CC BY
8
2022
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 78
Научная статья
УДК 514.76 MSC: 53Ш5, 53D10, 53C25, 53C50
doi: 10.17223/19988621/78/3
Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли
Николай Константинович Смоленцев
Кемеровскиий государственный университет, Кемерово, Россия, [email protected]
Аннотация. Рассматриваются левоинвариантные пара-комплексные структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли. Получен полный перечень шестимерных нильпотентных групп Ли, которые допускают пара-кэлеровы структуры, найдены явные выражения пара-комплексных структур и исследованы свойства кривизны ассоциированных пара-кэлеровых метрик. Показано, что паракомплексные структуры являются нильпотентными, а соответствующие пара-кэлеровы метрики являются Риччи-плоскими.
Ключевые слова: шестимерные нильпотентные группы Ли, симплектические группы Ли, пара-комплексные структуры, левоинвариантные паракэлеровы структуры
Для цитирования: Смоленцев Н.К. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 78. С. 38-48. doi: 10.17223/19988621/78/3
Original article
Left-invariant para-Kâhler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups
Nikolay K. Smolentsev
Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation, [email protected]
Abstract. As is known, nilpotent Lie groups, except for the Abelian case, do not admit left-invariant positive definite Kahler metrics. However, pseudo-Kahler structures can exist. In the six-dimensional case, it is known that 13 classes of noncommutative nilpotent Lie groups admit pseudo-Kahler structures. Recently, para-complex and para-Kahler structures are of great interest. Therefore, the question of invariant para-Kahler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups is natural. Since a left-invariant tensor is determined by its value on the Lie algebra g, a left-invariant para-Kahler structure on a Lie group is a triple (œ, J, g) consisting of a symplectic form œ, an integrable almost para-complex structure J, and a pseudo-Riemannian metric g on the Lie algebra g. In this case, the consistency conditions are satisfied: œ(JX, JY) = -œ(X, Y) and g(X, Y) = œ(X, JY). Note also that g(JX, JY) = -g(X, Y). The integrability condition for J at the level of Lie
© H.K. CMoneHqeB, 2022
algebras has the form: Nj(X, Y) = [X, Y] + [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] = 0 for any X, Y e g. It follows from the integrability condition for J that the ±1-eigensubspaces g+ and g-of the operator J are subalgebras. Then the para-Kahler Lie algebra g can be represented as the direct sum of two isotropic subalgebras: g = g+ © g-.
In this paper, we consider para-Kahler structures on six-dimensional nilpotent Lie algebras. A complete list of 15 classes of non-commutative six-dimensional nilpotent Lie algebras that admit para-Kahler structures is obtained. Explicit expressions for the para-complex structures J are found, and the curvature properties of the associated para-Kahler metrics are investigated. It is shown that para-complex structures are nilpotent, and the corresponding para-Kahler metrics are Ricci-flat.
Keywords: six-dimensional nilpotent Lie groups, symplectic Lie groups, para-complex structures, left-invariant para-Kahler structures
For citation: Smolentsev, N.K. (2022) Left-invariant para-Kahler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 78. pp. 38-48. doi: 10.17223/19988621/78/3
Введение
Как известно [1], нильпотентные группы Ли, за исключением абелевого случая, не допускают левоинвариантных положительно определенных кэлеровых метрик. Однако псевдокэлеровы структуры могут существовать. В работе [2] получен полный список из 13 классов некоммутативных шестимерных нильпотент-ных групп Ли, допускающих псевдокэлеровы структуры. В работе [3] проведено более полное исследование указанных выше классов шестимерных псевдокэле-ровых нильпотентных групп Ли. В последнее время большой интерес вызывают пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры. Поэтому естественным является вопрос об инвариантных пара-кэлеровых структурах на шестимерных нильпо-тентных группах Ли. В данной статье будет показано, что 15 классов некоммутативных шестимерных нильпотентных групп Ли допускают пара-кэлеровы структуры.
Напомним основные понятия и факты, которые будут использованы в работе. Почти пара-комплексной структурой на 2^мерном многообразии M называется поле J эндоморфизмов J: TM ^ TM, такое, что J2 = Id, причем ранги собственных распределений T±M := ker(Id + J) равны. Почти пара-комплексная структура J называется интегрируемой, если распределения T±M инволютивны. В этом случае J называется пара-комплексной структурой. Тензор Нийенхейса N почти пара-комплексной структуры J определяется равенством NJX, Y ) = [X, Y] + + [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] для любых векторных полей X, Y на M. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда NJ = 0.
Пара-кэлерово многообразие можно определить как симплектическое многообразие (M, ю) с согласованной пара-комплексной структурой J, т.е. такой, что ra(JX, JY) = -ra(X, Y). В этом случае на M определена метрика g(X, Y) = ra(X, JY), которая является псевдоримановой нейтральной сигнатуры. Отметим, что g(JX, JY) = -g(X, Y). В работе [4] представлен обзор теории пара-комплексных структур и рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на однородных пространствах.
Отметим, что термин «пара-кэлерово» многообразие употребляется также в другом смысле. А. Грей в работе [5] заметил, что замечательные геометрические и топологические свойства кэлеровых многообразий в большой степени объясняются тем, что тензор кривизны Я удовлетворяет специальному тождеству Кэ-лера: g(Я(X, У)1, IV) = g(Я(X, У)31,3Ж) для любых векторных полей X, У, 1, Ж, где 3 - тензор комплексной структуры, согласованный с римановой метрикой g. Однако класс многообразий, обладающих указанным свойством, несколько шире. В работе Рицы [6] 1974 г. почти эрмитовы многообразия, удовлетворяющие тождеству Кэлера, названы паракэлеровыми многообразиями. Имеется множество работ, посвященных изучению таких паракэлеровых многообразий (см. напр.; [7, 8]), где можно найти также ссылки на классические и более современные публикации.
В данной работе паракэлеровы многообразия рассматриваются с точки зрения паракомплексной геометрии, которая была введена Либерманом [9] в 1952 г. по аналогии с комплексной геометрией. Более подробно о такой паракэлеровой геометрии см. в обзоре [4]. Отметим для сравнения, что такие пара-кэлеровы многообразия удовлетворяют следующему тождеству: g(Я(X, У)1, Ж) = -д(Я(Х, У)31,3Ж), где 3 - тензор пара-комплексной структуры, согласованный с псевдо-римановой метрикой g [4].
Мы будем рассматривать левоинвариантные (почти) пара-комплексные структуры на группе Ли О, которые задаются левоинвариантным полем эндоморфизмов 3: ТО ^ ТО касательного расслоения ТО. Поскольку такой тензор 3 определяется линейным оператором на алгебре Ли g = ТеО, то мы будем говорить, что 3 - это инвариантная почти пара-комплексная структура на алгебре Ли g. В этом случае условие интегрируемости 3 также формулируется на уровне алгебры Ли: ЩХ, У ) = [X, У ] + [3Х, 3Т ] - 3[3Х, У ] - 3[Х, 3Т ] = 0, для любых X, Те g. Из условия интегрируемости 3 следует, что собственные подпространства g+ и §-оператора 3 являются подалгебрами. Поэтому пара-комплексная алгебра Ли g
может быть представлена в виде прямой суммы двух подалгебр:
g = g+ © g-.
Если на алгебре Ли g задана пара-комплексная структура 3, то для элемента 1 центра 2(§) вектор 31 может не быть центральным, но из условия интегрируемости сразу следует, что ай31 коммутирует с 3:
[31, 3Х] = 3[31, X], аёл ■3 = 3 ■ аёл.
Левоинвариантная симплектическая структура ю на группе Ли О задается 2-формой максимального ранга на алгебре Ли g. Замкнутость формы ю эквивалентна условию оККТ], 1) - ю(К 1], У) + ю([У, 1], X) = 0, VX, У, 1 е g. В этом случае алгебру Ли g будем называть симплектической.
Напомним, что подпространство Ж с g называется ю-изотропным если и только если ю(Ж, Ж) = 0, и Ж называется ю-лагранжевым, если оно ю-изотропно и из ю(Ж, и) = 0 следует, что и Е Ж. Подпространства и, V с Ж симплектического пространства (Ж, ю) будем называть ю-дуальными, если для любого вектора и Е и существует вектор V Е V такой, что ю(и, V) Ф 0, и наоборот, Уу Е V, Зи Е и, ю(и, у) Ф 0.
Левоинвариантная пара-кэлерова структура на группе Ли задается парой (ю, 3), состоящей из симплектической формы ю на § и согласованной с ю пара-комплексной структуры 3 на §, т.е. такой, что ю(3У, 3У) = -ю^, У). Согласованная пара (ю, 3) определяет на § пара-кэлерову псевдориманову метрику g(X, У) = ю^, 3У).
При этом подалгебры й+ и й- являются изотропными для метрики g и ю-лагран-жевыми.
Нижний центральный ряд алгебры Ли й есть убывающая последовательность идеалов С°й, С^, ..., определенная индуктивно: C0g = g, Смй = [g, Скй]. Алгебра Ли g называется нильпотентной, если Скй = 0 для некоторого к. Для нильпотент-ной алгебры Ли определена также возрастающая центральная последовательность идеалов {йк}, go = {0} с gl с g2 с ... с §-1 с § = § где идеалы gk определены индуктивно по правилу
gk = {X е g | [X, g] с gk-l}, к > 1. В частности, g1 = Z(g) - это центр алгебры Ли. Кроме того, первый производный идеал С^ входит в идеал §5-1.
Для заданной почти пара-комплексной структуры / определенные выше идеалы {й^}, вообще говоря, не являются ./-инвариантными. Можно определить возрастающую последовательность /-инвариантных идеалов ак/) следующим образом: ао(3) = {0}, а/ = {X е g | [X, й] с а^х(/) и [/X, й с ак-1(/)}, к > 1.
Ясно, что ак(3) с gk для к > 1. Очевидно, что идеал а1 (/) лежит в центре Z(g) = й1 алгебры Ли й.
Определение 1. Левоинвариантная почти пара-комплексная структура / называется нильпотентной, если для последовательности идеалов {ак(/)} существует номер р такой, что ар(/) = й.
Пусть V - связность Леви-Чивита, соответствующая псевдоримановой метрике g. Она определяется из шестичленной формулы [10], которая для левоинвари-антных векторных полей X, У, 2 на группе Ли принимает вид:
2g(VxY,Z) = g([X, У],2 + g([Z,X|, У) + g([Z, У]^. Напомним, что тензор кривизны К^, У) определяются формулой
Я^, У) = [V* Vy ] - V[X,У ], а тензор Риччи Я1с - это свертка тенора кривизны по первому нижнему и верхнему индексам, Шс]к = Щк. Метрика g называется Риччи-плоской, если Я1с = 0.
1 Левоинвариантные симплектические и пара-кэлеровы структуры
на алгебрах Ли
Пусть й - алгебра Ли, на которой заданы симплектическая форма ю, почти пара-комплексная структура /, согласованная с ю, и псевдориманова метрика g(X, У) = ю^, /У). Приведем несколько простых фактов относительно первого производного идеала С1(й), центра Z(g) алгебры Ли й и идеалов {йк} и {ак(/)}.
Предложение 1. Для любой симплектической формы ю на й выполняется равенство ю(С1(й), Z(g)) = 0.
Доказательство. Сразу следует из формулы ёю^, У, 2) = ю([^, У], 2) -- ю([Т, 2], У) + ю([У, 2], X) = ю(К У], 2) = 0, У, 2 е й.
Предложение 2. Для любой симплектической формы ю на й и согласованной с ней почти пара-комплексной структуры / выполняется равенство
ю(С1й 0 /(С1й), а/ = 0.
Доказательство. Поскольку а1(/) лежит в центре Z(g), то ю(С:(й), а1(/)) = 0. Равенство ю(/(С1й), а1(/)) = 0 следует из /-инвариантности а1(/) и формулы ю(М, /У) = -ю(Т, У).
Следствие 1. Для любой почти пара-кэлеровой структуры (§, т, g, 3) идеал а1(3) с §1 ортогонален подпространству С^ ф 3(С^): g(C1g ф 3(С1§), а1(3)) = 0.
Предложение 3. Для любой нильпотентной почти пара-кэлеровой структуры 3 идеал ар-1(3) содержит С1§ ф 3(С1§).
Доказательство. Поскольку = {X Е § | [X, §] £ ар-1(3) и [3X, §] £ ар-1(3)} = §, то С1§ с арч(3). Поэтому 3(С1§) с 3(арч(3)) = арч(3).
Предложение 4. Для любой левоинвариантной (псевдо)римановой структуры g на алгебре Ли § имеют место следующие свойства:
1. Если вектор Xлежит в центре алгебры Ли, то VxТ = VТX, VУ Е §.
2. Если векторы X и У лежат в центре алгебры Ли, то VxТ = 0.
Доказательство. Следует из формулы 2g(VxY, 1) = g([X, У], 1) + g([1, X], У) +
+ g(X, [1, У]) для ковариантной производной V на группе Ли. Действительно, если вектор X лежит в центре алгебры Ли, то 2g(VxY, 1) = g(X, [1, У]) и 2g(VyX, 1) = = g([Т, X], 1) + g([1, Л, X ) + g(Т, [1, X]) = g([1, Л, X), V 1 Е §.
Следствие 2. Если векторы X, У и 1 лежат в центре алгебры Ли, то Я^, У)1 = 0.
Пусть 3 - нильпотентная почти пара-комплексная структура на нильпотент-ной алгебре Ли §, и а0 = {0} с а1(3) с ... с арч(3) с ар(3) = § - соответствующая последовательность идеалов. Заметим, что хотя идеалы ак(3) являются 3-инва-риантными, они не обязаны быть четномерными.
Предложение 5. Если вектор Xлежит в идеале а1(3) с 2(§) алгебры Ли, то VxТ = VyX = 0, УУ Е §.
Доказательство. Пусть X Е а1(3) с §1 = 2(§) и 1, У Е §. Тогда из формулы ковариантной производной и из следствия 1 вытекает, что 2g(VXY, 1) = g(X, [1, У]) = 0.
Следствие 3. Если вектор X лежит в идеале а1(3) с §1 алгебры Ли, то Я^, У)1 = Я(1, У^ = 0, УУ, 1 Е §.
Доказательство. Следует из VxY = VyX = 0, УУ Е § и формул Я^, У)1 = = Vx(VyZ) - Vт(VxZ) - V[x,у]1 и Я(1, Т)X = Vl(VтX) - Vт(VlX) -
2. Левоинвариантные пара-кэлеровы структуры на шестимерных нильпотентных алгебрах Ли
Классификационный список шестимерных симплектических нильпотентных алгебр Ли представлен в работе [11]. Многие алгебры Ли данного списка имеют возрастающую последовательность идеалов 2(§) = §1 с §2 с §3 = § размерностей 2, 4 и 6 (будем говорить, что такая алгебра Ли имеет тип (2, 4, 6)). Выберем дополнение А к §2 и дополнение В к 2(§) в §2. Тогда такую алгебру Ли можно представить в виде прямой суммы двумерных подпространств:
§=А ф в ф г(§).
Из определения идеалов §3 = {X Е § | [X, §] £ §2} = § и §2 = {X Е § | [X, §] £ 2(§)} сразу следует, что дополнительные подпространства А и В обладают свойствами: [А, А] с §2 = В ф 2(§), [А, В] с 2(§).
Например, для алгебры в21 списка работы [11] со скобками Ли [в1, е2] = в4, [в1, е4] = в6, [в2, вэ] = в6 мы имеем: 2(§) = Щв5, в6}, §2 = Щеэ, в 4, е5, в6}, §3 = §. Тогда в качестве подпространств А и В можно выбрать: В = К{е3, в4} и А = Я{е1, е2}.
Симплектические структуры классификационного списка работы [11] показывают, что для алгебр типа (2, 4, 6) дополнительные подпространств А и В можно выбрать так, что на подпространстве В симплектическая форма ю невырожде-
на, а подпространства A и Z(g) являются œ-изотропными и œ-дуальными. Для алгебр Ли других типов вместо Z(g) необходимо выбрать двумерное подпространство C с Z(g).
Теорема 1. Пусть шестимерная симплектическая алгебра Ли (g, œ) имеет разложение в виде прямой суммы двумерных подпространств
g = A 0 B 0 C,
где C с Z(g), [A, A] с B 0 C и [A, B] с C. Предположим, что B 0 C является абелевой подалгеброй, подпространства A и C - œ-изотропны и œ-дуальны, на подпространстве B форма œ невырождена и œ(B 0 C, C) = 0. Тогда для любой согласованной с œ нильпотентной почти пара-комплексной структуры J, для которой подпространства B и C инвариантны, для связности Леви-Чивита V соответствующей псевдоримановой метрики gJ имеют место свойства:
1. VxY £ B 0 C, VX, Y £ g,
2. VxY, VyX £ C, VX £ g, VY £ B 0 C,
3. VxY = 0, VX, Y £ B 0 C.
Доказательство. Свойство 1. Пусть X, Y £ g. Тогда [X, Y] £ B 0 C. Предположим, что VXY не лежит в B 0 C, т.е. имеет ненулевую компоненту из A. Тогда существует вектор Z £ Ce Z(g), такой что œ(VxY, JZ) Ф 0. В то же время 2œ(VxY, JZ) = 2g(VxY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z, Y], X) = g([X, Y], Z) = = œ([X, Y], JZ) = 0. Последнее равенство следует из свойства œ(B 0 C, C) = 0.
Свойство 2. Пусть теперь X £ g и Y £ B 0 C. Тогда VxY лежит в B 0 C. Предположим, что VXY не лежит в C, т.е. имеет ненулевую компоненту из B. Тогда из условия невырожденности формы œ на B и равенства œ(B 0 C, C) = 0 следует, что существует вектор Z £ B, такой что JZ £ B и œ(VxY, JZ) Ф 0. В то же время, учитывая коммутативность B 0 C и включение [A, B] с C с a1(J) с Z(g), имеем: 2œ(VxY, JZ) = 2g(VxY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z,Y], X) = g([X, Y], Z) + + g([Z, X], Y) = œ([X, Y], JZ) + œ([Z, X], JY) = 0. Последнее равенство следует из того, что JY, JZ £ B 0 C, [X, Y], [Z, X] £ C и œ(B 0 C, C) = 0. Таким образом, VxY £ C. Включение VyX £ C следует из формулы VxY - VyX = [X, Y].
Свойство 3. Пусть X, Y £ B 0 C. Тогда для любого Z £ g совершенно аналогично выполняется: 2g(VxY, Z) = g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g([Z, Y], X) = + œ([Z, X], JY)+œ([Z, Y], JX) = 0.
Следствие 4. В предположениях теоремы 1 если вектор X лежит в подпространстве B 0 C, то имеют место следующие равенства: R(X, Y)Z = R(Y, X)Z = = R(Z, Y)X = 0 для любых Y, Z £ g.
Доказательство. Пусть X £ B 0 C и пусть Y, Z £ g. В формуле R(X, Y)Z = = VXVYZ - VYVXZ - V[X,y]Z мы имеем [X, Y] £ C с a1(J), поэтому по предложению 5 V[x,y]Z = 0. Далее, VyZ £ B 0 C, поэтому VxVyZ = 0 - по свойству 3 теоремы. По свойству 2 теоремы имеем: VxZ £ C с ai(J) с Z(g). Тогда VyVxZ = 0 по предложению 5.
Пусть X £ B 0 C и R(Z, Y)X = VzVyX - VyVzX - VKrX Мы имеем [Z, Y] £ B 0 C, поэтому V[z,rX = 0. Поскольку VYX £ C с a1(J) с Z(g), то VZVYX = 0 по предложению 5. Аналогично VYVZX = 0. Поэтому R(Z, Y)X = 0.
Выберем базис {ei, в2, ез, e4, es, вб} алгебры Ли g, адаптированные к разложению g = A 0 B 0 C, т.е. такой, что A = R{ei, в2}, B = R{e3, в4} и C = R{es, вб}.
Следствие 5. В предположениях теоремы 1 для любыхX, У, 2 6 g выполняется включение Я(Х, У)2 6 С с 2^). В адаптированном к разложению g = А ф В ф С базисе тензор кривизны может иметь с точностью до симметрии только четыре ненулевые компоненты: Я521, Я1, Я52 2, Я 2. В частности, тензор Риччи равен нулю.
Доказательство. Пусть X, У, 2 6 g. В формуле Я(Х, У)2 = VxVyZ - VyVxZ - 7[х,у]2 мы имеем [X, У] 6 В ф С, поэтому V[x,y]Z 6 С. Далее, VyZ 6 В ф С, поэтому VxVyZ 6 С. Аналогично VyVzX 6 С. Таким образом, Я(Х, У)2 6 С. Утверждение о ненулевых компонентах вытекает из следствия 4.
Рассмотрим вопрос о том, какие из алгебр Ли классификационного списка работы [11] допускают согласованные пара-комплексные структуры (ю, I). Результаты представлены в таблице приведенной ниже теоремы 2. У каждой алгебры Ли таблицы указан ее номер из списка симплектических алгебр Ли работы [11]. Для каждой симплектической алгебры Ли ю) этой таблицы существуют многопараметрические семейства пара-комплексных структур I, согласованных с ю. В таблице теоремы 2 приведена одна из них, наиболее простая I, которая представлена в блочном виде в базисе {ег, е2, ез, е4, е5, еб} алгебры Ли и в соответствии с разложением g = Щег, ег} ф И{ез, в4} ф Щв5, ее}. Символом Я обозначен тензор Римана. Дуальный базис обозначен символами {ег, ..., е6}.
Теорема 2. Шестимерная нильпотентная некоммутативная алгебра Ли допускает пара-кэлерову структуру (I, ю) тогда и только тогда, когда она сим-плекто-изоморфна одной из алгебр представленной ниже таблицы. Допустимые пара-комплексные структуры J являются нильпотентными, а соответствующие псевдоримановы метрики Риччи - плоскими.
Пара-кэлеровы шестимерные нильпотентные алгебры Ли
Алгебра Ли Симплектическая форма Пара-комплексная структура
G6 [ег, ег] = ез, [ег, ез] = е4, [ег, е4] = е5, [ег, ез] = еб е'ле6 + е2ле4 + + е2ле5 - е3ле4 ' = (0 ^ •)• Я '°
Gio [ег, ег] = е4, [ег, е4] = е5, [ег, ез] = еб, [ег, е4] = еб е'ле6 + е2ле5 -- е3ле4 - е2ле6 j-Со :> ' —1 0I 1 0 (1 -a- 2I a(a + 2) x xI I , R ф 0 V 2(a +1) J V ; при a ф 0
Gii [ег, ег] = е4, [ег, е4] = е5, [ег, ез] = еб, [ег, е4] = еб е'ле6 + е2ле5 -- е3ле4 + Хе2ле6 (-1 -2X| (0 а Г—0 0I J -1 |хI | х1 I,R ф 0 при 10 1 J 1.0 -1J 10 1J р а ф '
Gi2 [ег, ег] = е4, [ег, е4] = е5, [ег, ез] = -е5 [ег, ез] = еб, [ег, е4] = еб -е'ле5 + Хе2ле6 + + (X - ')е3ле4 ( 0 Xa J =-1 0 VXa ( 1 2 I 0 Xa -1 (n 1| x a(X+1) x 0 1 ,R a(X +1) 0 v a 0J V Xa -1 J ф 0
Продолжение таблицы
Алгебра Ли Симплектическая форма Пара-комплексная структура
Glз [е1, 62] = 64, [е1, ез] = е5, [е1, е4] = еб, [е2, ез] = еб е1леб + Хе2ле5 + + (X - 1) езле4, Хф 0 и 1 е1леб + е2ле4 + + ^ е2ле5 - ^ езле4 Ча = ".И-а '1 П П П -1 П П П 1 V 1 (X К1 X 0 V +1) -1,1 ( = 0, '-10 0 4 1 0 0 0 -1 V у -Ха -1], , К 2 ф 0
[е1, е2] = е4, [е1, ез] = е5, [е1, е4] = еб е1леб + е2ле5 + езле4 J = ( а Ь Л 2 л а -1 ---а ( Ь ( X ( а -ЬЛ 2 л а -1 - -а Ь У К = 0 ( X а -Ь Л 2 л а -1 - -а Ь ,
Gl5 [е1, е2] = е4, [е2, ез] = е5, [е1, е4] = еб -е1ле5 + е1леб + + е2ле5 + (л 0 ^ (1 П Л 1 П ( 1 П Л J = (а -1> ^ - 2) -1 42 - а -1] , * ф0 V 2
Gl6 [е1, е2] = е5, [ез, е4] = -еъ, [е1, ез] = еб, [е2, е4] = еб е1леб + е2лез - е4ле5 J = е1 ® е1 - е2 ® е2 + е3 ® е3 - е4 ® е4 + е5 ® е5 - 6 4 — а2 ^ 1 ^ -е6 ® е +-е2 ® е + ае4 ® е1 + ае6 ® е , 2а К ф 0
Gl7 [е1, ез] = е5, [е1, е4] = еб, [е2, ез] = еб е1леб + е2ле5 + езле4 ( 1 П Л J = а -1 X 1 ~Г ( а 0 Л 1 - а2 х - -а ( Ь К = 0 ( 1 0 Л а -1 ^ , V-~Г " 1
Gl8 [е1, е2] = е4, [е1, ез] = е5, [е2, ез] = еб Ю1 = е1леб + Хе2ле5 + + (Х-1) езле4, Хф 0 и 1 Ю2 = е1ле5 + Хе1леб -- Хе2ле5 + е2леб --2Хезле4, X ф 0 юз =-е1леб + е2ле5 + + 2езле4 + езле5 л=( П Jз = 1 Л * ( а (1 0 0 0 1 2 чо о -1 ПЛ л X у 1x1: -) (10 0 0 -10 ч0 0 -1 , <12 = ^ , Л , К = 0 У
[е1, е2] = е4, [е1, е4] = е5, [е1, е5] = еб е1лез + е2леб - е4ле5 J=(П -1И-1 -:М0 3, К ф 0
в21 [е1, е2] = е4, [е1, е4] = еб, [е2, ез] = еб е1леб + е2ле5 - езле4 J= ( а Ь Л 2 л а -1 ---а ( Ь У ( X ( а -ЬЛ 2 а -1 - -а Ь У К ф 0 ( X а -Ь Л 2 1 а -1 - -а Ь ,
Окончание таблицы
Алгебра Ли Симплектическая форма Пара-комплексная структура
roi = eW6 + Ч-1 М °Н -1 о]
+ е2ле5 + е3ле4 - а 1) ,
G23 [ei, e2] = e5, [ei, ез] = еб, Ю2 = e1лe4 + + е2ле6 + е3ле5 j=(0 -М -,Н -1 0 0)-
юз = eW4 + + е2ле5 - е3ле6 J3 = (о -i]x[o -i]x[o 111 , R = 0
G24 [е2, ез] = е5, [ei, е4] = еб e1лe6 + е2ле5 + е3ле4 J = (о -*Н0 а-:2К0 -а -1 ] , R Ф 0
G25 [ei, е2] = еб e1лe6 + е2ле5 + е3ле4 J "( а -1)х( b -^(-а -11 , R = 0
Доказательство. Левоинвариантная пара-кэлерова структура - это пара (ю, J), состоящая из симплектической формы ю и согласованной с ю интегрируемой почти пара-комплексной структуры J на алгебре Ли g. Поскольку симплектиче-ская форма является заданной, то оператор J должен обладать следующими свойствами: J2 = Id, ra(JX, JY) = -ro(X, Y) и [X, Y] + [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] = 0. Условие согласованности <JX, JY) = -ю(Х, Y) запишем в виде <(JX, Y) + ю(Х, JY) = 0. Пусть в базисе {ei, ..., е6} алгебры Ли симплектическая форма ю и оператор J имеют матрицы ю- и Jj , J = Ji^ ® ej. Тогда система уравнений для нахождения пара-кэлеровой структуры (ю, J) состоит из следующих уравнений на переменные Jj :
= 8j .
®kjJi +®ikJkj = 0 =
jl jm^ik jl jk r^m jl jk r^m . fik _ p. JiJjClm - JiJmClj - JjJmCil + Cij = 0,
где - единичная матрица, Ck - структурные константы алгебры Ли и индексы меняются от 1 до 6. Эта система решается при помощи СКМ Maple. Для всех алгебр Ли списка работы [11], которые не вошли в таблицу теоремы 2, указанная система уравнений не имеет действительных решений. Для алгебр Ли из таблицы теоремы 2 легко видеть, что приведенные почти пара-комплексные структуры J согласованы с симплектическими формами ю. Интегрируемость J сразу следует из того, что собственные подпространства g+ и g- являются подалгебрами. Для всех алгебр Ли данного списка, за исключением G6, выполняются условия теоремы 1. Поэтому соответствующие пара-кэлеровы метрики для них являются Риччи-плоскими.
Рассмотрим более подробно алгебру Ли G6 с симплектической формой ю = в1лв6 + е2ле4 + е2ле5 - е3ле4. Для почти пара-комплексной структуры
J =
1 0 0 -1
-1 0 01
10 0 -1
имеем такую последовательность идеалов: ai(J) = Z(g)} = {es, ee}, a2(J) = {e4, es, eej, a3(J) = {e3, e4, e5, e6}, a4(J) = g. Поэтому J является нильпотентной. Собственные подпространства g+ и g- образованы векторами {ei, e4, es} и {e2, e3, ee}. Легко видеть, что они являются подалгебрами. Следовательно, почти пара-комплексная структура J интегрируема. Условие согласованности a(JX, JY) = -ю(Х, Y) очевидно выполняется. В системе Maple легко вычисляется тензор кривизны. Он имеет следующие ненулевые компоненты: R42 1 = 1, R162 2 = 1, Rf2 3 = "1, Rf3 1 = "1,
Rf3 2 = -1 • Поэтому пара-кэлерова метрика также является Риччи-плоской.
Отметим, что наиболее общая пара-кэлерова структура для данной алгебры Ли G6 зависит от пяти параметров Jj и имеет вид:
J =
1 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0
J13 0 -1 0 0 0
J3J4 J1 J 3 J4 J2 J4 J3 1 0 0
J1V24 + J34)
J6
gJ =
J6
J 3 J 4
J 2
J 3 J 4 J1J 3
J:3 0 -1
J5
J3J4 J 2
J3J4 J1 J2
J2 + J2
- J 4
- J2 1 1 0
- J 4 - J 4
J 2 J 3 J3J4
J1 J3
0 1 0
j3 0 -1
J3J4 J1 J3
J3
-J
- J 4
- J3 -1 0 0
л
-1
0
-1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Список источников
1. Benson C., Gordon C.S. Kahler and symplectic structures on nilmanifold // Topology. 1988.
V. 27. P. 513-518. doi: 10.1016/0040-9383(88)90029-8
2. Cordero L.A., Fernandez M., Ugarte L. Pseudo-Kahler metrics on six-dimensional
nilpotent Lie algebras // J. of Geom. and Phys. 2004. V. 50. P. 115-137. doi: 10.1016/j.geomphys.2003.12.003
3. Смоленцев Н.К. Канонические псевдо-кэлеровы метрики на шестимерных нильпотент-
ных группах Ли // Вестник Кемеровского государственного университета. 2011. Т. 3/1, № 47: Геометрия и анализ. С. 155-168.
4. Алексеевский Д.В., Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйн-
штейна // Успехи математических наук. 2009. Т. 64, вып. 1 (385). C. 3-50. doi: 10.4213/rm9262
х
X
2
2
2
2
2
4
1
2
2
V
У
5. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J.
1976. V. 28, No. 4. P. 601-612. doi: 10.2748/TMJ/1178240746
6. Rizza G.B. Varieta parakähleriane // Ann. Mat. Pura Appl. 1974. V. 98. P. 47-61.
7. Schäfer L. Conical Ricci-flat nearly Parakählerian Manifolds // Ann. Global Anal. Geom.
2014. V. 45, No. 1. P. 11-24.
8. Banaru M. A note on parakählerian manifolds // Kyungpook Math. J. 2003. V. 43, No. 1.
P. 49-61.
9. Libermann P. Sur les structures presque paracomplexes // Comptes rendus de l'Académie des
Sciences. 1952. V. 234. P. 2517-2519.
10. Кобаяси Ш., Намидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1981. Т. 2. 416 с.
11. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups // Differential Geom. Appl. 2004. V. 21, No. 1. P. 41-54. doi: 10.1016/j.difgeo.2003.12.006
References
1. Benson C., Gordon C.S. (1998) Kähler and symplectic structures on nilmanifolds. Topology.
27(4). pp. 513-518. doi: 10.1016/0040-9383(88)90029-8.
2. Cordero L.A., Fernandez M., Ugarte L. (2004) Pseudo-Kähler metrics on six-dimensional
nilpotent Lie algebras. Journal of Geometry and Physics. 50(1-4). pp. 115-137. doi: 10.1016/j.geomphys.2003.12.003.
3. Smolentsev N.K. (2011) Canonical pseudo-Kähler metrics on six-dimensional nilpotent Lie
groups. Vestnik Kemerovskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika - Kemerovo State University Journal of Mathematics. 3/1(47). pp. 155-168. (arXiv:1310.5395 [math.DG])
4. Alekseevsky D.V., Medori C., Tomassini A. (2009) Homogeneous para-Kähler Einstein manifolds.
Russian Mathematical Surveys. 64(1). pp. 1-43. doi: 10.1070/RM2009v064n01ABEH004591.
5. Gray A. (1976) Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tohoku
Mathematical Journal. 28(4). pp. 601-612. doi: 10.2748/TMJ/1178240746.
6. Rizza G.B. (1974) Varietà parakähleriane. Annali di Matematica Pura ed Applicata. 98.
pp. 47-61.
7. Schäfer L. (2014) Conical Ricci-flat nearly para-Kähler manifolds. Annals of Global Analysis
and Geometry. 45(1). pp. 11-24.
8. Banaru M. (2003) A note on parakählerian manifolds. Kyungpook Mathematical Journal.
43(1). pp. 49-61.
9. Libermann P. (1952) Sur les structures presque paracomplexes. Comptes rendus de l'Académie
des Sciences. 234. pp. 2517-2519.
10. Kobayashi S. and Nomizu, K. (1963) Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York: Interscience Publishers.
11. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. (2004) Symplectic or contact structures on Lie groups. Differential Geometry and its Applications. 21(1). pp. 41-54. doi: 10.1016/j.difgeo.2003.12.006.
Сведения об авторе:
Смоленцев Николай Константинович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры фундаментальной математики Кемеровского государственного университета, Кемерово, Россия. E-mail: [email protected]
Information about the author:
Smolentsev Nikolay K. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of Fundamental Mathematics Department, Kemerovo State University, Kemerovo, Russia). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.12.2021; принята к публикации 12.07.2022 The article was submitted 02.12.2021; accepted for publication 12.07.2022
