CC BY
4
УДК 514.75
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ, ЗАДАННЫЕ НЕ ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫМИ СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
К.В. П о л я к о в а
(Калининградский государственный университет)
В проективном пространстве рассмотрена поверхность и произведено композиционное оснащение (оснащение Картана и нормализация 2-го рода Норде-на). Исследованы параллельные перенесения нормального направления в индуцированных связности и псевдосвязности 2-х типов. Показано, что оба перенесения могут задаваться вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений в зависимости от аналитического представления дифференциала точки пересечения нормальной прямой с плоскостью Картана.
Продолжим изучение поверхности Хт [1] как т-мерного многообразия
центрированных касательных плоскостей Тт проективного пространства Рп.
Нормаль 1-го рода , пересекающая плоскость Тт лишь в ее центре - точке
А, натянута на точки А, Ва = Аа + АаА1, причем коэффициенты Аа удовлетворяют дифференциальным уравнениям
УАа + Оа =АЧ-Юj , (1)
где дифференциальный оператор V действует обычным образом . Зададим плоскость Картана Сп_т_! (А £ Сп_т_х с Кп_т) точками С = В + АаА . Равенства
Ма < Ака + 5'А а = 0 (2)
ограничивают [1] смещение плоскости С до смещений внутри нормали 1-го рода , ЛЬк - фундаментальный объект поверхности Хт . Ковариантный
дифференциал и ковариантные производные объекта Аа выражаются соответственно по формулам [1] :
ЛАа = ^ +А!аО* - ^ + «а,
а^ = А aj + А Ь Г aj - А аГ kj - Г aj,
где формы групповой связности имеют вид : О = О - ГО1. Найдем внешний дифференциал ковариантного дифференциала ЛАа
ёЛАха = ЛА-а ло* -ЛАхЬ ЛОЬ + (...)ajkОj ЛОK. (4)
Рассмотрим нормальное направление AC - прямую, проходящую через точку A и пересекающую плоскость C^^ в точке C = цaAa + цa+ A, где учтена нормировка цa Аа = 1. Выразим дифференциал точки C
dC = (...)C + (Уцa - цaць(юь + Abю{) + цbAbюa)Ba +
+ Цa(yA?a + Юa b+^aЮ 1)A1 . (5)
Так как выполняются уравнения (1), то формулу (5) можно переписать в виде
dC = (...)C + (Уцa - цaць(ю + АьЮ) + цbAbюa)B + ц^«. (5')
Следовательно, уравнениями инвариантности точки C являются только следующие
a a b * ^ ч a 1
Уц -ц ц (юb +Аью 1) = ц¿ю . (6)
Объект цa образует геометрический объект лишь вместе с квазитензором А,а, задающим нормаль Nn_m.
Вводя формы связности Ю^ = Ю a — Г ^ Ю1, «а = Юа — Га1Ю1,
=«— ГуЮj в выражение (6), получим Дцa =цa Ю1. Совокупность {Г Га1, Г-} не образует геометрический объект даже вместе с фундаментальным объектом Ла [1] . Внешний дифференциал ковариантного дифференциала Дцa преобразуем к виду :
dДцa = Дцb л ((Sb - цaA1b»S1 - цa<Sb) - Дцa л (цbA1b(S1 + цb(Sb) -
-цaцbДАЬ лю1 + (...)aЮ1 ЛЮj . (7)
Линия р на поверхности Хт задается уравнениями Ю1 = р1Ю . Тогда из (4), (7) следует, что вполне интегрируемой вдоль линии р является система уравнений
Дц a|p = 0, Д^|р = 0. (8)
Образуя ковариантные дифференциалы объектов Аа, цa в формулах (5) и (5'), получим две формулы для описания параллельных перенесений AC соответственно в связности Г и псевдосвязности {Г Га1, Г-} :
dC = (... )C + Дц aBa + цa ДА^ Ai + цb (^ + Aj Лaj )ю 1Ca +
+ ц a(Aa Г k - A1b Г bj + Г a - Aa A1b < + 5 jA a)®^ +
+ ц a(-A b Г b1 + Г a1 +Ajar j1 -A b Aja Л^ш 1A, (9)
dC = (... )C + ДцaBa + цb (Гb1 + A>Ла )Ю 1Ca + цaM> ^ + + ц a(-A b Г b + Г a1 +AJa Г1 -A b A> Л1^)ю 1A . (9')
Из формулы (9) видно, что параллельное перенесение направления АС в связности Г задается вполне интегрируемой системой (8) . Тогда как (9') позволяет
описать такой же перенос направления АС в псевдосвязности {ГГа1, Г^ } с
помощью не вполне интегрируемой подсистемы (81) . Оба параллельных перенесения являются в общем случае вырожденными 2-го типа [2] , т.е. имеют место, когда точка С смещается во всем пространстве Рп . Таким образом, геометрически одинаковые параллельные перенесения прямой АС, описанные формулами (9) и (9'), осуществляются соответственно в связности Г и псевдосвязности
{Г Г^, Г у } и задаются различными системами уравнений . Дополним подсистему уравнений (81) 2-го перенесения прямой АС до вполне интегрируемой системы уравнениями (82), задающими параллельный перенос плоскости Сп-т-1. При этом параллельное перенесение нормальной прямой, независимо от выбора формулы (9) или (9') для его описания, происходит в связности Г и задается вполне интегрируемой системой (8). Рассмотрим композицию параллельных перенесений прямой АС и плоскости Сп_т_х. Найденные в работах [1],[3] два способа охвата объекта связности Г соответствуют следующим случаям : а) параллельное перенесение плоскости С является вырожденным 2-го типа и
абсолютным, т.е. имеет место при произвольном смещении плоскости Сп_т_! во всем пространстве Рп и вдоль любой линии на поверхности Хт ; б) параллельное перенесение плоскости Сп_т_х, при котором она смещается в нормали 1-го рода Кп_т , не является вырожденным и абсолютным .
2
Пусть Г является объектом связности 2-го типа (Г), т.е. его компоненты
охвачены по формулам
0 0
г;к = Л)Ха -8)Ак -8кV ГЪ = -Л* А) -8ЪXх, (10)
2 2
Г = А- +ЛаАкк -2А-А, ГV = А! - + Ак(81 А^ -2Л\XV),
у у у а к А а) а) ач^'^к )к Ъ/'
2
Г . = -А- -А--А-1 + 2Ау (А-А- -ЛЪАк А.),
а1 а1 ) )1 а ах'^'^ 1) Ъ к /'
тогда ковариантные производные (3) равны нулю, а вырожденный 2-го типа па-
0 0 2
раллельный перенос плоскости Сп_т_! в связности {Г1^, ГГявляется аб-
2
солютным . Уравнения А Аа = 0, задающие это перенесение, обращаются в тождества .
2
Запишем формулу (9) относительно связности Г
2 2
ёС = (... )С + А цаБа + ца А АаА + ЦаМ^ю^. (11)
Значит, прямая АС переносится параллельно в связности Г, когда точка С смещается в т - плоскости Ьт = [С, В], натянутой на точку С и нормаль 2-го рода !. Система дифференциальных уравнений (8) этого перенесения вдоль линии р приводит к системе линейных однородных уравнений
2 ■ 21 Ца р1 = 0 , X а о р ^ = 0 . (12)
21 1 Поскольку X =0, то т неизвестных р удовлетворяют лишь п-т уравнениям
(121).
Формула (9') относительно связности 2-го типа примет вид
2
ас = (...)С+Ац ава + ц ама] ю . (11')
Следовательно, прямая АС переносится параллельно в псевдосвязности
0 2 2
{Г Га;, Г]}, когда точка С смещается в той же плоскости Ьт. Это перенесение задает подсистема вида (8 1), которая относительно связности 2-го типа явля-
2
ется вполне интегрируемой, что следует из (7) с учетом А Аа = 0. При этом (12
1) - уравнения для нахождения неизвестных р1. Однако эти перенесения осу-
2
ществляются в различных связностях : первое - в связности Г, второе - в псев-022 досвязности {Г Ь, Г а1, Г у}.
2
Дополним систему Ац а|р = 0, задающую второе перенесение, уравнениями
2
ААа = 0 и рассмотрим композицию параллельных перенесений направления АС и плоскости Сп_т_!. Плоскость Сп_т_! при абсолютном параллельном перенесении смещается во всем пространстве Рп и вдоль любой линии (в том числе вдоль которой переносится прямая АС), поэтому можно считать, что этот параллельный перенос осуществляется при смещении точки С в плоскости Ьт вдоль соответствующей линии. В этом случае формулы (11) и (11') задают один
и и А { ^ и и
и тот же параллельный перенос прямой АС , являющийся геометрической ха-
2 0 2 2 рактеристикой как связности Г так и псевдосвязности {Г Га1, Г у }. Этот пе-
2
ренос определяется системой уравнений А ц а | = 0.
1
Если объект связности Г - 1-го типа (Г), т.е. охвачен по формулам (10) и следующим
1 1
Г = Л^Ха - X, Г ■ = 61(Хка X к - X а) - Л^ ^ Х'ь ,
1
Г = X-1 -ЛьX,,) -X X,
то выражение (9) преобразуется к виду
1 1 аС = (...)С + А цаВа + Ца А X1aA1. (13)
1
Следовательно, прямая АС переносится параллельно в связности Г , когда точка С неподвижна. Этот перенос задает система дифференциальных уравнений вида (8), а неизвестные можно найти из системы, аналогичной (12). Формула (9') относительно связности 1-го типа принимает вид :
1
аС = (.. .)С + А Ц аВа + Ц аЫ> 1А1. (13')
Здесь осуществляется параллельный перенос прямой АС в псевдосвязности
0 1 1
{Г Г^, Г]}, когда точка С смещается в плоскости Ьт+1 = С © Тт . Он зада-
1
ется системой А Ца|р = 0, которая относительно связности 1-го типа не является
вполне интегрируемой . Дополним эту систему до вполне интегрируемой урав-
1
нениями AXa|p = 0 , которые задают параллельный перенос плоскости Сп_т_ х, когда она смещается в нормали 1-го рода , т.к.
п-т ;
1
аСа = ЭСа + (Ю Ь + ^ Ю Ь)Сь + А X1aAl + (...)аА .
При этом точка С остается в плоскости Ьт+1. Условиями смещения плоскости Сп-т-1 в нормали 1-го рода являются также соотношения (2), при выполнении
которых параллельные перенесения прямой АС, описанные формулами (13),(13'), совпадают.
Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ(СПбКЦ).
Библиографический список
1. Полякова К.В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С. 63-70.
2. Полякова К.В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности как точечном многообразии // XXVIII науч. конф. КГУ: Тез. докл. Часть 6. 1997. С.7.
3. Шевченко Ю.И. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1989. Вып.20. С. 122-128.
K.V. P o ! у a k o v a
PARALLEL CARRIES, GIVEN BY NOTTOTALLY INTEGRATED SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
A surface is considered in projective space and is made its composition equipment (i.e. Cartans equipment and Nordens normalization of the second genus). Parallel carries of normal direction are investigated in induced connection and pseudoconnection of two types. It is shown, that both carries can be given by totally and nottotally integrated systems of differential equations depending on analytical representation of differential of point of intersection of a normal line with Cartans plane.
УДК 514.75
НОРМАЛЬНАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Ю.И. П о п о в
(Калининградский государственный университет)
Для оснащенной регулярной гиперполосы Р т аффинного пространства Ап+1 в касательном расслоении Т(Ут) и в нормальном расслоении К(Ут) введены соответственно внутренняя аффинная связность у и нормальная цен-
троаффинная связность у1. Рассмотрены нормальная характеристическая цен-
троаффинная связность Ц1 в слоях расслоения х(^т) характеристик гипер*
полосы Р т с Ап+1, а также нормальная центроаффинная связность Ц1, индуцируемая расслоением /(Vm) оснащающих прямых ^, где ^с^, xсVm. Показано, что тривиальное, осевое и центрально-осевое оснащения регулярной гиперполосы Р т с Ап+1 индуцируют в соответствующем расслоении плоскую связность [1]. Выяснено, например, что нормальная центроаффинная связность у сферической гиперполосы [2] плоская, а внутренняя аффинная связность у локально
аффинная.
Схема использования индексов такова:
I,:, к, ь = 1, п+1; у,и= 1,т; а,Ь,С,д = т + 1,П ; ^£=(^+1). § 1. Задание нормальной аффинной связности на оснащенной
