CC BY
47
В. С. Новоселов
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ДРОБЛЕНИЕМ ИМПУЛЬСА*
1. Анализ оптимального выбора импульсных перелетов показывает, что наиболее выгодные ветви оптимального решения отвечают случаю, когда фаза движения по какой-либо граничной орбите является произвольной. При этом условии задача сводится к оптимальному выбору перехода между орбитами [1]. Из аналитической теории оптимизации в гравитационных полях [2] следует, что при произвольной хотя бы одной фазе движения алгоритм оптимизации существенно упрощается. Если фазы движения по граничным орбитам заданы, то можно выполнить фазирование [3], например, используя многократные баллистические обращения по промежуточной орбите [2-4].
За счет специального фазирования путем разбиения импульса первой характеристической скорости можно выполнить импульсный перелет в условиях осуществления наиболее выгодной ветви оптимального решения [2, 5]. Именно, в момент старта приложить первую часть импульса, а вторую часть первого импульса сообщить после одного или нескольких полных обращений по вспомогательной орбите, отвечающей характеристической скорости первой части импульса. В результате при том же суммарном расходе можно в точке финиша иметь фазу движения, соответствующую выгодной ветви оптимального решения. При этом, конечно, время перелета возрастает.
Как известно [2], один раз в синадический (относительный) период обращения точки конечной орбиты по отношению к точке на начальной орбите возникает ситуация, при которой расход характеристических скоростей такой же, как и без учета конкретных фаз движения. Поэтому дробление импульса может использоваться, если синадический период очень большой или с целью маскировки перелета.
В настоящей работе для двух базовых моделей оптимизации двухимпульсных переходов в центральном гравитационном поле дается аналитическая разработка обсуждаемого в работах [6, 7] метода дробления первого импульса.
2. Рассмотрим сначала задачу оптимизации компланарного перелета между заданными движениями по граничным орбитам малых эксцентриситетов ен = ееН, ек = £еК, где £ — безразмерный малый положительный параметр, еН и еК — величины порядка единицы. Индексом «н» отмечаем характеристики начальной орбиты, индексом «к» — конечной. Необходимые условия минимума суммы характеристических скоростей дву-химпульсного перелета для членов первого по £ порядка приводят [2] к следующему выбору долготы перицентра П переходного эллипса типа Гомана для наиболее выгодной ветви оптимального решения:
где Пн и Пк — долготы перицентров начальной и конечной орбит. В (1) приняты обозначения:
Хс = С соя Пн + П сов Пк, = С вт Пн + п вт Пк,
(1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №02-01-01039)
© В. С. Новоселов, 2005
рн,рк,ро — фокальные параметры начальной, конечной и гомановской орбит. Полярный угол точки старта будет
р- =п при Рк > Рн, р- = П + п при Рк <Рн. (2)
В начальный момент времени Ьн точки, обращающиеся по граничным орбитам, имеют соответствующие полярные углы рн и рк. Если Ьк — момент финиша, то за время Ьк — Ьн точка, движущаяся по конечной орбите, совершит в нулевом приближении (при £ = 0) дуговой путь р- + п + 2пп — рк. Здесь п — число возможных полных обращений по конечной орбите на отрезке времени [£н,£к]. Характеристики вспомогательной орбиты отмечены буквой «в». Эта орбита располагается между начальной орбитой и эллипсом Гомана. Для ее большой полуоси ав выполняется соотношение
Рн < а-в < ^(Рп+Рк) при рк > рн,
^(Рн + Рк) < ав < Рк при рк<рн. (3)
Знаки равенства в формуле (3) отвечают случаю двойного вырождения [5].
За время Ьк — Ьн маневрирующая точка выполнит движение по начальной орбите на
угол р- — рн, по переходной орбите — на угол 2пт при т целых оборотов и на угол п
по полуэллипсу Гомана. Поэтому приходим к равенству
{ + \3/2
ее(гк-гн) =р1/2(р~ +7Г + 2тгп - рк) =р1/2(р~ - рн) + 2тгтоа3/2 + тг (Рк ^ Рн ) . (4)
Здесь ж — квадратный корень из произведения гравитационной постоянной на массу планеты, величина 2пж-1а^/2 представляет собой период обращения по вспомогательному эллипсу. На основании (4) находим
аз/2 а3в/2Р-3/2
р = рс + ТГ1/ - 27ГП—-------- + 2-пт в . н , (5)
а3/2 — 1 а3/2 — 1
где
_ Рк _ ¥>кУ3/2 - Ун _ (^)3/2 ~ сг3/2
рн ’ ^С СГ3/2 — 1 ’ СГ3/2 — 1
Величина рс выражает угловое расстояние линии соединения точек, обращающихся по граничным орбитам. Безразмерная величина V для значений от 1/12 до 12, при которых целесообразно использовать перелет типа Гомана, отрицательна и монотонно возрастает от —0,3838 до —0,6162 [2].
Формулы (1) и (2) определяют угол точки старта р-. Подбором чисел п и т,а также большой полуоси ав вспомогательного эллипса обеспечим требуемое для оптимального перелета соотношение фаз движения. На основании (5) запишем
таВ/2Р-3/2 = я + па3/2, (6)
где д = — 1)(у> — (рс — 'ки) —известная величина. Случай д = О рассматривался
в работе [2]. Условие (3) для выбора aв принимает вид
1 < авр~1/2 < ^(<т + 1) при а > 1,
+ 1) < авр~ 1/2 < 1 ПРИ сг < 1- (7)
Выбор значений m,n и aв, удовлетворяющих (6) и (7), не является единственным. Заметим, что из формулы (4) следует, что для уменьшения времени перелета натуральное число m должно быть возможно меньше. Как показывает формула (5), при этом должно быть выполнено соотношение п > —да-3/2.
Для случая рк > рн, т. е. а > 1, на основании (6) и (7) получаем
то < д + па3/2 < ~т(а + 1). (8)
Подбор чисел п и т начинаем с п = 0. Если существует т такое, что т < д <
^т(<т + 1), то на этом выбор останавливаем. Если требуемого то нет, то полагаем п = 1
и отыскиваем то, удовлетворяющее соотношению ТО < д + СГ3/2 < ^то(<т + 1). Если и такого т нет, то принимаем п = 2 и т. д. Для некоторых достаточно больших п и т соотношение (8) будет выполняться. Действительно, положим т = [д + па3/2], где [х] — наибольшее целое число, не превышающее х. Тогда д + па3/2 < т + 1 и достаточно выполнить соотношение то + 1 < ^то(<т + 1), т. е. принять то > 2(а — I)-1.
В случае рк < рн или а < 1 из формул (6) и (7) имеем
-т(а + 1) < д + па3^2 < то. (9)
Подбор чисел п и т проводим как и в предущем случае. Для достаточно больших п и т соотношение (9) можно выполнить, полагая [д + па3/2] = т — 1. Достаточно принять
-т(а + 1) < то — 1, то > 2(1 — сг)-1.
Величина ав найдется из формулы (6). Первый гомоновский импульс разбиваем на две части [2]
^11 = ±жр-1 (р/ — Р'н/2) , Уп = ±жр-1 (рк/2 — рВ/2) .
Верхний знак отвечает случаю рк > рн, а нижний — случаю рк < рн. Фокальный параметр рв и эксцентриситет ев вспомогательной орбиты связаны соотношением рв = ав(1 — еВ). При этом для оптимального перелета рн = рв(1 ± ев)-1. Отсюда получаем Рв = Рн(2 — Рна-1).
3. Изложенная выше методика оптимизации импульсного перелета с использованием дробления импульса может быть применена к решению некомпланарных задач. Для случая произвольных фаз движения по граничным орбитам по формулам аналитической теории оптимизации в гравитационных полях [2] найдем основные характеристики оптимального двухимпульсного перелета между некомпланарными круговыми орбитами радиусов гн и гк. Для определенности принимаем гк > гн. Перелет будет узловым [1, 2]. Плоскость начальной орбиты принимаем за основную.
Из условия импульсного приращения скорости находим [2] углы наклона 71 и 72 характеристических скоростей импульсов, первого Vi и второго V2, к основной плоскости:
cos 71 = жт— 1V—1 ^р1/2 cos i — т^2) , sin 71 = жг-1 V—1p1/2 sin i, cos Y2 = жт^У—1 (т^2 cos iK — pl/2 cos ij ,
sin y2 = жт—1V—1 (p1/2 sin i — r12 sin iKj . (10)
Через i и iK обозначены наклонения к основной плоскости орбиты перелета и конечной орбиты.
Запишем условия непрерывности лагранжевых множителей в точках соединения участков активного и баллистического полета:
(B(1 + е)2 + D) cosi — M sin i = (1 + e) cos 71,
(B(1 + e)2 + D) sin i + Mcos i = (1 + e) sin71,
(B(1 — e)2 + D) cosi — M sin i = (1 — e) cosy2,
(B(1 — e)2 + D) sini + M cos i = —(1 — e) sinY2, (11)
где B,D и M — постоянные общего решения уравнений Эйлера—Лагранжа на баллистическом участке [2].
С помощью соотношений (10) и (11) получаем
M = жт—1/2V—1(1 + e) sini = жт—1/2V2T1(1 — e) sin(iK — i). (12)
После подстановки в (12) выражений для характеристических скоростей из работы [2] вида
V1 = жт—1/2 (р — 2р1/2т1/2 cos i + тн j ,
1/2
V2 = жт—1 (р — 2р1/2тК/2 cos(iK — i) + т^ ,
придем к тригонометрическому уравнению относительно наклонения i гомоновской переходной орбиты.
Разобьем первый импульс на два: V11 = аУ1 и V12 = V1 — V11, где 0 < а < 1. В узловой точке осуществим импульсное приращение скорости на величину V11 под углом 71, а затем после m полных оборотов по вспомогательному переходному эллипсу, когда точка снова будет находиться в том же взаимном узле граничных орбит, сообщим скорости импульсное приращение V12 под тем же углом 71. В результате будет осуществлен перелет под действием суммарного импульса V11 + V12 = V1 на основную переходную гомоновскую орбиту. Переход завершается импульсным приращением скорости на величину V2 под углом 72. Будем иметь тот же расход характеристических скоростей, как и в двухимпульсном перелете. За счет выбора параметра а можно обеспечить выполнение указанного трехимпульсного перелета при заданных фазах движения, т. е. угловых расстояниях ин и ик от взаимного узла для точек, обращающихся по граничным орбитам.
Найдем кеплеровы элементы вспомогательного переходного эллипса, которые как и в п. 2 отмечаем буквой «в», по формулам вида (10):
рУ2 cos iB = тН/2 +ж 1rнVll cos 71, рВ/2 sin iB = ж Vh V11 sin 71. Отсюда получаем
рв = Тн + 2ж 1r3/2V11 cos 71 + ж 2rHV121, cos iB = т^/2р—1/2 (1 + ж—1тН/^11 cos 7^ , sin iB = ж— 1Тнр—1V11 sin 71. (13)
Старт отвечает перицентру вспомогательного эллипса, поэтому запишем
eB = рвт—1 — 1, ав = тН(2тн — рв) — 1. (14)
Период обращения по вспомогательному эллипсу TB = 2пж—1аУ2. В рассматриваемой задаче выполняется первый вариант формулы (7) вида
1 < а,вг~1 < ^(сг+ 1), а = Гкг~1. (15)
Проведем сравнение угловых перемещений маневрирующей точки и точки, обращающейся по конечной орбите. Углы измеряем от взаимного узла граничных орбит. Величина tK — tH равна суммарному времени перемещения на угол 2п — ин по начальной орбите, затем времени mTB для m обращений по вспомогательному переходному эллипсу и, наконец, времени движения по полуэллипсу Гомана с большой полуосью а, = ^(гн + гк). За тот же промежуток времени точка на конечной орбите совершит дуговой путь п — uK + 2пп. Здесь п — uK выражает угловую дальность от начального положения до финишной точки на конечной орбите. Поэтому запишем
т3/2(2п — ин) + 2пта^/2 + па3/2 = rK/2(n — uK + 2пп). (16)
Введем обозначение
? = - и^'2) + 1 (а3/2 - (^)3/2) - 1
и равенство (16) приведем к виду
maB/2r—3/2 = д + па3/2. (17)
Величина д определяется исходными данными. Формула (17) некомпланарного перелета является аналогом формулы (6) компланарного перелета. Поскольку д не зависит от взаимного наклонения орбит, то представления для д и д должны быть эквивалентны. При сопоставлении д и д следует принять во внимание, что в п. 2 и в п. 3 разные начальные точки отсчета углов и для принятых обозначений
ин = 2п — ((Р — Pн), UK = 2п — (Р — Рк ).
Поскольку в п. 3 взято = 0, то д переходит в д при рн = ин — 2п, рк = ик — 2п. Подбор значений т,п и aB, удовлетворяющих (15) и (17), проводится так же, как и в п. 2 для а > 1.
Величина aB определяется по формуле (17). С помощью (14) найдем
Pв = Тн(2 — Тн a—1), eB = 1 — Тн а—1. (18)
Характеристическая скорость для осуществления требуемой вспомогательной эллиптической орбиты вычисляется на основе формулы (13) и (18):
V11 = жт—1/2 ((eB + cos2 Y1)1/2 — cos 71) .
Окончательно получаем
а = VnVf1, V12 = (1 — a)V1.
При 71 =0 и при замене тн на рн отсюда следует выражение V11 и V12 для компланарного перехода п. 2.
Summary
V. S. Novoselov. Optimal transfers with subdivision of impulse.
Analytical method of subdivision of impulse in the problem of optimal coplanar and non-coplanar two-impulses transfers in gravitational field is examined.
Литература
1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., 1990.
2. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972.
3. Баринов К. Н., Бурдаев М. Н., Мамон П. А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М., 1975.
4. Новоселов В. С., Щуляк Е. В. Построение оптимальной переходной орбиты с учетом сопротивления атмосферы, несимметричности Земли и возмущений от Луны и Солнца // Вестн. Ленингр. ун-та. 1986. Сер. 1. Вып. 2. С. 77-82.
5. Новоселов В. С. Ветвление экстремальных компланарных двухимпульсных траекторий перехода между близкими околокруговыми орбитами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1992. Сер. 1. Вып. 2 (N8). С. 81-87.
6. Новоселов В. С. Оптимизация компланарного перехода между орбитами с малыми эксцентриситетами при дроблении импульса // Пробл. мех. управл. движ. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1988. С. 133-136.
7. Новоселов В. С. Об оптимизации дробления импульса в узловом перелете // Пробл. мех. управл. движ. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1989. С. 114-118.
Статья поступила в редакцию 14 октября 2004 г.
