CC BY
7ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ЭВМ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Грушун А.И.
кандидат технических наук Грушун Т.А.
кандидат технических наук
COMPUTER PARAMETRIC ANALYSIS OF STABILITY OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
WITH DELAY
Grushun А.,
Ph.D.
Grushun T.
Ph.D.
DOI: 10.5281/zenodo.6616210
Аннотация
Рассматривается машинно-ориентированный подход к построению областей устойчивости линейных систем автоматического управления (САУ) с запаздыванием на основе метода D-разбиения и критерия Найквиста. Классическая реализация этих методов требует построения частотных годографов D-разбиения и Найквиста. Эти годографы имеют нерегулярный характер изменения, и для сложных систем их построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты. В свою очередь, для решения задачи нужны годографы не в целом (не во всем диапазоне частот), а лишь их отдельные точки, с помощью которых определяются границы искомых областей. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенных алгебраических уравнений, что не требует перебора значений частотных характеристик, тем самым не требует их непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время получения результата и повысить сложность исследуемых САУ c запаздыванием при построении областей устойчивости.
Abstract
We consider a machine-oriented approach to the construction of stability areas of linear automatic control systems (ACS) with delay based on the D-partition method and the Nyquist criterion. The classical implementation of these methods requires the construction of the D-partition and Nyquist frequency hodographs. These hodo-graphs have an irregular behavior and for difficult systems their construction can turn into a significant problem associated with the choice of the step of change and the maximum frequency value. In turn, to solve the problem, hodographs are needed not as a whole (not in the whole frequency range), but only their individual points, with the help of which the boundaries of the desired areas are determined. It is offered to determine the presence of these points by positive real roots in a special way of the constructed algebraic equations that doesn't demand search of all values of the frequency characteristics, thereby does not require their direct construction. The proposed solution of a task allows to reduce significantly time of receiving result and to increase complexity of the studied ACS with delay in the construction of stability areas.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления с запаздыванием, устойчивость, область устойчивости, положительные вещественные корни.
Keywords: linear automatic control system with delay, stability, stability area, positive real roots.
Постановка проблемы
При синтезе САУ, когда требуется определить влияние значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят область (области) устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров. В дальнейшем, при необходимости, внутри полученной области строят подобласть с требуемыми (гарантированными) характеристиками.
При построении на ЭВМ областей устойчивости линейных САУ без запаздывания используются как поисковые методы, так и классические [1, 9], но машинно-адаптированные частотные методы D-разбиения. Для коррекции этих областей устойчивости с учетом запаздывания применяется частотный критерий устойчивости Найквиста [1, 2, 8].
При использовании частотного критерия Най-квиста запас устойчивости САУ с запаздыванием определяется удаленностью соответствующей характеристики с учетом времени запаздывания от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Найквиста это будет удаленность кривой Найкви-ста от точки (-1; /0) [13].
Будем рассматривать задачу построения на ЭВМ областей устойчивости в пространстве одного варьируемого параметра линейных систем с запаздыванием.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода (подхода) построения на ЭВМ областей устойчивости САУ с запаздыванием на основе D-разбиения и
критерия Найквиста по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений, то есть, не требующего построения и анализа частотных характеристик. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классических частотных методов теории автоматического управления. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей качества САУ [11, 12], анализа прямых и косвенных показателей качества [3, 4, 5], анализа периодических режимов в нелинейных системах [6], анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [7].
Предлагаемый в статье алгебраический подход позволяет в бесконечном множестве точек варьируемого параметра установить те, которые определяют границы областей устойчивости САУ с запаздыванием.
Построение областей устойчивости САУ с запаздыванием на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
Будем рассматривать линейную САУ, структурная схема которой изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Структурная схема САУ с единичной отрицательной обратной связью
На рисунке 1 W(s) - передаточная функция разомкнутой системы вида
W(s) = W*(s)e-TS, (1)
где e-TS - передаточная функция звена чистого запаздывания, т - время чистого запаздывания, W* (s) - передаточная функция прямой цепи без запаздывания. Передаточная функция W(s) должна быть устойчивой.
Рассматривается случай линейной зависимости от одного варьируемого параметра а числителя и знаменателя передаточной функции W(s). Такая передаточная функция имеет вид:
W*( (2)
v J a(s) + ab (s) v '
где c(s), v(s), a(s), b(s) - полиномы с вещественными коэффициентами.
При построении областей устойчивости САУ с запаздыванием на первом этапе строим области (интервалы) устойчивости в пространстве параметра а для разомкнутой цепи без учета запаздывания. Для этого применим метод, описанный в [11].
По передаточной функции (2) запишем характеристический полином:
D(s) = a(s) + ab(s) , (3) Решение данной задачи удовлетворяет уравнению:
1т[—а(]ш)/Ь(]ш)} = 0. Подставим в полином (3) вместо s мнимую переменную ja и выделим варьируемый параметр:
а(]ш) = -а(]ш)/Ъ(]ш). (4) Представим (4) в виде
ч г(ы) . т(ш) ...
а(]ш) =--+ 1--, (5)
где r(a), ш(а) и z(a) - полиномы с вещественными коэффициентами.
Для выделения интервалов устойчивости и неустойчивости по параметру а вычислим вещественные неотрицательные корни и их кратности полиномов числителя и знаменателя мнимой части (5).
Для определения границ интервалов осуществляем перебор корней полинома числителя ш(а) и сравниваем очередной корень числителя с корнями полинома знаменателя 2(а). Исключаем совпадающие корни с учетом их кратности. Оставшиеся после исключения корни полинома ш(а), которые являются частотами пересечения годографа Б-разбиения с вещественной осью, подставляем в действительную часть выражения (5) и определяем границы интервалов «претендентов» на устойчивость. Упорядочиваем полученные границы варьируемого параметра а по возрастанию, добавляем к ним нижнюю и верхнюю предельные границы (соответствующие а=-да и а=+да) и формируем сами интервалы «претенденты» на устойчивость.
Далее, для каждого интервала определяем устойчивость характеристического полинома Б (б) = а (б) + асЪ(Б), где ас - среднее значение интервала, с помощью любого алгебраического критерия устойчивости (например, Рауса). Если полином D(5) устойчив, то и весь интервал изменения параметра является интервалом устойчивости прямой цепи САУ без запаздывания.
На втором этапе, используя полученные выше интервалы устойчивости разомкнутой САУ без запаздывания, строим искомые интервалы устойчивости замкнутой САУ с запаздыванием (рисунок 1) в пространстве параметра а.
Сначала рассмотрим как алгебраическим методом, основанным на критерии Найквиста, определить устойчивость САУ с запаздыванием при некотором фиксированном значении а из интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Подставив такое а в передаточную функцию (2), можно записать ее в виде
(6)
v J A(s)'
где В(Б) = Ьт-1 б1 и Аф = ^=0 ап-1 5'. При построении амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы
(1) эффект запаздывания выражается в отрицательных фазовых сдвигах. Благодаря этому устойчивая система с достаточным запасом устойчивости по фазе может стать неустойчивой, если в прямую цепь вводится звено чистого запаздывания с достаточно большим временем запаздывания т. Так как разомкнутая система с передаточной функцией (1) устойчива, то по критерию Найквиста замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ W(jа) не охватывает точку (-1; ]0) [1].
Допустим, что замкнутая система с нулевым запаздыванием устойчива. Это означает, что АФЧХ прямой цепи W(jа) не охватывает точку (-1; ]0). Рассмотрим рисунок 2. Пусть у - запас устойчиво-
сти по фазе. Если в прямую цепь ввести звено с запаздыванием, то точка «многолучевая звездочка» переместится указанным образом в положение «че-тырехлучевая звездочка». Произойдет уменьшение запаса устойчивости по фазе на угол уз=тас и можно потерять запас устойчивости по фазе, а, следовательно, и устойчивость. Очевидно, что для устойчивости замкнутой САУ с запаздыванием необходимо выполнение условия
Уз < У. (7)
Определим значения у и уз без построения характеристики W*(jа). Сначала проверим, что АФЧХ W(jа) не охватывает точку (-1; j0) при нулевом запаздывании. В этом случае W*(jа) = W(jа).
Рисунок 2 - АФЧХ разомкнутой САУ
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. Суждение об устойчивости можно сделать, применив "правило переходов", предложенное Я.З. Цыпкиным [14]. Тогда критерий Найквиста можно перефразировать следующим образом: система будет устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (-да; -1) при изменении а от 0 до да будет равна к/2, где к - число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы [14]. Очевидно, что в случае, когда разомкнутая система устойчива (к=0), замкнутая система устойчива, если число положительных и отрицательных переходов характеристики W*(jю) через отрезок вещественной оси (-да, -1) совпадает. То есть, общее число таких переходов должно быть четным.
По передаточной функции (6) получим выражение для построения АФЧХ W*(jа). Для этого заменив в ней 5 на jа получаем выражение:
v ' г(ш) 1 г(ш)
(8)
где г (а) , ё(а) и 2(а) -полиномы с вещественными коэффициентами.
Определим частоты, на которых годограф W*(jа) пересекает действительную ось. Это соответствует случаю, когда мнимая часть (8) равна нулю. Очевидно, что эти частоты можно найти, не строя АФЧХ, а вычислив положительные вещественные корни уравнения й(а) =0 и исключив из них совпадающие с положительными вещественными корнями уравнения 2(а) =0. В результате таких действий формируется множество частот О. Подставив эти частоты О в действительную часть (8) определяем точки пересечения годографа W*(Jю) с действительной осью, а также их количество слева от точки (-1; j0). И если число таких пересечений четное, то годограф не охватывает точку (-1; j0) и замкнутая система с нулевым запаздыванием устойчива. Теперь найдем частоты а, на которых W*(jа) пересекает окружность единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости. Эти частоты полностью определяют положительные вещественные решения уравнения вида:
= 1 о
(f
\z((ß))
\z((ß))
= 1 о
2
г2(ш) + й2(ш) — г2(ш) = 0.
Далее определим все значения фаз точек годографа W(ja) на вычисленных частотах по формуле <$=тсХ%(й(а)/г(а)), среди которых выделим минимальное значение фшт, находящееся под вещественной осью комплексной плоскости. Тогда запас устойчивости по фазе определяется по формуле у=фшт -л , а частота среза Юс соответствует частоте, на которой значение фазы равно фшт. После этого вычислим значение угла уз по формуле у3=%Шс и сделаем заключение об устойчивости замкнутой САУ с запаздыванием, выполнив проверку условия (7).
Для построения в пространстве варьируемого параметра а областей (интервалов) устойчивости замкнутой САУ с заданной точностью был разработан алгоритм, основанный на методе дихотомии [10]. Рассмотрим этот алгоритм для одного интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Шаг 1. Задаем начальное значение варьируемого параметра ап (а — левая граница интервала устойчивости разомкнутой САУ без запаздывания), конечное значение варьируемого параметра ар (ар — правая граница интервала устойчивости разомкнутой САУ без запаздывания), количество точек поиска и (значение и должно быть достаточно большим), шаг изменения варьируемого параметра (шаг поиска) Иа=(ар-аП)1и и I (0</< НО) — требуемую точность вычисления значения границы параметра а.
Обозначим границы искомых интервалов как в™, где 8 — номер интервала, а ш — номер границы интервала (для левой границы он равен 1, для правой он равен 2).
Задаем Оп. Вычисляем при заданном а значения углов уз и у. Выполняем проверку. если уз < у, то задаем d=0, иначе задаем ё=\.
Задаем dl=d.
Положим т=1, 5=1.
Выполняем проверку. если d^=0, то С™ = а и т=2.
Шаг 2. Задаем новое значение а=а+ На.
Выполняем проверку. если а>ар+На/2, процесс определения подынтервалов устойчивости САУ с запаздыванием на данном интервале завершается. При этом, если d^=0 и d2=0, то т=2 и С™ = а — ка.
Шаг 3. Вычисляем при этом а значения углов уз и у. Выполняем проверку. если уз < у, то задаем d=0, иначе задаем d=1.
Задаем d2=d.
Шаг 4. Выполняем проверку.
а) если dl=1 и d2=1, то переходим к шагу 2;
б) если dl=0 и d2=0, то переходим к шагу 2;
в) если d^=0, а d2=1, то переходим к шагу 5;
г) если dl=1 и d2=0, то переходим к шагу 5.
Шаг 5. Задаем начальный интервал неопределенности Ь0=[с, Ъ], где Ь=аас=а- На. Задаем d4=d2.
Ь—с
Шаг 6. Вычисляем у = + с. Вычисляем при а=у значения углов уз и у. Выполняем проверку. если уз < у, то задаем d=0, иначе задаем ^1.
Задаем dз=d.
Шаг 7. Выполняем проверку.
а) если d3=0, di=0, а d2=1, то положим c=y, dl=d3 и переходим к шагу 8;
б) если d3=0, dl=1, а d2=0, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;
с) если d3=1, dl=0, а d2=1, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;
д) если d3=1, dl=1, а d2=0, то положим c=y, dl=d3.
Шаг 8. Выполняем проверку:
а) если b-c<l, процесс поиска очередной границы G завершается.
В качестве решения можно взять значение а в
rnn b-c I
середине последнего интервала: G" = + с. Если m=2, то положим m=1, dl=d4, 5=5+1 и переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 9.
б) если b-c>l, переходим к шагу 6.
Шаг 9. Положим dl=d4, m=2 и переходим к шагу 2.
Выводы
Предлагаемый в статье машинно-ориентированный подход позволяет полностью автоматизировать построение областей устойчивости в пространстве параметра линейных САУ с запаздыванием. Рассмотренный подход существенно упрощает и улучшает параметрический анализ на ЭВМ устойчивости САУ с запаздыванием, имеющих высокий порядок или сложную структуру, так как не требует непосредственного построения годографов D-разбиения и Найквиста. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного подхода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его высокую эффективность и позволяющее определять искомые области для систем до 25 порядка.
Список литературы
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1980.
3. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. - Вып. 2. - С.65 - 68.
4. Грушун А.И. Машинно-ориентированные оценки быстродействия для оптимизации систем и процессов управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация произв. процессов: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 6. -С.218 - 222.
5. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ прямых показателей качества систем автоматического управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация
процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.
6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
7. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
8. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. - К.: Выща школа, 1989.
9. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
10. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В.Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005.-544 с.
11. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С. 16 - 20.
12. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.
13. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.
14. Цыпкин Я.З. Теория автоматического регулирования/ Я.З.Цыпкин. - М.: Машгиз, 1951.-523 с.
ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.,
кандидат технических наук, доцент Грушун Т.А.
кандидат технических наук, доцент
EVALUATION REGULTION TIME OF LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
Grushun А.,
Ph.D., associate professor Grushun T.
Ph.D., associate professor DOI: 10.5281/zenodo.6616219
Аннотация
Рассматривается машинно-ориентированный метод оценки времени регулирования систем автоматического управления (САУ) на основе вычисления и анализа положительных вещественных корней специальным образом построенных алгебраических уравнений. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время предварительной оценки быстродействия исследуемых САУ.
Abstract
The machine-oriented method of an estimation of regulation time in automatic control systems (ACS) is considered on the basis of calculation and the analysis of positive real roots by special algebraic equations. The proposed solution to the problem can significantly reduce the time of preliminary evaluation of the speed of the researched ACS.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления, прямые показатели качества, время регулирования, положительные вещественные корни, номограммы Солодовникова.
Keywords: linear automatic control system, direct indicators of quality, regulation time, positive real roots, Solodovnikov's nomograms.
Введение. Для определения прямых показателей качества линейных непрерывных САУ применяются методы, в основе которых лежит поточечное построение и анализ переходных процессов [1]. Эти методы хорошо известны, но в ряде случаев не гарантируют результат из-за трудностей построения кривых переходных процессов САУ, имеющих
сложную структуру или высокий порядок. Альтернативой таким методам является метод оценки прямых показателей качества, основанный на применении номограмм В.В. Солодовникова [9], который требует построения и анализа вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы [1, 9]. Несмотря на то, что построение ВЧХ явля-
