Численное моделирование микрополярных тонких пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

References

1. Vasil'ev V. V., Barynin B. A., Razin A. F., Petrakovskiy S. A., Khalimanovich V. I. [Anizogrid composite mesh design - development and application of space technology] Composites and Nanostructures. 2009, no. 3, p. 38-50. (In Russ.)

2. Burnysheva T. V., Kaledin V. O. [Comparison of discrete and continual approach to calculation of a stressed state of network capsulate designs at a static loading] Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh 'ya, 2011, no. 4, 113-115 p.

3. Kaledin V. O., Kryukova Ya. S., Nagaytseva N. V., Ravkovskaya E. V. [Software system for algorithmization numerical solution of problems of continuum mechanics]

Izvestiya Altayskogo gosudarstvennogo universiteta.

2014, No. 1-1(81). Pp. 161-164. (In Russ.)

4. Burnysheva T. V., Shteynbrekher O. A., Ul'ya-nov A. D. [The use of computational experiment in the calculation of stress-strain state of the conical adapter] Kraevye zadachi i matematicheskoe modelirovanie. [Boundary value problems and mathematical model operation] Novokuznetsk. 2014, pp. 22-29. (In Russ.)

5. Kaledin V. O., Razin A. F., Burnysheva T. V., Shteynbrekher O. A. [Interpretation of these field tests of a capsulate composite design at a static axial compression] Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Factory laboratory. Diagnostics of materials]

2015. vol. 81, No. 3, pp. 53-58. (In Russ.)

© EypHbimeBa T. B., OTemSpexep O. A., 2016

УДК 539.37

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН

М. П. Варыгина*, И. В. Смолехо

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: vmp@icm.krasn.ru

Для исследования динамических процессов в микрополярных тонких пластинах, широко использующихся в аэрокосмической промышленности, разработан эффективный параллельный алгоритм для суперкомпьютеров с графическими ускорителями. Представлены результаты численного решения задачи Лэмба о действии мгновенной сосредоточенной нагрузки.

Ключевые слова: микрополярная теория упругости, динамика, тонкие пластины, параллельные вычисления, технология CUDA.

NUMERICAL MODELING OF MICROPOLAR THIN PLATES

M. P. Varygina*, I. V. Smolekho

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: vmp@icm.krasn.ru

To research dynamic processes in micropolar thin plates widely used in aerospace industry effective parallel algorithm for supercomputers with graphical processors is developed. Numerical results of Lamb problem on instant concentrated load are presented.

Keywords: micropolar elasticity theory, dynamics, thin plates, parallel computations, CUDA technology.

Пластины и оболочки повсеместно используются в аэрокосмической промышленности в качестве основных структурных элементов. Структура - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющий на их прочностные характеристики. Для учета внутренней микроструктуры материала применяются модели микрополярных сред.

В модели микрополярной среды (среды Коссера) кроме поступательного движения рассматриваются независимые малые повороты частиц, а наряду с тен-

зором напряжений а вводится несимметричный тензор моментных напряжений т [1]. Вопросы численной реализации моментной модели в плоском и пространственном случаях рассматриваются в работах [2; 3]. Данная работа посвящена численному моделированию микрополярных пластин.

Переход от трехмерных уравнений среды Коссера к двумерным уравнениям пластин основан на линейной по х3 аппроксимации скоростей и угловых скоростей [4]:

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

Ы хи х^ Хз) = Х3ФД д^ x2), Мx1, х2, х3) = Х3Ф2 (x1, x2), Уз( хи x2, xз) = Ж(Х1, x2), СО1 (Хl, Х2, Хз ) — (Хl, Х2 ), ®2(х1, Х2, Х3) = °2(х1, х2), СО3 (Х1, Х2, Х3 ) — 03 (Х1, Х2 ) + Х3 Х1, Х2 ),

где V и ю - векторы скорости и угловой скорости. После интегрирования системы уравнений среды Коссе-ра по толщине пластины 21, система уравнений для пластин записывается в терминах усредненных по толщине усилий и моментов:

Тп —< хзстн > Т9 —< хза9 > И, з =< и з > Nз, =<из, >, ,, ] — 1,2, ,Ф ],

Lu =< mu > L1} =< m1} > К,3 =< х3т,3 >,

h

К31 =< х3т31 >, < - >= J {■■¥х3-

Полную систему уравнений микрополярных пластин составляют уравнения движения и соотношения теории упругости:

-Ц"Р<Ф — Ту + Т2,,2 -N3,, 2ЙРЖ — N13,1 + N23,2, 2Й/Ц — ^ + 121а + (-1)J (NJЗ - N3j),

21уйз — ¿13,4 + ¿23,2 + N12 - N21, _~ У© — К13,1 + К23,2 + ^12 - Т21 - ¿33 ,

N — (-1)Ч1аПз,

NN,3 — 21((ц + а)Ж + (ц - а)ф + (-1)' • 2а0J),

NN,3 — 21((ц-а)Ж, + (ц + а)Ф, +(-1) ^аО,-), ■ 21з

Тй — — (Я.(Фи +Ф2,2) + 2цф.,.), 21з

— —ЦФц +Ф2,2), ■ 213

Т ——((ц ++ а)ФЛ+ (ц - а)Ф,J + (-1) • 2а©),

4— 2й(Р(0и +^2,2) + 2уЦ,Д 4з — 2А(Р(011 + 022 + ©) + 2 у©), Ц — 21((у + £)0 ^ + (у - е)П,. J), 4 — 21(у + е)Оз,, -¿з, — 21( У-s)0з,¡,

(1)

к,

2h3

(у + е)©,, КК3, = ^-(y-s)0,,

Л ^ = В> dU + 52 dU + QU

dt дх1 дх2

относительно вектор-функции U, содержащей компоненты скорости, угловой скорости, усилий и моментов. Матрицы коэффициентов системы Л, В1, В2 симметричны, матрица Q антисимметрична. Матрица Л положительно определена, и система уравнений (2) является гиперболической по Фридрихсу.

Алгоритм численного решения задачи основан на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным и времени. Процедура расщепления состоит из пяти этапов. На первом этапе решается одномерная задача в направлении xi на половинном интервале времени с помощью явной монотонной разностной схемы Годунова типа «предиктор-корректор». На втором этапе аналогично решается одномерная задача в направлении х2. На третьем этапе к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяется разностная схема Кранка-Николсона с полным шагом по времени. Четвертый и пятый этапы - этапы пересчета задачи в направлениях х2 и х1 соответственно. Рассматриваемый метод двуцикличе-ского расщепления обеспечивает устойчивость численного решения при выполнении условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви. Алгоритм реализован по технологии CUDA для суперкомпьютеров с графическими ускорителями.

На рисунке представлены результаты численного решения задачи Лэмба. В центре верхней грани действует мгновенная сосредоточенная нагрузка момент-ного напряжения M12. Остальные грани являются неотражающими. На рисунке показаны линии уровня угловой скорости Q1 и усредненного по толщине пластины моментного напряжения L11. На линиях уровня видны характерные для задачи Лэмба продольные и поперечные волны. Размерность сетки составила 1000*500 ячеек. Численные расчеты проводились на графической видеокарте NVIDIA Tesla C2050.

3 3

где нижний индекс после запятой обозначает соответствующую частную производную; р - плотность среды; J - постоянная, характеризующая инерцию частицы; X, ц, а, Р, у, £ - феноменологические параметры упругости.

Систему уравнений (1) можно записать в векторном виде

Задача Лэмба: линии уровня угловой скорости (a) и моментного напряжения L11 (б)

Тешетневс^ие чтения. 2016

Библиографические ссылки

1. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B. 2011. V. 2. No. 2-3. P. 215-230.

3. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах / М. П. Варыгина [и др.] // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 2 (23). С. 104-108.

4. Саркисян С. О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. 2011. Том. 57, № 4. С. 461-469.

References

1. Palmov V. A. General equations of nonsymmetric elasticity theory // Applied mathematics and mechanics. 1964. Vol. 28. No. 3. P. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B. 2011. Vol. 2. No. 2-3. P. 215-230.

3. Varygina M. P., Kireev I. V., Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Software for the analysis of wave motions in moment media on multiprocessor computer systems // Vestnik SibGAU. 2009. Vol. 2 (23). P. 104-108.

4. Sargsyan S. O. General theory of micropolar elastic thin plates with independent rotation and particular properties of theirs free oscillations // Acoustic journal. 2011. Vol. 57. No. 4. P. 461-469.

© Bapbiram M. n., CMO^XO H. B., 2016

УДК 519.642.2

ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЛАГРАНЖЕВОГО МЕТОДА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ

А. В. Вяткин1, Е. В. Кучунова2*

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44

2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: HKuchunova@sfu-kras.ru

Представлен численный алгоритм решения трехмерного уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности входит в систему уравнений Навье-Стокса, описывающую движение вязкой несжимаемой жидкости и применяемую в расчетах обтекания тел. Представляемый метод основан на точном тождестве двух пространственных интегралов, области интегрирования которых лежат на соседних слоях по времени. Представленный алгоритм имеет первый порядок сходимости, что подтверждают результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: уравнение неразрывности, полулагранжевые методы, численное моделирование, интегральное преобразование.

A SEMI-LAGRANGIAN METHOD FOR THE NUMERIAL SOLUTION OF THE THREE-DIMENSIONAL ADVECTION PROBLEM

A. V. Vyatkin1, E. V. Kuchunova2*

institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation 2Siberian Federal University 79, Svobodnyi Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: HKuchunova@sfu-kras.ru

We present an algorithm of the family of semi-Lagrangian method for the numerical solution of three-dimensional advection problem. The algorithm is based on the integral balance equation for the cubic neighborhood of a grid node. The algorithm is offirst-order accuracy. Numerical experiments confirm the suitability of the proposed scheme.

Keywords: advection equation, Semi-Lagrangian method, integral transformation, local conservation.