватов или двухимпульсных перелетов в зависимости от того, какой рассматривается вид маневров: перелеты или перехваты. Затем изучается их оптимальность в соответствующем классе многоимпульсных маневров специальным методом, напоминающим доказательство принципа максимума Понтрягина. Роль игольчатых вариаций управлений при этом играют малые дополнительные импульсы на траектории. Так же как и в работах [3, 4], исследование сводится к изучению поведения некоторой функции М, играющей ту же роль, что и квадрат базис-вектора [10, 11]. Важно отметить, что при использовании метода естественным образом может учитываться время движения по орбитам и что метод применим как к энергетически оптимальным, так и к существенно хуже изученным оптимальным по времени маневрам.

В статье [ 5 ] начато качественное изучение энергетически оптимальных импульсных перелетов между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта и с учетом времени движения по орбитам. Здесь исследуются качественные свойства оптимальных двухимпульсных орбит и их локальная оптимальность в классе многоимпульсных перелетов. При этом рассматривается множество оптимальных перелетов, отвечающих всевозможным радиусам граничных орбит и начальным конфигурациям космических объектов на них. В указанной статье основное внимание уделено случаю граничных орбит с одинаковым направлением движения. В данной статье мы построим области оптимальности двухимпульсных перелетов в классе многоимпульсных в случае противоположного направления движения по граничным орбитам.

Подобное исследование орбит энергетически оптимальных импульсных межорби-тальных перехватов проведено в работе [ 6 ].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-01039).

© С. Н. Кирпичников, М. В. Иванова, 2005

1. Математическая постановка задачи. Пусть в ньютоновском поле сил с центром O по заданным круговым компланарным граничным орбитам, начальной и конечной, радиусов ri и Г2 соответственно, движутся некоторые активный космический аппарат и пассивный космический объект. При одинаковом направлении движения их полагаем 72 = +1, при противоположном — 72 = —1. Требуется осуществить межор-битальный импульсный перелет КА с мягкой встречей его с КО на конечной орбите. Ограничимся компланарной постановкой задачи и кусочно-кеплеровой аппроксимацией орбит. В плоскости маневра введем полярные координаты r,$ с началом O, считая направление движения в начальной орбите прямым и принимая его за направление положительного отсчета угла $.

В заданный момент старта ti известен угол S между КА и КО. Перелет начинается в момент ti приложением исходного импульса к КА в точке Mi на начальной орбите и заканчивается в наперед не заданный момент t2 > ti мягкой встречей объектов — осуществлением выра,внивающего их скорости конечного импульса в точке M2 на конечной орбите. Полярные координаты точки старта Mi (финиша M2) обозначим через ri, $i (r2, $2). Минимизируем характеристическую скорость маневра U=£ = AUt, т. е. сумму характеристических скоростей {AUi}N всех N > 2 импульсов. Ниже под этими скоростями будем понимать V = U/K, AV = AUi/К, i = 1, 2 . ..,N, где К — корень из гравитационного параметра центра тяготения. Мы рассматриваем орбиты перелетов как с прямым (ПД), так и обратным (ОД) направлением движения в них. Угловая дальность 0 = $2 — $i >0 (< 0) для орбит с ПД (ОД). Как в любой экстремальной задаче с учетом времени движения нас интересуют локально оптимальные решения. Ради краткости исключим из рассмотрения многовитковые орбиты перелетов, считая \0\< 2п.

Выражая 0, Ф = К(t2 — ti) через параметры, определяющие импульсную кусочно-кеплерову траекторию перелета, находим

S = 0 — r-3/2Ф + 2кп, к е Z = {..., —1, 0,1,...}. (1.1)

Математически поставленная задача есть задача нахождения минимального по V импульсного межорбитального перелета при связи S=const. Множество оптимальных орбит этой задачи содержится в множестве стационарных орбит изопериметрической задачи на,хождения экстремальных по S перелетов при заданной характеристической скорости V. Нам будет удобно перейти к исследованию именно этой изоперимет-рической задачи, формулируя результаты для исходной задачи. Отметим выигрыш, получаемый от такого перехода. Во-первых, замена трансцендентной связи S = const, сводящейся к алгебраической, связью V = const приводит к существенному упрощению анализа. Во-вторых, для цели нашего исследования всего множества изучаемых маневров достаточно рассмотреть такую изопериметрическую задачу, что мы и будем делать в постановке со свободным временем. Далее, целочисленный параметр к не влияет на изучаемые локальные экстремумы функции S. Наконец, функция S имеет такую же структуру, как и пропорциональная времени маневра минимизируемая функция T в изученных ранее задачах [7-9] качественного исследования орбит наискорейших импульсных перехватов и перелетов между круговыми компланарными орбитами.

Цель настоящей работы — изучение качественного вида оптимальных двухимпульс-ных перелетов и нахождение областей их оптимальности в классе многоимпульсных перелетов в случае граничных орбит с противоположным направлением движения.

2. Оптимальные двухимпульсные перелеты. Здесь N = 2, начальный импульс производится в точке старта Mi на начальной орбите, второй (заключительный) выравнивающий скорости объектов импульс — в точке финиша M2 на конечной,

V = AVi +AV2. Приведем нужные нам соотношения (с рядом исправленных опечаток) и результаты, полученные в статье [5].

Пусть a,e,p,w — соответственно большая полуось, эксцентриситет, фокальный параметр, угловое расстояние перицентра от полярной оси кеплеровой орбиты L маневра. Участок перелета по L от точки Mi до точки M2 обозначим через l.

Выразим все определяющие маневр параметры через новую переменную г = Ху/р, где Л = sign 0, и параметр V:

Считаем [5, 6], что У>УГд = тт{УГ|Л=+ьУ|л=—1}.

Теорема 2.1. Орбиты двухимпульсных перелетов как с ПД, так и с ОД, начинающиеся или заканчивающееся в своих апсидальных точках, не могут быть стационарными ни при каких значениях Г1 ,Г2 > 0, У>УГ,1.

Теорема 2.1 показывает неоптимальностькасательных импульсов: для любого V > УГ,1 оба пересечения оптимальной орбиты перелета с граничными орбитами трансвер-сальны, т. е. происходят под ненулевыми углами. Это свойство позволяет ограничиться рассмотрением лишь введенных ранее (см. [5]) маневров I, II, III, IV типов. Напомним их определение. Пусть Ь — кеплерова орбита маневра, трансверсально пересекающая граничные орбиты. В зависимости от выбора участка I движения по Ь от точки старта М1 до точки финиша М2 введем 4 типа маневров:

I) I не содержит ни перицентр П, ни апоцентр А орбиты Ь,

II) I содержит перицентр П и не содержит апоцентр А,

III) I содержит апоцентр А и не содержит перицентр П,

IV) I содержит и апоцентр А, и перицентр П орбиты Ь.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

22

Введем характеристические скорости гомановских перелетов

S = S (т, V )= [ (

I

Vr = \Tr-r{/2\r1 х+ |гг-72Г2/2| r2 1 Tr = Av/2rir2/(ri+r2), А = ±1. (2.8)

Рис. 1. Маневры I, II, III, IV типов при Г2 > ri.

Отметим, что маневры III, IV типов существуют лишь для эллиптических орбит, т. е. для них е < 1, причем е = 1 соответствует эллиптическим вырожденным прямолинейным орбитам — отрезкам (т = 0,а < то). На рис. 1 изображены схематически различные типы маневров при Г2 > Г1. Жирными линиями выделены участки I С Ь межорбитального движения по орбите Ь.

Уравнение экстремума 3,Б/3,т = 0 изучаемой задачи имеет вид

Y2r3/2A(Mi )+rfB(Mi)=0,

A(M) = 72r-3/2Xi(M) — tX2(M) + dAV-i,

B(M) = Y2r23/2X4(M) — tX2 (M) — dAV2-\

d = c-i = —AViAV2V-i[Y2r-3/2 Xi(Mi) — tX2(Mi)],

Xi(M) =

Tsf1’*=<*<>“ 1'^.ХЛМ)-

f3/2 i(M) J f3/2 ’ i(M)

2-ra-i

-a dr,

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

'KM)J f3>2 ' 'KM)J p/2’ '' 'i(M) J f3/2

где l(M) —часть кривой l от точки Mel до точки финиша M2 € l.

Теорема 2.2. Если d < 0, то минимуму (максимуму) S соответствует максимум (минимум) V в исходной экстрем,альной задаче. Если же d> 0, то характер экстремумов S и V одинаков: минимуму (максимуму) S отвечает минимум (максимум) V.

Будем вычислять A Vi, AV2, ri, r2 по формулам (2.6), ri = p(1+e cos vi)-i, (p = 0), ri = a(1—ecos Ei), (a-i=0), i = 1, 2, где Ei,E2 — эксцентрические аномалии точек Mi, M2, вещественные для эллиптического (e < 1) и мнимые Ei = iHi,E2 = iH2, где Hi,H2 е R1, для гиперболического движения. Уравнение (2.9) при p = 0 перейдет в уравнение F(vi,V2,e) = 0, определяющее зависимости V2 = v2(vi,e), а при a = —в уравне-

ние F(Ei, E2, e) =0, определяющее зависимости E2 = E2(Ei, e) для всех стационарных

орбит. Эти зависимости, исследуемые численно и в ряде частных случаев аналитически, характеризуют качественный вид этих орбит.

Случай 72 = + 1 и орбиты перелета с ПД исследован подробно в статье [5]. Оставляя в стороне случай 72 = +1 с орбитами перелета ОД как не имеющий практического применения ввиду больших потребных затрат топлива, рассмотрим случай 72 = — 1 граничных орбит с противоположным направлением движения.

Для орбит ОД совершим замену переменных 01 ^ —01, 02 ^ —02, V^ —V. Эта замена позволяет рассматривать одно и то же множество изменения истинных аномалий:

VI € [—п, п], 02 < VI < 02 + 2п, V € [01, 02] для орбит ПД и ОД. Совершенно аналогичный вид имеют соответствующая замена и множества изменения эксцентрических аномалий Е1 ,Е2, Е.

Теорема 2.3. При граничных орбитах с противоположным направлением движения (72 = —1) и V > Угд стационарными могут быть лишь: 1) для ПД орбиты II, IV типов, а также I для г2 > Г1 и III для Г1 > г2 типов; 2) для ОД орбиты III типа, а также II для Г1 >Г2 и I, IV для Г2 >Г1 типов.

В случае ПД эксцентриситеты стационарных орбит I типа при Г2 >Г1 изменяются в интервале е€ (0, 1.030...), причем этим орбитам всегда отвечает минимум V. Графики соответствующих зависимостей 02 = 02 (01, е) представлены на рис. 2.

~f----------1----------1-------1—I ^ 1 )

О 1 2 3 71 ui

Рис. 2. Графики зависимостей V2 = v2(vi,e) оптимальных двухимпульсных маневров I типа с ПД при

Г2 > ri (72 = -1,А = +1).

Стационарные орбиты II типа имеют эксцентриситеты е>0, III и IV типов при ri > Г2 — е€ (0, 1), и им может отвечать как минимум, так и максимум характеристической скорости V. Графики зависимостей V2 = V2(Vi, е) для орбит II типа c е< 1 представлены на рис. 3. Стационарные маневры IV типа при Г2 >ri всегда отвечают минимуму V.

Обратимся к маневрам с ОД. Здесь эксцентриситеты стационарных орбит I типа при Г2 > ri изменяются в интервале е € (0, 1.007...), причем при е < 0.984... этим орбитам отвечает минимум V. Графики соответствующих зависимостей V2 = v2(vi, е) представлены на рис. 4. У этих маневров значение переменной V2 мало отличается от п, так что п — V2 < 0.07, причем п — V2 < 0.01 для всех е< 0.4. Таким образом, точка финиша здесь весьма близка к апоцентру орбиты перелета.

Рис. 3. Графики зависимостей V2 = У2(У±, е) оптимальных двухим-пульсных перелетов II типа с ПД для

е < 1 (72 = -1 , А = +1).

О 1 2 ЗХ V1

Рис. 4. Графики зависимостей V2 = V2 (vi, e) оптимальных двухим-пульсных перелетов I типа с ОД (72 = -1 , А = -1).

и2

ж

Рис. 5. Графики зависимостей V2 = v2(vi, e) оптимальных двухимпульсных перелетов I типа с ОД (72 = — 1, А ^ — 1).

Стационарные орбиты II типа при Г1 > Г2 имеют эксцентриситеты е> 0, III типа — е € (0, 1), IV типа при Г2 >Г1 — е € (0.542..., 1) и всем им может отвечать как минимум, так и максимум характеристической скорости V. Графики зависимостей 02 = 02(01 ,е) для орбит II типа при Г1 >Г2 представлены на рис. 5.

На рис. 2-5 кривые е = +0 отвечают предельному случаю стационарных орбит, у которых е ^ 0, при Г2 — Г1 ^ 0. Стационарным орбитам при Г2 = Г1 и е = 0 отвечают точки, лежащие на изображенных пунктиром диагоналях соответствующих квадратов. В других точках этих квадратов Г2/г1 = (1 + е сов 01)/(1 + е сов 02).

3. Оптимальность маневров двухимпульсных перелетов в классе многоимпульсных. Здесь мы исследуем локальную оптимальность изученных выше двухимпульсных перелетов в классе многоимпульсных перелетов.

Пусть Ь — кеплерова орбита оптимального, т. е. отвечающего минимуму V в исходной экстремальной задаче, двухимпульсного маневра при V >VГ,1. По теореме 2.1 она трансверсально пересекает обе граничные орбиты. Напомним, что мы через I обозна-

чаем траекторию перелета на Ь, т. е. сам участок перелета по орбите Ь, начинающийся в точке старта М1 и заканчивающийся в точке финиша М 1. Отметим, что способ рассматриваемого маневра (ПД или ОД), а значит и определяемое им значение параметра Л здесь нам уже известны.

В работе [ 5 ] показано, что исследование локальной оптимальности по V рассматриваемого двухимпульсного маневра в классе многоимпульсных маневров сводится к исследованию функции

М(М)=Л (Н _ I) [А(М)]2+ 2тА^м1^м) + r^[B(M)]2V (3.1)

I vr а' Y2rn r2 )

где г —полярный радиус точки М€1, а М изменяется вдоль I от точки М1 до М2. При переходе к истиной V и эксцентрической Е аномалиям точки М, переменным г,1 получаем соответственно функции М(0), V € [01, 02(01,е)], М(Е), Е € [Е1, Е2(Е1 ,е)], М (г), г € [г1, Г2], М(4), 4 € \р1, £2], где е — параметр. При этом всегда

М(М1) = 1, М(М2) = 1. (3.2)

Существование точки М€ I, в которой М(М) > 1, влечет неоптимальность рассматриваемого двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных перелетов.

О существовании таких точек можно судить по значениям производных функции М(М) в граничных точках М1, М2. Выражая М как функцию г, после ряда громоздких выкладок находим

d M

dr

ж(~7, + ^~к) (33)

d м

dr

1 d2M

о, -

2 dr2

c2AV2 2сД1/2(1-272) 3

Г = Г2

(r2 1f (r2))2 r21/2a(/(r2 ))3/2 r2 ^V22

Из формулы (3.3) следует, что sign (M£|t_ ) = — sign c в рассматриваемом случае 72 = — 1. Численное исследование показало, что c<0 для всех стационарных маневров III, IV типов.

Теорема 3.1. В случае граничных орбит с противоположным направлением движения двухимпульсные маневры III, IV типов всегда неоптимальны в классе многоимпульсных перелетов.

Условие локальной оптимальности данного двухимпульсного перелета, отвечающего минимуму V, есть условие

M(M) < 1 V M € int l = (Mi, M2). (3.4)

Приведем результаты анализа локальной оптимальности минимальных по V двух-импульсных перелетов в классе многоимпульсных при 72 = — 1. Возможные типы поведения функций M(v), v € [vi, V2(Vi, е)] при p = 0 и M(E), E € [Ei, E2(Ei, е)] при а-1 = 0 были изучены численно. Эксцентриситет е принимался за параметр.

Для случая ПД оптимальными могут быть лишь перелеты I типа при r2 > ri и II типа при ri > r2. Область Qi оптимальности маневров I типа изображена на рис. 2. Важно, что неоптимальность этих маневров может наступать лишь при е > 0.721.... Области Q2, Q3 оптимальности маневров II типа изображены на рис. 3. При этом для

r_r 1

оптимальных орбит области Q2 эксцентриситет 0 < е < 0.551..., а для оптимальных орбит области Q3 — 0.706... <е< 1.

Для случая ОД оптимальными могут быть также лишь перелеты I типа при r2 >ri и II типа при ri >r2. Область Q4 оптимальности маневров I типа изображена на рис. 4. Оптимальность этих маневров может пропадать лишь при е > 0.387.... Область Q5 оптимальности маневров II типа изображена на рис. 5.

Summary

S. N. Kirpichnikov, M. V. Ivanova. Minimum-Fuel Impulsive Transfers between Circular Copla-nar Orbits.

The coplanar problem of minimizing propellant consumption in impulsive transfer between circular orbits with the opposite directions of motions is investigated. The launch time and the initial configuration of cosmic objects on the boundary orbits are arbitrarily specified. The qualitative properties of optimal two-impulse trajectories are studied and the domains of their optimality in the class of multi-impulse transfers are found.

Литература

1. Lion P. M. Sufficient conditions for optimum fixed time impulsive trajectories // XVIII International Astronautical Congress. Belgrade, 1967. Proceedings. V. 1. Astrodynamics. Guidance and Control. Miscellanea: Pergamon Press PWN — Polish Scientific Publishers. 1968. P. 307-317.

2. Lion P. M., Handelsman M. The primer vector on fixed-time impulsive trajectories // AIAA J. 1968. V.6. №1. P. 127-132.

3. Антонов В. А., Шмыров А. С. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими кеплеровыми орбитами // Механика управляемого движения и проблемы космической динамики Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. С. 165-168.

4. Кирпичников С. Н. Оптимальные двухимпульсные полеты между близкими некомпланарными кеплеровыми орбитами // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 3 (№15). С. 75-82.

5. Кирпичников С. Н., Воробьев А. Ю., Тетерин С. Н. Качественные свойства орбит энергетически оптимальных импульсных перелетов между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта // Космич. исслед. 2003. Т. 41, №5. С. 471-480.

6. Кирпичников С.Н., Кулешова Л. А., Костина Ю.Л. Качественные свойства энергетически оптимальных орбит импульсных полетов между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта // Космич. исслед. 1996. Т. 34, вып. 2. С. 170-179.

7. Кирпичников С. Н., Воробьев А. Ю., Лукичева Т. Н., Дюпачева С. С. Качественное исследование множества наискорейших импульсных перелетов между круговыми компланарными орбитами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Часть I: 1999. Вып. 3 (№15). C. 68-74. Часть II: 2000. Вып. 2 (№8). C. 79-86.

8. Кирпичников С.Н., Кулешова Л. А., Ниязова Р. О. Наискорейший импульсный полет между круговыми компланарными орбитами с учетом времени движения по начальной орбите // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 4 (№22). С. 53-65.

9. Кирпичников С.Н., Воробьев А.Ю., Кулешова Л. А. Наискорейший импульсный перехват в случае круговых компланарных граничных орбит с противоположным направлением движения в этих орбитах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). C. 64-73.

10. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.

11. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. М.: Наука, 1975. 392 с.

Статья поступила в редакцию 27 мая 2004 г.