CC BY
4процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.
6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
7. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
8. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. - К.: Выща школа, 1989.
9. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
10. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В.Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005.-544 с.
11. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С. 16 - 20.
12. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: cб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.
13. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.
14. Цыпкин Я.З. Теория автоматического регулирования/ Я.З.Цыпкин. - М.: Машгиз, 1951.-523 а
ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.,
кандидат технических наук, доцент Грушун Т.А.
кандидат технических наук, доцент
EVALUATION REGULTION TIME OF LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
Grushun А.,
Ph.D., associate professor Grushun T.
Ph.D., associate professor DOI: 10.5281/zenodo.6616219
Аннотация
Рассматривается машинно-ориентированный метод оценки времени регулирования систем автоматического управления (САУ) на основе вычисления и анализа положительных вещественных корней специальным образом построенных алгебраических уравнений. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время предварительной оценки быстродействия исследуемых САУ.
Abstract
The machine-oriented method of an estimation of regulation time in automatic control systems (ACS) is considered on the basis of calculation and the analysis of positive real roots by special algebraic equations. The proposed solution to the problem can significantly reduce the time of preliminary evaluation of the speed of the researched ACS.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления, прямые показатели качества, время регулирования, положительные вещественные корни, номограммы Солодовникова.
Keywords: linear automatic control system, direct indicators of quality, regulation time, positive real roots, Solodovnikov's nomograms.
Введение. Для определения прямых показателей качества линейных непрерывных САУ применяются методы, в основе которых лежит поточечное построение и анализ переходных процессов [1]. Эти методы хорошо известны, но в ряде случаев не гарантируют результат из-за трудностей построения кривых переходных процессов САУ, имеющих
сложную структуру или высокий порядок. Альтернативой таким методам является метод оценки прямых показателей качества, основанный на применении номограмм В.В. Солодовникова [9], который требует построения и анализа вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы [1, 9]. Несмотря на то, что построение ВЧХ явля-
ется гораздо более простой задачей, чем построение переходного процесса, в ряде случаев и для сложных систем ее достаточно проблематично построить точно.
Постановка задачи. Задана передаточная функция устойчивой замкнутой линейной САУ. Необходимо оценить время регулирования без непосредственного построения переходного процесса или ВЧХ.
В свою очередь, для оценки времени регулирования САУ методом В.В.Солодовникова нужна не вся ВЧХ, а лишь ее отдельные точки.
Цель статьи. Разработка метода определения этих точек по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений. Предлагаемый алгебраический подход позволяет в бесконечном множестве точек ВЧХ гарантированно установить те, которые полностью определяют решение поставленной задачи. Определение этих точек не требует перебора значений ВЧХ, тем самым не требует ее непосредственного построения, а следовательно, и выбора шага изменения и максимального значения частоты, которые не имеют общего удовлетворительного решения.
Таким образом, решение задачи сводится к ал-гебраизации классических частотных методов теории автоматического управления. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей качества САУ [8], анализа косвенных показателей качества [3], исследования устойчивости САУ [4], анализа периодических режимов в нелинейных системах [5],
анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ [6].
Оценка времени регулирования САУ на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
Как было сказано выше, в основу рассматриваемого метода анализа прямых показателей качества положена методика приближенной оценки вида переходного процесса по ВЧХ замкнутой устойчивой САУ [9]. На основании расчетов переходных процессов по ВЧХ В.В.Солодовников предложил оценивать показатели качества — перерегулирование а и время регулирования ^ в зависимости от величины максимума ВЧХ Ртах , заданной на интервале положительности юп [1, 9].
ВЧХ на интервале положительности разбивается на две трапеции, как это показано на рисунке 1. Далее определяются частоты в точках излома аппроксимирующих прямых, по которым находятся следующие параметры: х=Юа/Юо — основной коэффициент наклона; Ха=юа/юь — дополнительный коэффициент наклона; Х= Юь/Юо — коэффициент формы. В зависимости от этих параметров были составлены две номограммы [7]: номограмма А — для Х<0.8; х>0.4; »0.5 (рисунок 2) и номограмма В — для х<0.8; Ха-0 4; 0.1<Х<0.5. Исследования показали, что номограмма А соответствует САУ, имеющим астатизм первого порядка, а номограмма В — статическим системам [10]. Пользуясь этими номограммами и, зная Ртах и частоту положительности юп можно найти а=/(Ртах) и tp=kж/mп. Номограммы В.В. Солодовникова легко программируются на ЭВМ, так как имеют близкий к линейному характер изменения (рисунок 2).
Рисунок 1 - Разбиение вещественной частотной характеристики на две трапеции
1,0 1,1 1,2 13 & 1,5 Ртах
Рисунок 2 - Номограмма В.В. Солодовникова
Во многих практических случаях ВЧХ имеет, кроме положительного, отрицательный экстремум Ртт. Такая характеристика в первом приближении может быть аппроксимирована тремя трапециями [2]. Отрицательная часть ВЧХ влияет на перерегулирование, увеличивая его [1].
Рассмотрим передаточную функцию замкнутой линейной САУ вида
(1)
где B(s) = I1]==0bm-isi, A(s)=Zl0an-isi,
m<n.
вид:
Выражение для построения ВЧХ Р(ю) имеет
Р(ш) = Яе(Ф(]ш)). Заменив в (1) 5 на ja, получим
вт i]nobi(j^)m-i
Ф(1ш) =
_ Ci (щ) + jC2 (ы) Zi (Ш) + jZ2 (ш)
с1 (ш)г1 (ш) + с2 (ш)г2 (ш) z1 (ш) + z2 (ш)
+ i
С2 Mzi (ш) - Ci (to)Zi (ш)
г!(ш) + г2(ш)
_ Си , Сг
= Цш) +] г(ш)'
где с](а), с2(а), и(с), г2(с), См(с), Су(а>), 2(ю) -полиномы с вещественными коэффициентами.
Тогда выражение для построения ВЧХ определяется формулой
РЫ) =
Си (У) г(ш) '
а для вычисления ее экстремумов необходимо решить уравнение:
а(Си(ш)) а(1(ш)) dfi)
с'(ш)г(ш) - г,(ш)си(ш) ~-z—j)-=0-
Очевидно, что положительные вещественные корни алгебраического уравнения
C'(M)Z(M) - г'(ш)Си(ш) = 0
(2)
будут соответствовать частотам ю, на которых производная обращается в 0, т.е. частотам экстремумов.
Значение частоты положительности юп соответствует частоте, на которой ВЧХ первый раз пересекает ось абсцисс, то есть когда Р(ю)=0. Однако, для некоторых случаев вида ВЧХ, значение Р(ю) может быть равно 0 при ю—да. Поэтому, значение юп на ЭВМ будем определять не точкой пересечения ВЧХ с частотной осью, а точкой ее пересечения с горизонтальной прямой, проходящей над частотной осью на уровне s, где s достаточно мало. Таким образом юп будет полностью определяться решением уравнения:
Р(ш) = £
Си W _
Z(m) = £ *
Си(ш) - Z(íú) • £ = 0. (3)
Наименьший положительный вещественный корень уравнения (3) и будет соответствовать частоте положительности юп.
Если уравнение (2) не имеет положительных вещественных решений, то ВЧХ не имеет экстремумов и время регулирования tp лежит в интервале [11
Wn F Шп
Если уравнение (2) имеет положительные вещественные корни Сй1<ю2<..., то необходимо осуществить проверку условия
Си (^1) Z(^)
При выполнении этого условия значение Ртах=Р(а1). В противном случае значение
Ртах Р(0).
Выводы
Предлагаемый в статье машинно-ориентированный метод позволяет на первичном этапе исследований полностью автоматизировать оценку быстродействия линейных САУ. Рассмотренный подход существенно упрощает и улучшает классическую методику частотного анализа прямых показателей качества САУ, так как не требует непосредственного построения кривой ВЧХ или переходного процесса. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного подхода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его эффективность и позволяющее оценивать быстродействие систем до 25 порядка.
Список литературы
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1980.
3. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. - Вып. 2. - С.65 - 68.
4. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. -С.211 - 215.
5. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
7. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
8. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С. 16 - 20.
9. Солодовников В.В. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / М.А. Айзерман, Г.А. Бендриков, А.А. Воронов: Под ред. В.В. Солодовникова. — М.: Машиностроение, 1967. — Кн.1. — 769 с.
10. Топчеев Ю.М. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю.М. Топчеев. - М.: Машиностроение, 1989. - 751 с.
