CC BY
16Решетневскуе чтения. 2018
УДК 519.642.2
ПОЛУЛАГРАНЖЕВ МЕТОД ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
ДЛЯ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА*
А. В. Вяткин, Е. В. Кучунова1
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 1Б-ша11: HKuchunova@sfu-kras.ru
Представлен численный алгоритм решения уравнений Навье-Стокса, описывающий трехмерное течение вязкого теплопроводного газа. Дискретизация уравнений проводится комбинацией метода траекторий для субстанциональной производной и метода конечных элементов для остальных слагаемых.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, полулагранжевы методы, метод конечных элементов.
THE SEMI-LAGRANGIAN METHOD FOR THE NUMERICAL SOLUTION OF THE NAVIER-STOKES EQUATIONS OF VISCOUS HEAT-CONDUCTING GAS
A. Vyatkin, E. Kuchunova1
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation 1E-mail: HKuchunova@sfu-kras.ru
We present a numerical algorithm for solving the Navier-Stokes equations describing the three-dimensional flow of a viscous heat-conducting gas. The discretization of equations is carried out by a combination of the trajectory method for the substantial derivative and the finite element method for the remaining terms.
Keywords: Navier-Stokes equation, semi-Lagrangian method, the finite element method
Одним из важнейших направлений вычислительной аэродинамики является расчет обтекания тел газом. Наиболее точная физико-математическая модель, описывающая движение газа, основана на системе уравнений Навье-Стокса, состоящей из уравнений количества движения, внутренней энергии и уравнения неразрывности.
Численное решение уравнений Навье-Стокса в настоящее время все еще представляет большие трудности, что обусловлено нелинейностью исходных уравнений, наличием областей больших градиентов и другими особенностями, возникающими при определённых параметрах и режимах газодинамических течений. Как следствие, возникает необходимость создания специальных численных методов решения этих уравнений. Несмотря на то, что уже разработано много численных алгоритмов и специальных комплексов программ, проблема создания и применения эффективных численных методов и алгоритмов остаётся актуальной.
Выпишем дифференциальные уравнения двумерного вязкого теплопроводного газа в виде безразмерных уравнений неразрывности, количества движения и внутренней энергии [1]
d р ды dv dw —+ р— + р— + р— = 0, dt дх ду dz
du
дР дт хх дт
Р dt дх дх ду
dv dt
др+дт у
дь*
дz
дт „
ду дх ду дт,
dw = _аР + дт xz ~ + dt ду дх ду
д* д*
de (ди ду д^> | дя дя дqz
р— + РI —+— + — 1 = ——--- —— + Ф.
dt ^дх ду дz) дх ду дz Здесь d (•)/dt - субстанциональная, или полная, производная, т. е.
dр др др др — = — + и — + у—, dt д дх дУ
где р - плотность; и, у, ^ - проекции вектора скорости на оси х, у и z; Р = (у- 1)ре - давление;
ц = (у (у -1) М2е) - динамический коэффициент вязкости; е - внутренняя энергия.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта № 18-41-243006.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Компоненты тензора напряжений, проекции теплового потока и диссипативная функция выражаются следующим образом:
2 | ды dv dw Txx =-ш 2-----
3Re ^ дх ду dz
2 ( dv ды dw х =-ш 2-----
уу 3Re [ dy dx dz
2 ( dw du dv
х zz =-Ш 2-----
3Re ^ dz dx dy
Ш ( du dv
%xy =х yx = Re [ly+~dx
ш ( dv dw х =х =—I — + —
yz zy Re [dz dy
ш ( du dw
х z = х „ =— I — + —
xz ~ Re [ dz dx
4x =
у de —1—Ш—, PrRe dx
ф = ^(2 ( ) + 2 ( ) + 2 ) + (ух + иу ) +
+ {м!у + V; ) +( + К, ) - | (и, + Уу + К'; + и у ) ),
где Яе - число Рейнольдса, Рг - числя Прандтля, У = 1,4.
В работе для аппроксимации полной (субстанциональной или лагранжевой) производной по времени в каждом уравнении системы используется метод траекторий, который заключается в аппроксимации этой производной с помощью разностной производной назад по времени вдоль траектории движения частицы. Под названием метода характеристик, или полулагранжевого метода, он впервые был применен в [2] для уравнения переноса массы, а также в работах [3; 4].
Дискретизация по пространству остальных слагаемых уравнений Навье-Стокса на каждом временном слое проводится методом конечных элементов с кусочно-трилинейными базисными функциями и применением квадратурных формул [5]. Для решения систем алгебраических уравнений используется метод Якоби с улучшенным начальным приближением внутри внешних итераций по нелинейности. Как следует из тестовых расчетов [6], модификация уравнений Навье-Стокса обеспечивает повышение точности приближённого решения по сравнению с погрешностью для немодифицированных уравнений. Вместе с тем применение комбинации методов траекторий и конечных элементов позволяет построить алгоритм, довольно эффективный с вычислительной точки зрения.
Библиографические ссылки
1. Алоян А. Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере : курс лекций. М. : ИВМ РАН, 2002. 201 с.
Чу PrRe' dy
у de
у de —1—Ш—, PrRe dz
2. Pironneau O. On the Transport-Diffusion Algorithm and Its Applications to the Navier-Stokes Equations // Numerische Mathematik. 1982. Vol. 38. P. 309-332.
3. Douglas J., Russell T. Numerical methods for convection-dominated diffusion problems based on combining the method of caractreristics with finite element or finite difference procedures // SIAM J. Numer. Anal. 1982. Vol. 19. P. 871-885.
4. Магомедов К. М. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6, № 2. С. 313-325
5. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа в канале // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 4. C. 77-90.
6. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Применение метода тректорий и метода конечных элементов в моделировании движения вязкого теплопроводного газа // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. С. 275-281.
7. Shaydurov V., Shchepanovskaya G., Yakubo-vich M. A matematical model and a numerical algorithm for an asteroid-comet body in the earth's atmosphere // Lecture notes in computer science. 2017. Vol. 10187. P. 119-131. Doi: 10.1007/978-3-319-57099-0_11.
References
1. Aloyan A. E. [Dynamics and kinetics of gas impurities and aerosols in the atmosphere: A course of lectures] M. : IVM RAN, 2002. 201 p.
2. Pironneau O. On the Transport-Diffusion Algorithm and Its Applications to the Navier-Stokes Equations // Numerische Mathematik. 1982. Vol. 38. P. 309-332.
3. Douglas J., Russell T. Numerical methods for convection-dominated diffusion problems based on combining the method of caractreristics with finite element or finite difference procedures // SIAM J. Numer. Anal. 1982. Vol. 19. P. 871-885.
4. Magomedov K. M. Metod harakteristik dlja chislennogo reshenija prostranstvennyh techenij gaza // Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1966 T. 6, № 2. Р. 313-325.
5. Shaydurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich M. V. Chislennoe modelirovanie techenij vyazkogo teploprovodnogo gaza v kanale // Vychislitel'nye tekhnologii. 2013. T. 18, № 4. P. 77-90.
6. Shaydurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yaku-bovich M. V. Primenenie metoda trektorij i metoda konechnyh ehlementov v modelirovanii dvizheniya vyazkogo teploprovodnogo gaza // Vychislitel'nye metody i programmirovanie. 2011. T. 12. P. 275-281.
7. Shaydurov V., Shchepanovskaya G., Yakubovich M. A matematical model and a numerical algorithm for an asteroid-comet body in the earth's atmosphere // Lecture notes in computer science. 2017. Vol. 10187. P. 119-131. Doi: 10.1007/978-3-319-57099-0_11.
© Вяткин А. В., Кучунова Е. В., 2018
