Паракэлеровы и параэрмитовы структуры на шестимерных неразрешимых алгебрах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Паракэлеровы и параэрмитовы структуры на шестимерных неразрешимых алгебрах Ли

Н.К. Смоленцев, А.Ю. Соколова

Кемеровский государственный университет (Кемерово, Россия)

Para-Kahler and Para-Hermitian Structures on Six-Dimensional Unsolvable Lie Algebras

N.K. Smolentsev, A.Yu. Sokolova Kemerovo State University (Kemerovo, Russia)

В представленной работе исследован вопрос о существовании паракэлеровых и параэрмитовых структур на шестимерных неразрешимых алгебрах Ли, являющихся полупрямыми произведениями. В соответствии с классификационными результатами существует четыре алгебры Ли, которые являются полупрямыми произведениями алгебр Ли so(3), sl(2, R) и трех разрешимых алгебр Ли A31=R3, A33 и A35. В работе показано, что только на A Ksl(2, R) существует симплектическая структура и она допускает паракэлерову структуру нулевой кривизны Риччи. Представлен способ для нахождения других паракэлеровых структур, основанный на деформациях некоторой начальной паракэ-леровой структуры. Вычислены характеристики кривизны. Другие алгебры Ли допускают параэрмитовы структуры, т.е. интегрируемые параком-плексные структуры, согласованные с естественной невырожденной 2-формой. Из результатов работы следует, что шестимерная симплектиче-ская алгебра Ли g должна быть разрешимой за исключением одного случая, когда g=A35Ksl(2, R), что дополняет известный результат Chu Bon-Yao о том, что четырехмерная симплектическая алгебра Ли должна быть разрешимой.

Ключевые слова: шестимерные неразрешимые группы Ли, паракомплексные структуры, симплектические алгебры Ли.

DOI: 10.14258/izvasu(2023)4-15

In this paper, we investigate into the matter of the existence of para-Kahlerian and para-Hermitian structures on six-dimensional unsolvable Lie algebras that are semidirect products. According to the classification results, there are four Lie algebras that are semidirect products of the Lie algebras so(3), sl(2, R) and three soluble Lie algebras A3 t=R3, A3 3 and A3 5. We show that only g=A3 5Ksl(2, R) has a symplectic structure, and it admits a para-Kahlerian structure of zero Ricci curvature. The paper presents calculated curvature characteristics and the method to find other para-Kahler structures based on deformations of some initial para-Kahler structure. Other Lie algebras admit para-Hermitian structures, i.e. integrable paracomplex structures consistent with the natural non-degenerate 2-form. It follows from the results of the paper that the sixdimensional symplectic Lie algebra must be solvable except for one case when g=A3 5Ksl(2, R). It complements the well-known result of Chu Bon-Yao that a four-dimensional symplectic Lie algebra must be solvable.

Keywords: six-dimensional unsolvable Lie groups, para-complex structures, symplectic Lie algebras.

Введение

Геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях являются классическими объектами изучения. Наиболее известными и изученными являются римановы, комплексные и симплектические структуры, которые широко используются в математике, механике и физике [1]. В последнее время наблюдается значительный интерес к паракомплекс-

ным структурам, согласованным с симплектически-ми [2]. Такие структуры называются паракэлеровы-ми. Наиболее полное исследование можно получить в случае левоинвариантных структур на группах Ли [2, 3, 4]. Это позволяет все вычисления производить на алгебре Ли группы Ли. В настоящее время вопрос о симплектических и паракэле-ровых структурах на группах Ли до конца не исс-

следован, даже в шестимерном случае. В работе Chu [3] доказано, что не существует симплектиче-ских структур на полу простых группах Ли, а сим-плектическая четырехмерная группа Ли обязана быть разрешимой. В шестимерном случае сим-плектические структуры могут существовать и на неразрешимых группах Ли, приведен пример такого случая. В работе [5] проведено исследование симплектических структур на шестимерных разрешимых алгебрах Ли. В данной работе мы исследуем вопрос о существовании симплектических и паракомплексных структур на шестимерных неразрешимых группах Ли. Как известно, алгебра Ли 0 имеет разложение Леви — Мальцева 0 = N Ф S в виде прямой суммы радикала N и полупростой подалгебры S. В работе [3] показано, если алгебра Ли 0 симплектической группы Ли G имеет разложение Леви в виде прямого произведения 0 = N х S, тогда на G не существует левоинвариантных симплектических структур. Поэтому мы будем рассматривать неразрешимые шестимерные алгебры Ли, для которых разложение Леви является полупрямым произведением 0 = N к S. Мы будем использовать классификацию таких групп, приведенную в работах [6] и [7]. Из результатов нашей работы следует, что шестимерная симплектическая алгебра Ли 0 должна быть разрешимой за исключением одного случая, когда 0 = А3.5 к s/(2,R).

1. Предварительные сведения

Напомним основные понятия, используемые в работе. Более подробные сведения можно найти в [1] и [2]. Многообразие M называется симплек-тическим, если на нем задана замкнутая невырожденная кососимметричная 2-форма ui. Рима-нова структура на M определяется заданием скалярного произведения g(х) в каждом касательном пространстве /, .1/. х G M. Почти пара-комплексной структурой на 2??-мерном многообразии M называется поле J эндоморфизмов касательного расслоения ТМ, таких, что J2 = Id, причем ранги собственных распределений T ±M = ker(Id =F J) равны. Почти паракоплексная структура J называется интегрируемой, если кручение Нейенхейса

NJ (X,Y ) = [X,Y ] + [JX,JY ]- J [JX,Y ]- J [X,JY ]

обращается в нуль для всех векторных полей X, Y на М. Почти параэрмитовой структурой на 2??-мерном многообразии M называется пара (g, J), которая состоит из псевдоримановой метрики g и почти паракомплексной структуры J, которые удовлетворяют свойству согласованности g(JX, JY) = —g(X,Y). Если почти паракомплекс-ная структура J интегрируема и фундаментальная 2-форма uj(X,Y) = g(X,JY) является симплектической, то (g,J,u>) называется паракэлеро-вой структурой.

Таким образом, для нахождения левоинвари-антной паракэлеровой структуры (<?,./, со) на группе Ли нужно решить следующую систему уравнений, в которых д, 3 и со представлены матрицами в некотором базисе алгебры Ли, а символами ССк обозначены структурные константы алгебры Ли, где = 1,..., 2п: 1. Условие замкнутости формы со,

Шsk Cij + ШsiCjk + Шsj Cki

0.

2. Условие согласованности ш^Х, JY) =

-и>{Х,У), =

3. Условие .Р = Ы, = 5).

4. Условие интегрируемости паракомплексной структуры J,

т1 тт/^к тк т1 ^т тк ^к _ ^

Ji С1т - — Ji С1] ит - = 0

2. Шестимерные неразрешимые алгебры Ли

Пусть Азл, А3.3, Аз.5 — трехмерные разрешимые алгебры Ли с базисом {е\, е2, ез} и со следующими ненулевыми скобками Ли:

Аз

R3

Аз.з : [е2,ез] = еь

А3.5 : [еье2] = е2, [еь ез] = ез.

Пусть во( 3) — алгебра Ли группы ортогональных матриц и в/(2, К) — алгебра Ли матриц порядка 2 с нулевым следом. На данных алгебрах Ли выберем обычный базис {е4, ее}. Как известно [6], [7], существует четыре шестимерных неразрешимых алгебры Ли, которые являются полупрямыми произведениями трехмерных алгебр Ли. Они определяются следующими скобками Ли:

1. Аз.5 К sl(2, К) : [еье2] = е2, [еь ез] = ез, [е4,е5] = 2е5, [е4, еб] = -2еб, [е5,еб] =

е4, [е2,е4] = е2, [е2,е5] = ез, [ез,е4] =

-ез, [ез, е6] = е2.

2. А3.1 к зо(3) : [е4,е5] = е6,[е4,е6] = -е5, [е5,еб] = е4, [е4, е2] = ез, [е5,е1] =

-ез, [еб, е1] = е2, [е4, ез] = -е2, [е5,ез] =

еь [ее, е2] = -еь

3. А3.1 к в/(2,М) : [е4,е5] = 2е5,[е4,е6] = -2еб, [е5,еб] = е4, [е4, е1] = 2е1, [е5,е2] = 2е1, [еб,е1] = е2, [е4, ез] = -2ез, [е5,ез] =

62, [ее, е2] = 2е3.

4. Аз.з К ,?1(2, К) : [е2,ез] = е1, [е4, е5] =

2е5, [е4,еб] = -2еб, [е5,еб] = е4, [е4,е1] = еь [е5, е2] = еь [е6, ег] = е2, [е4, е2] = -е2.

Теорема. Из алгебр А3.5 к в/(2,М), А3.1 к во(3), А3.1 к в/(2,М) и А3.3 х в/(2,М) только одна А3 5 к в/(2,М) умеет, симплектическую структуру. Алгебра Ли А3.5 к в/(2,М) допускает также паракэлерову структуру. Алгебры Ли А3.1 к

во(3), Аз.1 к в/(2,М) и А3.3 к в 1(2, Ж) не допускают симплектических структур, однако на них существуют многопараметрические семейства параэрмитовых структур.

Доказательство. Рассмотрим алгебру Ли ^4-3.5 х в/(2,К). Пусть е1,...,^3 — дуальный базис. Для нахождения симплектической структуры ш на Аз.5 к в1(2, М) рассмотрим общую 2-форму со = ицё1 Г\ёз и решим указанное выше условие замкнутости:

(dш)ijk = Шsk С£; + ШsiCjk + С^ = 0.

Данная система уравнений легко решается. Например, (д,ш)12б = фс^С^ + ш^С^ =

^26^12 = ш2в = 0. Решая эту систему уравнений, легко находим следующий общий вид замкнутой 2-формы:

(

\

0 Ш12 Ш13 0 0 0

— Ш12 0 0 Ш12 Ш13 0

— Ш13 0 0 — Ш13 0 Ш12

0 — Ш12 Ш13 0 ш45 ш46

0 — Ш13 0 — ш45 0 ш56

0 0 — Ш12 — ш46 — ш56 0

/

Полученная замкнутая форма является симплектической структурой при условии невырожденности: det(w) ф^ 0. Этому семейству принадлежит симплектическая структура

ш0 = е1 А е2 + е2 А е4 + е3 А еб - е4 А е5, (1)

найденная в работе Chu [3] при доказательстве того, что в шестимерном случае симплектическая группа Ли не обязана быть разрешимой.

Отметим, что для всех остальных случаев групп Ли выполнение условия замкнутости 2-формы приводит к вырожденной 2-форме.

Для нахождения паракэлеровых структур на алгебре Ли Аз.5 к sl(2, M) мы должны найти интегрируемую паракомплексную структуру J, согласованную с формой ш: co(JX, JY) = —ui(X,Y). Будем рассматривать указанную выше симплек-тическую форму шо. Как известно, если J — интегрируемая паракомплексная структура на алгебре Ли fl, то fl представляется в виде прямой суммы собственных ±1-подпространств: g = 0-1 Ф 0+1, причем каждое из них является подалгеброй в 0. Легко видеть, что для алгебры Ли A3.5 к sl(2, M) векторы {eg, ез, es} и {ei, ее} порождают подалгебры. Поэтому возьмем паракомплексную структуру на .A3.5 к si (2, M ) в виде диагональной матрицы Jo = diagjl, — 1, — 1,1, — 1,1}. Легко видеть, что она согласована с формой и>0- Тогда соответствующая метрика g о имеет следующий вид: go = -2e1 • е2 + 2е2 • е4 + 2е3 • е6 + 2е4 • е5. Мы получили паракэлерову структуру (шо, Je1, до) на А3.5 к s/(2,R).

Для остальных алгебр Ли А3.1 к во(3), А3.1 к в 1(2, М) и А3.3 к в 1(2, М) не существует симплектических структур. Поэтому для них мы выберем невырожденную (но не замкнутую) 2-форму

По

е1 А е4 + е2 А е5 + е3 А е6.

Легко видеть, что паракомплексная структура Jo = diag{—1, —1,—1,1,1,1} является интегрируемой и согласованной с fin. Поэтому (По, Jo,go = По • Jo) является параэрмитовой структурой. Теорема доказана.

Вывод. По теореме Леви — Мальцева для произвольной алгебры Ли g с радикалом N существует полупростая подалгебра S, такая, что 0 раскладывается в прямую сумму fl = N Ф S. Поэтому алгебры Ли делятся на 3 категории: полупростые, разрешимые и прямые суммы полупростой и разрешимой алгебр Ли. В работе [3] показано, что в случае прямого произведения g = N х S на fl не существует симплектической структуры. Остается одна возможность, когда алгебра Ли g является полупрямым произведением g = N к S. Поэтому из теоремы следует, что шестимерная симплектическая алгебра Ли 0 должна быть разрешимой за исключением одного случая, когда 0 = A3.5 к si(2, M) и состоит из матриц «а а,2 а3 \

0 04 а5 . Отметим, что четырехмерная 0 вб —a4 J симплектическая алгебра Ли всегда должна быть разрешимой [3].

Обратимся снова к алгебре Ли А3 5 к sl(2, R) с симплектической формой шо и найдем на ней паракэлеровы структуры J, отличные от Jo. Применим способ, предложенный в работе [8], который позволяет найти J, удовлетворяющую условию согласованности шо(JX,JY) = — и>о(Х, Y) и условию J2 = Id.

Предположим, что известна некоторая пара-комплексная структура Jo, которую будем называть начальной. Тогда соответствующая начальная псевдориманова метрика имеет вид go(X,Y) = uj0(X, JoY). Почти паракомплексная структура J, согласованная с соо, находится по формуле [8]:

J = Jo(1 + P )(1 — P )-1 = (1 — P ) Jo(1 — P )-1,

где P — оператор, обладающий свойствами: 1. P антикоммутирует с J> P^Joj + JL-Pf = 02. P симметричен относительно метрики go'-gosjPf — goisPj = 0.

Выберем начальную паракомплексную структуру на A3.5 к sl(2, M) в виде диагональной матрицы Jo = diagjl, —1, —1,1, —1,1}. Легко видеть, что она согласована с формой шо. Мы имеем (начальную) паракэлерову структуру (ш0, Jo,go)-

ш =

Удобно выбрать новый базис на Аз. 5 к в 1(2, М): Е1 = —е2, Е2 = ез, Е3 = 65,

Е4 = е1, Е5 = еб, Еб = е1 + е4.

Тогда форма сип принимает вид сип = Е1 А Е4 + Е2 А Е5 + Е3 А Е6, а оператор 30 параком-плексной задается диагональной матрицей вида За = с11а^{ — 1, —1,-1,1,1,1}. Метрический тензор принимает вид д0 = 2Е1 ■ Е4 + 2Е2 ■ Е5 + 2Е3 ■ Е6. В этом случае оператор Р имеет блочный вид:

Тензор Риччи Rie и скалярная кривизна S метрики g j:

Ric =

( 32(p3)2 0 16(p4)2 8p4 0 0 \

0 0 0 0 8p4 0

I6(p3)2 0 8(р4)2 0 -2 8p4

8p4 0 0 0 0 0

0 8p4 -2 0 0 0

0 0 8p4 0 0 0 /

P

0 0 0 pi4 p5 p6

0 0 0 p5 2 pi

0 0 0 p6 2 pi pi

4 Pi 4 p42 4 p44 0 0 0

4 p2 p4 0 0 0

p44 p4 p4 0 0 0 )

S = 16pl

Исследуем вопрос об интегрируемости почти паракомплексной структуры J = (1 — Р )J0(1 — Р)~г. В общем случае такая почти параком-плексная структура имеет слишком сложный вид вследствие трудностей с вычислением обратной матрицы оператора 1 — Р. Однако можно рассмотреть частные случаи, когда часть параметров обращается в нуль. Рассмотрим в качестве примера

Р

обращается в нуль. В этом случае почти параком-плексная структура имеет вид:

J

-1 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0

2p4i 2p42 2p44 1 0 0

2p42 2p2 2p4 0 1 0

2p44 2p4 2pi4 0 0 1

Решая

т1 jmf~ik Ji Jj Clm

условие интегрируемости Nk

Jmcl Jk _ Tl cm Jk _ Ck

Jj CimJl Ji clj Jm cij

3, получаем

паракомплексной структуры решения:

Р2=Рз=Р2=Рз =

= 0

три

2. р4 = -2pi, p4 = -2(р4)2, р\

-((р|)2+р!)/(2р|).

3. р4 = 2р4, р4 = 0, р1 = 0, р1 = 0. 4 := Рз/2.

Для каждого решения легко вычислить тензор кривизны и тензор Риччи. Например, для третьего решения мы имеем паракомплексную структуру и ассоциированную метрику gJ (Х^) = с^о(Х, ЗУ) в виде:

g J =

( 4p4 0 2p4 1 0 0

0 0 0 0 1 0

2p4 0 4 p4 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

Для остальных алгебр Ли А3.1 к so(3), А3.1 к sl(2,R) и А3.3 к sl(2, R) для невьфожденной 2-формы Q0 = е1 А е4 + е2 А е5 + е3 А ев и начальной интегрируемой паракомплексная структуры Jo = diag{ —1, — 1, — 1,1,1,1} совершенно аналогично по формуле J = J0(l + P)(l — Р)^1 = (1 — Р)30(1 — Р)~г можно найти другие интегрируемые паракомплексные структуры, согласованные с Пп? и вычислить их характеристики кривизны.

Заключение

В работе исследован вопрос о существовании паракэлеровых и параэрмитовых структур на шестимерных неразрешимых алгебрах Ли, являющихся полупрямыми произведениями. Существует четыре таких алгебры Ли: А3.5 к si(2, R), А3.1 к so(3), А3.1 к sl(2, R) и А3.3 к sl(2, R). В работе показано, что только на 0 = A3.5 к si(2, R) существует симплектическая структура, найден ее общий вид. Показано, что 0 = А3.5 к sl(2,R) допускает па-ракэлерову структуру нулевой кривизны Риччи. Найдены другие паракэлеровы структуры в виде 3 = (1 - Р)i0(l - где (w0, J0, до) ~ некото-

рая начальная паракэлерова структура, Р — симметричный оператор, антикоммутирующий с Jo-В этом случае вычислены характеристики кривизны. Показано, что другие алгебры Ли допускают параэрмитовы структуры, т. е. интегрируемые паракомплексные структуры, согласованные с естественной невырожденной 2-формой = е1 А е4 + е2 А е5 + е3 А ев. Из результатов работы следует, что шестимерная симплектическая алгебра Ли должна быть разрешимой за исключением одного случая, когда алгебра Ли состоит из матриц

a\ а2 аз вида | 0 а4 а5 0 аб —а4

список

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Москва. 1998.

2. Алексеевский Д.В., Медори К., Томасси-ни А. Однородные паракэлеровы многообразия Эйнштейна // Успехи математических паук. 1998.

3. Chu Bon-Yao. Symplectic homogeneous spaces. // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 197.

4. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups. //' Diff. Geom. Appl. 2004. Vol. 21. № 1.

5. Campoamor-Stursberg R. Symplectic forms

on six dimensional real solvable Lie algebras I // Algebra Colloquium. 2009. Vol. 16. № 2.

6. Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the classification

Appl. Math. 2001. Vol. 69.

7. Turkowski P. algebras // J. Math.

Low-dimensional real Lie îys. 1988. Vol. 29.

8. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Тематические обзоры. ВИНИТИ РАН. Серия: «Современная математика и ее приложения». 2003. Т. 31.