CC BY
20
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 1 (2014)
УДК 519.4
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПАЛИНДРОМИЧЕСКИХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ
A. И. Некрицухин (г. Тула)
Аннотация
Пусть Fn, n ^ 2 есть свободная группа, порожденная n буквами xi,,
... ,xn и Aut(Fn) — группа автоморфизмов Fn. Рассматриваются некоторые подгруппы группы Aut(Fn).
Сначала исследуется группа палиндромических автоморфизмов nA(Fn). Эта группа впервые была определена Коллинзом в [1] и связана с конгруэнц-подгруппами в SL(n, Z) и группой симметрических автоморфизмов свободной группы. Вычисляется центр группы палиндромических автоморфизмов. Для этого используется комбинаторика слов группы Fn.
Вторая тема статьи связана с точностью линейного представления группы элементарных палиндромических автоморфизмов EnA(Fn). Показывается, что некоторое конкретное представление нелинейно. Для этого используется подгруппа IA(Fn) группы Aut(Fn) [15].
Ключевые слова: свободная группа, палиндромический автоморфизм.
ON SOME PROPERTIES PALINDROMES OF AUTOMORPHISMS OF A FREE GROUP
A. I. Nekritsuhin (Tula)
Abstract
Let Fn, n ^ 2 denote the free group generated by n letters x1,..., ... ,xn and Aut(Fn) be the automorphism group of Fn. Certain subgroup of the group Aut(Fn) are considered.
First of all examine the palindromic automorphism group nA(Fn). This group first defined Collins in [1], which is related to congruence subgroups of SL(n, Z), and symmetric automorphism group of the free group. It is calculate the center of the palindromic automorphism group. For this used combinatorics on words of the group Fn.
Second theme of this paper connect with faithfulness of a linear representation of the group elementary palindromic automorphisms EnA(Fn). It is show that some concrete representation are not linear. For this use the subgroup IA(Fn) of group Aut(Fn) [15].
Keywords: free group, palindromes automorphism.
1. Введение
Рассматривается свободная группа Еп = {х1,... , хп), п ^ 2 и ее группа автоморфизмов Лп£(Рп). Редуцированное слово а^1 ... а^, а% € {х1,... ,х3}, аг € Ъ называется палиндромом, если оно равно своему противоположному а^8 ... а^1, то есть записанному в обратном порядке. В [1] определена группа палиндро-мических автоморфизмов ПЛ(Рп), как подгруппа Лп£(Рп), состоящая из всех автоморфизмов а, для которых (хг)а (правое действие а) есть палиндром для всех г = 1,... , п. Эта группа порождается тремя типами автоморфизмов, которые определяются следующими отображениями порождающих:
1. (хг||х^), г = ], отображающих хг ^ х^хгх^ и фиксирующие другие порождающие хк;
2. ог, отображающих хг ^ х-1 и фиксирующих другие х^;
3. автоморфизмы, соответствующие элементам симметрической группы Бп, которые переставляют х1,..., хп между собой.
Часть группы ПЛ(Рп), порожденная автоморфизмами первого типа, называется группой элементарных палиндромических автоморфизмов Рп и обозначается ЕПЛ(РП). ПЛ(Рп) есть полупрямое произведение ЕПЛ(Рп) и группы, порожденной автоморфизмами второго и третьего типов.
В статьях автора [2,3] вычислены копредставление ПЛ(Р2), центр ПЛ(Р2), доказано, что ПЛ(Р2) нильпотентно аппроксимируема, а ПЛ(Рп), п ^ 3 не ниль-потентно аппроксимируема.
В работах [6—14] изучались различные свойства, связанные с палиндроми-ческими словами в свободной группе Рп, п ^ 2 и автоморфизмами из Лп£(Рп), линейной представимостью подгрупп из Лп*(Рп).
Далее будет вычислен центр группы ПЛ(Рп) и показано, что пересечение группы ЕПЛ(Рп) и /Л(Рп) нетривиально. /Л(Рп) — группа автоморфизмов Рп, индуцирующих тождественное отображение в Рп/Рп, Кп — коммутант группы р
1 П'
2. Вычисление центра
Теорема 1. Центр группы палиндромических автоморфизмов ПЛ(Рп) порождается автоморфизмом, отображающим каждый порождающий элемент, Рп в обратный.
Доказательство. Введем автоморфизм
° — °1 . . . Оп
Тривиальная проверка через действие о на порождающих группы Рп показывает, что о коммутирует со всеми порождающими группы ПЛ(Рп) типов 1) — 3). Значит, о принадлежит центру группы ПЛ(Рп). Обозначим через ^ произвольный автоморфизм из центра ПЛ(Рп) и рассмотрим равенство для любого г = 1,... п. Из определения ог имеем
ог : хг ^ х“1, х, ^ х,, г = 7.
Пусть
(х,)р = ^х“ ...х“-К,+1,
где 14 (к = 1,... , в + 1) не содержит хг. Тогда
(х, )^о* = ^х““1 ... х“а- Ув+1,
(х, )о* = (х, )<£ = ^х"1 . . . х"- Ув+1.
Отсюда следует, что а* = —а* для Ь = 1,..., в и поэтому а* = 0. Значит, для всех г и всех 7 = г (х, )<£ не содержит хг. Поэтому (х, )<£ = х^1. Если некоторые ] : ,71,... ,,7* = —1, Ь < п, а остальные +1, то выполняется равенство 0^ = ^0 для любого автоморфизма 0 из ПЛ(Рп). При гомоморфизме абеленизации Рп ^ Рп/Рп группа ЛпЬ(Рп) отображается на СЬп(Ъ). Поэтому равенство 0^ = ^0 переходит в равенство для матриц фТр = Трф (Тр, 0 — матрицы). Но в фТр тогда умножается на —1 столбцы jl,... ,jt, а в Трф строки с этими номерами. Значит, фТр Трф), а поэтому фtp ^ (рф. Отсюда следует, что ^ или =
для всех 7 = 1,..., п. В первом случае ^ — тождественный автоморфизм, во втором ^ = о. Таким образом, центр группы ПЛ(Рп) есть {1,о}. Отметим, что о2 = 1. Теорема 1 доказана. □
Известен вопрос о нахождении в ЛпЬ(Рп), п ^ 3 подгрупп, имеющих точное линейное представление, см., например, [4]. В связи с этим возможным кандидатом такого представления была подгруппа ЕПЛ(Р3) и гомоморфизм ЛпЬ(Рз) ^ СЬз(Ъ), соответствующий абеленизации Р3 ^ Рз/Р3.
Теорема 2. Линейное представление ЕПЛ(Р3) в группу СЬ3(Ъ) при гомоморфизме
£ : ЛпЬ(Р3) ^ ЛпЬ(Р3/Р3) = ^3(Ъ)
не является точным.
Доказательство. Ядро рассматриваемого гомоморфизма есть подгруппа /Л(Р3) С ЛпЬ(Р3) [15]. Вычисления показывают, что неединичный элемент группы ЕПЛ(Р3):
[(х2 || х1) (х3 || х 1) , (х11 |х2) (х11 |х3) 1]((х3 ||х2)(х21 |х3) 1)2
([a, b] — коммутатор элементов a, b) является также элементом /A(F3). Значит, при гомоморфизме £ он отображается в единичный элемент группы GL3 (Z) и данное представление неточное. Теорема 2 доказана. □
3. Заключение
Теорема 2 не снимает вопрос о возможности точного представления для E nA(F3).
Другой интересный вопрос - это изучение того каким является пересечение подгруппы nA(F2) и подгруппы автоморфизмов из Aut(F2), фиксирующих коммутатор порождающих элементов F2 [6].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Collins D. J. Palindromic automorphisms of free groups // Combinatorial and geometric group theory (Edinburgh, 1993) London Math. Soc. Lecture Note Ser., 204, Cambridge University Press Cambridge (1995). P. 63-72.
2. Некрицухин А. И. Палиндромические автоморфизмы свободной группы // Чебышевский сборник, 2008, Т. 9, Вып. 1. с. 148-152.
3. Некрицухин А. И. Нильпотентная аппроксимируемость группы палиндро-мических автоморфизмов свободной группы // Чебышевский сборник, 2010, Т. 11, Вып. 1, с. 199-201.
4. Cohen F. R., Metaftsis V., Prassidis S. On the linearity of the holomorph group of a free group on two generators // arXix: 0905.0295vI [math.GR] 3 May 2009.
5. Glover H. H., Jensen C. A. Geometry for palindromic automorphism groups of free groups // arXiv: math.GR/0112190 V1 18 Dec 2001.
6. Helling H. A note on the automorphism group of the rank two free group // J. Algebra, 223(2000), №2. P. 610-614.
7. Piggott A. Palindromic primitives and palindromic bases in the free group of rank two // J. Algebra, 3043(2006), №1. P. 359-366.
8. Gilman J., Keen L. Cutting sequences and palindromes // arXiv:math. GR/0803 0234.v1.3Mar2008.
9. Gilman J., Keen L. Enumerating palindromes in rank two free groups // arXiv: math.GR/0802 2731.v1.19Feb2008.
10. Kassel C., Reutenauer C. A palindromization map for the free group // arXiv: math.GR/0802 4359.v1.29Feb2008.
11. Bardakov V., Mikhailov R. On certain questions of the free group automorphisms theory // arXiv:math.GR/0701441.v1.16Jan2007.
12. Bardakov V., Shpilrain V., Tolstykh V. On palindromic and primitives widths of a free group // J. Algebra, 285(2005), №2. P. 574-585.
13. Бардаков В. Г. Линейные представления групп сопрягающих автоморфизмов и групп кос некоторых многообразий // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №1. С. 17-31.
14. Formanek E., Procesi C. The automorphism groups of a free group is not linear // J. Algebra, 149(1992), №2. P. 494-499.
15. Lyndon R., Schupp P. Combinatorial group theory. Springer-Verlag 1977.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Поступило 27.02.2014
