CC BY
41
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №11__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, Х.С.Кучакшоев
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИФФУЗИЯ И ХЕМОТАКСИЧЕСКИЙ КОЛЛАПС
Институт математики АН Республики Таджикистан, Российско-Таджикский (Славянский) университет
В работе рассматриваются решения типа мгновенной точечной концентрации массы для системы хемотаксиса с нелинейной диффузией.
Ключевые слова: нелинейная диффузия - хемотаксис - автомодельные решения.
1. Дадим краткое изложение математической теории хемотаксических процессов. Под хемотаксисом понимается биологическое понятие, означающее направленное движение, когда популяции, состоящие из особей (или индивидиумов), такие как амба, бактерия, клетка и т.д., реагируют в ответ на внешние химические стимулы(таксис), имеющиеся в данной среде обитания. Различают позитивный и негативный таксис. В первом случае популяция меняет движение навстречу высокой концентрации химических субстанций-хемоаттрактантов, во втором же случае популяция двигается от высокой концентрации репеллентов. В первом случае возможен процесс агрегирования микроорганизмов, в том смысле, что могут возникнуть более сложные микроорганизмы или клетки. Хемотаксис как биологическое явление и различные его математические модели были предметом анализа большого количества исследований, которые, в основном, подытожены в работе [1]. Адекватная и достаточно простая модель описания хемотаксических движений предложена в работах [2,3], в которых приняты во внимание два основных параметра - плотность особей u(t, х) и концентрация хемоат-трактантов v(t, х), зависящие от времени t и координаты х. Допускается, что микроорганизмы или клетки непосредственно притягиваются диффундирующим хемоаттрактантом. При этом скорость изменения концентрации значительно выше, чем скорость изменения особей.
Если рассматривать процесс хемотаксиса во всм пространстве, то приходим к задаче Коши для следующей параболико-эллиптической системы типа диффузии-адвекции
% = Au - %4[uVv], t > 0, х е Rd, dt
< -Av = u, t > 0, х е Rd, (1)
u(0, х) = uQ (х) > 0, х е Rd,
где х = (х^,х2,...,х^) е Rd - d-мерное пространство, % - постоянная хемотаксической чувствительности, связывающей уравнение диффузии для и с уравнением Пуассона для v через адекватный член
Адрес для корреспонденции: Илолов Мамадшо Илолович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: ilolov.mamadsho@gmail.com
—V[uVv\, А - оператор Лапласа и V - градиент. Наряду с задачей Коши (1), рассматриваются также смешанные задачи Дирихле
и(^, х) = v(t, х) = 0, t > 0, х едО,
и Неймана
ды(1, х) _ дv(t, х)
дп дп
= 0, і > 0, х є дО,
где дО - гладкая граница ограниченной области О ^ Я, п - внешняя нормаль к дО .
Приводим основные результаты для задачи Коши (1).
Из второго уравнения (1) получим точное представление для градиента концентраций хемоат-трактантов Vv(t, х) в виде
Vv(t, х) = | VEd (х — у)и(г, у)Лу = (Ей * ы)(г, х), (2)
где Е^ - фундаментальное решение уравнения Пуассона в ЯЛ. Подставляя формулу (2) в первое
уравнение, из (1) получим интегро-дифференциальное уравнение в частных производных для и(Х, х). Система (1) подробно изучена с точки зрения теории существования и единственности локальных и глобальных во времени решений, непрерывной зависимости решений от начальных данных, наличие решения с обострением или, даже, разрушением. В последнем случае речь идет об уходящих в бесконечность решений за конечное время(blow ир) или коллапсирующих решений(хемотаксический коллапс). Подробная библиография соответствующих работ приведена в [4].
Сформулируем основные теоремы касательно системы (1).
Теорема 1. Пусть Л > 2 и ид е ¿(Я) такая, что ид > 0. Тогда существует постоянная
Ы^(х, Л), такая, что если рп л/2 л < Ы*, то система имеет глобальное во времени слабое
II 011Ь (К )
решение (и, V), такое, что для всех t > 0 и(^ х) неотрицательное и
| и(,, х)Лх = | ид (х)Лх, (3)
\и(})\ЬР Я) <| Ы^Р^) , тах{1, Л —1} < Р < Л, (4)
llu(tЯЬР() < С(t,Ы*, II и0\^{Яа)), ^ < Р < “. (5)
р л
Здесь через Ь (Я ) обозначено функциональное пространство измеримых со степенью р вектор функций с нормой
\\4lp) = (||“(*) \Р Я)Р’ 1 <Р <“> ка
|-| - норма в Я, р - целое число.
Равенство (3) подсказывает, что масса популяции сохраняется для любых значений t > 0. Неравенство (4) соответствует случаю р = 2. В случае р > 2 априорная оценка (5) зависит также от t
и M*.
Теорема 2. Предположим, что
|2 х I
( Л d -2
I 1 1 Mg (x)dx < Q I Wg (x)dx
Rd \^Rd j
для ё > 3 и некоторой постоянной С* = С* (^, ё) > 0. Предположим также, что для ё = 2 величина
|2
2
| 1 Х Mg (x)dX Rd
конечная и выполнено неравенство
с * Ож
I w0 (x)dx > M (х, d = 2) = —.
d X
R
Тогда система (1) не имеет гладкого глобального решения, стремящегося к нулю на бесконечности.
Самым важным следствием теорем 1, 2 является то, что при малых значениях начальной функции Wq (х) существует единственное глобальное решение задачи (1), а при больших значениях
этой функции происходит "blow-up". Результат теоремы 2 имеет место и при d > 3 для радиальносимметричного случая. В то же время радиальный случай подробнейшим образом изучен и в двумерном случае.
В работе [5] приведено уточнение явления blow-up, где вводится новое понятие - хемотакси-ческий коллапс. Доказано, что при некоторых предположениях имеет место точечная концентрация массы популяции в виде функции Дирака.
Доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть для d = 2 и радиальных решений системы (1) имеет место неравенство
I* о
j w0(x)dx >M0(x,d = 2) = —. ,2 X
1
*
Тогда найдтся конечное значение T , такое, что
lim u(x, t) = —с>(0) + A(x),
t^T* X
где функция A(x) может быть вычислена явным образом.
Следует отметить, что справедливость модельной задачи (1) в рамках хемотаксической идеи проверена рядом экспериментов на бактерии Escherichia coli [6].
2. Рассмотрим задачу Коши вида
Iu = V • (D(u)Vu) - %V • (uVv), t > 0, x e Rd,
-Av = u, t > 0, x e Rd, (6)
u (0, x) = u0 (x) > 0, x e Rd,
где функция D(u), зависимая от плотности популяции u(t, x) > 0, считается неотрицательной и достаточно гладкой функцией, то есть
2
D(u) e C (0, да) n C([0, да)).
Предполагается также, что система (11) допускает постоянную массу популяции, то есть
I u0 (x)dx = I u(t, x)dx = Mq = const. (7)
Rd Rd
Следует отметить, что система (6) является примером системы хемотаксиса с нелинейной диффузией и в отличие от системы (1) не удовлетворяет условию равномерной параболичности[7,8]. Иными словами, функция D(u) > 0 при u > 0, причём
D(0) = 0, (8)
то есть уравнение второго порядка в (6) вырождается в уравнение первого порядка при u = 0. Примерами функции D(u) могут быть | u |, u exp(-u) и т.д. Условие (8) означает, что система (6) не
имеет классического решения и предполагает наличие обобщенных решений. Такие решения систе-
мы хемотаксиса для несколько классов функций D(u) с условием (8) изучены в работах [9,10]. В данных работах указаны условия возникновения режимов с обострением(blow-up) для нелинейных параболических уравнений и системы вида (6).
Здесь мы будем рассматривать задачу (6) с целью нахождения решений типа мгновенной точечной концентрации массы популяции микроорганизмов или клеток. В качестве функции D(u) берутся степенные нелинейности.
Рассмотрим задачу Коши вида
■Щ- = У-(ио(г,х)Уи(г,х))— уУ -(и(г,х)Уу(^,х)), г > 0, х е Я, у(г, х) = (Е^ * и)(г, х), г > о, х е я^,
и(0, х) = и0 (х) > 0, х е Я
(9)
где а = сотг > а Еа(х) = | х I2 ^ са = ^ о = 2^2 1ГI
I!)-
Ищется решение задачи (9) с учтом выполнения равенства (7).
Более точно мы рассмотрим автомодельное решение (и, V) задачи (9) вида
и(г, х) = Л 0 (£), £ = р е Я^,
г
х) =а 02 (£Х £ = 4-е я^,
г
(10)
где а^,^,Р— постоянные, а 0^(£) > 0, ^(£) > 0 — непрерывные функции. Подставляя (10) в (9), получим следующую систему
а
/>-Ч — р,а' -1]т |0 (1 = ,а.(о+» - ^.(^
I=1 ^1
—^+а — 2р^-(0У0),
02 = Еа *01-
(11)
Отсюда вытекает необходимость выполнения соотношений
(12)
тогда временные множители можно сократить.
■Ь
Из равенства (7) и предположения 0у е Ь (Я ) получим
| и(г, х) = | га10(-Х)^х = г 1 р я я я
/ 01(£№
Из (11) с учётом постоянства массы следует, что
Из (12) и (13) получим единственную тройку значений параметров а^,^2,Р •
<
<
а = -
ё
ёа + 2
ёа 1
а =—:-------, Р =
, а2
ёа + 2 ёа + 2
Итак, искомое решение имеет вид
А
и (і, х) = і ёа+20(£),£ = -^
¿<Г+2
— ёа
у(і,х) = і ёа+2£2(£),£ = ^^ ¿<Г+2
Тогда, как следует из (11), функции 0 (^) и 0 (Е) удовлетворяют системе квазилинейных эллиптических уравнений
£1
ё
Ь (ЧГ£ 02 = Е2 *01‘
ёа + 2
(14)
<
<
Когда функции 0 и 0 являются радиально симметричными, то есть
0 = 0Ш 0 = 02(^)’ ^=1^1^ 0,
то из системы (14) можно получить интегрируемое уравнение.
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 4. Автомодельное решение и(/, х) системы (9) с постоянной массой при любом ? > 0 финитно по х, а при ^ —■ +0 стремится к 5 функции
и(/, х) —— 5(х), / ——+0.
3. В последние годы появились эксперименты с человеческими эндотелиальными клетками на матригеле [11]. Данные эксперименты показывают, что движения вышеназванных клеток приводят к формированию сосудистой сети. Иными словами, появляются капилляры кровеносных сосудов и начинается процесс ангиогенезиса - основного фактора роста раковой опухоли.
Кроме того, система типа (1) имеет очень интересные интерпретации в астрофизике и статической механике[12,13].
Поступило 20.09.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Perthame B. - Appl.Math., 2004, 6, pp.1-28.
2. Patlak C.S. - Bull of Math.Biophys., 1953, 15, pp.311-338.
3. Keller E.F. and Segel L.A. - J.Theor.Biol., 1970, 26, pp.399-415.
4. Herrero M.A., Medina E., Vela’zquez J.J.L. - Nonlinearity, 1997, 10, pp.1739-1754.
5. Nagai T., Senba T. - Adv.Math.Sci., Appl., 1998, pp.145-156.
6. Brenner M.P., Levitov L., Budrene E.V. - Biophysical Journal, 1995, 74, pp.1677-1693.
7. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.:Наука, 1987, 480 с.
8. Илолов М., Кучакшоев Х.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 3, с.165-172.
9. Lushnikov P.M. - Physics Letters A, 2010, v.374, pp.1678-1685.
10. Кучакшоев Х.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с. 424-431.
11. Pasquet M. at all. - Jnt.J.Cancer, 2010, 126, pp.2090-2101.
12. Biler P., Nadzieja T., Global and exploding solutions in a model of self-gravitating systems. Preprint 2002.
13. Biler P., Nadzieja T. - Colloq.Math., 1993, 66, pp.131-145.
М.Илолов, Х.С.Кучакшоев*
ДИФФУЗИЯИ FАЙРИХАТТЙ ВА КОЛЛАПСИ ХЕМОТАКСИСЙ
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
Донишго^и (Славянии) Россия ва Тоцикистон
Дар макола х,алх,ои намуди чамъшавии фаврии нуктамонанди масса барои системаи хе-мотаксиси дорои диффузияи гайрихаттй дида шудааст.
Калима^ои калидй: диффузияи гайрихаттй - хемотаксис - уалуои автомоделй.
M.Ilolov, Kh.S.Kuchakshoev*
NONLINEAR DIFFUSION AND CHEMOTAXIS COLLAPSE
Institute of Mathematics,Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, *Russian-Tajik(Slavonic) university
In this paper we consider solutions of pointwise mass concentration type for system of chemotaxis with nonlinear diffusion.
Key words: nonlinear diffusion - chemotaxis - automodelling solutions.
