CC BY
3ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА НА ЭВМ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.
кандидат технических наук Грушун Т.А.
кандидат технических наук
PARAMETRIC EVALUATION ON A COMPUTER OF THE QUALITY OF LINEAR AUTOMATIC
CONTROL SYSTEMS
Grushun А.,
Ph.D.
Grushun T.
Ph.D.
DOI: 10.5281/zenodo.6575890
Аннотация
Рассматривается метод построения на ЭВМ областей в пространстве параметра линейных систем автоматического управления (САУ), внутри которых значение прямого показателя качества не превышают заданного. Для решения задачи необходимо многократное построение и анализ переходного процесса в САУ, а также построение и анализ годографа D-разбиения. Построение этих характеристик для сложных систем может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты, шага интегрирования и максимального значения времени интегрирования. В свою очередь, для решения задачи нужны исследуемые характеристики не в целом, а лишь их отдельные точки, с помощью которых определяются границы искомых областей. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенных алгебраических уравнений, что не требует перебора значений частотных и временных характеристик, тем самым не требует их непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время предварительной оценки качества исследуемых САУ.
Abstract
A method is considered for constructing on a computer areas in the parameter space of linear automatic control systems (ACS), within which the value of the direct quality indicator do not exceed the required one. To solve the problem, it is necessary to repeatedly construct and analysis the transient process in the ACS, as well as construction and analysis the D-partition hodograph. The construction of these characteristics for complex systems can turn into a significant problem associated with the choice of the step of change and the maximum frequency value, the integration step and the maximum integration time value. In turn, to solve the problem, the researched characteristics are needed not as a whole, but only their individual points, with the help of which the boundaries of the desired areas are determined. It is proposed to determine the presence of these points by positive real roots of specially constructed algebraic equations, that doesn't require enumeration of the values of frequency and time characteristics, thus does not require their direct construction. The proposed solution to the problem can significantly reduce the time of preliminary assessment of the quality of the researched ACS.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления, прямые показатели качества, область устойчивости, область качества, положительные вещественные корни.
Keywords: linear automatic control system, direct indicators of quality, stability area, quality area, positive real roots.
Постановка проблемы
При синтезе САУ, когда требуется определить влияние значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят область (области) устойчивости в пространстве этих варьируемых параметров. В дальнейшем, при необходимости, внутри полученной области строят подобласть качества с требуемыми (гарантированными) характеристиками, к которым относятся и прямые показатели качества - время регулирования и перерегулирование. То есть, как при анализе, так и при синтезе системы управления, одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить качество ее работы, то есть, насколько выполняются те или иные специализированные показатели (например,
время регулирования, перерегулирование, показатель колебательности и т.п.) или критерии. Система, которая является устойчивой, на практике может быть непригодной для решения конкретных задач автоматического управления, так как ее показатели качества не удовлетворяют требованиям этих задач.
При построении областей устойчивости САУ на ЭВМ используются как поисковые методы, так и классические [1, 7], но машинно-адаптированные, частотные методы D-разбиения. Для выделения внутри областей устойчивости подобластей с гарантированными прямыми показателями качества применяется многократное построение и анализ при различных значениях варьируемого параметра
кривой переходного процесса. Областью с гарантированным качеством является область, внутри которой перерегулирование и (или) время регулирования не превышает требуемого значения.
Для определения прямых показателей качества линейных непрерывных САУ применяются методы, в основе которых лежит поточечное построение и анализ переходных процессов [1, 2]. Эти методы хорошо известны, но в ряде случаев не гарантируют результат из-за трудностей построения кривых переходных процессов САУ, имеющих сложную структуру или высокий порядок. Альтернативой таким методам является метод оценки прямых показателей качества, основанный на применении номограмм В.В.Солодовникова [1, 2, 10], который требует построения и анализа вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы [1, 2, 10]. Несмотря на то, что построение ВЧХ является гораздо более простой задачей, чем построение переходного процесса, в ряде случаев и для сложных систем ее достаточно проблематично построить точно. В свою очередь, для оценки прямых показателей качества САУ методом В.В. Соло-довникова нужна не вся ВЧХ, а лишь ее отдельные точки.
Будем рассматривать задачу построения на ЭВМ областей с гарантированным перерегулированием в пространстве одного варьируемого параметра линейной замкнутой системы с помощью простого, но, как показывает практика, достаточно эффективного способа, основанного на алгебраическом анализе ВЧХ.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода (подхода) построения на ЭВМ областей гарантированного перерегулирования САУ на основе Б-разбиения и ВЧХ по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений, то есть не требующего построения и анализа частотных характеристик. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классических частотных методов теории автоматического управления. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей качества САУ [9], анализа косвенных показателей качества [3], исследования устойчивости САУ [4], анализа периодических режимов в нелинейных системах [5], анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [6].
Предлагаемый в статье алгебраический метод позволяет в бесконечном множестве точек варьируемого параметра САУ установить те, которые определяют границы областей гарантированного перерегулирования.
Построение областей гарантированного перерегулирования на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
Рассматривается случай линейной зависимости от одного варьируемого параметра а числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой САУ. Такая передаточная функция имеет вид:
Ф(з) =
(1)
а(Б) + аЬ (БУ
где а($), - полиномы с веществен-
ными коэффициентами.
Прямые показатели качества САУ определяются только для устойчивых систем, поэтому на первом этапе строим области (интервалы) устойчивости в пространстве параметра а. Для этого применим метод, описанный в [9].
По передаточной функции (1) запишем характеристический полином замкнутой САУ:
Б (Б) = а(Б) + аЬ(Б) , (2)
Решение данной задачи удовлетворяет уравнению:
1т[-а(]ш)/Ь(]ш)} = 0.
Подставим в полином (2) вместо • мнимую переменную /ю и выделим варьируемый параметр:
а(]ш) = -а(]ш)/Ъ(]ш). (3)
Представим (3) в виде
(4)
ч г(ы) . т(ш)
а(]ш) =--+ 1--
47 J г(ш) 1 г(ш)
где г(о), ш(а) и 2(а) - полиномы с вещественными коэффициентами.
Для выделения интервалов устойчивости и неустойчивости САУ по параметру а вычислим вещественные неотрицательные корни и их кратности полиномов числителя и знаменателя мнимой части выражения (4).
Для определения границ интервалов осуществляем перебор корней полинома числителя ш(а) и сравниваем очередной корень числителя с корнями полинома знаменателя 2(а). Исключаем совпадающие корни с учетом их кратности. Оставшиеся после исключения корни полинома ш(а), которые являются частотами пересечения годографа Б-разбиения с вещественной осью, подставляем в действительную часть выражения (4) и определяем границы интервалов «претендентов» на устойчивость. Упорядочиваем полученные границы варьируемого параметра а по возрастанию, добавляем к ним нижнюю и верхнюю предельные границы (соответствующие а=-да и а=+да) и формируем сами интервалы «претенденты» на устойчивость.
Далее, для каждого интервала определяем устойчивость характеристического полинома Б (б) = а (б) + асЪ(Б), где ас - среднее значение интервала, с помощью любого алгебраического критерия устойчивости (например, Рауса). Если полином D(s) устойчив, то и весь интервал изменения параметра является интервалом устойчивости САУ.
На втором этапе строим искомые подобласти (интервалы) гарантированного перерегулирования в пространстве параметра а внутри полученных интервалов устойчивости.
Сначала рассмотрим, как алгебраическим методом (без непосредственного построения ВЧХ) определить перерегулирование при некотором фиксированном значении а из интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Подставив такое а в передаточную функцию (1), можно записать ее в виде
_ т
(5)
где В(5) = £]п=0Ьт-151 и А(5)=Ж=оап-1*1.
Как было сказано выше, в основу рассматриваемого метода анализа прямых показателей качества положена методика приближенной оценки вида переходного процесса по ВЧХ замкнутой устойчивой САУ [10]. На основании расчетов переходных процессов по ВЧХ В.В.Солодовников предложил оценивать показатели качества — перерегулирование о и время регулирования Iр в зависимости от величины максимума ВЧХ Ртах , заданной на интервале положительности Юп [1, 10].
ВЧХ на интервале положительности разбивается на две трапеции, как это показано на рисунке
1. Далее определяются частоты в точках излома аппроксимирующих прямых, по которым находятся следующие параметры: х=юа/Юо — основной коэффициент наклона; Ха=юа/юь — дополнительный коэффициент наклона; А= юь/юо — коэффициент формы. В зависимости от этих параметров были составлены две номограммы [7, 10]: номограмма А — для х<0.8; Ха>0.4; А>0.5 (рисунок 2) и номограмма В — для Х-08; Ха<0.4; 0.1<^<0.5. Исследования показали, что номограмма А соответствует САУ, имеющим астатизм первого порядка, а номограмма В — статическим системам [11]. Пользуясь этими номограммами и, зная Ртах и частоту положительности Юп можно найти о=/(Ртах) и tр=kж/шп. Номограммы В.В. Солодовникова легко программируются на ЭВМ, так как имеют близкий к линейному характер изменения (рисунок 2).
Рисунок 1 - Разбиение вещественной частотной характеристики на две трапеции
1,0 1,1 1,2 13 1,5 Ртах
Рисунок 2 - Номограмма В.В. Солодовникова
Во многих практических случаях ВЧХ имеет, кроме положительного, отрицательный экстремум Ртт. Такая характеристика в первом приближении может быть аппроксимирована тремя трапециями [2]. Отрицательная часть ВЧХ влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину [1]
Ал<0 3P„
Выражение для построения ВЧХ Р(а>) имеет
вид:
Заменив в (5) 5 на]ю, получим
ваш) уеМШУ
Ф( i ш) =
(6) =
A(jto) !.U"iOw)n-i
_ Ci (ш) + jC2 (ш)
Zi (ш) + j Z2 (ш) c1 (ш)г1 (ш) + c2 (ш)г2 (ш)
г}(ш) + zl( ш)
+
C2 (ш)гЛ (ш) - Ci (ш)г 2 (ш)
z}( ш) + г!(ш)
Р(ш) = Ие(Ф(]ш)).
САш) . Cv (ш) г(ш) +J г(ш)'
где С1(а), С2(а), 21(ю), 12(а), С(а), С„(а), Z(ю) -полиномы с вещественными коэффициентами.
Тогда выражение для построения ВЧХ примет
вид
Р(ш =
Си (ы) г(ш) '
а для вычисления ее экстремумов необходимо решить уравнение:
а(г(ш))
= 0о
с^(ш)г(ш) - г,(ш)си(ш) ~--= 0.
Очевидно, что положительные вещественные корни алгебраического уравнения
С(шШы) - г'(ш)си(ш) = о (7)
будут соответствовать частотам ю, на которых
производная обращается в 0, т.е. частотам экстремумов.
Если уравнение (7) не имеет положительных вещественных решений, то перерегулирование ст в такой САУ не превышает 18% [1].
Если уравнение (7) имеет один положительный вещественный корень ю1, то необходимо осуществить проверку условия
Си (ш,)
При выполнении этого условия значение Pшax=P(0), Ршт=Р(юц), а перерегулирование, полученное по номограмме, увеличивается согласно (6). В противном случае значение Pшax=P(юl), а Ршп=0.
Если уравнение (7) имеет два и более положительных вещественных корня ю1<ю2<..., то необходимо осуществить проверку условия
, ч Си
При выполнении этого условия значение Pшax=P(юl), Ршт=Р(ю2), а перерегулирование, полученное по номограмме увеличивается согласно (6). В противном случае значение Pшax=P(0), Ршп=Р(ю1), а перерегулирование, полученное по номограмме также увеличивается согласно (6).
Для построения в пространстве варьируемого параметра а областей (интервалов) гарантированного перерегулирования с заданной точностью был разработан алгоритм, основанный на методе половинного деления [8]. Рассмотрим этот алгоритм для одного интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Шаг 1. Задаем максимально допустимое для данной САУ значение перерегулирования omax, начальное значение варьируемого параметра an (an — левая граница интервала устойчивости), конечное значение варьируемого параметра ap (ap — правая граница интервала устойчивости), количество точек поиска u (значение u должно быть достаточно большим), шаг изменения варьируемого параметра (шаг поиска) ha=(ap-an)/u и l (0<l< ha) — требуемую точность вычисления значения границы параметра a.
Обозначим границы искомых интервалов как GP, где s — номер интервала, а m — номер границы интервала (для левой границы он равен 1, для правой он равен 2).
Задаем ее an. Вычисляем при заданном a значение перерегулирования о. Выполняем проверку: если о < о max, то задаем d=0, иначе задаем d=1.
Задаем d=d.
Положим m=1, 5=1.
Выполняем проверку: если d1=0, то G™ = а и m=2.
Шаг 2. Задаем новое значение a=a+ ha.
Выполняем проверку: если a>ap+hJ2, процесс определения подынтервалов гарантированного перерегулирования на данном интервале устойчивости завершается. При этом, если d1=0 и d2=0, то m=2 и
G™ = a- ha.
Шаг 3. Вычисляем при этом a значение перерегулирования о. Выполняем проверку: если о < о max, то задаем d=0, иначе задаем d=1.
Задаем d2=d.
Шаг 4. Выполняем проверку:
а) если d1=1 и d2=1, то переходим к шагу 2;
б) если d1=0 и d2=0, то переходим к шагу 2;
в) если d1=0, а d2=1, то переходим к шагу 5;
г) если d1=1 и d2=0, то переходим к шагу 5;
Шаг 5. Задаем начальный интервал неопределенности Lo=[c, b], где b=aа c=a- ha. Задаем d4=d2.
b—c
Шаг 6. Вычисляем у = + с. Вычисляем при
a=y значение перерегулирования о. Выполняем проверку: если о < о max, то задаем d=0, иначе задаем d=1.
Задаем d3=d.
Шаг 7. Выполняем проверку:
а) если d3=0, d1=0, а d2=1, то положим c=y, d1=d3 и переходим к шагу 8;
б) если d3=0, d1=1, а d2=0, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;
с) если d3=1, d1=0, а d2=1, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;
д) если d3=1, d1=1, а d2=0, то положим c=y, d1=d3.
Шаг 8. Выполняем проверку:
а) если b-c<l, процесс поиска очередной границы G завершается.
В качестве решения можно взять значение a в середине последнего интервала: G™ = + с. Если m=2, то положим m=1, d1=d4, 5=5+1 и переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 9.
б) если b-c>l, переходим к шагу 6.
Шаг 9. Положим di=d4, m=2 и переходим к шагу 2.
Выводы
Предлагаемый в статье машинно-ориентированный метод позволяет на первичном этапе исследования полностью автоматизировать построение оценочных областей гарантированного перерегулирования в пространстве параметра линейных САУ. Рассмотренный подход существенно упрощает и улучшает параметрический анализ на ЭВМ качества линейных САУ, имеющих высокий порядок или сложную структуру, так как не требует непосредственного построения годографа D-разбиения и ВЧХ. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного подхода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его эффективность и позволяющее определять искомые области для систем до 25 порядка.
Список литературы
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. - М.: Энергия, 1980.
3. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. -Вып. 2. - С.65 - 68.
4. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. -С.211 - 215.
5. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
7. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
8. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005.-544с.
9. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С. 16 - 20.
10. Солодовников В.В. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / М.А. Айзерман, Г.А. Бендриков, А.А. Воронов: Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1967. — Кн.1. — 769 с.
11. Топчеев Ю.М. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю.М. Топчеев. - М.: Машиностроение, 1989. - 751 с.
