CC BY
73
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.951
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов
АБСТРАКТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан
Установлено, что при помощи нелинейных полугрупп абстрактные дифференциальные уравнения с импульсным воздействием могут быть сведены к разрывным динамическим системам. Примерами разрывных динамических систем являются открытые системы с импульсами, гибридные динамические системы, сети Петри и пр.
Ключевые слова: разрывные динамические системы - нелинейные полугруппы - система с импульсным воздействием.
1. Различные сложные явления и процессы допускают математическую формализацию в виде абстрактных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в случае бесконечного фазового пространства. Системы с запаздыванием, гистерезисные системы и системы с распределенными параметрами могут быть примерами таких абстрактных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения с импульсным воздействием и системы таких уравнений всесторонне изучены в монографии [1], где приведена классификация таких систем в зависимости от характера воздействий. Существуют три класса (типа) таких систем: 1) системы, подвергающиеся импульсному воздействию в фиксированные моменты времени; 2) системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Р на заданные поверхности ^ = гг (х) расширенного фазового пространства; 3) разрывные динамические системы.
В случае абстрактных уравнений нельзя исходить из данной классификации и, следовательно, нужно по-иному ввести понятие решения.
В данной работе рассматриваются полулинейные эволюционные уравнения с импульсным воздействием в банаховом пространстве. Здесь в отличие от работ [2,3] предлагается рассматривать начальную задачу для абстрактных уравнений в виде некоторой разрывной динамической системы. Существенную роль играют наборы нелинейных полугрупп, впервые введённые в рассмотрение в работах [4,5]. Разрывные динамические системы возникают при моделировании различных эволюционных процессов, таких как гибридные динамические процессы, дискретные событийные процессы, системы с переключениями, механические системы с импульсным воздействием и пр.
2. Пусть X - банахово пространство с нормой Ц-Ц , Т ^ Я - открытое подмножество Я . Будем считать, что абстрактная функция и: Т ^ X непрерывна и дифференцируема в сильном
Адрес для корреспонденции: Илолов Мамадшо. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 33, Центр инновационного развития науки и новых технологий АНРТ. E-mail: ilolov.mamadsho@gmail.com.
смысле. Через Ск(Т, X) обозначим класс X -значных к -раз непрерывно дифференцируемых на множестве Т функций. Через Z(X) обозначим пространство всех линейных ограниченных операторов действующих из X в X .
Рассмотрим абстрактную разрывную динамическую систему (ЛРОС) вида
+ Aku(t) = fk (u(t)), тк < t <тк+1,
du(t) dt
u(t) + BkU(t— ) = gk (u(t— )), t = Tk+i, k e N,
(1)
где A - набор секториальных операторов в X, fk : X - нелинейные отображения, удовлетворяющие условию типа Липшица, Bk e Z(X), : X ^ X - непрерывные нелинейные отображения, и
u(t—) = lim u(t— в) .
Рассмотрим связанное с системой (1) семейство начальных задач du(t)
dt
■ + Aku(t) = fk (u(t)), u(zk ) = uk, t > тк, k e N.
(2)
На первом этапе анализа ЛРОС (1) нас будут интересовать условия существования по крайней мере одного непрерывного решения задачи (2).
С учётом результатов, изложенных в монографии [6], предположим, что операторы Л в (2)
ж
являются секториальными в пространстве X с углом с А < —. Это означает, что для всех к е N
2
выполнены следующие два условия:
(4) ^ Е = {Ä G с 11аг§-А < ®*}>
M
(¿ —Ak )-1 ^^^^, ¿¿Z«,
ж
<<a <юк < —
ar k 2
ж
(3)
<A << < —
ar k 9
Определение 1. Функция п(Х) называется сильным решением уравнения (1), если выполнены
условия:
( ( 03 ^ ^ 1)иеС [0,rt)ü У(г,тм) I и lim u(t)=u(Tk);
4fc=1
2) И еС1 f[0,оо)\U{г,};х) и + 4« = Jim + Aku(t) \ = fk(u(rj);
dt
v у
3) при t = выполняются равенства u(t + 0) — u(t) + Bku = gk.
M,.
(¿ — Ak )—1 , ¿¿Z«
ж
« «Ak <«k <-.
(4)
<
Нелинейные операторы / в (2) определены в О (А) и принимают значения из X, где
0 < ] < 1. Существует второй показатель ( такой, что 0 < ( <] и операторы / удовлетворяют условию Липшица вида
/ (и) - / (V )|| X <( ^ А(и\ + || А^||)х
х А] (и - V)|| + (|| А>|| +1| А])|| АР {и - V)||], и,у е О (А] ),
при Р > 0.
При ( = 0 функция / удовлетворяет другие неравенства
(5)
\\/к (и) - /к (V)||X <( 4 + |VI|)х
к (и -V) + ( А]и + А>||)||и- VII
, и,v е О(А]),
(6)
где (рк - некоторое семейство возрастающих непрерывных функций.
Введём пространства начальных значений О (А( ■) = О (А() как банахово пространство с
нормой графика | А( ■ |. Очевидно, что когда ( = 0 имеем = X . Из (3),(4), неравенств (5),(6) и
теоремы 4.1 [6, стр.178] в случае ( > 0 и теоремы 4.4 [6, стр.188] в случае ( = 0 следует существование единственного локального решения уравнений семейства (2) в функциональном пространстве
(7)
где ^ - положительное число, зависящее только от ||и 11.
3. В данном пункте исследуем основную систему (1).
Нам понадобятся следующие понятия.
Предположим, что У есть подмножество банахова пространства X. У будет метрическим пространством с расстоянием d(и, V) = ||и - , индуцированной нормой ||| .
Определение 2. Семейство однопараметрических нелинейных операторов £(¿) : У ^ У, t е Я+ называется нелинейной полугруппой на У , если
1) £(о)(и) = и для и е У;
2) £^ + s)(u) = £(^£(я)(и) для t, я е Я+, и е X;
3) £^)х непрерывна из Я+хУ в У .
Нелинейная полугруппа генерируется нелинейным оператором.
Определение 3. Нелинейный оператор А (возможно многозначный) порождает нелинейную полугруппу £(I) на У , если
х
£(t)u = lim (I - -A] (u)
и^ш ^ n J
для всех u e Y . Инфинитезимальный оператор As нелинейной полугруппы S(t) определяется равенством
As(u) = lim S(t)U - U, u e D(As) t
для всех u , для которых предел существует.
Оператор A и инфинитезимальный оператор As, вообще говоря, разные операторы. Определение 4. Нелинейная полугруппа £(t) называется полугруппой квазисжатия, если имеется число Л e R такое, что
||S (t)u - S (t)v|| < eM\\u - v (8)
для всех t e R+ и для всех u,v eY .
Если в (8) Л < 0 , то S(t) называется полугруппой сжатия.
Возвращаясь к APDC (1), зададим набор нелинейных полугрупп S = {S^(t)}, определённых на подмножестве Y банахова пространства X. Зададим также набор непрерывных операторов H = {Бк, 9к }, B • Y ^ Y и gk (•) : Y ^ Y . В нашем распоряжении также дискретное, бесконечное и неограниченное множество чисел
E = {0 = та,г1,г2,...,0<т1 <т2 <...}сR+. Количество элементов в S и H может быть конечное или бесконечное.
Рассмотрим теперь динамическую систему, для которой движение u(-, u0) с начальным временем t0 = 0 и начальным состоянием u(0) = u0 e Y задаётся при помощи следующих соотношений
(9)
\и(^щ) = £к(t - тк)(и(Гк)), Тк <t < ^+1, [u(t) = дк(и^-)) - Вки^-), t = Тк+1, к е N,
где N = {0,1,2,...}.
Определим теперь АРОС заданным набором нелинейных полугрупп ^) :
,ппл \и = и0): u(t, и0) = £к0-Тk)(u(Тk)), Тк < t < ^ АРБС = \ > (10)
lu(t) = дк(и0~))-вки(!-), ^^ = Тк+^ и(0) = иоеУ \
Заметим, что единственное движение и(^, и0) с условием и(0, и0) = и0, определённое в (9),(10), существует для всех t > 0 и непрерывно на [0, да) \ Е и может потерпеть разрыв при Тке Е .
Существование и единственность решения вытекает из условия квазисжатия нелинейной полугруппы (8).
Таким образом, APDC определена посредством набора нелинейных полугрупп {Sk(t)}. Предположим, что u = 0 является внутренним элементом множества Y и что Sk (t)(u) = 0 для всех t > 0, если u = 0 . Точно так же дк (u) = 0 для всех к е N, если u = 0 .
Отсюда следует, что u(t, u0) = 0 для всех t > t0, если u = 0. Нулевое решение u = 0 называется состоянием равновесия, а u(t, 0) = 0, t ^ 0 - тривиальным движением для APDC .
Поступило 07.05 2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. -Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1987, - 288 с.
2. Самойленко А.М., Илолов М. К теории эволюционных уравнений с импульсным воздействием. -ДАН СССР, 1991, т.316, №4, с.822-824.
3. Самойленко А.М., Илолов М. К теории неоднородных по времени эволюционных уравнений с импульсными воздействиями. - ДАН СССР, 1991, т.319, №1, с.63-67.
4. Michel Antony N., Sun Ye, Molchalov A.P. Stability Analysis of discontinuous dynamical systems determined by semigroups. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol.50, №9, September 2005, pp.1277-1290.
5. Michel Antony N., Hou Ling. Stability of dynamical systems with discontinuous motions beyond classical Lyapunov stability results. - SICE Jornal of Control, Mesurement and syste integration, vol.1, №6, novemder 2008, pp.411-422.
6. Yagi Atsushi. Abstract parabolic evolution equations and their applications. - Springer, 2010, 581 p.
М.Илолов
МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ АБСТРАКТЙ БО ТАЪСИРОТИ ИМПУЛСЙ
Маркази рушди инновасионии илм ва технологиями нави Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Нишон дода шудааст, ки бо ёрии нимгурухдои гайрихаттй муодилах,ои абстрактии дифференсиалй бо таъсироти импулсй ба системах,ои канишноки динамикй оварда мешаванд. Ба системах,ои канишноки динамикй системах,ои кушод бо импулсх,о, системах,ои гибридии динамикй, шабаках,ои Петри ва гайра мисол шуда метавонанд.
Калима^ои калиди: системаи канишноки динамики - нимгуруууои гайрихаттй - система бо таъсири импулсй.
M.Ilolov
ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSE EFFECT
Center of innovative development of science and new technologies, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Found that using nonlinear semigroups abstract differential equations with impulse effect can be redused to discontinuous dynamical systems. Examples of discontinuous dynamical systems are open finite-dimensional systems with impulse effect, hybrid dynamical systems Petrenets, ets. Key words: discontinuous dynamical systems - nonlinear semigroups - system with impulse action.
