CC BY
64
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №11____________
МАТЕМАТИКА
УДК 518.9
Х.С.Кучакшоев
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ СИСТЕМЫ ХЕМОТАКСИСА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 28.09.2009 г.)
Для начально-краевой задачи системы уравнений Патлака-Келлера-Сегеля предложены разностные схемы, устойчивость которых доказана методом гармоник. Найдены также условия применимости метода прогонки для решения соответствующих разностных уравнений. Полученные результаты находят применения в задачах математической биологии [1-4].
Рассмотрим краевую задачу для системы параболико-эллиптических уравнений вида
известной в литературе как модель хемотаксиса (см., напр. [1]). Здесь через и( х, t) обозначена плотность клеток или бактерий, через г( х, t) - концентрация хемоаттрактантов, определяющих направленный перенос клеток или бактерий, а постоянная % отражает чувствительность бактерий к химическим сигналам и называется также мерой нелинейности системы.
Для построения разностной схемы системы (1)-(3) потребуем, чтобы функции и, V, а также и краевые и начальные функции были достаточно гладкими. Введем равномерную сетку с шагом к по переменному х и с шагом г по переменному t, то есть
(1)
у" = -и, 0 < х < І,0 < і < Т,
(2)
и(0, і) = (р(і), и(І, і) = ^(і), у(0, і) = іл(і), у(І, і) = у(і), 0 < х < І,
(3)
Ч = {xJ = ІК І = 0,1,..., N, ИЫ = І},
сот = {іп = Ш, п = 0,1,..., К, Кт = Т}.
Разностная схема, соответствующая системе (1)-(3), имеет следущий вид
yj = uo (xj ),j = 0,1,..., N, yj =v(tn), ynN =y(tn), n = 0,1,...^, (5)
zn _ 2zn + zn
1 1 '-^ = _y;, j = 1,..., N _ 1, n = 1,...* _ 1, (6)
h 1
z0 =ЖX zN = их), n=0,l,..., к. (7)
Это явная разностная схема. Здесь разностное уравнение (4) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1) в точке (х., tK) с первым порядком по т и вторым порядком по h . Разностное уравнение (6) аппроксимирует дифференциальное уравнение (2) в точке (х., tw) со
вторым порядком по h. Как установлено в [5], cхема (6),(7) устойчива при каждом фиксированном n. Там же доказано, что разностные уравнения (6),(7) можно решить методом прогонки при каждом фиксированном n, начиная с n = 0.
При исследовании устойчивости схемы (4),(5) применяем принцип замороженных коэффициентов. Предположим, что
z; _ z;_ = £ = const, (8)
z;_x _ 2z; + z;+y = Sn = const. (9)
Тогда разностная схема (4),(5) примет следующий вид
у;+1 _ у; _у;- 1 _2 у;+у; 1
h2
n
-х£'1+1'г 1 -1 - ~Тг~ yj, j = 1,..., N -1, n = 0,...K -1, (10)
2к2 к2 ;
у°= ио (Х = о»1»-» #» у0 = ), упм = иХ),п = 0,1,..х. (11)
Таким образом, систему разностных схем (4)-(7) можно решить следующим образом:
1) находим значения г{0 на нулевом слое из разностной схемы (6),(7);
2) находим значения у’ на первом слое из разностной схемы (4),(5) по найденным г{0;
3) находим значения г\ на первом слое из разностной схемы (6),(7) по найденным у’ .
Как будет доказано дальше в теореме 3, эта схема условно устойчива. И это является существенным недостатком данной схемы.
Чтобы построить неявную разностную схему для системы (1)-(3), используем шаблон
(X»К)»(хг+і»*п+і)»(х,-1»^п+1)(X»^п+1) . В результате получим
т
уП+1 -уп _ уп+1 -2уП+1 + уп;; (уп;; -у-1) (^ -^п^)
X'
к2 2к к
п+1 о п+1 . п+1
, 1 . л — 21 . + 1 . л
-ХуГ 1-----------------г2---------—, І = 1,...,N - 1,п = 0,...К -1, (12)
1 к
уі = ио(х,X у0+1 = <р(*пЛ уТ = ИХ+Л (13)
п+1 г\ п+1 . п+1
І1-1 - І1-1111 = -уГ 1,1 = 1,..., N -1, (14)
1Ґ 1 = ИХ+1),п = К-1. (15)
Разностная схема (14), (15) абсолютно устойчива (см., напр. [5]). Теорема 1. Разностная схема (12),(13) устойчива при условии
4 С1П 2 кє
п+1 г\ п+1 . п+1 ^ ^ ОИ1 2
11-1- 21і +11+1^---------------------~
или
п+1 0 п+^ п+1 . 2 + 4^ біп2 ^
1 І-і- 21 і + 1
УХ
где
т
Г = Т2 ’п = О’1’-"’К ~!’•/ = 1’-’N ~ !• к
Доказательство. Для упрощения записи используем (8) и (9). Будем искать решения уравнений (12),(13) методом гармоник, то.есть решения, имеющие вид
у = ^е«ке, (16)
где ; - мнимая единица, е - любое действительное число, q - число, подлежащее определению. Подставляя (16) в уравнение (12) и сокращая на в^к£ ’ получим
1 - і = г(в,кє - 2 + є"к ^ (в1ке - є"1кЕ )Г - ухдп.
д 2 11
где 7 = тг.
_т_
к2
Следовательно,
т
1 1 Л ' 2 he . гп ' 1 е
1 — = _4/sin-------iyXbj sinhe_yxS‘
q 2 1
1 he
— = 1 + 4/ sin2-1- yxS; + i/X^n sin he
q 2 j j
или
q =
1 + 4/ sin2 he + /xS" + iYX%n sin he
(17)
Введем обозначения
2 he
в; = 1 + 4/ sin — + /xSj”,
(18)
= Xй sin he.
(19)
Из (17)-(19) получим
q =
en+ii;
(20)
Из (20) следует, что
q =
V(ej" )2+(ij )2
(21)
Из (21) очевидно, что если
(в; )2 > 1
(22)
либо
(23)
то |q| < 1. Но условие (23) приводит к противоречию, поскольку влечет за собой неравенство
/X^n sin he > 1
или
1
/X sin he
(24)
Из (24) имеем
1
1
1
n—1 n—1 -zi -zi-і >
1
/X sin he
Поскольку e произвольное действительное число, тогда при e = 0 из (25) получим
(25)
;+1 ;+1
zi - zi-
h
что противоречит гладкости начальной функции. Следовательно, если выполняется условие (22), то < 1-
Неравенство (22) эквивалентно неравенству
1 + 4r sin2 є rx<5;
> 1.
(2б)
Из неравенства (26) следует
или
hє
4r sin2 — - rx^; > 0
1 + 4rsin2 ^+ rX<5; ^-1.
Таким образом, мы получаем неравенство
или
4 sin 2 —
?;+1 _ 9 -;+1 n+1 > _ 4 sin 2
ZJ-1 2 zj + ZJ+1 >
X
;+1 o_n+i, _n+i^ 2 + 4rsin2 f
n — 1 о n — 1 . n — 1 ^
zi -i- 2 zi +zi+i^-
rx
Теорема доказана.
Разностную схему (12), (13) можно решить методом прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Для этого нужно проверить условия устойчивости метода прогонки(см., напр. [5]). Систему с трехдиагональной матрицей можно решить методом прогонки. В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид
(27)
У0 = К"іУі + Мі, yN = К2yN-1 + М .
(2В)
Для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать,чтобы коэффициенты системы (27),(28) удовлетворяли условиям
а} Ф О’ Ь} Ф 0’ \о\ > \а} | + \Ъ} | ’ 1 = \ 2^„’ N - 1’ (29)
|^| < 1’ \к2\< 1- (30)
Теорема 2. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (12),(13), если выполняются следующие неравенства
п+1 /-) п+1 . п+1 ^ 1 + 4У
-1- 2г1 +11<------------
или
п+1 /-> п+1 . п+1 \ 1
г1-1- 2 г1 +г1+1>—’
УХ
где
т
У = 77’п = 0’ 1’---’К - 1’ 1 = 1’---’N - 1 • к
Доказательство. Решение системы (12), (13) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с п = 1 - Но здесь, в отличие от явной схемы, для нахождения у”-1 по известным уп требуется решить систему уравнений
(У + УХ(г" + -г"-1))у“+ -(1 -2у + ух(Ц-21 -11))у";' -
(У-УХ(;"+■ - Ц))уП+1 =-у., (31)
у0 = ио (х,)’ у0+1 = (рЦп+1)’ у^1 = ^пЛ (32)
Или, используя обозначения (8) и (9), напишем уравнения (31),(32) в более сокращен-
ной записи
(у+уОу”1 - (1-2у-ух<5;'+‘)уГ1 +(у-УХ^"+|)у;++1 =-у”, (33)
у0 = ио(х,)’ уТ = ^Х+Л уГ = ИХ+Д (34)
При каждом фиксированном п уравнения (33),(34) можно решить методом прогонки. Проверим устойчивость метода прогонки
1 у- -11 11 + Ь+1 1 =-11 = 1’ 2’---’ N -1’
уО = ио (х)’ уГ = уТ = ¥(кл
где
ап+ =У + Х;-1 ’ (35)
1 = 1 + 2у + ух8"+1 ’ (36)
Ьп+1 =у-УХ^п+1 - (37)
В силу условий (29), (30) проверка устойчивости метода прогонки сведется к проверке выполнения неравенства
\СТ1 -
ап+1 + Ъп+1
, І = 1,2,3,...N -1. (38)
Но из (35)-(37) следует, что
еп+1 = 1 + ап+1 -Ь"-1 -йп+\
где
1 =ух^+1 -
Заметим, что
ап+1 -ь;+1 =У> 0-
При выполнении неравенства (38) рассмотрим сначала случаи
1) ап+1 > 0’ Ьп+1 < 0’
или
Г+Х.Г1 > о,^С1 >- -,
2 X
7-Хг 1 < о,^г1 > -.
2 X
Из последних двух неравенств следует, что
2
11 > -
1 Х
и тогда выполняется (38), если
„Л _п+1 \ _,п—1 Ъ.п+1 _х с*п+1 -
а) е ^ > а ] - Ьj ^ о] >
или
Ь) еп+1 < -ап+1 — Ь+1 ^ Оп+1 < Затем рассмотрим случай
2) а]+1 < 0’ Ьп+1 > О’
или
У + У^г+1 < О’^г+1 <2 1 1
У-—С+1 > 0,^1+1 <
2 1 1
Из последних двух неравенств следует, что
2
^п+1 ^ ^
1 Х
и тогда вновь выполняется (38), если
а) е]+1 >-а]+1 +Ьп+1 ^О']+1
или
Ь) е;+1 < агп+1 - Ь+1 ^ О^1 < -Наконец рассмотрим случай
3) агп+1 > О’ Ь"+1 > 0 ’
или
_1_
УХ
1 + 4у УХ '
2
’
Х
2_
х'
1
>--------
УХ
1 + 4у УХ '
r+x;-1 > o,»j1 >--, 2 1 1 x
У-Хт1 > 0’^1Г1 < - -
2 1 1 х
Из последних двух неравенств следует, что
2
1;”+1 < -1 Х
и тогда выполняется (38), если
1
УХ
a) c;+1 > a;+1 + b;+1 ^ S;+1 > —
или
b) cn+1 < -(a;+1 + b;+!) ^ S;+1 < -1 + 4r
rx
Теорема 2 полностью доказана.
Теорема 3. Разностная схема (10),(11) устойчива при условии
z; - ji <—. (39)
rx sinh є
Доказательство. Чтобы доказать теорему 3, используем метод гармоник, то есть будем искать решения уравнения (10), (11) в виде (16). Проводя аналогичную работу, как и в случае доказательства теоремы 1, получим
hє
q = (1 - 4rsin2-rxSj) - irx^j sin hє.
2jj
Если
|q| < 1 (40)
для всех действительных є, то разностное уравнение (10), (11) устойчиво. Условие (40) вы-
полняется, если
2
или
(1 -4rsin2 —-rxSj)2 + r2x2(^j)2 sin2 hє < 1.
1 -2(4rsin2 ——-rxSj) + (4rsin2-—-rxSj)2 + r2x2(^j)2 sin2 hє < 1.
Следовательно,
hє
hє
-2(4rsin2 ——-rxSj) + (4rsin2 ——-rxS;)2 +r2X2(^j)2 sin2 hє < 0.
(41)
Из неравенства (41) следует
rx^j sin he < 1
или
<-
1
1 rX sinh є
Следовательно, из неравенства (42) получим (39). Теорема 3 доказана.
(42)
Российско-Таджикский (Славянский) университет
Поступило 28.09.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Keller E.F., Segel.L. - J. Theor. Biol., 1971, 30, pp.235-248.
2. Hillen T., Othmer H. - J. Appl. Math., 2000, 61, pp.751-775.
3. Илолов M., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. - ДАН РТ, 2008, т.51, №12, с.795-801.
4. Илолов М., Кучакшоев Х.С. - Докл.РАН, 2009, т.486, №3, с.1-3.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. - М.: Наука, 1989, с.259-286.
Х.С.Кучакшоев
СХЕМАХ,ОИ ФАРЦЙ БАРОЙ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ ДИРИХЛЕИ СИСТЕМАИ ХЕМОТАКСИС
Баpои масъалаи ибтидой-каноpии системаи муодилах,ои Патлак-Келлеp-Сегел схемах,ои фаpк;й бо шаpтx,ои yстyвоpиашон пешних,од шудаанд.
Kh.S.Kuchakshoev
DIFFERENCE SCHEMES FOR DIRICHLET PROBLEM OF SYSTEM OF CHEMOTAXIS
For initial-boundary problem of system of Patlak-Keller-Segel equations proposed difference schemes with the conditions of their stability.
