Палиндромические автоморфизмы свободной группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)

УДК 519.14

ПАЛИНДРОМИЧЕСКИЕ АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ

А. И. Некрицухин (г. Тула)

Аннотация

В работе вычисляется копредставление группы палиндромических автоморфизмов свободной группы ранга два и изучаются некоторые свойства этих автоморфизмов.

АШ (^п) группа автоморфизмов свободной группы < х1 ) •••> Хп >• Рб-дуцированное слово х^ х^2 • • • хП-^1 хП называется палиндромом, если оно равно своему противоположному хПпхП-^1 • • • х22 х^. В [1] определена группа палиндромических автоморфизмов ПА(?п), как подгруппа АШ (Рп), состоящая из всех автоморфизмов а, для которых (х^а (правое действие автоморфизма а) есть палиндром для всех 1 = В [1] показано, что эта группа порождается

тремя типами автоморфизмов, которые определены следующими отображениям порождающих х^

1) х| —} х^хгх^, для любых 1,1 = ] и фиксирующими другие порождающие хк;

2) х| —> х-1, для люб ых 1 и фиксирующими другие

(1) порождающие хк;

3) автоморфизмы соответствующие элементам симметрической группы Бп, которые переставляют х1, •••, хп между собой.

Часть группы ПД(?п), порожденная отображениями первого типа называется элементарными палиндромическими автоморфизмами и обозначается ЕПА(?п). Вся группа палиндромических автоморфизмов есть полупрямое произведение ЕПА(?п) X Вп, где Вп - группа, порожденная автоморфизмами второго и третьего типов.

Далее будет рассматриваться группа палиндромических автоморфизмов ИА^) = ЕИА^) X В2. В соответствии с (1) эта группа порождается следующими автоморфизмами:

х —> уху п х —> х х —> х-1 с х —> х _ х —> у

а: , в '■ > а '■ '■ -1 > Р:

У -> У У -> хух у ^ у у ^ у 1 у ^ х

Здесь использованы символы а, Р, входящие в стандартный набор, образующий копредставление АШ (?2) (см. [3]). Будем вычислять копредставление группы ПА^), исходя из представления ее как полупрямого произведения.

Копредставление полупрямого произведения нормальной подгруппы Д =< а^^а^ | ^(а^) = 1 > и группы В =< Ъ1, •••,Ьт | Б^Ъ-^ = 1 > можно записать в следующей форме:

Д х В =< а1,—,ак,Ъ1,—,Ът | ИгЦ) = 1, Бъ(Ъ^) = 1,Ъ^Ъ-£ = и3(ар) >, е = ±1

Группа ЕПА(?2) порождается автоморфизмами а, в- Как известно, при гомоморфизме абеленизации ?2 —> ^2/^2) (?2 _ коммутант АШ (?2) отображатт-

ся на 01^(2). Поэтому а, в отображаются соответственно в матрицы

х, у

матрицы порождают свободную группу, значит, и а, в порождают свободную группу.

Группа В2 порождается фактически автоморфизмами а, Р. Действительно 6 = РаР. Поэтому копредставление

В2 =< а, Р | а2 = 1,Р2 = 1, (аР)4 = 1 >

а, Р

ставлении АШ (?2) [3]. Вычисляя действие сопряжением порождающих элементов ЕПА(?2) порождающими элементами В2 (через действие их на элементах =< х, у >

(2) ааа = а-1, 6а6 = а-1, РаР = в;

(3) ава = в-1,6в6 = в-1,РвР = а,

при этом, так как а2 = 1, 62 = 1, Р2 = 1, то записываем вместо а-1 = а, 6-1 = 6,Р-1 = Р.

Первое из соотношений (2) дает соотношение (аа)2 = 1, второе после подстановки 6 = РаР дает соотношение (аРаР)2 = 1, третье позволяет элимини-

ровать в- Первое из соотношений (3) после подстановки в = РаР снова дает соотношение (аРаР)2 = 1, второе после подстановок 6 = РаР и в = РаР дает соотношение (аа)2 = 1, а третье снова удаляет в- Значит, копредставление для ИА^) имеет вид:

(4)ПА(?2) =< а, а, Р | (аа)2 = 1, (аРаР)2 = 1,а2 = 1,Р2 = 1, (аР)4 = 1 > •

Рассмотрим некоторые свойства группы ПА(?2).

Первое из них связано с классами сопряженности элементов второго порядка, входящих в определяющие соотношения копредставления (4). Известно, что в группе АШ (Р2) есть четыре класса сопряженных элементов порядка два

[2]. Представители этих классов в АШ (?2) : Р, а, (Ра)2, РаЦаЦРа. Первые три элемента этого списка будут, конечно, и представителями классов сопряженности элементов второго порядка и в ПА(?2). Рассмотрим оставшиеся элементы второго порядка из копредставления (4): аа и аРаР.

аа = аЦ-1 аЦа = ЦаЦ-1 аа = ЦаЦ-1,

1 0 2 1

1 2 01

здесь Ц - порождающий элемент АШ (^2), входящий в набор стандартных порождающих элементов группы [3]. Значит аа сопряжено с а в АШ (?2)• Но в ПА^) аа и а те сопряжены. Действительно, если ПА(?2) профакторизовать по коммутанту и обозначить образы а, а, Р при естественном гомоморфизме ПА(?2) на П = ПА^ДПА^))' через <Р, а, Р, то получается копредставленпе:

П =< а, а,р | а2 = 1, = а2 = 1, Р2 = 1, аа = аа > •

Если бы аа было сопряжено с а в ПА(?2), то аа = ШаШ-1, Ш = Ш (а, а, Р) и в П аР = Р и, значит, <Р = 1. Но копредставленпе для П показывает, что этого не может быть.

Далее рассматриваем аРаР. Обозначим символом ~ сопряжение: В = ХДХ-1. Имеет место следующая последовательность сопряжений:

аРаР = аЦ-1 аЦРаР - Ц-1 аЦРаРа - Ц-1 аЦаРаР - РаРЦ-1 аЦа =

= ЦРаРаЦа - РаРаЦаЦ - РаЦаЦРа^

Значит, аРаР - РаЦаЦРа в АШ (?2)- Действие РаЦаЦРа на порождающих элементах Ь:

(х)РаЦаЦРа = х-1, (у)РаЦаЦРа = хух-1,

показывает, что РаЦаЦРа не является палиндромическим автоморфизмом. Следовательно, аРаР составляет свой класс сопряженности в ПА(?2). Поэтому в ПА^) по крайней мере 5 классов сопряженности элементов второго порядка.

Следующее свойство ПА^) связано с матричным представлением этой группы. Как известно, при естественном гомоморфизме —• ^2/^2 группа АШ (?2) отображается на матричную группу СЬ2(2) [2]. Порождающие элементы группы ПА(?2) а, а, Р при этом отображении имеют соответственно

образы:

(;; т • (-оо т( :о т

Легкая индукция по длине слова

Ш(а, а, Р) = ак1 Ш1(а,Р) • • • ак*Ш5(а,Р)

показывает, что образ Ш(а, а, Р) при естественном гомоморфизме АШ (?2) на СЬ2(^) есть матрица, у которой в каждой строке один элемент четный, а другой нечетный.

Вычислим центр группы ПА^).

Действие на порождающих элементах х,у группы ?2 показывает, что (Ра)2 принадлежит центру группы ПА(?2). Это также следует из определяющих соотношений копредставления ПА(?2): (Ра)2 коммутирует с а, а, Р. Оказывается,

центр ПА(?2) порождается (Pa)2 и, значит, является циклической группой порядка два. Предполагая, что это не так пусть в центре содержится элемент ф, не являющийся степенью (Pa)2 Так как ф го центра, то аф = фа. Тогда действие этого равенства на х,у дает равенства: (х)аф = (х)фа, (у)аф = (у)фа. Отсюда, (х-1)ф = ((х)ф)а, (у)ф = ((у)ф)а или

(5) ((х)ф)-1 = ((х)ф)а, (у)ф = ((у)ф)а.

Так как ф, а - палиндрпческпе автоморфизмы, то (х)ф и (у)ф должны начинаться и заканчиваться степенью одного и того же порождающего группы F2. Пусть это будет х. Тогда

(х)ф = ха ув1 ••• х“5 -1 ув -1 х“5, (у)ф = хТ1 у51 ••• хт*-1 y5t -1 хт*

(в редуцированном виде). Подставляя в (5) получаем:

(6) х-ау-в-1 • • • у-в1 х-а1 = х-а1 у-в1 • • • y-Ps-1 х-а%

(7) хТ1 у51 • • • ув-1 х^ = х-Т1 у51 • • • х-^-1 yPt-1 х-тЧ

Так как (х)ф и (у)ф - палиндромы, то a.1 = as, в1 = Ps-1, ••• и Y1 = Yt> 61 = 6t-1, ••• Из (6) следует — ps-1 = в 1, а из того, что рассматриваются палиндромы Р1 = es-1. Отсюда в1 = es-1 = 0 и так для всех в^. Из (7) следует Y1 = —Y1 и, значит, Y1 = 0 и так для всех у-у Значит (х)ф = х£а, (у)ф = yL5j. Так как ф -автоморфизм, то Lat = ±1,L6j = ±1, причем в этих равенствах знаки справа должны быть одинаковые, иначе ф = а или ф = РаР, а а и РаР не принадлежат центру. Если Lai = 1,L6j = 1, то ф - тривиален, если Lai = — 1,L6j = —1, то ф = (Ра)2. Таким образом, как указано выше, центр порождается элементом

(Ра)2

И еще два небольших замечания.

ПА(?2) не является нормальным делителем в Aut (F2) так как

(х)ЦРЦ-1 = уху-1

(у)ЦРЦ-1 = ху-1,

и значит образы х и у - не палиндромы.

ПА(?2) имеет бесконечный индекс в Aut (F2), например, любая степень Un, n Е Z те принадлежит ПА^):

(х)ип = хуп, (y)Un = у,

и снова образы х,у - не палиндромы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Collins D. J. Palindromic automorphisms of free groups // Combinatorial and geometric group theory (Edinburgh, 1993). London Math. Soc. Lecture Note Ser., 204, Cambridge University Press Cambridge (1995). P. 63-72.

[2] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

[3] Магнус В., Каррас А., Солптэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. Получено 17.10.2008.