Доказательство теоремы существования и единственности решения для одного параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В.В. Коробицын

We consider the some semi-linear differential equation with partial derivatives. It has the constant coefficients. We prove the theorem of existence and uniqueness of the solution.

1. Введение

Моделирование распространения энергии или вещества в пространстве приводит к моделям, ядром которых являются дифференциальные уравнения в частных производных. Применительно к биологическим, этническим и социальным процессам уравнения называют эволюционными. Нелинейное эволюционное уравнение с выделенной линейной частью в абстрактном пространстве Н выглядит так:

du , , , „,

— = A(t)u + B(t, и),

где Ait) — линейный, a B{t} •) — нелинейный операторы. Поэтому изучение свойств таких уравнений является важной частью работ по математическому моделированию.

Изучение подобных уравнений основываются на идеях А.М.Ляпунова и М.Г.Крейна. Основные результаты исследования полулинейных параболических уравнений изложены в [1]. Частично они приведены ниже.

Классическая постановка задачи распространения энергии приводит к граничной задаче в обычном R” пространстве. Но анализ осуществляется не этой задачи, а задачи Копти для операторного уравнения в банаховом пространстве. Для построения операторного уравнения используются понятия секториаль-ного оператора и аналитической полугруппы. Ниже приведена теорема 1 из [1], указывающая на связь этих понятий и применение их для исследования

0 2000 В.В. Коробицын

E-mail: [email protected] Омский государственный университет

задачи Коши, а также теорема 2, указывающая на условия существования и единственности решения в локальном смысле, и теорема 3 на всем пространстве решений.

В данной статье приведен результат исследования одного нелинейного уравнения параболического типа. Это уравнение является базовым для эволюционных моделей биологии и социологии. Доказаны необходимые свойства оператора и функции правой части, выполнение которых приводит к выполнению условий теорем существования и единственности. Доказательство этих теорем обеспечивает теоретическую основу для нахождения решений численными методами, которые необходимы для исследования модели с помощью компьютера. Применение компьютерных технологий при моделировании позволяет проводить большое количество экспериментов с моделью, находить нужные параметры и исследовать модель на устойчивость. Но первым шагом является теоретическое обоснование правомерности нахождения решения. Кроме того, теоретическое исследование позволяет выделить класс функций, среди которых нужно искать решение.

2. Определения и используемые теоремы

В статье используются обозначения для пространств:

Ь2(О, I) — пространство всех функций, интегрируемых во 2-й степени с нормой

I

\\f\\L2(pl) = {f\f(x)\2dx} ,

О

(7q(0,/) — линейное пространство всех непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем на интервале (О, I) и нормой

ll/llcpcy) = sup ||/(ж)|| + sup ||£>/(ж)||,

xe(o,i)

— замыкание (7q(0,/) в норме

I

о

Н2(0,1) — пространство Соболева, состоящее из всех функций / £ Ь2, обладающих интегрируемыми во 2-й степени обобщенными производными до второго порядка включительно, с нормой

11/11#2(о,0

1 2

{[J2\f{j)(x)\2dx} ■

о J'=°

Определение 1. Линейный оператор А в банаховом пространстве X называется векториальным оператором, если он замкнут и плотно определен, и,

кроме того, для некоторого <р £ (0,7г/2), некоторого М > 1 и некоторого вещественного а сектор

Sa,v = {A|v? < | arg(A - a)| < я, А ф а}

лежит в резольвентном множестве оператора А и

||(А- А)-1!! < М/|А-а|, VAgS^.

Замечание 1. Если А — самосопряженный плотно определенный ограниченный снизу оператор в гильбертовом пространстве, то он секториален.

Определение 2. Аналитическая полугруппа в банаховом пространстве X — это семейство непрерывных линейных операторов {T(t)}t>0 в X, удовлетворяющее условиям:

1) Т(0) = /, T(t)T(s) = T(t + s) для t > 0, s > 0;

2) T(t)x -У x при t -У 0+ для любого х £ X;

3) отображение t -У T(t)x вещественно-аналитично на 0 < t < оо для любого х £ X.

Инфинитезимальный генератор L этой полугруппы определяется следующим образом:

Lx

T(t)x — х

lim -----------

t—>о+ t

Его область определения D(L) состоит из всех х £ X, для которых этот предел (в X) существует. Мы будем обычно писать T(t) = eLt.

Теорема 1. Если А — векториальный оператор, то —А — инфинитезимальный генератор аналитической полугруппы {e~At}t>0, определяемой формулой

е~м = —/(А + A)~1e~xtd\,

2тгг J г

где Г — контур в р(—А), такой, что arg А —> Ев при |А| —> оо для некоторого в U3 (7Г/2, я). ■

Далее, е~м можно аналитически продолжить в сектор {t ф 0 : |argt| < е}, содержащий положительную вещественную полуось, и если Recr(A) > а, т.е. Re А > а при А £ <т(А), то для t > 0

~М\\ < Се~а\ \\Ае~м\\ < je~at

при некоторой постоянной С. Наконец,

d

— е м = — Ае м для t > 0. dt

Определение 3. Пусть А — векториальный оператор и Recr(A) > 0. Для любого a > 0 положим

А~а =

1

г(°0

ta-le~Mdt.

Оператор Аа определим как оператор, обратный к А а(а > 0),D(Aa) = R(A~a). Оператор А0 определим как тождественный оператор в X.

Замечание 2. Если А — положительно-определенный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве со спектральным представлением

А = J XdE(X), то А~а = J X~adE(X). о о

Определение 4. Пусть А — векториальный оператор в банаховом пространстве X. Положим для каждого а > 0

Ха = D(A«)

и наделим пространство Ха нормой графика ||ж||а = ||А“ж||, ж £ Ха, где А\ = А А а,1, причем а выбирается так, чтобы Recr(Ai) > 0. Нормы, полученные при различных выборах а, эквивалентны, так что мы можем не отображать в записи нормы зависимости от а.

Определение 5. Функция /(Д ж) : U —> X, U С R х Ха при некотором а, 0 < а < 1 является локально-гельдеровой по t и локально-липшицевой по ж на П, если для любого (Д, Х\) £ U существует окрестность V С U точки (Д, жД, такая, что для любых (Д ж) £ V, (s, у) £ У

II - f(s,y) || < L(\t - s|e + ||ж - y||„)

(1)

при некоторых постоянных L > 0, в > 0.

Рассмотрим задачу Котттн для нелинейного операторного уравнения

dx

— у Ах = ДД ж), t > t0, at

x(t0) = ж0,

Определение 6. Решение задачи Коши (1) на (Д,Д) — это непрерывная функция ж : [Д,Д) —> X, такая, что x(t0) = ж0 и для t £ (Д,Д) мы имеем: (■ДжД)) £ U,x(t) £ D(A), (dx/dt)(t) существует, отображение t -У f(t,x(t)) локально-гельдерово,

t

(t — s) "||/(s, ж(з))||йз —> 0 при t —> t0A

to

и на (Д,Д) удовлетворяется дифференциальное уравнение (1).

Следующая лемма дает необходимое и достаточное условие существования решения задачи (1).

Лемма 1. Если х — решение задачи (1) на (t0,ti); mo

t

= (2)

о

Обратно, если х — непрерывная функция из (t0,ti) в Ха, такая, что

t

j(t — s)~a\\f(s, x(s))\\ds—> 0 при t—> t0+

to

и интегральное уравнение (2) удовлетворяется при (t,x(t)) £ U dnut0 < t <t\, то ж(-) —решение дифференциального уравнения (1) на (t0,ti). ■

Единственность решения в локальной области гарантирует следующая

Теорема 2. Пусть А — секториальный оператор, 0 < а < 1 и / : U -У X, где U — открытое подмножество в R X Ха. Предположим, что функция f(t,x) локалъно-гелъдерова по t и локалъно-липшицева по х. Тогда для любой точки (t0,x0) £ U существует Т = T(t0,x0) > 0; такое, что уравнение (1) имеет единственное решение х на (t0,t0 + T) с начальным условием x(t0) = х0. Фактически ||x(t) — ж0||а —>■ 0 при t -У t0+. ■

Условия глобального существования и единственности решения приведены в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть А и / — такие, как в теореме 2, и пусть образ f(B) любого замкнутого ограниченного множества В С U ограничен в X. Если х — решение уравнения (1) на (t0,ti) и t\ максимально в том смысле, что не существует решения уравнения (1) на (t0,t2) при t2 > t\, то либо t\ = +оо; либо существует последовательность tn —У t\ — при п -У +оо; такая, что (tn,x(tn)) -У dU. (Если U не ограничено, то бесконечно удаленная точка принадлежит dU.) Я

3. Постановка задачи и результат

Теорема 4. Решение эволюционного уравнения, описывающего изменение функции uit, ж) : R+ X [0,/] —> R краевой задачи

ди

~di

д2п 2

к—— А аи — Ьи , 0 < ж < /, t > О, ох2

ди, . ди,, .

= °’ = °’

и(ж,0) = и0(х) >0, 0 < ж < /,

(3)

где и0 £ Hq(0,1), а,Ь и к — положительные постоянные, имеет единственное решение в пространстве НД§, I) П Н2(0,1) для Vt > 0.

Доказательство. Возьмем X = L2(0,l). Определим линейный оператор А следующим образом:

d2y>

Ар(ж) = —А;——(ж), 0 < ж < /, ах2

если р — гладкая функция на [0,/] с §у(0) = §у(0 = 0.

Функцию f(t, ж, u) : R+ X [0, /] X Ха -У X определим так: f(t, ж, и) = аи — Ьи2. Краевую задачу (3) формально можно записать как задачу Копти для дифференциального уравнения в банаховом пространстве:

du , . . .

— + Аи = f(t, ж, u), t > t0, (4)

at

u(t0) = u0.

Для доказательства теоремы воспользуемся следующими предложениями.

Предложение 1. Оператор А является векториальным. Доказательство. Пусть у £ D(A) и ф £ D(A), тогда

(Ад, у)

i

i

к / р"(x)p(x)dx = к (<p'(x))2dx > 0,

о

о

(Ар,ф)

i i

к / p"(x)'ijj(x)dx = —к / p(x)ijj"(x)dx

(р,Аф),

о о

так что, используя теоремы Фридрихса [2], мы можем считать оператор А расширенным до самосопряженного плотно определенного линейного оператора в L2(0,l). В этом случае

D(A) = {р(Е L2(0,l) | Ар £ L2(0,l)} = Hq(0, I) П Я2(0,/).

Учитывая замечание 1, делаем вывод, что оператор А секториален. ■

Предложение 2. Функция / = аи — Ьи2 является локально-липшицевой по и, при условии, что и £ Hq(0,1).

Доказательство. Функция f(t, ж) : U —> X, U cRxI. Фиксируем (t, ж) £ U и К ее окрестность. Тогда для любых iti,Xi), (А2,ж2) £ V будем иметь

\\f(ti,xi) — f(t2, ж2)||щ = ||аж! — Ьж2 — аж2 + ЪхЦ\ь2 < a\\xi — х2\\ь2 + Щх^ — хЦ\ь2,

i I

о о

Поскольку Xi,X2 G Hq(0,1), то существуют Mi = sup |жг-(з)|. Пусть М =

sG [О,/]

max{Mi,M2}, тогда \х\ + ж2| < 2М. Следовательно:

Замечание 3. Функция / является непрерывной.

Для доказательства этого замечания достаточно по любому г > 0 выбрать 8 = е/(2а + 4Mb). Учитывая неравенство, полученное в доказательстве утверждения 2, получаем Vti, ж2 G А(||ж1 — ж2||^2 < 8 => ||/(Д, м) —/(t2, ж2)||ц2 < е).

Таким образом, оператор А и функция / удовлетворяют условиям теорем 2 и 3, что обеспечивает существование и единственность решения задачи (4) на всем множестве U С R X X. При этом, если U ограничено, то либо решение существует при всех t -У +оо, либо решение стремится к границе dU. В случае неограниченного U бесконечно удаленная точка входит в множество решений.

В силу построения оператора А и функции /, все полученные результаты переносятся на решение исходной задачи (3). ■

4. Заключение

Приведенный результат гарантирует существование и единственность решения поставленной задачи, при условии, что начальные данные принадлежат классу i/g (0, 0- При этом решение будет находиться в классе Hq(0, 0 3 Н2(0,1). Кроме того, теорема 3 гарантирует глобальное существование решения либо в заданном ограниченном множестве У, либо во всем пространстве решений. При этом решение существует при всех t -У +оо или стремится к границе dU. В случае неограниченного пространства бесконечно удаленное решение также считается решением задачи.

1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.:

Мир, 1985.

2. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир,

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

о

Получаем ||/(Д, жД — /(t2, ж2)||х,2 < У||ж1 — ж2||х,2, L = (а + 2Mb).

Литература

1979.

4. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.