CC BY
29
МАТЕМАТИКА
УДК 512.54
О НЕКОТОРЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ГРУПП Е7 8 (ф, q НЕЧЕТНО
© 2007 г. В.М. Галкин, М.Е. Елисеев
Нижегородский государственный технический университет уе81шк [email protected]
Поступила в редакцию 26.12.2006 Доказывается, что на конечных простых группах q нечетно, нет нетождественного
автоморфизма j со свойством: xj(x ) е sTs ^
Под j -структурой на конечной группе П понимается задание автоморфизма j со свойством: xj(x_1) е sTs-1 ^ x е T . Здесь T
- подгруппа j -неподвижных элементов. Теория j -групп по существу совпадает с теорией конечных леводистрибутивных квазигрупп (ЛДК). Именно множество левых смежных классов G(о) = П/T превращается в
ЛДК, если положить x О y = xj (x-1 y) mod T. Обратно, по заданной ЛДК G (о) можно построить j -группу П , хотя и не единственным способом. Существует, однако, единственное с точностью до изоморфизма представление G(o) = П / T с минимальной группой П . Последняя изоморфна коммутанту £'(G) группы левых трансляций
£(G) = (La = (x a a оx) | a, x е G) . Фактор £/£' абелев и порождается образом La . Автоморфизм j есть сопряжение фиксированной левой трансляцией Le. Если же отправляться от j -группы П и перейти от нее к ЛДК G(o) = П/T, то получение коммутанта £(G) производится в два этапа. Сначала от П переходим к нормальному делителю П1 = (xj (x_1 | x е П) (главная подгруппа), а затем П1 факторизуется по наибольшему
Xе Т = {у е Е^) | ф(у) = у).
нормальному делителю S, содержащемуся в Т. Последний обязательно лежит в центре П1.
В свое время одним из авторов было выдвинуто предположение о разрешимости группы левых трансляций ЛДК [1]. Оно, очевидно, адекватно утверждению о разрешимости подгруппы П1 в произвольной ф -группе. Это утверждение, называемое далее ф -теоремой, представляется весьма
привлекательным, поскольку включает в себя теорему Фейта - Томпсона о разрешимости группы нечетного порядка, теорему о
разрешимости группы с регулярным
автоморфизмом и теоремы Фишера о
разрешимости группы левых трансляций
конечной дистрибутивной квазигруппы. Удается свести доказательство ф -теоремы к рассмотрению простых групп, т. е. к проверке того, что ф -структура на простой группе тривиальна. Эта проверка к настоящему времени проведена и, значит, ф -теорема
доказана [1, 4-10]. В настоящей работе излагается не опубликованная ранее проверка групп из заголовка. Доказательство дается в П.3. В П.1 приводятся дополнительные сведения о ф -группах и ЛДК, а в П.2 сведения
о группах Е7 8. По-видимому, они
представляют интерес из-за отсутствия
подобной информации в литературе на русском языке.
1. Основное свойство ф -групп описывается следующим предложением [1, 2].
Предложение 1. j -свойство иаследуется при переходе к j -иивариаитиым подгруппам и факторгруппам по j -иивариаитиым
иормалъиым делителям.
Доказательство. Первая часть предложения очевидна. Прямое доказательство второй части достаточно громоздко. Проще воспользоваться следующими рассуждениями. Несложно показать [1], что эпиморфный образ конечной квазигруппы (не обязательно ЛДК) при гомоморфизме в произвольный группоид есть квазигруппа. Если J < П — j -инвариантный нормальный делитель, то гомоморфизму П ® П/J соответствует эпиморфизм П/T в группоид, строящийся по П/J, последней есть ЛДК, а потому П/J — j -группа. Что касается j -неподвижных элементов в П/J, то таковые заполняют образ T при гомоморфизме. Действительно, j(x) ° x mod T ^ x_1 j(x) е J, т.е. 1Оx 1 лежит в квазигруппе J/J О T.
Отсюда x_1 е J mod T, x = it c i е J, t е T и
образ x в П/J совпадает с образом t.
Имеется один полезный способ выделения j -инвариантных подгрупп. Пусть t е T, C (T)
- централизатор и N (t) - нормализатор
группы (t) . Разумеется, обе подгруппы C(T) и N(t) j -инвариантны. Имеет место следующее
утверждение, которое будем называть C — N -конструкцией.
Предложение 2. Иидекс (N(T) : C (T))
делит | T | .
Доказательство. Действительно,
квазигруппу, соответствующую N(t) , можно получить из главной подгруппы N1(t) =
= (xj(x_1)| x е N(t)). Но xtx—1 = ts, при некотором s . Действуя на это равенство автоморфизмом j , с учетом t е T ,
убеждаемся, что xj(x_1) е C(t). Поскольку порядок квазигруппы равен (N(t): N(t) О T) = = (N1(t): N1(t) О T), то (N: N1) =
= (N О T : N1 О T) делит | T |. Значит и
(N: C) = N: N делит | T |.
V C: N
Иногда знание порядка автоморфизма j
позволяет получить арифметическую
информацию о подгруппе T. В ЛДК
инвариантом является структура разложения на независимые циклы левой трансляции La = (X ® a О х) как перестановке элементов G(o). Это следует из равенства Laob = LaLbLal, эквивалентного закону левой дистрибутивности a о(Ь Ох) = = ^ оЬ) о^ ох). Трансляция La имеет единственный неподвижный элемент, равный a. Если неединичные циклы в La имеют четные длины, то порядок ЛДК, очевидно, нечетен. В представлении G(О) = П/T одна из левых трансляций есть (X а 1О X = ф(х) mod T) и мы получаем следующее
Предложение 3. Если порядок ф есть
степень двойки, то подгруппа T содержит силовскую 2-подгруппу.
Случай, когда ф2 = id имеет особое значение. В соответствующей квазигруппе тогда выполняется левый закон ключей a о(й Ох) = X. В [3] доказано, что группа левых трансляций симметрической
квазигруппы разрешима. В качестве следствия получаем
Предложение 4. Если в ф -группе П
выполняется условие ф2 = id, то П не может быть простой группой.
2. Общие свойства группы Шевалле предполагаются известными [14, 12, 15]. К ним мы относим описание автоморфизмов, а также связь с алгебраическими группами.
Используются стандартные обозначения ха (^) для корневых подгрупп, U = {ха (^ | а >0), H = {ка ^)) для унипотентной и картановской подгрупп, W = N(Н )/H для группы Вейля. Удобно работать с универсальными группами, факторизация которых по их центрам дает простые группы. Центры универсальных групп
Е6 Е6 (Я), E7 (Я), Е8 (Я) равных
соответственно ^(з,9-1), Z(з,q+l), Z2 при q
нечетном и 1. Нам понадобится значение структуры групп Вейля.
Предложение 5. [14].
W(E) @ *,(3) 2 @ 4(4)2 ,
W(Е7) @ 2 • С3(2),
W(Е8) @ (2• £>4(2))• 2.
Отметим еще, что W(E7) и W(E8) и содержат w0 е W, переводящий корень в противоположный: w0 (a) = —a . В W(E6)
такого элемента нет [11]. Аналог группы Вейля Ws = W (2 E6) имеет тип F4([14]). Ее
структура указана в [11]: Wa =( Z 23-Е 4)-Ез.
Приведем информацию о централизаторах инволюций в простых группах E7 и E8 [11]. Наличие центра Z2 в универсальной группе W(E7 ) заставляет выделять два типа
инволюций в соответствующей простой группе. Каждая из них сопряжена инволюции из картановской подгруппы H, то есть имеет вид S = h1(e1)...h7(e7), где ei = ±1. Число таких
элементов равно 27 = 128, и сопряженные элементы объединяются в орбиты относительно действия W(E7) . Выделим элемент
s = ha(—1), где a - максимальный корень.
Его централизатор в универсальной группе строится в соответствии с теоремой 3.9 из [13]:
C 0(s 1) = ( x±a (t1), x±2 (t2 ), x±3(t3) x±4(t4),
x±5 (t5 X x±6(t6)5 x±7(t7)’H) .
Длина орбиты S1 в H равна индексу (W(E7 ): W(A1) X W(D6)) = 63. Указанные выше 128 элементов распадаются на орбиты длин 1, 1, 63, 63 элементов 1, c =
= h2(—1)h5(—1)h7(—1) - элемент центра, S1 и
S1c соответственно. При переходе к простой группе мы имеем единственный класс инволюций I-го рода с представителем S1.
При описании инволюций II-го рода, то есть представляемых в универсальной группе элементами, квадраты которых равны c -центральному элементу, приходится различать два случая: q ° 1 (mod 4) и q ° — 1 (mod 4). В первом случае инволюции можно поместить в H , взяв
S2h2 (i)h5 (i)h7 (i) , s3 = s1s2( i = V—1 е Fq).
Их централизаторы в универсальной группе C (s2 ) = ( x±1(t1), x±3 (t2 X x±(6+7) (t3), x±(4+5) (t4 Xx±(2+4) (t5 Xx±(5+6) (t6 XH)
С (О3 ) = {х±(4+5) (?1), х±(6+7) (2 ), х±(2+3+4+5) (3 X х±1 ^4 ), х±(3+4) (*5 X х±(5+6) (6 X х±(2+4) (7 XН) . Нетрудно видеть, что С0 (&2) = Е6 • Z1, где Е6 = {х±1 (t1 X х±3 (t2 X х±(6+7) (t3 X х±(4+5) (t4 X х±(2+4) ^5 Xх±(5+6) ^6 )) , а фактор С0(&2)/Е6 порождается образом подгруппы {Л5^)). Указанная группа Е6 имеет следующую диаграмму
Еб
04+5 03 02+4
А й i А
• ш
( 01 01
Группа же С 0(О 3) совпадает с группой
{х±(4+5) (*1 X х±(6+7) (2 X х±(2+3+4+5) (*3 X х±1 ^4 X
х±(3+4) ^5 X х±(5+6) (t6 X х±(2+4) (7 )) , изоморфной А7 (то есть Н С А7). Группа А7
А7
06+7 Ог+4
•-------•------•--------•-------•-------•
04+5 а2+3+4+5 а3+4
имеет диаграмму
Число инволюций 11-го рода в Н равно 27 =128. Орбиты О2 и О3 имеют длины ^(E7)/W(Е6)) = 56 и (W(E7)/W(A7)) = 72, то есть имеется два класса инволюций 11-го рода с представителями О2 и О3.
Труднее получается описание централизаторов инволюций в случае q °—1(4), поскольку инволюции второго рода нельзя выбрать в подгруппе Н. Группа Е7^)
вкладывается в алгебраическую группу Е 7^), как подгруппа неподвижных элементов полевого автоморфизма (автоморфизма Фробениуса), который возводит в степени q аргументы корневых подгрупп. Инволюции 11го рода в Е7 ^) сопряжены таковым же в
картановской подгруппе Н С Е7, то есть
сопряжены введенным выше элементам S2 и S3. Инволюции в E7 (q) получаются следующим образом. Пусть r1, r5, r7 -
отражения относительно корней 2, 5, 7 в W(E7) , w = r1r5r7 . Можно отождествить w с
подходящим представителем из N(H) при изоморфизме W(E7) @ N(H )/H так, что
1 S) = w siw~1 (i = 2,3), где 1 -
автоморфизм Фробениуса. По известной теореме Ленга w можно представить в виде
w = (sls_1)—1 с s е E7. Тогда Si = s~1sis -l -инвариантны, то есть лежат в E7 (q) и являются там инволюциями II-го рода. Элементы, перестановочные с Si, имеют вид
s_1 xs, где x перестановочен с Si в E7. 1 -инвариантность s —1 xs означает, что
1 (x) = wxw _1. Из диаграмм, приведенных выше для C°(S2) и C°(S3), видно, что w действует на них как графовый автоморфизм и выделение элементов x с 1 (x) = wxw_1 производится в результате скручивания. Следовательно, C0 (s2) =2 E6 (q) - Zq+1 и
C°(S3)= =2 A7 (q). Появление множителя
Zq+1 объясняется скручиванием множителя h5(t).
Наконец, из-за связности централизатора полупростого элемента в односвязной алгебраической группе следует, что классы инволюций в E7 не распадаются при переходе к E7 (q), то есть в последней (простой группе)
имеется три класса инволюций S1 (I-го рода) и S 2,S 3 (II-го рода).
3. В этом пункте докажем, что автоморфизм j на группах E7,8 (q) ( q четно) тождественен.
Доказательство будет проводиться по следующей схеме.
1) Показываем, что | T |> 1.
Предложение 6. Автоморфизм j иерегуляреи.
Доказательство. Предположим противное, то есть, что j действует на группе П
регулярно. Покажем сначала существование j -
инвариантной силовской р -подгруппы П р, следуя рассуждениям Томпсона [16]. По теореме Силова, П р сопряжена с ф(П р), то
есть ф(П ) = С ~1фС. Из регулярности ф следует, что с представимо в виде с = sф(э_1). Тогда ф(э_1Пр5) = 5_1П^, то есть П р ф -инвариантна.
В качестве П р выберем и. Ее нормализатор N (и) ф -инвариантен, причем N (и )/и = Н, а так как Н и и - холловские подгруппы, то ф -инвариантной можно выбрать и Н .Ее нормализатор N (Н) и фактор N(Н )/Н = W также ф -инвариантн^1 и автоморфизм ф на W регулярен. Но это
невозможно, так как доказано ранее, что автоморфизм ф на группах С3(2), £4(2) тождественен. Возникшее противоречие доказывает нерегулярность ф .
2) Показываем наличие в Т инволюции.
Предложение 7. Т содержит полупростые элементы.
Доказательство. Пусть это не так, тогда Т состоит из одних унипотентов. Выбирая
образующие подходящим образом, можно
добиться включения Т С и .
Рассмотрим максимальную ф -
инвариантную р -подгруппу Г, содержащую Т. Пусть Г не совпадает с и, тогда нормализатор N (Г) содержит Г, но не совпадает с ней, как известно из теории р -групп. Тогда N (Г)/ Г - группа с регулярным автоморфизмом. В ней, в соответствии с [16], имеются ф -инвариантные силовские
подгруппы, то есть в N (Г) / Г есть ф -инвариантная р -подгруппа. Поднимая ее в N (Г), находим р -подгруппу, большую, чем Г - противоречие с выбором Г . Следовательно, Г совпадает с и .
Рассматриваем N (и) = Ни = В. Тогда N (и У и = Н - группа с регулярным автоморфизмом ф и N(Н )/Н = W - также группа с регулярным автоморфизмом. Последнее невозможно в силу неразрешимости групп W(Е7 ^)) и W(Е8 ^)) . Следовательно,
предположение о том, что Т состоит из унипотентов, было неверным и в Т есть полупростой элемент.
Ранее указывалось, что W (Е78^))
содержит ^0 = — 1. Это, по рассуждениям из [4], влечет сопряженность полупростого элемента с обратным: t ~ t 1. Тогда
С^) с N((^))) и индекс (N: С) четен. По (С — N) -конструкции это влечет наличие в Т инволюции.
3) Далее рассматривается централизатор инволюции из Т . Это ф -подгруппа, и она достаточно велика для получения детальной информации об автоморфизме ф . Удается
доказать, что Т содержит силовскую 2-подгруппу из П . В свою очередь, это позволяет
показать, что ф2 = 1. Последнее, по
предложению 4, доказывает тождественность ф .
Предложение 8. На группах Е7^)
автоморфизм ф тождественен.
Доказательство. Пусть в Т находится одна из инволюций, описанных в пункте 2.
Централизатор такой инволюции ф -
инвариантен, в композиционном ряде каждого из централизаторов имеется простая ф -группа, на ней автоморфизм ф должен действовать тривиально, как отмечалось во введении. Тогда у ф отсутствует полевая часть, и он есть композиция диагонального и внутреннего
автоморфизмов.
Рассмотрим С (а1 ) = (А1 о£6 ) • Z2. При
q >3 группа А1 (^) неразрешима. Ввиду ф -инвариантности групп А1(^) и и их
неразрешимости действие ф на них
тривиально, поэтому диагональная часть на X ^ )(>' > 1) тождественна, х1(/) а х1(е^),
с12 = 1. Внутренняя есть сопряжение элементом из .г((А1 о£6) • Z2) @ Z2 ХZ2 . Непосредственно проверяется, что это группа X2 Х X2 = ИИ , где И = И1 (е 1 )И (е 1 )И5 (е 1), И = И (е 2 )И3 (е 2 )И6 (е 2), е1з е2= ±1. Тогда ф2=1, что по указанной выше теореме влечет ф = 1 .
Пусть теперь q = 3. Тогда группа
А1 = ^2 (3) = 08 • X3 (08 - кватернионная
группа) разрешима и на ней может быть нетривиальная ф -структура, задаваемая сопряжением 3-элементом. Без ограничения общности можно считать, что это сопряжение элементом ха (t) . Таким образом, в отличие от случая q > 3, к внутренней части ф может добавляться сопряжение элементом ха (^).
Рассмотрим группу А2 =< х±1(0, хта (t2)>. Она ф -инва-риантна, так как выдерживает
сопряжение элементами ха (t) , И и И , а также диагональный автоморфизм (последние меняют лишь аргументы). Но группа А2(3) проста, поэтому в составе ф нет сопряжения унипотентом и имеют место вышеприведенные рассуждения.
Если же в Т имеется О2 или О3 , то
обязательно есть и О1 . Действительно, в составе каждого из централизаторов имеется неразрешимая ф -инвариантная группа
(Е6(Я)(q ° 1(4)) или 2Е6^)^ °—1(4)) для
а., A7(q)(q°1(4)), или 2A7(q)(q °—1(4)) для О3 , действие ф на которой тождественно и в Т есть И1 (-1) . Так как элемент И1 (-1) сопряжен с Иа (-1) , то, меняя обозначения корней, можно считать, что Иа (—1) е Т. Далее переходим к рассмотрению О1 .
Предложение 9. На группах Е8 ^) автоморфизм ф тождественен.
Доказательство. Так как в составе централизатора имеется неразрешимая группа, то, рассуждая так же, как и выше, заключаем, что у ф нет полевой части. Таким образом, ф -
внутренний автоморфизм. Тогда ф(х) = эхэ—1,
5 е G, более того, так как эа_1 = а , то 5 е С (а) , а значит, лежит в центре С (а) , ввиду ф -инвариантности последнего.
Если в Т имеется а 1, то в Т попадет и а2. Действительно, в состав 5 могут войти И3(т), X (Е7) и х^). Так как X (Е7) С Н и
И (—1) х1(t )И1—1 (—1) = х1((—1)21) = х1(t), то
а2 выдерживает действие 5 .
Таким образом, в Т есть а2. Сопрягающий элемент 5 е X (С (а2)). Непосредственно проверяется, что X(С(а2» = X2 Х X2 =
= (И1(±1),И8(±1)). Тогда 52=1 ^ ф2=1 и по указанной выше теореме заключаем, что ф = 1 .
Список литературы
1. Галкин, В.М. Леводистрибутивные квазигруппы: Дис. ... докт. ф.-м. наук / В.М. Галкин. М.: МГУ, 1991.
2. Галкин, В.М. Леводистрибутивные квазигруппы конечного порядка / В.М. Галкин // Квазигруппы и лупы. Кишинев: Штиинца, 1979.
3. Галкин, В.М. О симметрических квазигруппах / В.М. Галкин // УМН, 1984. Т. 39, вып. 6. С. 191-192.
4. Галкин, В. М. О некоторых автоморфизмах на ортогональных группах в нечетной характеристике / В.М. Галкин, Н. В. Мохнина // Математические заметки. М.: 2001. Т. 70, вып. 1.
5. Елисеев, М.Е. О некоторых автоморфизмах
групп четно / М. Е. Елисеев // Матема-
тический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Киров: ВятГГУ. вып. 6. 2004.
6. Елисеев, М. Е. О ф -структуре на простых ортогональных группах в четной характеристике /
М.Е. Елисеев // Вестник ННГУ. Сер. Математика. 2004. Вып. 2.
7. Елисеев, М.Е. О j -структуре на ортогональных группах чётной характеристики и группах E6nfi(q), 2E6(q): Дис. ... канд. ф.-м.
наук / М.Е. Елисеев. СПб.: СПбГУ. 2005.
8. Елисеев, М. Е. О некоторых автоморфизмах
групп E6(q) , 2 E6 (q) , q четно / М.Е. Елисеев. Деп. в ВИНИТИ 16.02.2004, № 258. В2004.
9. Лещева, С.В. О j -структуре на группе
SP2 n (q) в четной характеристике / С.В. Лещева, О.В. Суворова. Деп. в ВИНИТИ 1997, № 844. В97.
10. Лещева, С.В. Группы F4 (q) , 2 F4 (q) и их
специальные автоморфизмы / С.В. Лещева. Деп. в ВИНИТИ 1997, № 1096. В97.
11. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли / Н. Бурбаки. М.: Мир, 1972.
12. Горенстейн, Д. Конечные простые группы / Д. Горенстейн. М.: Мир, 1985.
13. Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973.
14. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. М.: Мир, 1975.
15. Carter, R.W. Simple groups and simple Lie algebras / R.W. Carter. // J. London Math. Soc., 1965, № 158. P. 193-240 (русский пер. Сб. Математика, 10:5, 1966).
ON j -STRUCTURE OF SIMPLE GROUPS E7,8 (q), q IN ODD CHARACTERISTIC
V.M. Galkin, М.Е. Yeliseev
Nonexistence of nontrivial automorphism j with property: Xj(X ') G sTs 1 ^ X G T(T - subgroup of fixed elements) on simple groups E7 8(q), q odd, is proved.
16. Thomson, J.G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime order I J.G. Thomson. II Proc. Nat. Amer Sci USA, 1959, 45. P. 578-581.
17. Liebeck, Martin W. Exepcional groups of Lie type I M.W. Liebeck, J. Saxl. II Proc. Lond. Math. Soc. 1987, 55, № 2. P. 299-330.
