CC BY
4
УДК 514.75
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
К.В. П о л я к о в а
(Калининградский государственный университет)
Рассмотрены специальные оснащения Картана и нормализация Нордена поверхности проективного пространства, а также индуцированные ими связности. Введены проективно-ковариантные дифференциалы оснащающих объектов, которые позволяют описать классические параллельные перенесения касательного и нормального направлений. С помощью обычных ковариантных дифференциалов и их линейной комбинации исследованы сильные (по сравнению с классическими) параллельные перенесения. Изучены параллельные переносы произвольных направлений вдоль поверхности.
1. Связность и оснащения. Отнесем ^мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А: } (^^=1,...,^, деривационные формулы которого имеют вид :
ал= 0Л+ ю 1А1 , ал: = 0л: + ю л , (1)
где 0 - некоторая Ьформа. Структурные формы ю1 , ю ^, ю: проективной группы GP(n) , действующей в пространстве Pn , удовлетворяют уравнениям Картана (см. напр.[1,с.173]):
ёю1 = ю 5лю5 , ёю:= ю?л ю 5 ,
ёю 5 =ю ^л ю К +ю 5л ю1 +5 5ю кл ю к .
В пространстве Pn рассмотрим локально m-поверхность Хт (0<m<n) как семейство центрированных касательных плоскостей Тт . Произведем разбиение индексов !=(^) : ^^=1,...^ ; a,b,c=m+1,...,n .
Осуществим специализацию репера , помещая его вершины А, А1 в касательную плоскость Тт , причем А в ее центр. Из формул (1) следует система дифференциальных уравнений поверхности Хт
юа = 0 , ю а = Ла ю^ . (3)
Продолжая эту систему, получим VЛaj = 0 (Ла^ = Л^-) , где символ =
означает сравнение по модулю базисных форм ю1 , а дифференциальный оператор V действует так :
у л=^ - лак ю к - л> к+л> ь . (4)
Из структурных уравнений (2) и дифференциальных уравнений (3) следует, что с поверхностью Хт ассоциируется главное расслоение G(Xm ), базой которо-
го является поверхность Хт , типовым слоем - подгруппа стационарности G^GP(n) центрированной плоскости Тт . Структурные уравнения этого расслоения записаны в работе [2], некоторые результаты которой приводятся в данном пункте.
Введем формы
ш1= ш 1-глкш к ' = ш 1 -гиюл ' шЬ = ш Ь -г>1 ,
ша = ша -ГЧ®' > ша = ша - Га1® ■
Дифференцируя их внешним образом и применяя теорему Картана-Лаптева [3,с.63,83], получим систему сравнений для компонент объекта
Г = (Г^, Г, Г^, Г^, Га1} ,задающего фундаментально-групповую связность в
расслоении G(Xm) :
УГ^к + ш 1к - 0 , ^Г^ + Г 1к ш к + ш ц - 0 , УЦ* + ш Ь - 0 ,
ут; +Га>Ь -Г^шк +шaJ -0 , УГа1 +г>л +г>ь -г^ша -0 ■
Объект связности Г содержит 4 существенных подобъекта: объект касательной линейной связности Г! ={ Гк }, объект коаффинной (центропроективной) связности Г2 ={ Гк, Г }, объект нормальной линейной связности Г3 ={ Г^ } и объект
Г4 ={ ГЛк, ГЬ1, ГаЛ }•
Оснащение Картана поверхности Хт состоит в задании поля плоскостей Сп-т-1 (Сп-т-1 пТт =0), определенных базисными точками Ва =Аа + ХаА1 + Ха А.
Коэффициенты Ха, Ха удовлетворяют следующим уравнениям, обеспечивающим инвариантность плоскости Сп-т-1 при фиксации образующего элемента Тт поверхности Хт :
УХа а = Х>Л , УХ а +Ха ш 1 + ша = Х ^1 • (7)
Продолжая уравнения (7) , получим
УХу-Хъш ^+Хкашкл+ш0 , УХа1 -XьшаЬ1 + Х>л + шл - 0 •
Объекты связностей Г2 , Г3 , оснащающий по Картану квазитензор { Ха, Ха } лжения, охват
формулам :
и его продолжения, охватывают остальные компоненты Г^,Га1 объекта Г по
га =Х1ал +Х1Ь Г* -Ха Гк , Га1 =Х а1 +Х ь Га^Ь - ^ Х^ . (8)
Возьмем специальное поле плоскостей Картана
Х1ал = Хка ЛЬк Х1ъ -51Х а , Х а1 =Х ь Л^ . (9)
Нормализация Нордена [4,с.197] поверхности Хт состоит в задании на ней поля двух плоскостей , называемых нормалями . Нормаль 1-го рода №-т (Ып-т пТт =А), натянутую на плоскость Картана и точку А, определим системой ли-
нейных уравнений x1 - Яа xa =0 , где функции Яа удовлетворяют первой группе уравнений системы (7).
Нормаль 2-го рода N^1 (Л£ Nm-l ^Тт ) зададим совокупностью базисных
точек В1 =Л1 +Я1 A , причем УЯ1 + ю1 = Я^юJ. Продолжая эти уравнения, получим УЯу — Якюк + ю ^ 0. Пфаффовы производные Яу квазитензора Я1 выразим в виде Я ^ = Л Яа — Ла^ Я^ Як + Я^ , что соответствует специальному полю нормалей 2-го рода на поверхности Хт , оснащенной по Картану. Тогда тензор Ла и нормализующие квазитензоры Яа, Я{ охватывают компоненты объекта связности Г по формулам :
Г]к = Л^к Я а — 5 ]Я к — 5 к Я j , Гу = Л^Я а —Я А ЯJ , ГЬ = — Л^ — 5 Ь Я А , (10)
Г* =5](ЯкаЯк — Яа ) — ^кЯкаЯЬ , Га1 = ЯJa (Я 1Я j — ЛЬ]ЯЬ) — Яа Я1 . (11)
Отметим, что если формулы (9), (10) подставить в соотношения (8), то последние будут совпадать с формулами (11). При фиксации гиперплоскости Ln+1 = + Сп-т-1 разные охваты объекта связности Г совпадают .
2. Перенесение Нордена. Рассмотрим касательную прямую, проходящую через точку А. Она пересекает нормаль 2-го рода Кт-1 в точке В=ц В1 = ц>Я 1 Л+ ц1 Л1 ,причем
Уц1 — ц1 ю=Ц 1юJ . (12)
Условие продолжаемости уравнений (12) можно записать в виде
дю1 =01 лю1 . Вводя формы касательной линейной связности Г1 в уравнения (12) ,
получим Дц1 = J , где Дц1 = ёц1 + ц JЮi — ц 1ю , ц] = ц 1 — цк Г^ , что назовем соответственно проективно-ковариантным дифференциалом и про-ективно-ковариантными производными объекта ц1 относительно связности Г1 .
Внешний дифференциал форм Дц1 преобразуется к виду
ёДц1 = Дц V ю1 — Дц 1л ю + ю V ю к +ц . (13)
Зададим линию p^Xm уравнениями ю1 =р1 ю . Тогда в случае 01 =К ю система Дц1 = 0 вполне интегрируема вдоль линии p на поверхности Хт .
Будем говорить, что касательное направление, заданное геометрическим объектом ц1 , переносится параллельно в касательной линейной связности Г1 вдоль линии p^Хm , если вдоль нее проективно-ковариантный дифференциал Дц1 обращается в ноль. В дальнейшем обращение в ноль проективно-ковариантного дифференциала геометрического объекта будет задавать параллельное перенесение в некоторой связности фигуры, определенной этим объектом.
Запишем дифференциал точки В
dB=(0+ш1 -Х шi )В+ц Лаш Ва + ц 1(ЛаХкаХк -Х1Хл -ЛаХа) ш А+ Ац1 Bi
р = 0 •
'Ц а Р V 1) ъа ък 1) ъа
Уравнения параллельного переноса имеют вид Ац1
Теорема 1. Касательная прямая АВ, определяемая точкой ВеЫт-1
,переносится параллельно в связности Гк тогда и только тогда, когда точка В
смещается в плоскости Ln-m+1 =Ып-т +В .
Замечание 1. Данная теорема является классическим результатом Нордена [4,с.202]. Теорема 1 доказана в работе [5] без использования понятия проектив-но-ковариантного дифференциала.
3. Перенесение А.В.Чакмазяна. Аналогичным образом рассмотрим параллельный перенос нормальной прямой АС, пересекающей плоскость Картана Сп-
т-1 ^ Ып-т в точке С=ца Ва =ца (Аа + Х1а Ai +Ха А), причем Уц а - ца ш 2 = цаш1. Вводя в последние уравнения формы нормальной связности, получаем проек-тивно-ковариантный дифференциал объекта ца в виде :
Аца = ёца +цЬшаь -цаш2 . (14)
Внешний дифференциал форм Аца преобразуем следующим образом :
ёАца = Ацьаша - Ацалш2 -цМш2 + (■■■)аш^шл . (15)
Если ёш2 = М^ш 1Ашл , то система уравнений Аца р= 0 вполне интегрируема. Используя выражение (14), найдем дифференциал точки С, принадлежащей нормальному направлению,
dC=(0+ш2 -ш Х )С+ Ац аБа + ц а(Хаш1 -Х) Хь ш Ъ)В + ца (■ ■ ■ )а1 ш 1А . Уравнения Аца р= 0 являются условием параллельного переноса прямой АС .
Теорема 2. Нормальная прямая АС, заданная точкой СеСп-т-1 ,переносится
о о о а
параллельно в нормальной линейной связности Г; тогда и только тогда, когда точка С смещается в плоскости Lm+l =Тт +С .
Замечание 2. Конструкция параллельного перенесения Чакмазяна [6,с.67] изложена здесь с некоторой модификацией в менее канонизированном репере. В работе [5] теорема 2 доказана без использования понятия проективно-ковариантного дифференциала.
4. Перенесение направления общего положения. Будем рассматривать прямую АК, пересекающую гиперплоскость Ln-l , натянутую на нормаль Кт-1 и
плоскость Сп-т-1 , в точке К=ра Ва +pi Вi , причем Ура - ра ш 3 , Ур1 - р1 ш 3 . Из уравнений
ёАра = АрълшЬ - Ара лш3 -раёш3 + (■■■);ш1 лш],
ёАр1 = Арл лш] - Ар1 лш3 + р1ёш3 + (■■■) шл лшк
при условии ёю = Ь--ю1 а юJ следует, что система уравнений
3 У
р
зуем к виду :
Дра р = 0 , Др1 р = 0 вполне интегрируема. Дифференциал точки К преобра-
ёК = (0 + ю3 — Яю 1)К + ДраВа + Др1^ + (...X ю 1А + ра(Яаю1 — Я юЬ Я\ )ВХ + +р1ю ава .
Уравнения Дра = 0 , Др1 = 0 являются уравнениями параллельного переноса прямой АК.
Теорема 3. Прямая АК, задаваемая точкой Ке Ьп-1 =Nm-l +Сп-т-1 , переносится параллельно в связности { Г^к, Г^ } при любом смещении точки К, т.е. параллельное перенесение в связности { Г*к, Г^ } вырождается.
. ёеГ
Замечание 3. Если в формуле (16) положить ра = 0, р1 = ц1 , то получим
ёеГ
теорему 1; если р1 = 0, ра = ца, то получится теорема 2.
5. Коаффинное параллельное перенесение. Опишем параллельный перенос касательной прямой АВ из п.2 с помощью ковариантного дифференциала. Произведем нормировку ц1 Я1 =1, тогда В=А+ц1 Л1 , причем
Уц1 — ц1 ц ■'ю = ц1 юJ. Вводя в последние уравнения формы коаффинной связности, получим Дц1 = ц юJ, где ковариантный дифференциал и ковариантные производные объекта ц1 относительно связности Г2 выражаются по формулам :
Дц1 = ёц1 +ц "ю1 — ц1 ц ^ , ц1 =ц1 — цк Г^ +ц1 цк Г^ . (17) Внешний дифференциал форм Дц1 преобразуем к виду :
¿Дц 1 = ДцJ л(...)! + (...);к юJ лю к . (18)
Из уравнений (18) видно, что система уравнений Дц1 = 0 вполне интегрируема.
Известно, что обращение в ноль ковариантного дифференциала геометрического объекта говорит о параллельном перенесении в некоторой связности фигуры, заданной этим объектом.
Используя выражения (17), найдем дифференциал точки В :
ав=( ц1 ю — ц ю а Я +0)в+ц1 юав +Дц 1А .
Уравнения параллельного переноса имеют вид Дц1 = 0 .
Значит, система ААа
Теорема 4. Касательная прямая АВ, заданная точкой Ве Кш-1 , переносится параллельно вдоль линии р в коаффинной связности Г2 тогда и только тогда, когда точка В смещается в плоскости Ln-m =Сп-ш-1 +В.
Замечание 4. В работе [7] рассмотрен перенос нормали Кш-1 в гиперплоскости Ln-l , являющийся несколько иной конструкцией, характерезующей параллельные перенесения в связности Г2 .
6. Сильный перенос нормальной прямой. Предварительно рассмотрим [5] параллельный перенос плоскости Картана Сп-ш-1 , заданной квазитензором
Аа . Вводя формы связности Г4 в уравнения (7), получим ААа = А1^ ЮJ, ковари-
антные производные и ковариантный дифференциал объекта А'а выражаются по формулам :
А^Аа-Аг*-га , АА1а = ёА^ +А1©1-а;юЪ +юа . (19) Внешний дифференциал ковариантного дифференциала ААа имеет вид :
ёААа =-аа1,аюЪ +аа1аю;+ (...ЮJлюк . (20)
= 0 вполне интегрируема. Смещение плоскости
Сп-ш-1 в нормали №-ш , принимая во внимание соотношение (8), является абсолютным параллельным переносом в связности Г4 [5] .
Введем параллельный перенос прямой АС, где Се Сп-ш-1 . Произведя нормировку ца Аа =1 , получим С=ца Аа +ца А'а А1 +А , причем
Уца - ца цЬ Ю ь - ца цЬ А^ Ю а = ца Ю1. Вводя в последние уравнения формы из совокупности (5), запишем выражение для ковариантного дифференциала объекта ца :
Аца = ёца + цьЮа - цацьЮь - цацьА\Юх . (21)
Внешний дифференциал форм Аца преобразуем следующим образом :
ёАца = Ацъл(юЪ - цаАаьЮа - цаЮь) - Ацал(цСА1СЮ1 + цьЮь) -цацъаа^лЮ1 + (...)аЮ лЮJ . (22)
Учитывая уравнения (20), найдем внешний дифференциал входящей в уравнения (22) линейной комбинации ковариантных дифференциалов ца ААа :
ё(ца ААа) = ца АА>(цъ Юь +цъ + ца ААа Л Ю1 + (...);к юJ Л ю к . (23) Из уравнений (22), (23) видно, что система уравнений
Аца р = 0 , ца ААа р = 0 (24)
вполне интегрируема.
Используя выражения ковариантных дифференциалов (19), (21), имеем следующую формулу для дифференциала точки С :
ёС = еС + АцаБа -(АаАца +цаАхААа)Л +
+(ш1 -ц ь Я> Я^ +ца Я1^ +ца АЯ1а)Б1.
Уравнения параллельного переноса прямой АС имеют вид (24).
Теорема 5. Нормальная прямая АС, заданная точкой Се Сп-т-1 , переносится параллельно в некоторой линейной комбинации (ср.[8]) связности Г тогда и только тогда , когда точка С смещается в плоскости Ьт =Кт-1 +С.
Замечание 5. Данный перенос нормального направления аналогичен введенному А.В.Чакмазяном [6,с.61] для нормального поля точек, параллельного
относительно нормальной центропроективной связности. Подобъект { Га1, Г^ Г станет объектом этой связности в репере, адаптированном к нормализации. В связи с тем, что наше исследование ведется в менее канонизированном репере, перенос осуществляется в линейной комбинации связности Г. В работе [8] дана эквивалентная нашей характеристика линейной комбинации связности с помощью параллельного переноса плоскости Сп-т-1 .
7. Сильный перенос произвольного направления. Будем рассматривать
прямую АК, где К= раАа + (раЯа +р1)Л1 + (раЯа +Р1 Я 1)А . Пусть ра Яа +Р1 Я = 1 , тогда К= раАа + (Ра Яа +р1)Л + А , причем Ура-ра(рь ш ь +рь Я\ ш 1 +р1 ш 1) = ра ш1 ,
Ур1 -р1(ра ш а +ра Яа ш j ^ = р;ш ^ . ( )
Вводя в уравнения (25) формы связности Г, получим следующие выражения для ковариантных дифференциалов объектов ра и р1 :
Лра = ара +рьша -ра(рьшь +рьЯьш1 +р1 шх) ,
Ар1 = ар1 +р -"ш1 - р1(ра йа +ра Яа Шj +р jШj) .
Внешние дифференциалы форм Лра, Ар1 преобразуем к виду :
аЛра = Арьл(...)а +рарьАЯьЛ-раАр 1Л+ (...)аш 1Лшj
аЛр1 = АраЛ(...)а -р1раАЯ^шj + Ар^(...)1 + (...)1кшjлшк
Система уравнений
(26)
Ара р = 0 , Ар 1р = 0 , раАЯ1а р = 0 (27)
р
вполне интегрируема, т.к. внешний дифференциал линейной комбинации ра АЯ1а записывается следующим образом :
а(ра АЯа) = ра АЯаЛ(рь шь + рь Я-^ + р^) + ра ая^ а;)+(...^ ш^ шк .
Используя выражения (19), (26), найдем дифференциал точки К :
ак = ек+Ар ал + Ар 1л + я^ Ар ал + ра АЯал +
+(ра Я>j + ш1 - р^ш1 - Я\ рь Я{, Лак ш к)Б1 + р1 Л^Ба .
Уравнения (27) задают параллельный перенос прямой АК.
Теорема 6. Прямая АК переносится параллельно в линейной комбинации связности Г тогда и только тогда, когда точка К смещается в гиперплоскости Ln-l
Замечание 6. Теорема 6 является обобщением выводов, полученных в п.5 и
. ёеГ . ёеГ
п.6 . При ра = 0 , р1 = ц1 получается теорема 4; при р1 = 0 , ра = ца из теоремы 6 следует теорема 5.
Библиографический список
1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986. 224с.
2. Шевченко Ю.И . Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1989. Вып.20. С.122-128.
3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 248 с.
4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
5. Шевченко Ю.И. Параллельные перенесения на поверхности // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1979. Вып.10. С. 154-158.
6. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия ^ в Рп // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С. 55-74.
7. Шевченко Ю.И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1981. Вып.12. С.126-130.
8. Шевченко Ю.И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Там же, 1987. Вып.18. С. 115-120.
K. V. P o l y a k o v a
PARALLEL TRANSFERENCES OF DIRECTIONS ALONG A SURFASE OF A PROJECTIVE SPACE
Special Cartan's equipment and Norden's normalization of a surface of a projective space and connections induced by them are considered. Projective-covariant differentials of equipping objects are introduced, allowing to discribe classical parallel transferences of a tangent and a normal directions. With the help of usual covariant differentials and their linear combinations strong (compared with classical) parallel transferences are investigated. Parallel transferences of arbitrary directions along a surface are also studied in this article.
