ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНЫМИ РЕЖИМАМИ СЛАБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНЖЕКЦИИ ЗАРЯДА В ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЯЧЕЙКАХ С РАЗНЫМ АСПЕКТНЫМ ОТНОШЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(39)

УДК 532.5

Переходы между электроконвективными режимами слабопроводящей жидкости при инжекции заряда в горизонтальных ячейках с разным аспектным отношением

В. А. Ильин, К. С. Рушинская

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 ilin1@psu.ru; +7 342 2 396 894

Изучены нелинейные режимы электроконвекции неизотермической слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле горизонтального слоя при униполярной инжекции заряда с катода. Рассмотрены прямоугольные ячейки разной длины с условиями периодичности. Построены бифуркационные диаграммы режимов электроконвекции.

Ключевые слова: электроконвекция; слабопроводящая жидкость; инжекция заряда. DOI: 10.17072/1993-0550-2017-4-32-37

Введение

Движение жидкостей в электрическом поле привлекает внимание тем, что представляет собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкости [1, 2]. Знание законов действия электрического поля на конвективные течения актуально в связи с проблемой эффективного управления конвекцией, тепло- и массопереносом в различных технологических ситуациях, в частности, в электрогидродинамических насосах.

Существует несколько механизмов электроконвекции в диэлектрических жидкостях: диэлектрофоретический механизм неустойчивости в идеальных диэлектриках [3], электрокондуктивный механизм неустойчивости в слабопроводящих жидкостях [4], ин-жекция заряда и диссоциационно-рекомби-национный механизм зарядообразования в слабопроводящих жидкостях [5].

В настоящей работе инжекционный механизм зарядообразования считается основным. Используется модель униполярной ин-

© Ильин В. А., Рушинская К. С., 2017

жекции заряда, рассмотренная в [6-9]. Согласно этой модели плотность инжектируемого заряда с катода прямо пропорциональна напряженности электрического поля в слое жидкости.

В [6] рассмотрен изотермический случай, в [7] - подогрев сверху, в [8, 9] - подогрев снизу. Электроконвекция в длинных ячейках изучена в работе [10].

В настоящей работе исследуется электроконвекция в прямоугольных ячейках с разным аспектным отношением с условиями периодичности при разных нагревах снизу и в невесомости [11].

1. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой вязкой несжимаемой сла-бопроводящей жидкости в вертикальном постоянном электрическом поле и поле тяжести с ускорением свободного падения g. Ось х направлена вдоль нижней границы слоя, ось г - перпендикулярна границам слоя.

Два плоских электрода лежат в плоскостях г = 0 и г = И (рис. 1), И - толщина слоя.

\

g

Р. = AEz

р = U

T = 0

E

р = 0 T = 0

Рис. 1. Геометрия задачи

Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора нагреты до разной температуры - Т(0) = ©, Т(И) = 0. Здесь Т -температура, отсчитываемая от температуры верхнего электрода, © - характерная разность температур. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу.

На катоде (нижнем электроде) потенциал равен нулю р(0) = 0, на аноде (верхнем

электроде) - р(к) = и . Здесь и - напряжение

электрического поля.

С катода происходит униполярная ин-жекция заряда. Плотность свободных зарядов у катода пропорциональна нормальной составляющей вектора напряженности поля ре = аЕг, где а - коэффициент, характеризующий степень инжекции.

Движение жидкости и свободных зарядов в слое описывается системой уравнений электрогидродинамики:

Р + (V ' У)V) = -Ур + РК0ЛГ + РеЕ + Р§ ,

0Т + (V-У)Т = ХЛГ ,

01

dPe dt

+ divpe v - bp E) = 0,

(1)

^ = 0, р = ро(1 - рт), &у(ег0Е) = ре, Е = -Ур,

где р - массовая плотность жидкости; V вектор скорости жидкости; р - давление; у0 коэффициент кинематической вязкости; ре -плотность заряда; % - коэффициент температуропроводности; р - коэффициент теплового расширения жидкости; е - диэлектрическая проницаемость среды; е0 - электрическая постоянная; Ь - подвижность зарядов; Е -напряженность, р - потенциал поля.

Границы слоя непроницаемые, на них выполняются условия прилипания - скорость равна нулю:

z = 0: v = 0, р = 0, p = -a^, T = 0 ,

dz

z = h: v = 0, р = U, T = 0 .

(2)

Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - время вязкой

диссипации h2/K0, расстояния - расстояние между электродами h , скорости - v0 /h , потенциала - U, поля - U / h, давления -py\/h2, температуры - 0 , плотности заряда - ss0U/ h2 .

После обезразмеривания система уравнений (1) с граничными условиями (2) приводится к виду

— + (v ■ V)v = -Vp + Av - —V pVp +—Tv, dt M2 Pr

Pr — + (v ^V)T = AT,

dt

divv = 0, Ap + pe= 0,

Р + (v ■ V)pe = i(p2 -Vp^Vpe ) , dt M

(3)

где у = (0, 0, 1), р - превышение давления над гидростатическим. Граничные условия имеют вид:

z = 0: v = 0, р = 0, p = -Adp, T = 1.

dz

z = 1: v = 0, р = 1, T = 0 .

(4)

Здесь введены безразмерные параметры - тепловое число Рэлея Иа, электрические параметры Те и М, число Прандтля Рг, параметр инжекции А:

Яа=^, Т =ееи, м=1

уаX bpv0 b)j p

ah

Pr = , A = X

(5)

ssn

Рассматриваются плоские возмущения V = (и,0,) и д/ду = 0 , вводится функция тока у и вихрь скорости Ф:

^х =-дГ, V* = ~Г, Ф = (r0tV) у =-ЛУ •

дz дх

z

h

X

В рамках безындукционного приближения безразмерная система уравнений электроконвекции слабопроводящей жидкости имеет вид:

дФ dw дФ дш дФ -+ —L----Т.--= ДФ -

dt дх dz dz дх

Te2 dq Ra дРе

- E——---

M2 дх Pr дх

дРe , дWдРe дУдРе _ Te2 ( „2 , т7дР,

■ +

дt дх дz дz дх M2

Р2 + E-

дТ д w дТ д w дТ 1 дt дх дz дz дх Pr

Граничные условия следующие:

дz У (6)

z = 0 : w = 0, = 0, Ре = AE,T = 1, дz

z = 1: w = 0, ^ = 0, Т = 0. дг

(7)

На боковых границах для всех искомых функций выполняются условия периодичности.

2. Результаты

Задача решалась методом конечных разностей [12]. Эволюционные уравнения решались по явной схеме, конвективные слагаемые в уравнении для заряда и температуры аппроксимировалась разностями "против потока". Для уравнения переноса тепла использовались центральные разности. Для удобства работы с условиями периодичности к сетке добавлялись два вертикальных ряда. Вихрь скорости на горизонтальных границах вычислялся по формуле Тома. Для решения уравнения Пуассона использовался метод последовательной верхней релаксации.

Число Прандтля Pr = 10, электрический параметр М = 14,14. Расчеты проведены при разных значениях параметра Te и теплового числа Рэлея Яа. Для вычислений выбиралась прямоугольная ячейка с пространственными размерами Ьг = 1, Ьх = 4; Ьг = 1, Ьх = 10. Число узлов по вертикальной и горизонтальной осям бралось соответственно 21^81; 21^201.

Результаты расчетов систематизированы. Обнаружены два режима стационарной конвекции, между которыми наблюдались ги-стерезисные переходы [9]. Предварительные результаты для разных ячеек опубликованы в работе [11]. На рис. 2 представлены результа-

ты расчетов зависимости максимального значения функции тока \ут от электрического параметра Те для Яа = 1000 и сетки 21x201 узлов.

Нижний режим 1 имеет меньшую интенсивность движения вихрей, верхний режим 2 - большую интенсивность. Существует конкуренция между режимом 2 и равновесием, режимами 1 и 2 в соответствующих интервалах управляющего параметра.

Результаты расчетов для ячейки Ь = 1, Ьх = 2 представлены в работе [9]. Пороги переходов между режимами электроконвекции, полученные при вычислении зависимости максимального значения функции тока от параметра Те для Яа = 1000 и для Ьх = 4, 10 представлены в таблице.

г 40 г

4

Т.-КН

Рис. 2. Зависимость максимальной функции тока от Те для Яа = 1000 (Ьг = 1, Ьх = 10)

Для ячейки Ьг = 1, Ьх = 2 нижний режим начинается при Те = 2,5-103; для Ьг = 1, Ьх = 4 -при Те = 2,8-103; для Ьг =1, Ьх = 10 - при Те = 2,6-103.

Для ячейки Ьг = 1, Ьх = 2 с ростом поля при Те = 5,5-103 происходит скачкообразный переход к режиму конвекции 2 с большей интенсивностью вихрей; для Ьг = 1, Ьх = 4 - при Те = 4,9-103; для Ьг = 1, Ьх = 10 - при Те = 5-103.

Для ячейки Ьг = 1, Ьх = 2 в интервале 1,6 - 103 < Те < 5,5-103 обнаружен гистерезис, в котором поведение системы существенно зависит от начальных условий. При вычислении методом продолжения по параметру выявлено, что при движении в пространстве параметров справа налево режим 2 существует до Т ==1,6 - 1С)3. При меньшей напряженности поля в системе независимо от начальных

условий затухают все возмущения, и устанавливается равновесное распределение переменных. При больших размерах ячейки эти интервалы переходов следующие:

1.4-103 < Те :< -103 для Ъ = 1, Ьх = 4;

1.5-103 < Te < 5-103 для Ьг = 1, Ьх = 10.

Для ячейки Lz = 1, Ьх= 2 в интервале 1.6 -103 < 'Г :<2,4-103 в зависимости от начальных условий в системе будет либо равновесие, либо стационарный режим 2, при

большем поле: 2.5 -103 < Те < 5.4-103, реализуется либо режим 1, либо режим 2. При Те > 5.4-103 сколь угодно малые возмущения равновесия приводят систему после переходных процессов к стационарному режиму 2.

Пороги возникновения нелинейных режимов и переходов от одного режима к другому при Яа = 1000 для различных размеров ячейки

Ra Lx Порог возникновения верхнего режима (2), Te , 103 Порог возникновения нижнего режима (1), Te , 103 Порог перехода от нижнего режима (1)к верхнему (2), Te , 103

1000 2 1,6 2,5 5,5

1000 4 1,4 2,8 4,9

1000 10 1,5 2,6 5,0

500 2 1,5 4,4 5,7

500 4 1,5 4,1 5,1

500 10 1,5 4,0 5,1

0 2 1,5 - 6,3

0 4 1,5 - 5,4

0 10 1,5 - 5,4

Для других ячеек интервалы меняются. Для = 1, Ъх = 4 они таковы:

1.4-103 <Те <2.7-103; 2.8-103 <Те <4.8-103. Переход на верхний режим происходит при Т >4.8-103.

Для Lz = 1, Ъх = 10 первый интервал гистерезиса следующий: 1.5 -103 < Те < 2.5 -103, второй - 2.6-103 < Т < 4.9-103.

Переход на верхний режим совершается при Т > 4.9-103.

Также были проведены расчеты для других нагревов снизу, меньших числах Рэ-лея. В таблице представлены пороги переходов между режимами.

Обнаружено, что, когда число Рэлея становится меньше, порог режима 2 практически не изменяется, при этом пороги переходов между режимами растут, и ширина существования режима 1 уменьшается.

В состоянии невесомости (Ra = 0) режим с малой интенсивностью вихрей исчезает, и остается только режим с большой интенсивностью вихрей. Увеличение размеров ячейки приводит к изменению порогов перехода между режимами.

На рис. 3 приведены изолинии функции тока для режима 1 (Те = 4,5-103) (а) и режима 2 (Те = 7 -103) (в) при Иа = 500, Ъх = 4. В такой ячейке существует 6 вихрей. Вихри в режиме 1 симметричные, а в режиме 2 - несимметричные.

На рис. 3 также приведены изолинии температуры - для режима 1 (б) и для режима 2 (г). Во втором режиме вихревое движение и тепло-перенос более интенсивные, чем в первом.

1

0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(а)

1

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (б)

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (в)

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(г)

Рис. 3. Изолинии функции тока (а) и температуры (б) при Ra = 500, Lx = 4 для режима

1 (Te = 4,5 -103); и изолинии функции тока (в) и температуры (г) для режима 2 (Te = 7103)

На рис. 4 приведены изолинии функции тока для режима 1 (Te = 4 -103) (а) и режима 2 (Te = 7 -103) (в) при Ra = 500, Lx = 10. В такой ячейке у нижнего режима наблюдается 14 вихрей, а у верхнего - 10 вихрей.

На рис. 4 также приведены изолинии температуры - для режима 1 (б) и для режима 2 (г). Отметим, что во втором режиме вихревое движение и теплоперенос более интенсивны, чем в первом.

Заключение

В работе изучена динамика нелинейных режимов электроконвекции неизотермической слабопроводящей жидкости при униполярной инжекции заряда в постоянном электрическом поле горизонтального конденсатора. Исследована конвекция в прямоугольных ячейках для разных соотношений сторон конвективной ячейки с условиями периодичности при разных нагревах.

Система имеет два различных по интенсивности нелинейных стационарных режима конвекции. Построены бифуркационные диа-

граммы. Проанализированы и изучены соответствующие пороги и гистерезисные переходы между различными типами движений.

Список литературы

1. Остроумов Г.А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей: Физические основы электрогидродинамики. М.: Наука, 1979. 320 с.

2. Саранин В.А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009. 332 с.

3. Ильин В.А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 38-48.

4. Ильин В.А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле // Журнал технической физики. 2013. Т. 83, вып. 1. С. 64-73.

5. Стишков Ю.К., Чирков В.А. Неравновесные механизмы электризации слабых элек-

тролитов при воздействии постоянного напряжения // Журнал технической физики. 2016. Т. 86. Вып. 7. С. 1-8.

6. Верещага А.Н. Унарная электроконвекция в плоском слое // Гидродинамика и процессы тепломассопереноса. Свердловск: Уральское отделение академии наук СССР, 1989. С. 42-47.

7. Мордвинов А.Н., Смородин Б.Л. Электроконвекция при инжекции с катода и нагреве сверху // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2012. Т. 141 , вып. 5. С. 997-1005.

8. Ильин В.А., Мордвинов А.Н., Петров Д.А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при униполярной инжекции заряда в постоянном электрическом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. Т. 147, вып. 1. С. 181-188.

9. Ильин В.А. Электроконвекция слабопрово-дящей жидкости в горизонтальном конденсаторе при униполярной инжекции заряда // Журнал технической физики. 2017. Т. 87. Вып. 1. С. 5-9.

10. Smorodin B.L., Taraut A.V. Simulations of oscillatory electroconvection in a horizontal capacitor with a large aspect ratio // Magneto-hydrodynamics. 2016. Т. 52, № 1. С. 245-254.

11. Рушинская К.С., Ильин В.А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при инжекции заряда в горизонтальных ячейках с разным аспектным отношением // Материалы международного симпозиума "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2017. Т. 2. С. 172-174.

12. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. С. 228.

Transitions between electroconvective regimes of a poorly conductive liquid under charge injection in horizontal cells with the different aspect ratio

V. A. Il'in, K. S. Rushinskaya

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia ilin1@psu.ru; +7 342 2 396 894

Nonlinear regimes of electroconvection in a horizontal layer of the nonisotermal poorly conductive liquid in a steady electric field have been studied. Electroconvection is given rise by unipolar injection of charge from a cathode. During calculations rectangular cells of a different length with the periodicity conditions have been observed. The diagrams of electroconvection regimes have been plotted.

Keywords: electroconvection; poorly conductive liquid; injection.