Многовитковые оптимальные импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами Текст научной статьи по специальности «Физика»

2006_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 531.55:521.2:629.197.2

С. Н. Кирпичников, Е. Ю. Зуб

МНОГОВИТКОВЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ КРУГОВЫМИ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ

В работе [1] изучены качественные свойства орбит энергетически оптимальных импульсных перелетов между круговыми компланарными граничными орбитами при заданном времени старта и при ограничении на угловую дальность маневра |©| ^ 2п. Настоящая работа обобщает исследования [1] на случай многовитковых импульсных перелетов, когда |©| > 2п. Будут рассмотрены качественные свойства многовитковых орбит оптимальных двухимпульсных перелетов и показано, что они не оптимальны в классе многоимпульсных перелетов.

Рассматриваемая задача оптимизации расхода топлива импульсного перелета есть задача оптимизации с учетом времени движения по орбитам. Для корректности ее постановки должно вводиться ограничение на общее время маневра Т ^ Т*, где Т* — заданное максимально допустимое время маневра. Для решения задачи оптимизации с ограничением в виде неравенства следует решить соответствующую задачу без этого ограничения и найти все локально оптимальные решения, удовлетворяющие ограничению Т ^ Т*. Затем найденные решения должны быть сравнены с решением соответствующей задачи с предельным ограничением в виде равенства Т = Т*. Данная работа посвящена нахождению и изучению всех таких локально оптимальных решений.

Упорядочим их по угловой дальности, вводя ограничение

2кп < |©| < 2(к + 1)п, (1)

где к = 0,1, 2,... произвольно задано. В отличие от не более чем одновитковых перелетов работы [1] рассматриваемые здесь маневры мы называем многовитковыми. Подчеркнем, что термин «многовитковость» маневра понимается не в смысле, что витков много, а в смысле, что угловая дальность маневра |©| > 2п, так что число полных витков к ^ 1. Не более чем одновитковые перелеты работы [1] отвечают случаю к = 0.

Для качественного исследования оптимальных многовитковых импульсных перелетов используется специальный метод, берущий начало от работ [2-4]. Метод напоминает доказательство принципа максимума Понтрягина [5]. Роль игольчатых вариаций

© С. Н. Кирпичников, Е. Ю. Зуб, 2006

управления играют малые дополнительные импульсы. Применение этой методики и существенное упрощение задачи за счет одновременного исследования и изоперимет-рической задачи позволили решить поставленную задачу.

1. Постановка задачи. Пусть в ньютоновском поле сил с центром О по заданным круговым компланарным орбитам: начальной радиусом т\ и конечной радиусом т2,— движутся некоторые космический аппарат (КА) и космический объект (КО). Пусть далее параметр 72 характеризует направление движения КО в конечной орбите по отношению к направлению движения КА в начальной, так что 72 = +1 (—1) при одинаковом (противоположном) направлении их движения. При рассмотрении межорбитальных перелетов КА мы используем импульсную постановку задачи и кусочно-кеплерову аппроксимацию орбит.

В заданный момент старта £1 известен угол 5 между КА и КО. Перелет начинается в момент £1 приложением исходного импульса к КА в точке старта М1 на начальной орбите и заканчивается мягкой встречей объектов в наперед не заданный момент £2 приложением выравнивающего скорости КА и КО конечного импульса в точке финиша М2 на конечной орбите. Общее число импульсов N ^ 2. Минимизируем характеристическую скорость маневра и = ^2Аиг — сумму характеристических скоростей {АЩвсех N ^ 2 импульсов. Ниже под этими скоростями будем понимать величины V = и/К, АV = аиг/К, г = 1, 2 ...,N5 где К — корень из гравитационного параметра центра тяготения.

В плоскости маневра введем полярные координаты т,д с началом О, принимая направление движения в начальной орбите за направление положительного отсчета угла д. Полярные координаты точки старта М1 (финиша М2) обозначим через т1 ,д1 (т2 ,д2). Для перелетов с прямым (ПД) (обратным ОД) направлением движения угловая дальность маневра © = д2 — д1 > 0(< 0). Мы изучаем многовитковые перелеты, удовлетворяющие условию (1) при произвольно заданном к = 1,2,..., случай к = 0 не более чем одновитковых маневров изучен ранее [1].

На рис. 1 приведена схема трехимпульсного перелета. В момент старта £1 угол 5 между КА и КО задан. Импульсы Аи1, Аи3 осуществляются в граничных точках М1,

ш

Рис. 1. Схема трехимпульсного перелета при г2 > г\.

М2- Имеется промежуточный импульс д^ на межорбитальном участке / кусочно-кеплеровой траектории, состоящей из двух кеплеровых дуг.

Выражая ©, Ф= К(¿2 — ¿1) через параметры, определяющие импульсную кусочно-кеплерову траекторию перелета, находим

Математически поставленная задача есть .задача нахождения .минимального по V импульсного межорбитального перелета при связи S = const. Множество оптимальных орбит этой задачи содержится в множестве стационарных орбит изопериметриче-ской задачи нахождения экстремальных по S перелетов при заданной характеристической скорости V. Нам будет удобно перейти к исследованию именно этой последней изопериметрической задачи, одновременно формулируя получаемые результаты для исходной основной задачи нахождения минимальных по V импульсных межорбитальных перелетов. Отметим выигрыш, получаемый от такого перехода. Во-первых, замена трансцендентной связи S = const, сводящейся к алгебраической связью V = const, приводит к существенному упрощению анализа. Во-вторых, для нашей цели качественного исследования целого класса изучаемых маневров (при всевозможных углах S и радиусах Г1,Г2) соответствующую изопериметрическую задачу достаточно рассматривать в постановке со свободным временем. Далее, целочисленный параметр m не влияет на изучаемые локальные экстремумы функции S. Наконец, функция S имеет такую же структуру, как и время маневра в изученной ранее задаче качественного исследования наискорейших импульсных перелетов между круговыми орбитами, что позволяет применить разработанные и уже ранее опробованные и проверенные методы оптимизации.

2. Оптимальные двухимпульсные перелеты. Здесь N = 2, начальный импульс производится в точке старта Mi на начальной орбите, второй (заключительный) выравнивающий скорости объектов импульс — в точке финиша M2 на конечной, V = дУ1 + AV2. Напомним ряд нужных нам результатов статьи [1].

Пусть a,e,p,w — соответственно большая полуось, эксцентриситет, фокальный параметр, угловое расстояние перицентра от полярной оси кеплеровой орбиты L маневра. Участок перелета по L от точки Mi до точки M2 обозначим через l.

Выразим все определяющие маневр параметры через новую переменную г = Х^/р, где А = sign ©, и параметр V:

S = © - 72г2 3/2Ф + 2mn, m £ Z = {...,— 1,0,1,...}.

(1.1)

a = —(ат2 + вт + y) 1,

a

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

r

2

/=---\- 2г — р.

(2.7)

a

Введем характеристические скорости гомановских перелетов

1/г=|гг-Г11/2|ГГ1+|Гг-72Г21/2|Г2-1 ТГ = АЛ/2Г1Г2/(Г1+Г2), А = ±1. (2.8)

Считаем, что V > Уг,х = тт^г-^+х,^|д=-з}. Так же, как и в работе [1], докажем следующее утверждение.

Теорема 2.1. Орбиты двухимпульсных перелетов, начинающиеся или заканчивающиеся в своих апсидальных точках, не могут быть стационарными ни при каких значениях Т\,Т2 >0, V>VГtl.

Теорема 2.1 показывает неоптимальность касательных импульсов: для любого V > Уг,1 оба пересечения оптимальной орбиты перелета с граничными орбитами трансвер-сальны, т.е. происходят под ненулевыми углами, что позволяет ввести следующую классификацию стационарных маневров, обобщающую классификацию [1] не более чем одновитковых маневров.

Пусть Ь — кеплерова орбита двухимпульсного маневра, трансверсально пересекающая обе граничные орбиты. В зависимости от выбора участка I межорбитального движения от точки старта М1 до точки финиша М2 по Ь введем следующие типы маневров:

I, к — участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который не содержит ни перицентр П, ни апоцентр А орбиты Ь,

II, к — участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит перицентр П, но не содержит апоцентр А орбиты Ь,

III, к — участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит апоцентр А, но не содержит перицентр П орбиты Ь,

IV, к — участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит и перицентр П, и апоцентр А орбиты Ь.

Здесь к = 0,1, 2,... Межорбитальный участок I включает к полных оборотов по орбите Ь, но не может включать в себя к + 1 полный оборот. При к = 0 имеем введенные [1] ранее типы: ^0 = I, П,0 = II, Ш,0 = III, ГУ,0 = IV. Маневры Ш,0 = III, ГУ,0 = IV типов существуют лишь для эллиптических орбит. Все многовитковые маневры, т. е. маневры типов ^к, II,к, III,к, IV,к, где к ^ 1, также существуют лишь для эллиптических орбит, и у них всегда е< 1. Не ограничивая общности, будем всегда считать, что истинная аномалия V1 точки старта М1 в орбите перелета находится в пределах гз € [—п, п]. Вследствие условия (1) имеем 2кп ^ |г2 — г11 < 2(к + 1)п. Теперь условия, определяющие типы маневров, и условия т2 >Т1, т2 <Т1 определяют разбиение полосы г1 € [—п, п] на плоскости г1, г2 на отдельные квадраты со стороной 2п, каждый из которых, в свою очередь, разбит на два прямоугольных треугольника. Каждому такому треугольнику отвечает определенный тип маневра: ^к, II,к, III,к, IV,к при т2 >т1 или т2 <т1. Такие квадраты и треугольники на плоскости г1, г2 для случая (ПД (г2 >г1), 72 = + 1) представлены на рис.2. Треугольники в параллелограмме с вершинами (—п, —п), (—п,п), (п, 3п), (0,п) отвечают исследованным ранее типам маневров I, II, III, IV (см. [1]).

Уравнение экстремума ¿3/с1т = 0 приведем к виду

72т3/2А(М1 )+т?/2Б(Мз) = 0, (2.9)

А(М) = 72т-3/2 Хз(М) — тХ2 (M)+dАV2-1,

3 2 (2. 10) Б(М) = 72т23/2Х4(М) — тХ2(М) — dАV2-1,

d = С"1 = -ДУ1ДУ2V-1 [72r-3/2Xi(Ml) - rX2(Ml)], (2.11)

/. f r3a dr ,, ,, f radr ,, f 2 — ra-1 , „

ХЛМ)= —/5-, X2(M)= -да, X4(M)= adr, (2.12)

Л(.м) /3/2 Л(^) /3/2 Л(^) /3/2

где l(M) — часть кривой l от точки MEl до точки финиша M2 El.

Теорема 2.2. При d < 0 минимуму (максимуму) S соответствует максимум (минимум) V в исходной экстремальной задаче. При d>0 характер экстремумов S и V одинаков.

Будем вычислять дУ1, Д^^,r2 по формулам (2.6), ri = p(1+e cos ^^)-1 (p = 0), r = a(1 — e cos Ei) (a-1=0), i = 1, 2, где E1 ,E2 — эксцентрические аномалии точек M1, M2. Уравнение (2.9) при p = 0 перейдет в уравнение F(v1 ,v2,e) = 0, определяющее зависимости v2 = v2(v1 ,e), а при a = — в уравнение F(E1 ,E2,e) = 0, определяющее зависимости E2 = E2 (E1, e) для всех стационарных орбит изучаемого класса. Эти зависимости, характеризующие качественный вид стационарных орбит, были исследованы численно. Оказалось, что у многовитковых стационарных орбит всегда либо точка старта, либо точка финиша не сильно (не более чем на 17°) отличается от соответствующей апсидальной точки.

В качестве примера на рис.3 приведены графики зависимостей v2 = v2(v1 ,e), e E [0,1), для маневров 1,1, r1 >r2, и III, 1 типов. Точкам области D отвечают максимумы скорости V.

3. Оптимальность двухимпульсных перелетов в классе многоимпульсных.

Пусть L — кеплерова орбита оптимального, т. е. отвечающего минимуму V, двухим-пульсного маневра при V > ^д. По теореме 2.1 она трансверсально пересекает обе граничные орбиты.

Так же как в работе [ 1 ] исследование локальной оптимальности по V рассматриваемого двухимпульсного маневра в классе многоимпульсных маневров сводится к исследованию функции

Рис. 3. Графики зависимостей у2 = у2 (уг,е), е £ [0, 1).

М(Л<) = са{0-1)[А(Л<)]

12+2 гА(М)ЩМ) +г^[в{м)]2

т2

3/2 72 т2

(3.1)

где т — полярный радиус точки М€1, а М изменяется вдоль I от точки М1 до М2. При переходе к истиной г и эксцентрической Е аномалиям точки М, переменным т, £ получаем соответственно функции М(г), г € [г3, г2(г3, е)], М(Е), Е € [Е3, Е2(Е3, е)], М(т), т € [т3, т2], М(£), £ € [£3, £2], где е — параметр. При этом всегда

d М

dт

М(М 1) = 1, М(М2) = 1, 2с

ДУГ

1 2 р - - +---

а т2 т

-1/2

¿м

dт

= 0,

1 d2 М

2 dт2

с2 А^2

2/2 \72 т2

2сАV2 (1 — 272)

1

3/2 т1

+ '

3

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Г=Г2 (т-1/(т2))2 т-1/2а(/(т2))2/2 тЗа^2 •

Существование точки М€ I, в которой М(М) > 1, влечет (см. работу [1]) неоптимальность рассматриваемого двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных перелетов.

Выведем достаточные условия такой неоптимальности многовитковых двухим-пульсных перелетов, ограничиваясь наиболее важным для практики случаем орбит с ПД. Определяющий число полных витков на межорбитальном участке I орбиты перелета Ь параметр к ^ 1.

Прежде всего заметим, что точка старта М1 будет проходиться к+1 ^ 2 раз. Обозна-

(п)

чим через М3 точку М1 при п-ом прохождении, где п = 0,1, 2,..., к. Межорбитальный участок I наряду с точкой М3 всегда содержит и точки М1п) =М3 (п = 1, 2,..., к), имеющие тот же самый полярный радиус т3 и истинные аномалии г(п) = г3+2пп, п = 1, 2,..., к, отличающиеся на целое кратное 2п. Учитывая соотношения (3.2), находим

М(М(п) ) = 1 + (2т-1— а-1 )Д2 + (2т-1— а-1— р1/2 т-2/2 )Дd/АVl где Д = б72т-2/2а5/2 пп, п = 1, 2,..., к.

(3.5)

1

т=п

Для случая однонаправленного движения по всем орбитам 72 =+1, учитывая, что (2ri — а-1) > 0, из формулы (3.5) находим, что ) > 1, если выполнено соотноше-

ние

(2r-1 — а-1)3а5/2ппг-3/2 + (2r-1 — а-1 — p1/2r~3/2)d/aV1 > 0, (3.6)

где n = 1, 2,..., к. Итак, условие (3.6) — достаточное условие неоптимальности рассматриваемого многовиткового двухимпульсного перелета в классе .многоимпульсных перелетов. Это условие выполнено, например, если d>0, cosV1 >0.

Аналогично точка финиша M2 проходится также к + 1 ^ 2 раз. Обозначим эти точки

(п)

через M2 =M2, где n = —к,..., —2, —1, 0 в порядке их прохождения после старта. Эти точки имеют тот же самый полярный радиус Г2 и различающиеся на целое кратное 2п истинные аномалии v^n) = V2 + 2nn. Учитывая соотношения (3.2), здесь находим

M(M2n)) = 1 + (2r-1— а-1)Д2 + (2r-1— а-1— p1/272r2r3/2)Ad/AV2, (3.7)

где Д = 6Y2r2. 3/2а5/2 \n\ п, n = —к,..., —2, —1.

В случае 72 = +1 однонаправленного движения по всем орбитам, учитывая, что (2r221 — а-1) >0, из формул (3.7) найдем, что M(M2n)) > 1, если выполнено соотношение

(2r-1 — а-1)3а5/2 \n\ nr-3/2 + (2r-1 — а-1 — p1/2^-3/'2)d/AV2 > 0, (3.8)

где n = —к,..., —2, —1. Итак, условие (3.8) есть также достаточное условие неоптимальности рассматриваемого многовиткового двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных перелетов. Условие (3.8) выполнено, например, если d>0, cos V2 > 0.

Была проведена численная проверка выведенных аналитически простых условий (3.6), (3.8) для оптимальных многовитковых двухимпульсных перелетов всех типов при к = 1, 2, 3 для случая однонаправленного движения по всем орбитам. Оказалось, что, по крайней мере, одно из этих двух достаточных условий неоптимальности многовитково-го двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных перелетов всегда выполнено. Таким образом, все такие двухимпульсные маневры не оптимальны в классе многоимпульсных перелетов.

В общем случае возможные типы поведения функций M(v), v G [v1,v2(v1,e)j при p = 0 и M(E), Eg [E1, E2E1, e)] при а-1 =0 были изучены численно. Эксцентриситет e принимался за параметр. Расчеты проводились для оптимальных двухимпульсных маневров всех типов: I, к, II, к, III, к, IV, к при к = 1, 2, 3. Оказалось, что все двухимпульсные маневры не оптимальны в классе многоимпульсных перелетов. В этом состоит их существенное отличие от не более чем одновитковых оптимальных двухимпульсных перелетов. Как показано в работе [1], последние могут быть оптимальными в классе многоимпульсных перелетов.

Summary

S. N. Kirpichnikov, E. Yu. Zub. Multiloop optimal impulsive transitions between circular copla-nar orbits.

The coplanar problem on minimizing propellant consumption in multiloop impulsive transitions between circular boundary orbits is investigated. The launch time and the initial configuration of cosmic objects on the boundary orbits are specified arbitrarily. The qualitative properties of the optimal multiloop two-impulse transitions are studied and their non-optimality in the class of multiimpulse transitions is shown.

Литература

1. Кирпичников С. Н., Воробьев А. Ю., Тетерин С. Н. Качественные свойства орбит энергетически оптимальных импульсных перелетов между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта // Космич. исслед. 2003. Т. 41. №5. С. 471-480.

2. Lion P. M. Sufficient conditions for optimum fixed time impulsive trajectories // XVIII International Astronautical Congress. Belgrade, 1967. Proceedings. V. 1. Astrodynamics. Guidance and Control. Miscellanea: Pergamon Press PWN — Polish Scientific Publishers. 1968. P. 307-317.

3. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.

4. Антонов В. А., Шмыров А. С. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими кеплеровыми орбитами // Механика управляемого движения и проблемы космической динамики Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. С. 165-168.

5. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

Статья поступила в редакцию 1 сентября 2005 г.