CC BY
72
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №3_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, Х.С.Кучакшоев
О МОДИФИЦИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ ХЕМОТАКСИСА
Институт математики АН Республики Таджикистан
В данной работе рассматривается вопрос разрешимости начально краевых задач для модели хемотаксиса с нелинейным диффузионным членом.
Ключевые слова: Келлер-Сиджел - хемотаксис - нелинейная диффузия - режим с обострением.
1. За последние десятилетия происходило интенсивное развитие идей и методов, посвященных механизмам направленного переноса, обеспечивающих перемещение в популяциях клеток и микроорганизмов к лучшим условиям обитания (таксис). Рассмотрим данный механизм на примере клеток, обладающих амебоидной подвижностью, а именно - амебы Dictyostelium discoideum (Dd). Амебы, выходящие при благоприятных условиях из созревшего плодового тела, вначале равномерно распределяются в доступном им пространстве и вегетативно воспроизводятся до тех пор, пока не исчерпается имеющаяся пища. Далее следует первая стадия развития организма, то есть агрегирование. Здесь клетки - "водители ритма” (pacemakers) - периодически испускают химические импульсы циклического аденозинмонофосфата (цАМФ), что заставляет соседние циклы двигаться по направлению к ведущим центрам и в то же время периодически испускать цАМФ. Таким образом распространяется химический сигнал, вызывающий агрегативное движение всей популяции, которое служит примером явления, известного как хемотаксис, - движение, вызванное градиентами концентрации химических веществ. Когда несколько тысяч амеб собираются вокруг ведущего центра, они образуют плотную массу, имеющую вид слезневого плазмодия, который начинает двигаться с определенным периодом и волновыми сжатиями, распространяющимися вдоль тела плазмодия. Через некоторое время движение агрегата клеток (плазмодия) прекращается и начинается формирование стеблеподобного плодового тела с головкой, содержащей споры. В благоприятных условиях споры покидают плодовое тело и распространяются в имеющемся пространстве, после чего весь процесс повторяется. Коэн и Робертсон [1] дают полное описание процесса и утверждают, что полный цикл хемотаксиса Dd занимает 8-10 ч. Процесс хемотаксиса детально изучен также для кишечной палочки Escherichia coli. Бактерия Escherichia coli при соответствующих условиях может самовоспроизводиться (расщепляться) за 20 мин. Способность двигаться у бактерии E.coli обеспечивается за счет филаментов, которые вращаются с частотой 100-200 оборотов в сек. Хемотаксис для бактерии - это двигательная реакция в ответ на появление в среде хемоаттрактанта - вещества, привлекающего бактерии, или хеморепеллента - вещества, отпугивающего бактерии. Бактерия E.coli в нейтральной среде чередует свои действия: то перемещается прямолинейно, то вращается. Если бактерия перемещается по градиенту хемоаттрактанта, то перемещение продолжается в этом же направлении, обеспечивая поиск более
Адрес для корреспонденции: Илолов Мамадшо Илолович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН Республики Таджикистан. E-mail: ilolovm@gmail.com
благоприятной окружающей среды. Если же бактерия перемещается по противоположному градиенту хеморепеллента, то обеспечивается избегание неблагоприятной окружающей среды. Подробный анализ хемотаксиса бактерий дан у Адлера [2] и Берга [3].
В 1971 г. Келлер и Сиджел [4] предложили математическую модель, описывающую явление хемотаксиса и представляющую собой начально краевую задачу следующего вида:
дп{х, ^х, ^)Ус(х, ^)], х е О, ^ > 0,
dt дс( x, t)
= Ac(x, t) - an(x, t), x gQ, t > 0,
dt 2 (1)
n(x, 0) = n0 (x) > 0, c(x, 0) = c0 (x) > 0, x gQ,
ЩхО = SdM = 0, x Ean,, > 0,
7 7
где n(x, t) - плотность популяции амеб или бактерий; c(x, t) - концентрация химического вещества (цАМФ, хемоаттрактант или хеморепеллент); d, d2,х - коэффициенты диффузии популяции амеб или бактерий, диффузии химического вещества, коэффициент хемотаксиса соответственно; а -скорость потребления вещества одной клеткой, причем d, d2 ,Х,а - положительные числа, Q -
ограниченная область в RN с гладкой границей dQ , 7 - внешняя нормаль к SQ .
Задача (1) весьма подробно изучена для случаев N = 1, N = 2, d = d2 = 1,а < 0 и когда второе
уравнение стационарное. Для этих случаев в работах [5-8] установлено, что система (1) глобально разрешима, когда выполнены следующие условия:
П (x) g 1} (R2, (1+1 x |2)dx), n (x)logn0 (x) g L1 (R2, dx) (2)
XM < 8ж, (3)
где
M := I n (x)dx = I n(x, t)dx.
R 2 R 2
В случае xM > 8ж решения системы (1) уходят в бесконечность за ограниченное время.
В критическом случае, то есть когда выполняется (2) и в (3) стоит равенство, система (1) допускает радиально-симметричное стационарное решение.
В работе [9] доказана теорема существования и единственности классического решения начально краевой задачи (1) в случае N = 2, а > 0, если выполнены следующие условия:
I Па(x),c0(x) g C2+p(Q),0 < p < 1,
lXMc0 <а2 ,
и
где Мс _Отах с0 (х).
Механизм хемотаксиса находит свое приложение в медицине. Речь идет о недавних экспериментах научной группы из Университета Марии и Пьера Кюри (Париж, Франция) под руководством профессора Масуда Миршахи. Данная группа работает с человеческими эндотелиальными клетками на матригеле. Установлено, что эндотелиальные клетки допускают направленные движения и образование сетей, которые можно интерпретировать как начало процесса васкулатуры. В работе [10] введено новое понятие hospicells - клетки близко ассоциированные с клетками опухолей рака. Вместе с другими факторами, hospicells обеспечивают ангеногенезис - основную предпосылку роста опухолей и подчеркивают важность клеточной микросреды. Учет дополнительного фактора ангеногенезиса вынуждает ввести в модель хемотаксиса нелинейную диффузию. Более точно мы будем в данной работе исследовать следующую систему уравнений:
дп(x, г) _ уп(х, г) _^п(х, г)Ус(х, г)], х е О, г > 0,
дї дс( х, ї)
= У(| Ус |с Ус)-ап(х, ї), х є О, ї > 0,
дї (4)
п(х, 0) = п (х) > 0, с(х, 0) = с0 (х) > 0, х є О, дп( х, ї) дс( х, ї)
= 0, х є дО, ї > 0,
где с — положительное число. Все остальные обозначения те же, что и для системы (1)
Мы не будем обсуждать биологические и медицинские выводы, а докажем, что начальнокраевая задача (4) однозначно и глобально разрешима на любом конечном промежутке времени.
2. Рассматривается задача нахождения функций (п, с), удовлетворяющих систему уравнений хемотаксиса с нелинейной диффузией концентрации хеморецепторов с вида
дп(x, ї) = Дп -^У(пУс), х є О, ї > 0, (5)
дї
дс(хї) = У(| Ус |р-2 Ус) + п, х є О, ї > 0, (6)
дї
где р > 2 — заданное число с граничными условиями
дп дс
= 0, х є дО, ї > 0,
д^ д^
где Т - единичная внешняя нормаль к дО и начальными условиями
п(х, 0) _ п0 (х), с(х, 0) _ с0 (х), х еО, г > 0,
где п0(х),с0(х) е Ь2(О).
<
Замечание 1. В случае p = 2 система (5)-(6) представляет собой систему Келлера-Сиджела
и, следовательно, для его анализа известный метод компактности (см.напр.[11]) не приведет к успеху.
В данной работе применяется метод М.И.Вишика [12] разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков. Уравнение (6) относительно неизвестной функции с(г) выбрано в качестве "модельного уравнения”.
3. В этом пункте приводим нужные нам в дальнейшем функциональные пространства.
Будем рассматривать пространства
(1).
Замечание 2. Уравнение (6) содержит сильные нелинейности вида
^ д .. до p_2 до
W1 p (Q) = {о | о є Lp (Q), — є Lp (Q), i = 1........N},
dx
которые являются банаховыми с нормой
через Wq’p(Q) обозначим замыкание D(Q) в W1 p(Q) , или, что тоже самое
W1 (Q) = {с | с gW1, с = 0 на p
-1 ' ill через W ,Р (Q) обозначим сопряженное пространство к W0’p (Q) , где —I—- = l.
Оператор ф ^ А(ф) отображает W1p (Q) в W 1 p (Q) . Для ф,уgWI’p(Q) имеем:
(Аф,^) = а (ф,ф),
где
Далее через | • | обозначим норму в L2, то есть
Ifl=l |f| I
L2( Q)
Для доказательства разрешимости используем метод Фаедо-Галеркина, сходимость которого базируется на трех априорных оценках. В данном пункте выводим эти оценки.
Первая априорная оценка. Умножив (6) на с, получим
1 It 1 C(t) 12 = a(C(t), C(t)) * (C(t), n(t))-
Заметив, что норма (а(с, с))p = 11 с |1 эквивалентна норме | | с |1^i,p(Q) HaW0hp (Q) и предположив
n є Lp (0,T ;W1 1 (Q)), о0 є L(Q));
получим
откуда
11°(t)I2<11 о0|2 +jll °(r) IIp dr + J 1 In(t)IlW-i,p-(Q)| 1 °(r)1 \dr,
I c(i) |2 +j|| C(r) ||' dr <| Oo I2 +Ci j|| n(r) ||;:_i,(q) dr,
где ^ - некоторая константа.
Вторая априорная оценка. Формально продифференцируем (6) по ? и, умножив на с’, полу-
чим
(о'(0, о'(/))=(p _1)£J-|-
1=1 П dXi
до
дх,.
Р_2 ^ дх
о'dx + (n', о').
(7)
Можно переписать "нелинейный” член из (7) в виде
N
(Р _ 1)Zj
i=1 Q
до Р_2 "доЛ
дхі чдх= J
dx =
4(p _1)
Р i=iQ
Г ( д_
д
v v
до
дх
Р_2 лл
2 до
дхг.
JJ
dx,
откуда
t j
д_
дt
V v
до
дх
p_2 W
до
дхі
JJ
dxdr +11 v'(0) |2 +| (n', о,)dr.
Третья априорная оценка. С этой целью введем в рассмотрение функцию , обладающую следующими свойствами:
2
2
щ є В(О), щ(х) > 0 при х є О,
щ = 0 на дО и = 0 на дО.
дц
(8)
Умножив обе части (6) на (—уАе), получаем следующее равенство для нелинейного члена
| Л(с)(-щАп)ёх ■
4( р -1)
О
N
У1
г,) =1О
( ( д
дХ)
V V
дс
дХ
Р-2 \\
дс
дх
ёх +
N
N
У Г —Л(с) /х + УГУ оЦ () дх У І-
( р-2 л
д дс дс
дхг дх) дх) ) У
V
УУ
дщ
(9)
дх
ёХ.
)
Два последних слагаемых в (9) имеют ”более низкий порядок”, так что можно получить оценки для
I— д де
(Р—X где
дх. дх.
] ‘
Р—2
Р(Х) =| Я | р я.
Теперь, пользуясь методом Фаедо-Галеркина, построим ’’приближенные” решения для уравнения (6). С этой целью введем оператор
Вг = — ((Г — г) —) — уАг + Яг, дг дг
где Я > 0, г(х,г) определена в Q = Ох (0, Т) , а функция у определена в (8).
Имеет место утверждение.
Лемма 1. Существует такой ”базис” из функций г1,..., гот, достаточно гладких в Q, что функции {Вг}} образуют ”базис” в пространстве Ир (0,Г;Щ!’р (О)) •
Используем метод Фаедо-Галеркина в следующем виде:
Ищутся такие ет е [ г1,..., гт ], что
Т
Г (с», В2) )* = Г (Л(ст ), В2) уіі + Г (п, В2) )Л, 1 < ) < т.
(10)
0
Замечание 3. Так как Бг] образует базис в И (0,Г;Ж0’р (О)), то отсюда следует, что если в
(10) ет ^ е , то функция е удовлетворяет предельному уравнению (6).
Сформулируем основной результат для уравнения (6).
дп I— дп
Теорема 1. Предположим, что п,—,\/у-е И (Q), е0 (х) = 0, где у удовлетворяет усло-
дг дхг.
виям (8).
<
2
Т
0
0
Тогда существует, и притом единственная функция с, обладающая следующими свойства-
ми
с е И(0,7;И'(П)),
с'е И2(П),
_д_
дх,-
дс
дх
р-2
2 дс_
дх
:И2(П),У/, у,
,/(7-0
дг
дс
дх
-2. ^
2 дс_
дх
:И2(П),У/,
и удовлетворяющая уравнению (6)
Доказательство. Доказательство теоремы состоит из установления утверждений леммы 1, решения уравнений (10), применения априорных оценок, перехода к пределу и доказательства единственности решений уравнений (6).
5. Вернемся теперь к уравнению (5), используя результаты теоремы 1. Представим уравнение (5) в виде
С учетом условия
дп
— = Ап - хУпУс - хпАс, х е П, г > 0.
дг
п( х, 0) = По( х),
выпишем формальное решение
? г
п(г) = 7 (г)по -1 7 (г - $)хУпУ^$ -171 (г - ^)хпАа^,
о о
где через 7 (г) = обозначена полугруппа решений уравнения теплопроводности. Сформулируем теорему существования решения (п, с) системы (5),(6) в пространстве И2(П) хИ^’р (П) .
Теорема 2. Предположим,что п еИ2(П),с еЖ1,р(П).
Тогда существует единственное решение (п(г), с(г)) системы (5)-(6) такое, что
п е Ир (0,7; И2(П))
с е Ир (0,7;И1р (П)).
При доказательстве теоремы использован принцип неподвижной точки Банаха для сжимающих отображений с коэффициентом сжатия
д
и
1 і у(Т4 + Т2) 1 >а(Х, Т) = —Z( )
1 -Х(Т4 + Т 2)C2
где С2 - некоторая константа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cohen M.A., Robertson. - A.J.Teor.Biol, 1971, 31, pp.119-130.
2. Adler J. - Ann.Rev.Biochem, 1975, 44, pp.341-356.
3. Berg H.C. - Princeton; Princeton University Press, 1993, p. 164.
4. Keller E.F., Segel L A. - J.Theor.Biol, 1971, 30, pp.235-248.
5. Nagai T., Senba T.,Yoshida K. - Funk.Ekvacioj, 1997, 40, pp.411-433.
6. Dolbeault J.,Perthame B. - C.R.Math.Acad.Sci.Paris, 2004, 339, pp.611-616.
7. Herrero M.A.,Vela’zguez J.L. - Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa, 1997, (4), 24, pp.633-683.
8. Hillen T.,Potapov A. - Math.Meth.Appl.Sci, 2004, 27, pp.1783-1801.
9. Тупчиев В.А, Фомина Н.А. - Математическое моделирование, 2001, т.13, N2, с.95-106.
10. Pasquet M. at all. - Jnt.J.Cancer, 2010, 126, pp.2090-2101.
11. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-Москва; Издательство ”Мир”, 1972, 587 с.
12. Витттик М.А. - Матем.сб., 1962, 50(доп.), с.289-325.
М.Илолов, Х.С.Кучакшоев
ДАР БОРАИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ХЕМОТАКСИСИ МОДИФИТСИРОНИДАШУДА
Институти математикаи Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон
Дар маколаи додашуда проблемаи хдлшавандагии масъалах,ои ибтидой-канорй барои модели хемотаксис бо аъзои диффузиявии гайрихаттй дида мешавад.
Калима^ои калиди: Келлер-Сицел - хемотаксис - диффузияи гайрихаттй - рецаи майлкунй ба бео-хир.
M.Ilolov, Kh.S.Kuchakshoev ABOUT MODIFIED SYSTEMS OF THE CHEMOTAXIS EQUATIONS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
In this paper we consider the solvability of initial boundary value problem for model of chemotaxis with nonlinear diffusion element.
Key words: Keller-Segel - chemotaxis - nonlinear diffusion - blow up.
