Параллельная реализация полулагранжева метода для трехмерного уравнения неразрывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 519.642.2

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛУЛАГРАНЖЕВА МЕТОДА ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ*

А. В. Вяткин, Е. В. Кучунова*

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 *E-mail: [email protected]

Представлен численный алгоритм решения начально-краевой задачи для трехмерного уравнения неразрывности. Представляемый метод основан на законе сохранения массы и имеет первый порядок сходимости.

Ключевые слова: уравнение неразрывности, полулагранжевы методы, параллельные алгоритмы, MPI.

PARALLEL REAEIZATION OF THE SEMI-LAGRANGIAN METHOD FOR THREE-DIMENSIONAL ADVECTION EQUATION

A. Vyatkin, E. Kuchunova*

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation *E-mail: [email protected]

We present the algorithm from family of semi-Lagrangian methods for the advection problem. The algorithm is based on the integral balance equation for the cubic neighborhood of a grid node. The algorithm is of the first-order accuracy. Numerical experiments confirm the suitability of the proposed scheme.

Keywords: advection equation, semi-Lagrangian method, parallel algorithm, MPI, multiprocessor computer system.

В настоящее время существует большое число методов численного решения уравнения неразрывности. Первыми методами, имеющими строгое теоретическое обоснование, были конечно-разностные схемы [1-3]. С 1960-х годов начал активно развиваться другой подход [4; 5], вытекающий из метода характеристик. Суть его состоит в том, что вдоль характеристики уравнение неразрывности можно переписать в виде обыкновенного дифференциального уравнения. Это позволяет для ряда задач использовать большие шаги по времени и сократить время расчетов. В настоящее время рассмотренный подход называется полулагранжевым методом. Современные версии метода [6-7] основаны на балансовом интегральном соотношении при переходе с одного временного слоя на следующий слой:

tm

Jp(tm,x)dx = jp(tm_1,x)dx + J J f(t,x)dxdt +IQn.

П Q tm_1 Q (t)

Здесь Q - некоторая область на m-том слое по времени, Q - криволинейный куб на (m-^-ом слое по времени, боковые грани которого определяются характеристическими траекториями. Область Q(t) вырезана траекториями движения точек с верхнего слоя по времени на нижнем слое. Если множество Q расположено достаточно близко к границе втекания, то некоторые траектории достигают 3D .

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта № 16-41-243029.

Одним из важнейших направлений вычислительной аэродинамики является расчет обтекания тел газом. Наиболее точная физико-математическая модель, описывающая движение газа, основана на системе уравнений Навье-Стокса, состоящей из уравнений количества движения, внутренней энергии и уравнения неразрывности. В настоящей работе рассматривается численное решение трехмерного уравнения неразрывности:

+ р)=/(/,x), x eD сR3, tе[0,Т] .

Здесь р( x) - искомая функция плотности газа, U = (и (, x), V ( x), w ( x)) - заданный вектор скорости. Граница дD замкнутого множества D состоит из объединения трех частей: дD = Г1п и Гш4 и Г^ (Г1п- граница втекания, Гш4- граница вытекания и Гг1ём - граница с твердой стенкой). Полагаем, что искомая функция р(, x) известна в начальный момент времени на всем множестве

р(0, x ) = р1т4 () Vx е Dр( 0, x) = р1т4 () Vx е D

и в любой момент времени на границе втекания р((,x) = рт (x) V(t,x)е[0,Т]хГт.