О простой группе ри Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева, Н.В. Мохнина, Н.В. Юрова О ПРОСТОЙ ГРУППЕ РИ 2G2(q) Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

В статье для исключительной группы лиевского типа 2G2(q) проверяется выдвинутая в [2] гипотеза о том, что неединичный класс сопряженности в конечной простой неабелевой группе содержит коммутирующие элементы.

Ключевые слова: класс сопряженности, конечная группа, коммутирующие элементы, централизатор.

Обоснование гипотезы о существовании коммутирующих элементов в произвольной конечной простой неабелевой группе и частичная ее проверка изложена в [1], [3], [5], [6], [8], [13]. Основной причиной для введения гипотезы являются результаты Л. Н. Ерофеевой в [7] о транзитивности группы трансляций одного класса группоидов.

В предлагаемой статье проведем проверку гипотезы для простой группы P^G2(q), где q = 32k+1, k > 1. Сведения о группе 2G2(q) можно найти в [15], где приведен ряд утверждений о группе 2G2(q) и таблица характеров. Из таблицы характеров можно восстановить классы сопряженности элементов и соответствующие централизаторы, используя атлас Кон-вея [14]. Эта информация приводится в табл. 1.

Таблица 1

Классы сопряженности группы 2G2(q)

Класс Порядок элементов класса Порядок централизатора Число классов

1 2 3 4

1 1 q3(q - 1)(q3 +1) 1

Ra ч -1 делит - 2 q—1 q - 3 4

Sa ч +1 делит 2 q+1 q - 3 8

V делит ч - д/Зд +1 q+1 q 6

Wb делит ч + у[3ч +1 q + +1 q + ^[3q 6

X 3 q3 1

Y 9 3q 1

T 3 2q 2 1

T1 3 2q 2 1

YT 9 3q 1

YT1 9 3q 1

JT 6 2q 1

© Ерофеева Л.Н., Лещева С.В., Мохнина Н.В., Юрова Н.В., 2017.

Окончание табл. 1

1 2 3 4

JT1 6 2q 1

JRa делит q-1 q-1 q — 3 4

JSa делит q+1 q +1 q — 3 8

J 2 q(q2-l) 1

Отметим, что централизатор инволюции J равен С(/) = (хЬ2(ц). Группа проста

для к > 1 [4, с. 175]. Порядок элементов в классе сопряженности делит порядок централизатора. Например, Ra- это класс элементов, порядок которых делит q-1.

Следует заметить, что классы Я", , Уь, Жь, JRa, JSa - это классы полупростых элементов, т.е. элементов, чьи порядки взаимно просты с характеристикой поля q. Классы X, Т, Т~1, УТ, УТ~1 - это классы унипотентных элементов, т.е. элементов, чьи порядки равны степени q . В действительности это порядки 3 и 9. Классы JT, JT1 - классы смешанных элементов. Порядки смешанных элементов имеют в качестве делителя не только q. Кроме степеней с основанием 3, есть множитель 2. J — класс инволюций, содержащий элементы второго порядка.

Проверим гипотезу для полупростых элементов. Наличие в полупростых классах коммутирующих элементов следует из теоремы.

Теорема. В группе полупростой элемент сопряжен со своим обратным.

Доказательство. От группы перейдем в алгебраическую группу О над алгеб-

раическим замыканием ¥, и покажем, что в ней полупростой элемент сопряжен со своим обратным. Из [10] известно, что полупростой элемент сопряжен с картановским элементом

л=№ &).

а

В диаграмме Дынкина ([12], с.296) имеется пара ортогональных корней (а, у). Отражение с помощью ш = шашу, где а ± у, ш - представитель элемента из группы Вейля, переводит элемент вида Ла(/а) в К(а)(*а) так°^ что шЛа (^а)ш"1 = К^О .

Это следует из соотношения шаЛр(/)шах = №)(/) в формулировке леммы 20 ([10], с. 31). Отражение, являющееся композицией отражений относительно двух ортогональных

корней

Ш=ШаШу ,

переводит каждый корень в противоположный: Лш(а)(/а) = Л а(/а) . Но из соотношения (8) определения 1([10], с. 32) Ла (0*р (ы)ка (/-1) = хр (^ р'ам),

следует Ь_а (/а ) = К ^а^

Таким образом, сопряжение картановского элемента элементом ю переводит каждый множитель в к в обратный:

шЛа (О®"1 = Лш(а)(/) = ка(0 = ) . Но так как множители коммутируют, значит и к переходит в обратный:

шкш1 = Пкш(а)(/а ) = П—а & ) = ПК (С) = Л"1 .

а а а

Следовательно, полупростой элемент сопряжен со своим обратным в алгебраической группе - некотором максимальном торе.

Далее мультипликатор Шура группы 202(ч) равен 1 [4]. Теперь воспользуемся результатом из статьи Т.А. Спрингера и Р. Штейнберга из ([11], с. 200), по которому и в группе ^2(ч)полупростой элемент сопряжен со своим обратным.

Наши рассуждения проходят при t Ф tкогда Н не является инволюцией. Но по Теореме 2.1 из [2] в любой конечной простой группе класс инволюций содержит коммутирующие элементы. Следовательно, это верно и для группы 202(ч). Полупростые классы разобраны.

Перейдем к рассмотрению унипотентных элементов. Централизаторы любого элемента и его обратного имеют один и тот же порядок. Из таблицы заключаем, что X и X1 содержатся в одном классе.

Для остальных классов подобные рассуждения не проходят, так как имеются классы с одинаковым порядком централизатора. Это Т и Т- (3-элементы); У, УТ и УТ (9-элементы). Элементы классов Т и Т-1 помещаем в централизатор инволюции С (У) = (У) х Ь2(ч). Точнее, в множитель Ь2(ч), то есть в проективную группу. Но в проективной группе гипотеза верна [2].

Доказательство того, что унипотенты классов У, УТ и УТ-1 содержат коммутирующие элементы основано на лемме из [2].

Лемма. Пусть х элемент порядка к в группе П и его централизатор 2(х) имеет порядок п. Если число классов сопряженности элементов порядка к с централизаторами порядков п меньше ф(к), то х сопряжен с некоторой своей степенью. Здесь ф(к) - теоретико-числовая функция Эйлера.

Заметим, что ф(9) = 9(1 - 3) = 6, а всего три класса порядка 9. Значит, в каждом классе

есть коммутирующие элементы.

При доказательстве гипотезы для смешанных элементов (классы УТ, УТ"1) помещаем их в централизатор инволюции, где они имеют вид У х Т и У х Т -1 соответственно. Поскольку элементы Т сопряжены в проективной группе Т2(ч), а компоненты на первом множителе совпадают, то элементы будут сопряжены в централизаторе инволюции. Следовательно, элементы из смешанных классов сопряженности коммутируют. Для элемента из смешанного класса найдётся коммутирующий элемент в том же классе.

Библиографический список

1. Галкин, В.М. Леводистрибутивные квазигруппы: дис. ... д-ра мат. наук. - Горький, 1986.

2. Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классе сопряженности / В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 8. -С. 12-20.

3. Галкин, В.М. О ф - структуре на группах Еу(д);Е8(д); ч - нечетно / В.М. Галкин, Н.М. Мохнина // IV Международная алгебраическая конференция,посвященная 60-летию профессора Ю.И. Мерзлякова: тез. докл. - Новосибирск: Ин-т математики. - 2000. - С. 135-143.

4. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. -М.: Мир, 1985. - 352 с.

5. Елисеев, М. Е. О ф-структуре на простых ортогональных группах в четной характеристике // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Математика. - 2004. - № 1 (2). - С. 61-70.

6. Елисеев, М. Е. О некоторых автоморфизмах групп Е7;8(ч); ч - нечетно // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2004. - № 6. - С. 52-56.

7. Ерофеева, Л.Н. Об одном классе группщоидов / Л.Н. Ерофеева // Записки научных семинаров ПОМИ 305. - 2003. - 134 с.

8. Лещева, С.В. О ф - структуре на ортогональных группах O2n+1(q), O2n(q)± ; q- нечетно / С.В. Лещева, Н.М. Мохнина // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ: тез. докл. - М.: МГУ. 1999. - С. 38-46.

9. Мохнина, Н.В. ф- структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике: дисс. канд. мат. наук. - СПб., 2000. - 230 с.

10. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М.: Мир, 1975. - 263 с.

11. Семинар по алгебраическим группам. - М.: Мир, 1973. - 315 с.

12. Серр, Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.-П. Серр. - М.: Мир, 1969. - 375 с.

13. Galkin, V.M. On the ф-structure on the group Sp2n(q); q-odd / V.M. Galkin, N.V. Mochnina // International Conference dedicated to the 90 th Anniversary of L.S. Pontryagin. Avgust, 31 - September, 6. -M., 1998. - 28 p.

14. Conway, I.H. Atlas of finite Groups / I.H. Conway. - Oxford, 1965. - 252 р.

15. Ward, H. N. On Ree's series of simpie group / H. N. Ward // Trans. Amer. Math.Soc. - 1966. 121. № 1. - Р. 62-89.

Дата поступления в редакцию 01.06.2017

L.N. Erofeeva, S.V. Leshcheva,N.V. Mokhnina, N.V. Yurova

ABOUT SIMPLEGROUP 2G2(q) Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev

Purpose: There is the conjecture that every conjugacy class of fin noabelian group contains the commuting elements. The conjecture for Ree group 2G2(q) is verified.

Design/methodology/approach: The formation on the structure of the exclusive groups of the Lie type is using. Findings: This result is an stage of the testing of the general conjecture.

Research limitations/implications: Methods of this paper may be used for the investigation the other groups. Originality/value: The result is new.

Key words: conjugacy class, simple group, switching elements, centralizer.