Параболические уравнения с аккретивными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №12_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, Х.С.Кучакшоев, Д.Н.Гулджонов ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Данная заметка посвящена теории нелинейных параболических уравнений в абстрактных пространствах. Такие уравнения и системы находят применение в различных задачах математики, физики и биологии, например в эволюционных стохастических системах, в вопросах фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, в начально-краевых задачах для уравнений модели хемотаксиса. Последние задачи в зависимости от величины массы клеток или популяций допускают глобальное решение или решение, которое за конечное время возрастает до бесконечности. Такое поведение решений получило название «режим с обострением» или «with blow up» [1,2]. В то же время абстрактные уравнения указанного вида представляют чисто математический интерес в связи с развитием теории нелинейных полугрупп. Речь может идти о гладкости решений нелинейных эволюционных уравнений, нелинейной интерполяции, нелинейной теории потенциала и т.д.[3-5].

1. Функциональные пространства. Пусть Rn - n-мерное линейное пространство и Q- открытое множество в r” . Для m раз непрерывно дифференцируемой функции и на Q обозначим через D “ и частную производную д^и/д“1 х1...да" хп порядка \а\ - ах+... + ап, где а = (ах,ап) - мультииндекс из неотрицательных целых чисел.

Через С"(Q) обозначим множество m раз непрерывно дифференцируемых функций,

определенных на замыкании Q открытого множества Q. Если Q компактно, то Ст (Q) является банаховым пространством относительно нормы

N1™ = ZsupKw00|-

\а\<т хеП

Носителем определенной и непрерывной на компакте Q функции и называется множество

suppw = и(х)ф0 fjlil

Через ( (Q) будем обозначать множество всех определенных и m раз непрерывно дифференцируемых на открытом множестве Q d R" функций с компактными в Q носителями, а через C^°(Q) - множество всех бесконечно дифференцируемых на Q с= R" функций с компактными носителями.

Далее через И (□), 1 < р < со обозначим банахово пространство измеримых функций относительно нормы

и

IЩО.)

і

\—

р

уп

Множество всех измеримых существенно ограниченных функций обозначим через I? (О), которое является банаховым пространством относительно нормы

= угаішах

II \\Ь I»

1И х)\\

Введем теперь на множестве Сд(0) систему полунорм

Рр О) = ХэиР Ра (х)Оаф) ,<Р<еС; (О.),

хєО.

(1)

где ра - некоторое семейство функций, определенных и непрерывных на множестве О, число мультииндексов а конечное.

Обозначим через V (О) локально выпуклое пространство Сд(0), наделенное системой полунорм (1) и назовем его пространством основных функций.

Обобщенными функциями на открытом множестве О называются элементы, сопряженные к V (О) пространства V* (О). Через Жк,р(0,)(\< р <со,к>0) обозначим множество всех обобщенных функций (П), являющихся вместе со своими производными Оаи

порядка |а|<А; функциями из Ьр(0.). Жк р(0.) является банаховым пространством относительно нормы

№

ті \а\<к

и\

сіх

В частном случае р - 2 пространство IV ’ (О) = Н (О) является гильбертовым пространством. Через Нк(0.) обозначим замыкание множества ('.'и (О.) в гильбертовом пространстве Нк (О.) относительно нормы

1И1я0*(О)

£ сЬс

V

V

2

2

и

Наконец через Н к (О) обозначим пространство, сопряженное к Нк(СЇ), то есть

н~къу Нк

о

2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

с)м

— = А и, ? > О, (2)

5?

с начальным условием

//(О, х) - и0 (х\ и0 (х) є I: (Нп). (3)

Продолжим функцию и нулем при К0, положив

и = <

|0,*<0.

Очевидно, что функция и(х,{) удовлетворяет в Нп 1 уравнению теплопроводности вида

— = Аи + и0 (х)З^),

где 5(1) - дельта-функция Дирака.

Введем теперь обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с обобщенным источником /е V* (7?”+1) назовем задачу о нахождении обобщенной функции г/е (7?”+1), обращающейся в ноль при К0 и удовлетворяющей уравнению

ди * г, ч

— = Аи + / (х, ?),

<9?

или, что эквивалентно, в пространстве Нк(Кп+1)

д(р

ді

\

= и,А<р + / ,ф

для любой <рєС™ {К1).

Оператор А и любые его расширения, определенные на V Яп или V £^2 , являются

инфинитезимальными производящими операторами некоторой полугруппы линейных операторов (см. напр.[4]).

Иными словами, теория линейных полугрупп ограниченных операторов позволяет устанавливать различные утверждения о корректности задачи Коши вида (2)-(3) и соответствующих краевых или смешанных задач.

Рассмотрим теперь нелинейные гиперболические уравнения вида

— = У(А;(и)Уи),У = gradx(^),x є і?”

дґ

(4)

или

— = У ІУкГ'Ук , Ы 1 1

(5)

где к (и) ~ заданная гладкая функция и рф 2. Очевидно, что при к (и) = 1 и р = 2 в правых частях уравнений (4) и (5) стоит оператор Лапласа.

Можно ли по аналогии с линейным случаем ставить вопросы существования и единственности решений задачи Коши и различных краевых задач для уравнений (4) или (5)? Ответ утвердительный. При этом приходится привлечь результаты теории нелинейных полугрупп [3-5].

3. Основные результаты. Пусть X - банахово пространство над К" с нормой |||, |||^

- дуальная норма в сопряженном банаховом пространстве X*, и пусть ^- скалярное произведение между X и X*.

Пусть Ф: К+ —»К+ - непрерывная строго монотонно возрастающая функция, Ф(0) = 0,Ф(г) —>оопри и—»оо.

Определение 1. Оператор ./ : X —» X'' называется оператором двойственности относительно функции Ф, если имеют место равенства

для любого и е X,

= Ф(||г/||) для любого и е X.

Определение 2. Нелинейный и неограниченный оператор А: Б (А) —» X называется аккретивным, если выполняется неравенство

Отметим, что в случае гильбертова пространства аккретивный оператор называется монотонным оператором.

Пример 2. Пусть X - И^2(СЇ) — НІ (С2) . Тогда расширение Ах : X —» X для оператора

(А(м)-А(у)Д(г/-у))>0, V м,уеБ( А),

(6)

Пример 1. Пусть X = 1/(СУ),Ф(г) = гр \ тогда Ли) = ^\’2и будет двойственным

оператором.

с областью определения

Б(Е)= и и є С2 (Сї) ,и\дп = О

является монотонным оператором.

Пример 3. Пусть X = 1¥д’р(0) = Нк(С2) . Тогда соответствующее расширение А2 оператора

Еи - -V (р(и)Уи , и є Б (Е)

с областью определения

Б(Е) = и\и є С2 (О), г/|ж - О

является аккретивным оператором.

Пусть Y - подмножество в банаховом пространстве X. Обозначим через G(t),t>0 семейство нелинейных операторов, действующих из Y в Y. Говорят (см.[3]), что это семейство образует нелинейную полугруппу операторов, если:

для любого у є 7 оператор ґ—»Є(/)(.у) является непрерывным отображением К+ —»• X;

3^0^= + ^ °,У

ОШу) = уУуеГ.

Областью определения инфинитезимального производящего оператора полугруппы (.](/) называется множество Б таких элементов у є V, что

к\оту)-у)

сходится в X при /г —>- 0, а инфинитезимальным производящим оператором полугруппы называется оператор B, определенный на D формулой

В(у) = ^к-\сту)-у). (7)

я—»0

Пример 4. Пусть и0 є Г - Н\ (О) . Тогда для задачи Коши вида

— = У ирУи ,р>0,хеКп, (8)

ді

г/(0,/) = г/0(х),хє7?". (9)

Через

u(t) = G(t)u0

определим значение в момент времени t решения задачи (8)-(9), где G(t) - нелинейная полугруппа.

Переходим теперь к формулировке основных результатов.

Рассмотрим в X абстрактную задачу Коши вида

/її /

— + A(u(t)) = 0,teR, (10)

dt

w(0) = и о, (11)

где A -аккретивный в смысле (6) оператор. Имеет место

Теорема 1. Пусть A + I :D »X- сюръективный оператор. Тогда для заданного и0 eD(Aj существует и притом только одна непрерывная функция u:R+^>X, которая слабо непрерывно дифференцируема по t и является решением задачи (10)-(11).

Утверждение теоремы означает, что оператор -A является инфинитезимальным производящим оператором нелинейной подгруппы G(t).

Имеет место и «обратное» утверждение.

Теорема 2. Пусть нелинейная полугруппа G(t):Y —>7 является сжимающей полугруппой:

||G(t)(w)-G(t)(v)||<||w-v||, V и,у є Y, te R+ .

Тогда инфинитезимальный производящий оператор -B, определенный равенством (7) будет аккретивным оператором.

Данные утверждения относятся к обобщению на нелинейный случай известной теоремы Хилле-Иосида для линейных полугрупп операторов [6]. Полученные результаты могут найти широкое приложение в начально-краевых задачах для квазилинейных параболических уравнений и систем таких уравнений [3].

Институт математики АН Республики Таджикистан Поступило 10.11.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987, 480 с.

2. Senba T., Suzuki T. - J. Funct. Anal., 2002, 191, pp.17-51.

3. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972, 587c.

4. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980, 383 с.

5. Илолов М. — Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук, 2001, №1, с.5-8.

6. Иосида К. Функциональный анализ. - М.:Мир, 1967, 624 с.

М.Илолов, Х.С.Кучакшоев, Д.Н.Гулхонов МУОДИЛА^ОИ ПАРАБОЛИКИ БО ОПЕРАТОРНОЙ АККРЕТИВВ

Мак;ола ба назарияи муодилах,ои параболикии гайрихаттй дар фазовой абстрактй бахшида шудааст. Дар полати коэффсиентх,ои оператории аккретивй тасдик;от дар бораи операторх,ои х,осилавии беохири нимгурухдои гайрихаттй оварда шудааст.

M.Ilolov, Kh.S.Kuchakshoev, D.N.Guljonov PARABOLIC EQUATIONS WITH AKKRETIV OPERATORS

This paper is devoted to the nonlinear parabolic equations in abstract spaces. In case of accretive operators coefficients considered theorems on generators of nonlinear semigroups.