Многовитковые импульсные перехваты между круговыми компланарными орбитами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.55:521.2:029.197.2

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 1

0. Н. Розовская, С. Н. Кирпичников

МНОГОВИТКОВЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХВАТЫ МЕЖДУ КРУГОВЫМИ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ

Введение. В работе [1] изучены качественные свойства орбит энергетически оптимальных импульсных перехватов между круговыми компланарными граничными орбитами при заданном времени старта и при ограничении |0| ^ 2тг на угловую дальность Э маневра. Настоящая статья обобщает результаты этих исследований на случай многовитковых импульсных перехватов, когда |0| > 2тг. Будут изучены качественные свойства многовитковых орбит оптимальных одноимпульсных перехватов и показано, что они могут быть оптимальными в классе многоимпульсных перехватов. В этом их существенное отличие от орбит энергетически оптимальных многовитковых двух-импульсных перелетов, которые всегда не оптимальны в классе многоимпульсных многовитковых перелетов [2].

Рассматриваемая задача оптимизации расхода топлива импульсного перехвата есть задача оптимизации с учетом времени движения по орбитам. Для корректности постановки такой задачи должно вводиться ограничение на общее время маневра Т ^ Т», где Т» - заданное максимально допустимое время маневра. Для решения задачи оптимизации с ограничением в виде неравенства следует решить соответствующую задачу без этого ограничения и найти все локально оптимальные решения, удовлетворяющие ограничению Т Т*. Затем сравнить их с решением соответствующей задачи с предельным ограничением в виде равенства Т = Т». Данная работа посвящена нахождению и изучению всех локально оптимальных решений.

Упорядочим рассматриваемые импульсные перехваты по угловой дальности, вводя ограничение

2к-к ^ |0| < 2(к + 1)7г, (1)

где к = 0,1,2,... произвольно задано. В отличие от не более чем одновитковых перехватов работы [1], рассматриваемые здесь маневры мы называем многовитковыми. Подчеркнем, что термин «многовитковость» маневра понимается не в смысле, что витков много, а в смысле, что угловая дальность маневра |0| > 2тх, так что число полных витков /с 1. Не более чем одновитковые перехваты работы [1] отвечают случаю к = 0.

Для качественного исследования оптимальных многовитковых импульсных перехватов используется специальный метод, берущий начало от работ [3-5]. Он напоминает доказательство принципа максимума Понтрягина [6]. Роль игольчатых вариаций управления играют малые дополнительные импульсы на траектории. Применение этого метода и существенное упрощение поставленной задачи за счет одновременного исследования и изопериметрической задачи позволили ее решить.

1. Математическая постановка задачи. Пусть в ньютоновском поле сил с центром О по заданным круговым компланарным орбитам: начальной радиусом г\ и конечной радиусом Г2 движутся некоторые космический аппарат (КА) и космический объект (КО). Пусть параметр 72 характеризует направление движения КО в конечной орбите по отношению к направлению движения КА в начальной, так что 72 = + 1 (— 1) при одинаковом (противоположном) направлении их движения. При рассмотрении

© О. Н. Роговская, С. Н. Кирпичников, 2007

межорбитальных перехватов КА используем импульсную постановку задачи и кусочно-кеплерову аппроксимацию орбит.

В заданный момент старта t\ известен угол S между КА и КО. Перехват начинается в этот момент i 1 приложением исходного импульса к КА в точке старта М\ на начальной орбите и заканчивается жесткой встречей объектов в наперед не заданный момент t-2 > в некоторой также наперед не заданной точке финиша Мi на конечной орбите. Общее число импульсов Дг ^ 1. Минимизируем характеристическую скорость маневра U = ~~ сумму характеристических скоростей {[/¿}f всех N ^ 1 импульсов. Ниже под этими скоростями будем понимать величины V = 11/К. Vi = Ui/K, г = 1, 2 ..., N, где К - корень из гравитационного параметра центра тяготе-

В плоскости маневра введем полярные координаты г, д с началом О, принимая направление движения в начальной орбите за направление положительного отсчета угла д. Полярные координаты точки старта М\ (финиша М->) обозначим через r'i, (r2, г) 2)• Для перехватов с прямым (ПД) (обратным (ОД)) направлением движения угловая дальность маневра О = — > 0 (< 0). Мы изучаем многовитковые перехваты, удовлетворяющие условию (1) при произвольно заданном k = 1, 2,..., случай fc = 0; не более чем одновитковых маневров рассмотрен ранее в работе []].

На рис. 1 в качестве примера приведена схема двухимпульсного перехвата. В момент старта 11 угол S между К А и КО задан. Импульс AU i осуществляется в начальной точке Mi. Имеется промежуточный импульс AUo на межорбиталыюм участке I кусочно-кеплеровой траектории, состоящей из двух кеплеровых дуг.

Выразим О, Ф=А'(£2 — £i) через параметры, определяющие импульсную кусочно-кеплерову траекторию перехвата. Для угла 5 найдем

S = О -72г.73/2Ф + 2ттг, те Z = {...,-1,0,1,...}.

Математически поставленная задача - это задача нахождения минимального по V импульсного межорбиталъного перехвата при связи S = const. Множество ее оптимальных орбит содержится в множестве стационарных орбит изопериметрической задачи нахождения экстремальных по S перехватов при заданной характеристической скорости V. Нам будет удобно перейти к исследованию именно изопериметрической задачи, одновременно формулируя получаемые результаты для исходной основной задачи

нахождения минимальных по V импульсных межорбитальных перехватов. Отметим выигрыш, получаемый от такого перехода. Во-первых, замена трансцендентной связи 5 = const связью V— const, легко сводящейся к алгебраической, приводит к существенному упрощению анализа. Во-вторых, для нашей цели качественного исследования целого класса изучаемых маневров (при всевозможных углах S и радиусах rj, г 2) соответствующую изопериметрическую задачу достаточно рассматривать в постановке со свободным временем. Далее, целочисленный параметр тп не влияет на изучаемые локальные экстремумы функции S. Наконец, функция 5 имеет такую же структуру, как и время маневра Т в изученной ранее задаче качественного исследования наискорейших импульсных перехватов [7] между круговыми орбитами, что позволяет применить разработанные и уже ранее испробованные и проверенные методы оптимизации.

2. Оптимальные одноимпульсные перехваты. Здесь N = 1, начальный импульс производится в точке старта М\ на начальной орбите и V = Д Vi.

Напомним нужные нам результаты статьи [1], модифицируя и применяя их к рассматриваемой в данной работе задаче.

Пусть а, е, р, ю - соответственно большая полуось, эксцентриситет, фокальный параметр, угловое расстояние перицентра от полярной оси кеплеровой орбиты L одно-импульсного маневра. Участок перехвата по орбите L от точки старта М\ до точки финиша М-2 обозначим через I.

Выражая все определяющие маневр параметры через новую переменную г = Х^/р, где А = sign в, и принимаемую за параметр характеристическую скорость маневра V

/ \ '/2 -Чн-й ■

найдем

а = -(/?т + 7)~\ (3)

/? = 2/гГ3/2, 7 = V'2-3/rb р = т2, е = (1 - р/а)1/2, i>i=t?i-со, cr = sign г,

cosV{ = (р/гг — 1)/е, (а — г~2)т2+ рт + (7 + 2г~1) ^0, г = 1,2,

5 = 5(г,К)= - [ - I)г1/2ас1г + 2Ьг, / = -- + 2 г - р. (4)

■) \yirJ 7 ) а

Г]

Введем характеристические скорости гомановских перехватов т/ I 1/2. -1 , / 2Гх г

Уг = \тг-Г1' \г1 \ тг = А,/---, А = ± 1,

V Г! + 1-2

и сделаем естественное в рассматриваемой задаче оптимизации предположение К > К-! — ш1п{1/г|л =+1, Кг|а =-1 }• Теперь так же, как и в работе [1], доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.1. Орбиты одноимпулъсных перехватов, начинающиеся или заканчивающиеся в своих апсидальных точках, не могут быть экстремальными ни при каких значениях Г\, г2 > 0, V >УГ 1.

Теорема 2.1 показывает неоптималыюстпь касательных импульсов: для любого V > К,, оба пересечения оптимальной орбиты перехвата с граиичными орбитами тран-сверсальны, т. е. происходят под ненулевыми углами, что позволяет ввести следующую классификацию стационарных маневров.

Пусть Ь - кеплерова орбита одноимпульсного маневра, трансверсапьно пересекающая обе граничные орбиты. В зависимости от выбора участка I межорбитального движения от точки старта М\ до точки финиша по Ь введем следующие типы маневров:

I, к) участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который не содержит ни перицентр П, ни апоцентр А орбиты Ь;

II, к) участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит перицентр П, но не содержит апоцентр А орбиты Ь;

III, к) участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит апоцентр А, но не содержит.перицентр П орбиты Ь;

IV, к) участок I включает к полных оборотов по орбите Ь и дополнительно участок, который содержит и перицентр П, и апоцентр А орбиты Ь.

Здесь к = 0,1, 2,.... Межорбитальный участок I включает к полных оборотов по орбите Ь, но не может включать в себя к + 1 полный оборот. При к = 0 имеем введенные ранее [1] типы: I, 0 = 1, II, 0 = 11, III, 0 = 111, IV, 0 = IV. Маневры III, 0 = III, IV, 0 = IV типов существуют лишь для эллиптических орбит. Все многовитковые маневры, т. е. маневры типов I, к, II, к, III, к, IV, к, где к ^ 1, также существуют лишь для эллиптических орбит, и у них всегда е < 1 (в невырожденных случаях).

Не ограничивая общности, будем всегда считать, что истинная аномалия у\ точки старта М\ в орбите перехвата находится в пределах Е [—7Г, 7г]. Вследствие условия (1) имеем 2/с7г ^ |г>2 — VI | < 2{к + 1)7г. Теперь условия, обусловливающие типы маневров, и условия Г2>Г\, Г2<Г\ определяют разбиение полосы у\ Е [—7г, 7г] на плоскости VI, У2 на отдельные квадраты со стороной 7г, каждый из которых, в свою очередь, разбит на два прямоугольных треугольника. Любому такому треугольнику отвечает определенный тип маневра: I, к, II, к, III, к, IV, к при г2 > п или г2 < п. Эти квадраты и треугольники на плоскости г>1, г)2 для случая ПД (г>2 > , 7г = +1) представлены на рис. 2. Треугольники в параллелограмме с вершинами (—7г, — 7г), (—7г,7г), (7г,37г), (7т,7г) отвечают исследованным ранее в работе [1] типам маневров I, II, III, IV.

Рис. 2. Разбиение полосы г>1 £ [—7Г, 7г] на плоскости щ, г>2-

При фиксированном V определяемая формулами (3),(4) функция S{p,V) или S(t,V) переходит в функцию S(p) или 5(т). Уравнение экстремума dS/dr = 0 приведем к виду

Р (Р , 1

X!(М:) —^ - £ + —^ тХ2(Мг) + ) = 0, (5)

272г2'~ \ 72?'2 /

,, / „,л Г г3айг „ ,„,> г гайг ,, ,„ ,, Г 2 - га"1 Х\{М) = у Л2(М) = у А¿М) = ! -¡щ-айт.

цм) /(М) ¡(М)

Раскрепим на время характеристическую скорость маневра. У. Тогда уравнение экстремума dS/dт = 0 на стационарных орбитах определит функциональную зависимость р — р (V), и можем ввести функцию 5 = 5(р (V), V) = §(У). Для нее имеем

55 55 Эр + -

¿У2 9У2 др дУ2 д V2' В силу уравнения экстремума 95/9р = 0 получим

95 1 /^(п) \

Нам будет удобно ввести в рассмотрение два новых параметра

Тогда легко находим

95 95 95 dS

Учитывая полученные выше соотношения, для оптимизируемых функций V — К (г, 5) и 5 = 5(т, V) исходной и изопериметрической задач имеем

92 5 9 5 92 У 95 , 92 5 92У

Из последних соотношений получаем следующее утверждение, с помощью которого легко установить связь характера экстремумов всякого стационарного решения в исходной и изопериметрической задачах.

Теорема 2.2. При d< 0 минимуму (максимуму) 5 соответствует максимум (минимум) V в исходной экстремальной задаче. При d > 0 характер экстремумов 5 и V одинаков.

Для того чтобы найти и представить графически все множество рассматриваемых оптимальных одноимпульсных перехватов при фиксированных параметрах А = sign 0. 72, поступим следующим образом. Исключая конкретные размеры: радиусы Г\,г2 граничных орбит и параметры 5 и V, перейдем к аномалиям точек старта и финиша и эксцентриситету е. А именно, будем вычислять характеристическую скорость ДУх = V по выражению (2), радиусы г1: г2 - по формулам п =р( 1 -fecos Vi)~x (рф 0),

2л+1

2я+3

2л+2

2л

-л

О

ОД

v

-3

V,

Рис. 5. Зависимости V2 = "-¿("i, е), ее (0, 0, 9], для маневров 1,1 типа.

а также r¿=a(l— ecos E¡) (а г = 1,2, где Ei, Е2 - эксцентрические аномалии

точек М\, М-2.

Уравнение (5) при рф 0 перейдет в уравнение F(vi, г>2,е)=0, определяющее зависимости V2 = v2(v¡ ,е), а при а^ ± оо - в F(Ei, ¿?2,e) =0, определяющее зависимости Е2 =E2(Eí, е) для всех стационарных орбит изучаемого класса орбит конкретного заданного типа. Тип маневра обусловливается выбором соответствующего из определенных выше квадрата или треугольника на плоскости v\, v2 или Еi, Е2.

Такие зависимости, характеризующие качественный вид стационарных орбит, были исследованы численно с помощью ЭВМ. Оказалось, что у многовитковых стационарных орбит всегда либо точка старта, либо точка финиша не сильно отличается от одной из апсид орбиты перехвата. Так, для точки старта величина либо V\, либо V\ + п, а для точки финиша величина v¿ — mr при определенном п= 1,2,... равна не более чем 10°. Причем соответствующая предельная величина неограниченно уменьшается с ростом числа к полных витков орбиты стационарного перехвата.

Вычисления показали также, что маневры типа IV, к, где к = 0,1,2,..., вообще не могут быть стацио'нарными в изучаемой задаче.

В качестве примера на рис. 3 приведены зависимости v2 = v2(vi, е)> (0, 0,9], для стационарных маневров 1,1, ?Éi >г2 и г2>г\ типов. На рис.4 показаны зависимости v2 = v2(fi, е), е £ (0, 0,9], для стационарных маневров 11,1 и III, 1 типов. Точкам областей D отвечают максимумы характеристической скорости V. Мы ограничились наиболее интересными областями V\ £ (0, 0,2), Vi+ttE (0, 0,2), так как увидим в п. 3, что именно в них располагаются области Q оптимальности одноимпульсных перехватов в классе многоимпульсных перехватов.

3. Оптимальность одноимпульсных перехватов в классе многоимпульсных. Исследуем экстремальность найденных в п. 2 одноимпульсных маневров в классе многоимпульсных маневров. При этом будем допускать вариацию основного импульса в момент времени ti, но рассматривать лишь дополнительные малые импульсы, прикладываемые не ранее основного импульса.

Пусть L - кеплерова орбита оптимального, т. е. отвечающего минимуму V, одноим-пульсного маневра при V > Угд. По теореме 2.1 она трансверсально (т. е. под ненулевыми углами) пересекает обе граничные орбиты. Произвольно проварьируем орбиту L,

2л+3

2я+2

271+1

Рис. 4- Зависимости иг = «2(«ь е), е £ (0, 0, 9], для маневров II, 1 (а) и III, 1 (б) типов.

предполагая лишь, что она осталась кеплеровой и трансверсалыю пересекающей обе граничные орбиты. Вариации элементов а, р обозначим через Да, Ар.

Пусть теперь при движении по участку I С L межорбитального полета по проварь-ированной орбите L в точках М1,... ,Мп участка I с полярными радиусами plt... ,рп и с истинными аномалиями v1,..., v", в которых vi ^v1 ^ ... ^ vn ^ г>2, осуществляются дополнительные импульсы с достаточно малыми характеристическими скорос-

п

тями: a.\u,..., апи, а.\ ^ 0,..., а„ ^ 0, ^ °ч — 1> п = 1,2,..., и - суммарная

г=1

характеристическая скорость всех дополнительных импульсов, и с углами Ф1,...,Ф" наклона тяги к радиальным направлениям соответственно.

Используем линеаризованную теорию приращений, сохраняя лишь члены, линейные относительно величин Да, Ар, и. В соответствии с этой теорией аргументы всех выражений ниже будут отнесены к исходному участку I невозмущенной орбиты L.

По формулам небесной механики [8,9] элементы а, р после г-го дополнительного импульса получат приращения

Да,- = 2 а

2 рг 1 ^тятФ' + а (—р]/а + 2р1 - р)1/2 соэФ^ и, Арг- = (2гр, йшФ')«.

Связь между приращением Д V характеристической скорости V маневра перехвата по проварьированной орбите Ь со всеми п дополнительными импульсами относительно исходной характеристической скорости V и получаемым изменением Д5 функции 5 после ряда громоздких преобразований найдем в виде соотношения

AS = -d (AV -и)+ ^2[dA(pi) sin + dB(pi) cos Ф; + 1}и,

(6)

в котором

Л(г) = с [тА(г)/г + гВ(г)/(72Г2/2)], В(г) = со(-р/г2 + 2/г - 1/а)1/2Л(г), (7)

A(r) = X"i(r)/(72r.f2) - тХ2(г), В(г) = 72г23/2А'4(г) - тХ2(г), (8)

где через г обозначен полярный радиус точки Mel.

Переходя теперь к исходной рассматриваемой задаче оптимизации расхода топлива при заданном угле 5 = const и полагая в соответствии с этим вариацию Д5 = 0, для приращения Д V характеристической скорости V в исходной экстремальной задаче из соотношений (6)-(8) находим

п

ДУ = Y^i Api) sin + B(pi) cos Ф* + 1 ] и. (9)

¿=i

Центральную роль при исследовании (локальной) оптимальности по V одноим-пульсного перехвата, отвечающего минимуму характеристической скорости маневра V в исходной экстремальной задаче, в классе многоимпульсных маневров, так же как и в работе [1], играет функция

М(М) = [тах( А(М) sin Ф + В(М) cos Ф)]2 = [Л(М)]2 + [В{М)]2 =

„2

о

= С

(10)

(-- + -) [А{М)? + -^—А{М)В{М) + ~ [B{M)f Va 1 / 72г2

где г - полярный радиус точки М El, а М изменяется вдоль I С L от точки М\ до Мо. При переходе к истинной v, эксцентрической Е аномалиям точки М, полярному радиусу г и времени t получаем соответственно функции М(г>), v € [vu v2(vu е)}, Ш{Е), Е е [Еи E2(EU е)), M(r), г е [п,г2], и M(i), t е [t1:t2], где е - параметр.

При этом легко проверить, что всегда

M(Mi) = l, М(М2)=0. (11)

Далее, выражая функцию М(А/) как функцию М(г) полярного радиуса г, наряду с соотношениями (11) после ряда выкладок для первых производных функции М(г) по полярному радиусу г в точках Мi и М2 находим

d М dr

V \ а п rjj \у2г32/2

2

V2 V 4~ г? ! ' dr

+ 2г, //?2 1

= 0. (12)

Г=Г 2

Существование на межорбитальном участке движения точки М £1 с истинной у£[у 1, 1>2(г>1, е)] и эксцентрической -Е € [Е\, Е2(Е\, е)] аномалиями, в которой функция М(М) > 1 (как, например, на кривых 2, 3 на рис. 5, на котором изображены некоторые из возможных видов графиков функции М(М)), влечет неоптимальность рассматриваемого одноимпульсного перехвата в классе многоимпульсных, так как уже один достаточно малый добавочный ненулевой импульс в этой точке М, направление которого определяется из условия реализации минимума по углу наклона тяги Ф в соотношении (10), в соответствии с формулой (9) приводит к Д1/<0, т. е. соответствующий двухимпульсный перехват будет оптимальнее исходного одноимпульсного при всякой достаточно малой характеристической скорости и добавочного импульса.

Рассмотрим условие локальной оптимальности данного одноимпульсного полета, отвечающего минимуму V:

М(М) <1, V М £ши = (МЬМ2). (13)

Этому случаю соответствует, например, кривая 1 на рис. 5. Действительно, при выполнении условия (13) всякие достаточно малые ненулевые дополнительные импульсы, прикладываемые в любых внутренних точках межорбитального участка I, в силу формулы (9), всегда приводят к ДУ > О, т.е. к увеличению минимизируемой характеристической скорости маневра У.

Выведем теперь условия неоптимальности одноимпульсного полета в классе многоимпульсных. Прежде всего ясно, что для многовитковых маневров сохраняются условия их неоптимальносги в классе многоимпульсных перехватов, которые аналогичны полученным ранее при исследовании не более чем одновитковых перехватов.

О существовании точек, в которых функция М(М) > 1, можно судить по значениям производных функции М(М) в начальной точке межорбитального участка - точке старта М\. Эта производная вычислена выше и определяется формулой (12). Исследуя ее знак, изучим тем самым поведение функции М(М) в окрестности указанной точки М\. Имеем

г)

(1г

2са ( 1 2 р\~1'2 ( 1 /Л

Рассмотрим формулу (14) подробнее. Из нее легко следует, что после перехода к независимой переменной - времени £ получим

(ШЛ)

51611

= (72с(п -72г2)).

Так как время £ перехвата всегда по мере выполнения маневра возрастает, то из этой формулы вытекает, что выполнение соотношений, входящих в каждую из трех групп условий:

7г =+1, с> 0, гх>г2, 72 = +1, с < 0, гх>г2, 72 = -1, с < и,

всегда достаточно для пеоптимальности по характеристической скорости V рассматриваемого одноимнульсного перехвата в классе многоимпульсных. Отсюда в случае 72 = 4-1, т. е. для граничных орбит с одинаковым направлением движения, маневры 11,0 типа при г2 > Г] и маневры 111,0 типа при г\ > г2, а в случае 72 = — 1 граничных орбит с противоположным направлением движения маневры 111,0, IV, 0 типов всегда неоптимальны в классе многоимпульсных перехватов.

Обратимся теперь к исследованию оптимальности многовитковых одноимпульсных перехватов в классе многоимпульсных. Для простоты ограничимся наиболее важным для практики случаем орбит с ПД. Здесь определяющий число полных витков на межорбитальном участке I орбиты перехвата Ь параметр 1. Прежде всего заметим, что точка старта М\ будет проходиться к+ 1^2 раз. Обозначим эти точки через М[т) = Мь где т = 1,2,..., к, в порядке их прохождения, исключая начальный выход на орбиту перехвата из точки старта. Итак, тогда межорбитальный участок / наряду с самой точкой старта М\ всегда будет содержать и точки = М\, где

т = 1,2,..., к, имеющие тот же самый полярный радиус т\. Однако истинные аномалии точек м|т) = М1 будут различаться на целое кратное 2тт:

= щ 4 2ттг, гп = 1,2,..., к. (15)

Несложные выкладки, проводимые с учетом соотношений (15), показывают, что

1 = с Д

а г 1 / су \а Г\ 2 /

где

Д = —6а5/272г2 3'2гп7г, 771 — 1, 2,..., к. (16)

Теперь отсюда получаем, что для неоптимальности многовиткового одиоимпульсиого перехвата в классе многоимпульсных достаточно выполнение условия

а г 1 / сУ \а гI 2 )

> 0. (17)

Рассмотрим случай однонаправленного движения по всем орбитам и положим 72 = +1. Учитывая, что всегда —1/а + 2/г1>0, из формул (16), (17) следует, что

М ^ А-/|<т'^ >1, т. е. рассматриваемый многовитковый одноимпульсный перехват не

будет оптимален в классе многоимпульсных, если выполнено соотношение

1 + 1-*^) >0. (18,

а г 1

Итак, (18) есть простое достаточное условие неоптимальности многовиткового одноим-пульсного перехвата в классе миогоимпульсных.

Возможные типы поведения функции М(М),М е I ~ [М], М2], при а-1 /0 и однонаправленном движении по всем орбитам (72 = 4-1, А = 4-1) были изучены численно с помощью ЭВМ для энергетически оптимальных маневров одноимпульсных перехватов. Эксцентриситет е принимался за параметр. Исследованы были маневры, отвечающие типам I, к, II, к, III, к, где 1 ^ к ^ 3. Эти расчеты показали, что такие многовитковые одноимпульсные перехваты могут быть оптимальными в классе многоимпулъсных перехватов.

Приведем подробнее соответствующие выводы для случая k~ 1. Оптимальными в классе многоимпульспых могут быть маневры 1,1 типа, маневры II, 1 типа при г\ > г-> и маневры 111,1 типа при г >>г\. Отмстим, что маневры 1,1 типа при гi > г > могут быть оптимальными лишь при малых значениях эксцентриситета 0 < е < О, 0G2G,.... На рис. 3,4 для маневров всех рассматриваемых типов при к~ 1 изображены соответствующие области Q их оптимальности в классе многоимпульспых перехватов.

Summary

Rogovskaya О. N., Kirpichnikov S. N. Multiloop impulsive interceptions between circular copla-nar orbits.

The coplanar problem of minimizing propcllant consumption in multilooj) impulsive interception between circular orbits is investigated. The launch time and the initial configuration of cosmic objects on the boundary orbits are arbitrarily specified. The qualitive properties of the optimal multiloops one-impulse trajectories are studied. Our investigations imply that these multiloop one-impulse trajectories can be optimal in the class of multi-impulse interceptions. The appropriative domains of optimality are found.

Литература

1. Кирпичников С. H., Воробьев А. 10., Тетерин С. Н. Качественные свойства орбит энергетически оптимальных импульсных перелетов между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта // Космич. исследования. 2003. Т. 41, .№ 5. С. 471-480.

2. Кирпичников С. Н., Зуб Е. Ю. Многовитковые оптимальные импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2006. Вып. 3. С. 84-91.

3. Lion Р. М. Sufficient conditions for optimum fixed time impulsive trajectories // Proc. XVIII Intern. Astronautical Congress. Belgrade, 1907. Vol. 1: Astrodynamics. Guidance and Control. Miscellanea: Pergamon Press PWN - Polish Scientific Publ., 1968. P. 307-317.

4. Лоудеи Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации // Пер. с англ.; Под ред. В. К. Исаева. М.: Мир, 1966. 152 с.

5. Антонов В. А., Шмыров А. С. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими кеплеровыми орбитами // Механика управляемого движения и проблемы космической динамики / Под ред. В. С. Новоселова. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. С. 165-168.

6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

7. Кирпичников С. Н., Кулешов Л. А., Ниязова Р. О. Наискорейший импульсный полет между круговыми компланарными орбитами с учетом времени движения по начальной орбите // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1994. Вып. 4 (J№ 22). С. 53-65.

8. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 445 с.

9. Субботин М. Ф. Введение в теоритическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с. Статья представлена к публикации членом редколлегии Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.