CC BY
5ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2017 • ФИЗИКА • Вып. 3 (37)
УДК 532.5 PACS 47.65.-d
Переходы между электроконвективными режимами слабопроводящей жидкости при инжекции заряда в горизонтальном конденсаторе
В. А. Ильин, Т. И. Чигорина
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: ilin1@psu.ru
Изучены нелинейные режимы электроконвекции неизотермической слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле горизонтального конденсатора. Используется электрогидродинамическое приближение. Рассматривается инжекционный механизм зарядооб-разования в жидкости. Используется модель униполярной инжекции заряда с катода, согласно которой инжектируемая в жидкость плотность заряда прямо пропорциональна напряжённости электрического поля в конденсаторе. Задача решалась методом конечных разностей. Рассмотрены разные нагревы снизу. В системе существуют два режима стационарной электроконвекции - жестко возникающий режим с большой интенсивностью вихрей и мягко возникающий режим с малой интенсивностью вихрей. Вычислены пороги возникновения этих режимов и исследованы гистерезисные переходы между ними. Определено тепловое число Рэлея, при котором рождается режим с малой интенсивностью вихрей. В невесомости и при малых нагревах наблюдается только режим с большой интенсивностью вихрей. При увеличении нагрева появляется режим с малой интенсивностью вихрей. Интервал существования этого режима увеличивается при дальнейшем росте нагрева.
Ключевые слова: электроконвекция; слабопроводящая жидкость; инжекция заряда; горизонтальный конденсатор
Поступила в редакцию 18.10.2017; принята к опубликованию 13.11.2017
Transitions between electroconvective regimes of a poorly conductive liquid under charge injection in horizontal capacitor
V. A. Il'in, T. I. Chigorina
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: ilin1@psu.ru
The electroconvection nonlinear regimes of nonisotermal poorly conductive liquid in a steady electric field in the horizontal capacitor have been studied. The electrohydrodynamic approximation is used. The injective mechanism of charge formation is considered. The model of unipolar charge injection from the cathode is used. The injective charge density is directly proportionally of an electric field in the capacitor. The problem was solved by the finite difference method. Different heatings from below are considered. In the system there are two regimes of stationary
© Ильин В. А., Чигорина Т. И., 2017
electroconvection - hard arising regime with the large intensity of vortices and soft emerging regime with the small intensity of vortices. The thresholds of occurrence of these regimes are calculated. The hysteresis transitions between its are investigated. It is determined the Rayleigh number for which a regime with a small intensity of vortices is produced. In zero gravity and at small heating it is observed only the regime with large intensity of vortices. With increasing heating it is appeared regime with a small intensity of vortices. The interval of existence of this regime increases with the further growth of heating.
Keywords: electroconvection; poorly conductive liquid; injection; horizontal capacitor
Received 18.10.2017; accepted 13.11.2017 doi: 10.17072/1994-3598-2017-3-66-71
1. Введение
Для управления движением жидкостей в электрическом поле необходимо знать законы его действия на конвективные течения [1-3]. Это актуально в связи с проблемой эффективного управления конвекцией, тепло- и массопереносом в различных технологических ситуациях, например, в электрогидродинамических насосах и немеханических переключателях.
Существуют разные механизмы электризации слабопроводящих жидкостей [2-4]. Влияние ди-электрофоретического механизма электроконвекции в диэлектрических жидкостях на движение идеальных диэлектриков рассмотрено в работах [2, 5-7]. Он связан с зависимостью диэлектрической проницаемости жидкости от температуры. Электроконвекция слабопроводящих жидкостей при участии электрокондуктивного механизма зарядо-образования исследована в [2, 6, 8]. Этот механизм связан с зависимостью электропроводности жидкости от температуры. Неустойчивость и электроконвекция под действием инжекционного механизма зарядообразования в слабопроводящих жидкостях рассмотрена в работах [2, 6, 9-13]. Электроконвекция изучается в различных системах, например, в системе электродов "провод над плоскостью" [10, 11] или в горизонтальном конденсаторе [9, 12, 13].
В настоящей работе рассматривается инжекци-онный механизм зарядообразования. Используется модель униполярной инжекции заряда с катода [3, 9]. Согласно этой модели инжектируемая в жидкость плотность заряда прямо пропорциональна напряжённости электрического поля в конденсаторе. В работе [9] рассмотрен изотермический случай, в [12] - подогрев сверху, в [13] - нагрев снизу. В настоящей работе исследованы два режима стационарной электроконвекции с различной интенсивностью вихрей при подогреве снизу. Определены пороги возникновения этих режимов, изучены гистерезисные переходы между ними.
2. Постановка задачи
Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой вязкой несжимаемой слабопроводя-щей жидкости в вертикальном постоянном электрическом поле и поле тяжести с ускорением свободного падения g. Ось х направлена вдоль нижней границы слоя, ось г - перпендикулярна границам слоя. Два плоских электрода лежат в плоскостях г = 0 и г = И (рис. 1), И - толщина слоя.
к р =и Т=0
I*
р = ЛЕ, 0 Р = 0 Т = ©
--►
X
Рис. 1. Геометрия задачи
Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора нагреты до разной температуры -Т(0) = ©, Т(И) = 0. Здесь Т - температура, отсчитываемая от температуры верхнего электрода, © -характерная разность температур. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. На катоде (нижнем электроде) потенциал равен нулю р (0) = 0, на
аноде (верхнем электроде) - р (к) = и . Здесь и -
напряжение электрического поля.
С катода происходит униполярная инжекция заряда. Плотность свободных зарядов у катода пропорциональна нормальной составляющей вектора напряженности поля ре = аЕг, где а - коэффициент, характеризующий степень инжекции.
Движение жидкости и свободных зарядов в слое описывается системой уравнений электрогидродинамики:
p[f + ( v-V)v\ = -Vp + PV0AV + peE + pg,
dT dt
dt
+ (v-V)T = zAT , + div(pe v - bp E) = 0, (1)
diw = 0, р = р0(1 -РГ),
div(££0E) = ре, Е = -Ур,
где р - массовая плотность жидкости; V - вектор скорости жидкости; р - давление; у - коэффициент кинематической вязкости; ре - плотность заряда; х - коэффициент температуропроводности; Р - коэффициент теплового расширения жидкости; е - диэлектрическая проницаемость среды; е0 - электрическая постоянная; Ь - подвижность зарядов; Е - напряженность, р - потенциал поля.
Границы слоя непроницаемые, на них выполняются условия прилипания - скорость равна нулю:
др
z = 0: v = 0,ф = 0, pe=-a^-, T = ©,
dz
z = h: v = 0,ф = U, T = 0.
(2)
dPe
divv = 0, A^ + pe = 0,
T
(3)
+ (v -V)pe =-^(peL-VvVpe )-. dt M2
где у = (0, 0, 1), р - превышение давления над гидростатическим. Граничные условия имеют вид:
z = 0: v = 0,ф = 0, pe= -A T = 1,
dz
z = 1: v = 0,ф = 1, T = 0 .
(4)
gß©h3 ^ esruU „ 1 \ss0 Ra = —-, Te = —0^, M = - ./—
v0Z bpv0 b V p
„ vn ah Pr = -°, A =-.
Z SS0
(5)
Рассматриваются плоские возмущения v = (u,0, w) и d/dy = 0, вводятся функция тока у и вихрь скорости Ф:
dw dw Л , vx =--—,vz = —,Ф = (rotv)y = -Aw .
x dz z dx y r
В рамках безындукционного приближения безразмерная система уравнений электроконвекции слабопроводящей жидкости имеет вид:
+ Дф_ eTL Ra dp
dt dx dz dz dx M2 dx Pr dx
dpe , dwdpe dW dpe _ Te2 [ „2 , 7, dA
(6)
Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - время вязкой диссипации к2 / у0 , расстояния - расстояние между электродами к, скорости - у0 1к , потенциала - и, поля - и/к, давления - ру^ /к2, температуры -©, плотности заряда - ее0 и / к2.
После обезразмеривания система уравнений (1) с граничными условиями (2) приводится к виду
^ + (V= -Ур + Дv - реУр + ^ Г у, дt M2 Pr
Pr — + (V-У)Г = ДГ ,
дЛ
+-L.--Z.= _М p2 + E-ZS.
dt dx dz dz dx M2 v dz
dT dw dT dw dT _ 1 ^ dt dx dz dz dx Pr
Граничные условия следующие:
z = 0: w = 0, — = 0,pe = AE,T = 1, dz
z = 1 : w = 0, ^ = 0, T = 0. dz
(7)
Здесь введены безразмерные параметры - тепловое число Рэлея Яа, электрические параметры 1е и М, число Прандтля Рг, параметр инжекции А:
На боковых границах для всех искомых функций выполняются условия периодичности.
3. Результаты
Задача решалась методом конечных разностей. Эволюционные уравнения решались по явной схеме, конвективные слагаемые в уравнении для заряда и температуры аппроксимировалась разностями «против потока». Для уравнения переноса тепла использовались центральные разности. Для удобства работы с условиями периодичности к сетке добавлялись два вертикальных ряда. Вихрь скорости на горизонтальных границах вычислялся по формуле Тома. Для решения уравнения Пуассона использовался метод последовательной верхней релаксации.
Для вычислений выбиралась прямоугольная ячейка с пространственными размерами Ь2 = 1, Ьх = 2. Размер сетки - 21*41 узел; число Прандтля Рг = 10, электрический параметр M = 14.14. Использовались условия периодичности. Вычислялись зависимости максимальной функции тока от параметра Те для разных нагревов - теплового числа Рэлея Яа. Рассмотрен случай подогрева снизу, нагрев сверху - в работе [12].
Результаты расчетов систематизированы. Обнаружены два режима стационарной конвекции,
между которыми наблюдались гистерезисные переходы [13]. На рис. 2 представлены результаты расчётов зависимости максимальной функции тока щт от электрического параметра Те для Яа = 400.
При расчёте с постоянными начальными условиями было обнаружено, что электроконвекция возникает мягким образом при Те = 4.8 • 103, наблюдается режим с маленькой интенсивностью вихрей (режим 1). При Те = 5.8• 103 происходит скачкообразный переход к режиму с большой интенсивностью вихрей (режим 2). Интенсивность этого режима растёт с ростом Те.
В интервале 1.5 • 103 < Те < 4.7-103 в зависимости от начальных условий реализуется либо равновесное распределение, либо стационарный режим 2, при большем поле 4.8 -103< Те < 5.7-103 будет либо режим 1, либо режим 2. При Те > 5.8• 103 сколь угодно малые возмущения приводят систему после переходных процессов к стационарному режиму 2.
40
30
20
10
Те = 6.1 • 10 мягко возникающий режим с малой интенсивностью вихрей наблюдается. При Те = 6.2 • 103 происходит скачкообразный переход к режиму 2 с большой интенсивностью вихрей. При движении в пространстве параметров справа налево режим 2 существует до Те = 1.5 • 103. При меньшей напряженности поля Те < 1.5 • 103 в системе независимо от начальных условий затухают все возмущения, и устанавливается равновесие.
При Яа = 50 режим 1 не наблюдается. При Те = 6.1 • 103 после длительного переходного процесса устанавливается равновесие. При Те = 6.2 • 103 происходит переход к режиму 2.
При меньшем числе Яа присутствует только режим 1. Точка перехода к режиму 2 продолжает расти, в невесомости (Яа = 0) этот переход происходит при Т = 6.3 • 103.
Пороги возникновения нелинейных режимов и переходов от нижнего к верхнему режиму для разных значений Яа
Те.10-3
Рис. 2. Зависимость максимальной функции тока от параметра Те для Яа = 400
На основе данных статьи [13] была выявлена следующая закономерность: с уменьшением значения числа Рэлея уменьшается интервал существования режима 1 с маленькой интенсивностью вихрей. В настоящей работе закономерность была продолжена. Для этого были проведены расчёты при значениях числа Рэлея меньше Яа = 400.
Пороги переходов между режимами электроконвекции при вычислении зависимости максимального значения функции тока от параметра Те для разных чисел Яа представлены в таблице. Как видно из неё, с уменьшением числа Рэлея интервал существования режима 1 сужается, и режим исчезает.
При Яа = 51 режим 1 ещё существует. Вычисления показали, что при таком нагреве при
Яа Порог возникновения режима 2, Т Порог возникновения режима 1, Т Порог перехода от режима 1 к режиму 2, Те
400 1.5 • 103 4.8 •Ю3 5.8-103
300 1.5 • 103 5.3 • 103 5.9 103
200 1.5 • 103 5.7 •Ю3 6 -103
100 1.5 • 103 6 -103 6.1103
70 1.5 • 103 6.1103 6.2 •Ю3
51 1.5 • 103 6.1 •Ю3 6.2 -103
50 1.5 • 103 - 6.2 •Ю3
0 1.5 • 103 - 6.3 •Ю3
4. Заключение
В работе изучена динамика нелинейных электроконвективных режимов слабопроводящей жидкости при униполярной инжекции заряда в постоянном электрическом поле горизонтального конденсатора. Исследование проведено при разных нагревах снизу.
Обнаружены два различных по интенсивности нелинейных стационарных режима электроконвекции. Построены зависимости максимальной функции тока от электрического параметра Те. Вычислены пороги возникновения режимов и исследованы гистерезисные переходы между ними. Выявлено, что режим с малой интенсивностью
0
2
4
6
8
вихрей при малом нагреве отсутствует (при
Ra < 51), он возникает при Ra = 51. При увеличении нагрева жидкости (с ростом числа Рэлея Ra)
интервал существования этого режима растёт.
Список литературы
1. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. Физические основы электрогидродинамики. М.: Наука, 1979. 320 с.
2. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.
3. Жакин А. И. Электрогидродинамика // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 5. С. 495-520. DOI: 10.3367/UFNr.0182.201205b.0495
4. Панкратьева И. Л., Полянский В. А. Основные механизмы электризации слабопроводящих многокомпонентных сред // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2017. № 5. С. 15-22.
5. Roberts P. H. Electrohydrodynamic convection // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. Vol. 22, No. 2. P. 211-220. DOI: 10.1093/qjmam/22.2.211
6. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanisms of instability in a liquid layer subjected to an electric field and a thermal gradient // Physics of Fluids. 1994. Vol. 6, No. 5. P. 1684-1701. DOI: 10.1063/1.868231
7. Ильин В. А. Модель электротермической конвекции идеального диэлектрика в горизонтальном конденсаторе // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2016. № 5. С. 10-16.
8. Ильин В. А., Картавых Н. Н. Модель электротермической конвекции слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе // Электронная обработка материалов. 2017. Т. 53, № 3. С. 73-78.
9. Верещага А. Н. Унарная электроконвекция в плоском слое / в сб.: Гидродинамика и процессы тепломассопереноса. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. С. 42-47.
10. Стишков Ю. К., Богданов Д. В. Влияние неравновесных приэлектродных слоев на структуру ЭГД течений в трехионной модели диэлектрической жидкости // Журнал технической физики. 2017. Т. 87. Вып. 8. С. 1144-1150.
11. Стишков Ю. К., Богданов Д. В. Компьютерное моделирование инжекционного механизма возникновения ЭГД-течений в жидкостях с повышенным уровнем низковольтной проводимости // Электронная обработка материалов. 2017. Вып. 53 (1) С. 16-22.
12. Мордвинов А. Н., Смородин Б. Л. Электроконвекция при инжекции с катода и нагреве сверху // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2012. Т. 141. Вып. 5. С. 997-1005.
13. Ильин В. А. Электроконвекция слабопроводя-щей жидкости в горизонтальном конденсаторе
при униполярной инжекции заряда // Журнал технической физики. 2017. Т. 87. Вып. 1. С. 5-9.
References
1. Ostroumov G. A. Vzaimodejstvie elektricheskih i gidrodinamicheskih polej. Fizicheskie osnovy el-ektrogidrodinamiki [Interaction of Electric and Hydrodynamic Fields. Physical fundamentals of electrohydrodynamics]. Moscow: Nauka, 1979. 320 p. (In Russian).
2. Bologa M. K., Grosu F. P., Kozhuhar' I. A. El-ektrokonvektsiya i teploobmen [Electrical Convection and Heat Exchange]. Kishinev: Shtiintsa, 1977. 320 p. (In Russian).
3. Zhakin A. I. Electrohydrodynamics. Physics-Uspekhi, 2012, vol. 55, no. 5, pp. 465-488. DOI: 10.3367/UFNr.0182.201205b.0495
4. Pankrat'eva I. L., Polyanskii V. A. Basic mechanisms of electrification of weakly conductive multicomponent media. Fluid Dynamics, 2017, vol. 52, no. 5. pp. 610-616. DOI: 10.1134/S0015462817050027
5. Roberts P. H. Electrohydrodynamic convection. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969, vol. 22, no. 2, pp. 211-220. DOI: 10.1093/qjmam/22.2.211
6. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanisms of instability in a liquid layer subjected to an electric field and a thermal gradient. Physics of Fluids, 1994, vol. 6, no. 5, pp. 1684-1701. DOI: 10.1063/1.868231
7. Il'in V. A. Model of Electrothermal Convection of an Ideal Dielectric in a Horizontal Capacitor. Fluid Dynamics, 2016, vol. 51, no. 5, pp. 588-594. DOI: 10.1134/S0015462816050021
8. Il'in V. A., Kartavykh N. N. Model elektrotermich-eskoj konvekcii slaboprovodyashchej zhidkosti v gorizontalnom kondensatore (Electrothermal convection model of a poorly conducting fluid in a horizontal capacitor). Ehlektronnaya obrabotka materialov, 2017, vol. 53, no. 3, pp. 73-78. (In Russian)
9. Vereshchaga A. N. Unarnaja electrokonvekciya v ploskom sloe (Unary Electric Convection in a Planar Layer). Fluid Dynamics and Exchange Processes, Ural Brach of USSR Academy of Science, Sverdlovsk, 1989, pp. 42-47. (In Russian)
10. Stishkov Yu. K., Bogdanov D. V. Effect of nonequilibrium near-electrode layers on the structure of EHD flows in the three-ions model of a dielectric liquid. Technical Physics, 2017, vol. 62, no. 8, pp. 1156-1162.
DOI: 10.1134/S1063784217080266
11. Stishkov Yu. K., Bogdanov D. V. Computer simulation of the injection mechanism of initiation of EHD flows in liquids with a higher level of low-voltage conductivity. Surface Engineering andAp-
plied Electrochemistry, 2017, vol. 53, no. 1, pp 27-33. DOI: 10.3103/S1068375517010148 12. Mordvinov A. N., Smorodin B. L. Electroconvec-tion under injection from cathode and heating from above. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2012, vol. 114, no. 5, pp. 870-877.
DOI: 10.1134/S1063776112030181 13. Il'in V. A. Electric Convection of Low-Conductivity Liquid in a Horizontal Capacitor in the Presence of Unipolar Charge Injection. Technical Physics, 2017, Vol. 62, No. 1, pp. 1-5. DOI: 10.1134/S1063784217010091
Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:
Ильин В. А., Чигорина Т. И. Переходы между электроконвективными режимами слабопроводящей жидкости при инжекции заряда в горизонтальном конденсаторе // Вестник Пермского университета. Физика. 2017. № 3 (37). С. 66-71. doi: 10.17072/1994-3598-2017-3-66-71
Please cite this article in English as:
Il'in V. A., Chigorina T. I. Transitions between electroconvective regimes of a poorly conductive liquid under charge injection in horizontal capacitor. Bulletin of Perm University. Physics, 2017, no. 3 (37), pp. 66-71. doi: 10.17072/1994-3598-2017-3-66-71
