CC BY
33
УДК 629.19:521.1:531.1 В. С. Новоселов
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 1
НАЧАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ КОСМИЧЕСКОЙ НАВИГАЦИИ*
1. Исследования оптимальных космических траекторий [1] обнаружили сложную структуру множества возможных импульсных переходов в гравитационном поле. При построении эффективных методов численного определения характеристик космических маневров целесообразно исходить из результатов аналитических теорий по явному определению начальных приближений. Например, с помощью метода разложения по целым или дробным степеням малого параметра можно вывести уравнения ветвления и определить их приближенное решение. Рассматриваемая ниже задача двухимпульсного перехода [1] между орбитами с малыми эксцентриситетами и малым взаимным наклонением [2] может служить иллюстрацией эффективного применения теории построения аналитического приближения при вырожденном порождающем решении [3]. При этом широко использованы обозначения работ [2, 4] и выполнено уточнение результатов, полученных в [4].
Величины эксцентриситетов граничных орбит и взаимное наклонение целесообразно задавать в виде
б! = це'х + ¡л2е1, е2 = /хе'2 + у?е2,
г2 - ¿1 = /х(*2 - »Ч)' + М2(*2 ~ Ч)", (1)
где р — неотрицательный числовой малый параметр; индекс 1 указывает на принадлежность к начальной орбите, индекс 2 - к конечной орбите. Величины с одним и двумя штрихами имеют порядок единицы. Если все указанные величины с одним штрихом равны нулю, то в качестве малого параметра выступает /л2. Построение в этом случае решения в виде ряда по степеням ¡х будет равносильно разложению по степеням квадратного корня из физического малого параметра [5]. Добавление в правые части (1) членов порядка у? нецелесообразно, так как ветви решения, полученные при разложении по степеням кубического корня из физического малого параметра, имеют практический интерес при весьма малом его значении.
Заметим также, что учет возмущений граничных и переходной орбит от несферичности гравитационного поля Земли, сопротивления атмосферы и гравитационного воздействия Луны и Солнца потребовало расширения числа физических малых параметров [б]. Сама же процедура получения аналитического решения в виде рядов по степеням как малого параметра, так и корня квадратного из него связана с фактическим введением методического малого параметра, по степеням которого и выполняется разложение.
2. Процедура построения приближений для экстремальных траекторий заключается в последовательном удовлетворении по порядкам методического малого параметра необходимых условий экстремума, состоящих из уравнений импульсного приращения скорости, соотношений неизменяемости сферических координат г, 9 и лагранжевых множителей в точках приложения импульсов, а также соотношений трансверсальности [2, 3].
Введем обозначения: ае - квадратный корень из произведения гравитационной постоянной на массу центрального тела, е и р - эксцентриситет и фокальный параметр
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01039).
© В. С. Новоселов, 2004
переходной орбиты соответственно, / - истинная аномалия, и = / + ш - аргумент широты, где ш - угловое расстояние перицентра от узла. Угловые переменные снабжаются для граничных орбит указанными выше индексами 1 и 2, а для переходной орбиты индексом «—» в начальной и индексом «+» в конечной точках. Обозначим характеристическую скорость импульса У, угол ее наклона к радиус-вектору - ф) угол между направлением местной параллели и проекцией импульса скорости на плоскость, ортогональную к радиус-вектору, - 7, указанные величины снабжаем соответственно индексом 1 для первого импульса и 2 - для второго.
Предполагаем, что разность фокальных параметров рг —р\ граничных орбит порядка единицы. Если указанные параметры будут близкими, то и переходная орбита становится близкой к круговой. Решение такой задачи требует особого рассмотрения. Не теряя общности, принимаем в качестве основной плоскость начальной орбиты, тогда 0" = 0, *1 = 0.
Уравнения импульсного приращения компонентов скорости будут [2]
• 1 -I aeep 2 sin / — aeeiрг 3 sin /1 = = Vi eos фх, (2)
i . . aeep 2 sin /+ — aee2p2 2 sin /2 = -V2 eos ф2, (?).
j i азр^1 (1 + ei eos /1) (pá eos г — px2) = Vi sin Ф1 eos 71, (4)
1 i aep^"1(l + e2 eos /г)(р2 eos г — p| cos¿2) = - - V2 eos 6+ sin Ф2 eos 72, (5)
asp^~1(l + ei eos/i)p2 sintcosii- = Vi sin Ф1 sin 71, (6)
i — аер^1(1 4- ег eos/г)(р^ sin¿cos,u+ — р| sin¿2 eosU2) =
= — V2 eos 0+ sin Ф2 sin 72. (7)
Условия Вейерштрасса-Эрдмана непрерывности лагранжевых множителей в точках стыковки участков активного движения с крайними точками переходного эллипса следующие:
Acosf~ + Бе sin/" + С7-1 = cos^i, (8)
A eos f* + Be sin /+ + CJ+ = eos Ф2, (9)"
[~A sin /"(2 + ecos f~) + B( 1 + ecos/")2 + + C(1 + e eos f~)J~ -f- D] cosí — (M eos /" + N sin /~) sin i eos u~ =
= (1 ecos /") sini¡>\ eos71, (10)
[—Asin/+(2 + ecos/+) + B{\ -f ecos/+)2 + C(1 + ecosf+)J+ + • + D] eos i — (M eos /+ 4- N sin /+) sin i eos u+ =
= (1 + ecos /+) cos0+ sinФ2 eos72, (11)
[—Л sin/" (2 -f ecos/-) -f i?(l + ecos/"")2 + C(1 + ecos f~)J~ + + D] sin i eos u~ + (M eos f~+N sin /") eos г =
= (1 + ecos/-) sin Ф1 sin 71, (12)
[-A sin /+(2 + ecos /+) + B(l + ecos /+)2 + C(1 + ecos f+)J+ +
+ jD] sin i cos u+ + (M cos f++N sin /+) cos i =
= (1 -fe cos /+) sin ф2 cos 72. (13)
Здесь А, В, С, D, М, N — постоянные Лоудена решения уравнений Эйлера-Лагранжа для участков баллистического движения, I и J — специальные функции в виде квадратур [2, 7].
Неизменяемость сферических координат в точках приложения импульсов приводит к равенствам
pi( 1 + ecos /~) = р( 1 + ei cos/i), (14)
Рг(1 + ecos /+) = р(1 + ез cos/г),- ... (15)
" — Q) = cos i tg u~, ip~ = u\ = /i + ct>i, (16)
tg {<р+ - Q) = cos г tg tg(y?+ - i)2) = cos i2 tg u2, (17)
0 = sin в~ = sin i sin u~, (18)
sin = sin i sin U+ = sin ¿2 sin 1Í2. (19)
Обозначим через £1 угловое расстояние восходящего узла от начала отсчета углов. Примем, что fii = 0, т.е. восходящий узел начальной орбиты и служит указанной точкой начала отсчета углов.
Пусть Н - интеграл Гамильтона совместной системы уравнений движения и уравнений Эйлера-Лагранжа, который оказывается равным [2]
Я = -ае2ер~2С. (20)
Условия трансверсальности при заданных фазах движения по заданным граничным орбитам будут:
б б
XiAxi)tsstl - HAh = 0, (]£ XiAxi)t=t3 - HAt2 = 0. (21)
1=1 »=1
Здесь t\ и t2 - моменты времени старта и финиша, А,- - лагранжевы множители. Если хотя бы на одной из граничных орбит фаза движения является произвольной, то условия трансверсальности принимают вид
б б {J2 XiAxi)t=tl = 0, (£ А iAxi)t=t2 =0, Я = 0. (22)
¿=1 »=1
Истинная аномалия / для каждой из трех рассматриваемых орбит связана со временем t, получаемым из интеграла площадей, соотношением
f
J (1 + ecos f)~2df = аep-V2{t-tp)} (23)
о
где tp - момент прохождения через перицентр. Величина tp и определяет фазу движения по соответствующей орбите.
При заданных фазах движения формулы (2)—(23) дают 26 уравнений относительно 26 неизвестных: е, р, г, ш, П, /+, Д, /2, VI, У"2, 7ь 7г, А, В, С,
Б, М, ЛГ, у?-, Если фаза движения, например, на начальной орбите может
выбираться произвольно, то будет 27 уравнений и добавляется неизвестная . Если фазы движения и ^ произвольны, то имеем 28 уравнений относительно такого же числа неизвестных.
3. Анализ ветвления экстремальных орбит перехода целесообразно начинать с формулы (18). Возможен вариант а) гЛГ^ ф 0, вт-и" = 0. По формуле (16) имеем два случая: 01) (р~ = 12; а2) <р~ = П + 7г, т.е. точка старта отвечает восходящему или нисходящему узлу переходной орбиты. Возможен также вариант Ь) г — 0, для которого формула (19) указывает два подслучая: 61) г2 ф 0, вти2 = 0, и2 = 0 или и2 = тг, т.е. финиш осуществляется в узловой точке конечной орбиты, и Ь2) г2 = 0, при котором задача перелета оказывается компланарной.
Общие формулы нулевого, первого и второго приближений получены в работе [2], а дополнение, связанное с возмущением фокальных параметров граничной и переходной орбит, - в [б]. Расход характеристических скоростей первого порядка эллиптического перелета определяется величинами эксцентриситетов й угловых удалений от взаимного узла в моменты старта и финиша для граничных орбит.
Как и в цитированных работах, нулем отметим характеристики нулевого приближения, т.е. на полуэллипсе Гомана, одним и двумя штрихами - соответственно величины для приближений первого и второго порядков.
Если ¿2 ф 0, т.е. взаимное наклонение имеет первый порядок малости, оптимальный двухимпульсный перелет оказывается узловым, для которого точки старта и финиша совпадают с взаимными узлами граничных орбит. Сравнение поправок характеристических скоростей второго порядка случая а) и подслучая показывает, что последний, в котором плоскость орбиты перехода совпадает с плоскостью начальной орбиты, должен быть исключен.
При произвольной фазе движения хотя бы по одной из граничных орбит имеем более выгодные в энергетическом отношении ветви экстремального решения. Происходит также упрощение у равнений, необходимых условий экстремума, так как из Н — 0 следует С = 0, и в формулах лагранжевых множителей пропадают члены, содержащие функции I и «7. Если время движения не является жестко ограниченным, то с помощью дробления первого импульса, а также использования целых обращений по промежуточной орбите [8, 9] можно обеспечить переход с тем же расходом характеристических скоростей, что и в случае произвольных фаз движения. При существенном ограничении на время перелета надлежит рассматривать ветви экстремального решения при С ф 0 [2, 10].
4. Своеобразие в схему построения приближений при вырожденном порождающем решении типа полуэллипса Гомана вносит разложение по степеням квадратного корня из малого параметра, осуществленное в работе [5]. В ней же отмечается, что полученное решение может быть более предпочтительным в энергетическом отношении, чем узловой перелет случая а). Получим представление этой дополнительной ветви экстремального решения на основе схемы оптимизации работы [2] и установим положение точки старта.
Следует положить е'г = 0, е2 = 0, г2 = 0 и отыскивать решение, для которого { Ш = 0. Поправка первого порядка к сумме характеристических скоростей будет равна нулю, а второго порядка У — + У2 определяется по методике работы [2] в
виде формулы (15) работы [5]:
-х~ги = Gi cos(<¿>°- - ВД + (G2 - uP3i'i) sinfa0- - ЗД,
где v?0- - угловое положение точки старта в нулевом приближении; Gi = P\é[ cqs(íí2 — wi) 4- P2e2 coso;2, G2 = -Piéx sin(íí2 - + Pie^ sinu;2, v = signsin(^°~ h2), P3 =
Величины Qi и Q2 так же, как и положительные Pi и Р2> введены в работе [5]. Можно вычислить производную
-агди/д{чр- - П2) =
= S - Р3г2 cos(^0- - ft2)sin(y>°- - íí2)5(sin(yj°- - íí2)). Здесь через обозначена функция Дирака,
S = -Gi sin(<¿>°~ - П2) + (G2 - vPzi2) cos(v?0rr - íí2).
Обращение указанной производной в нуль равноценно условию 5 = 0. Поэтому при введении обозначения _
G = y/G21 + (G2-uP3Q^
угловое положение точки старта относительно взаимного узла граничных орбит определится выражениями
sin(v?°- - ЗД = ±(G2 - vPzi2)G~l, cos (у»0- - fi2) = ±GiGq1.
Они уточняют аналогичные соотношения работы [4], из них следуют общие выводы данной статьи об условиях предпочтительности дополнительной ветви. Следует заметить, что вполне достоверно предпочтительность той или иной ветви экстремального решения для конкретной задачи можно установить при сравнении соответствующих величин расхода массы при учете всех необходимых факторов.
Summary
Novoselov V. S. Initial approximations of the optimal trajectories.
The sheme of the analytical optimization of two-impulse transfers between the orbits with small inclinations and eccentricities which represents the procedure of search in the form of series with respect to the small parameter of solutions of the necessary condition for extremum is analysed. The branching of non-coplanar optimal orbit is considered.
Литература
1. Охоцимский Д. E., Сихуралидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.
2. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972. 317 с.
3. Новоселов В. С. Вариация функционала и упрощенное построение аналитических приближений в экстремальных задачах управления движением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1995. Вып. 3 ( № 15). С. 92-100.
4. Новоселов В. С. Общая схема аналитических приближений экстремальных переходов между орбитами с малыми наклонениями и эксцентриситетами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1997. Вып. 1 (№ 1). С. 82-87.
5.'"Новоселов В. С. Новая ветвь экстремального оптимального перехода между орбитами с малым взаимным наклонением и малыми эксцентриситетами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Сер. 1. Вып. 1 (№ 1). С. 91-95.
6. Новоселов В. С. Анализ возмущенных оптимальных орбит на основе фундаментального решения // Анализ и синтез систем управления. (Вопросы механики и процессов управления. Вып. 10) Л., 1987. С. 119-126.
7. Лоуден Д. Е. Межпланетные траектории ракет // Космические траектории / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Вериго. М., 1963. С. 177-242.
8. Новоселов В. С. Оптимизация межпланетного перехода между орбитами с малыми эксцентриситетами при дроблении импульса // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. Пермь, 1988. С. 133-136.
9. Новоселов В. С. Об оптимизации дробления первого импульса в узловом перелете // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. Пермь, 1989. С. 114-118.
10. Новоселов В. С. О новых ветвях оптимальных компланарных двухимпульсных переходов // Вестн. Ленингр. ун-та. 1973. № 15. С. 134-137.
Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.
