Коммутирующие элементы в классах сопряженности в группе Сузуки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

Н. В. Мохнина, Н. В. Юрова

КОММУТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ В КЛАССАХ СОПРЯЖЕННОСТИ

В ГРУППЕ СУЗУКИ 2 B2(q)

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Статья продолжает ряд работ по проверке гипотезы о том, что в конечной простой группе неединичный класс сопряженности содержит коммутирующие элементы. В работе [1] гипотеза проверена для спорадических групп, проективных групп Ln (q) и знакопеременных групп An. В работе [2] она проверена для простой группы

Ри %(д).

Ключевые слова: группа Сузуки, класс сопряженности, конечная группа, коммутирующие элементы, цетрализатор.

В предлагаемой статье проведем проверку гипотезы для простой группы Сузуки 2B2(q), где q = 22k+1, k > 1. Описание группы 2B2(q) рассматривается в [3], [4]. Нам понадобятся следующие сведения. 1. Силовская 2 - подгруппа состоит из матриц вида

(a,ß) =

Г 1 0 0 öl

а 1 0 0

9+1 , о а +ß 9 а 1 0

ча9+2 +aß+ß ß а

элементы которых лежат в конечном поле F .

2. Так называемая картановская подгруппа состоит из матриц вида

k =

k

.1+9 0 0 0

0 k9-1 0 0

0 0 k-9-1 0

0 0 0 k-1-9

где к е

Под 0 подразумевается автоморфизм поля Г такой, что

0: а^а^.

3. Имеют место следующие формулы:

(а,Р)(у, 8) = (а+у, ау0 +в+8) £-1(а,Р) к = (ак,рк1+е).

(1) (2)

-1

© Мохнина Н. В., Юрова Н. В., 2017.

4. Группу 2В2(с), можно рассматривать как скрученный вариант группы Шевале В2(д). Восстановим классы сопряженности элементов и соответствующие централизаторы из таблицы характеров, размещенной в [4].

Таблица 1

Классы сопряженности группы 2Б2(д)

Класс Порядок элементов класса Порядок централизатора Число классов

1 1 q2 (с -1)^2 +1) 1

2А 2 q2 1

4А 4 2С 1

4В" 4 2с 1

к-А делит q -1 с -1 с - 2 2

к-В делит q + у[2с +1 с + л/2д +1 с 4

к-С делит q +1 с-^2д +1 с-л/2с 4

Порядок элементов в классе сопряженности делит порядок централизатора. Например, к -А - это класс элементов, порядок которых делит с -1. Следует заметить, что классы

к - А, к - В, к - С

- это классы полупростых элементов, т.е. элементов, чьи порядки взаимно просты с характеристикой поля q .

Классы

2А, 4А, 4£**

- это классы унипотентных элементов, т.е. элементов, чьи порядки являются степенью 2.

Смешанных элементов, порядки которых имеют в качестве делителя не только 2, в группе

2^(с), нет.

Группу2 В2(с), можно рассматривать как скрученный вариант группы Шевалле В2(д), что позволяет использовать соответствующую терминологию и результаты из [5]. При проверке гипотезы необходима следующая лемма.

Лемма. Отражение, являющееся композицией отражений относительно двух ортогональных корней, переводит каждый корень, компланарный с ним, в противоположный.

Доказательство. Пусть а и в - два взаимно ортогональных корня. Без ограничения общности, можно считать их единичными.

Рассмотрим отражение ю, действующее на корень у, следующим образом [5]:

®5 (у) = у- 2(А у)5.

®а®р (у) = ®а (У - 2(в, у)Р) = У - 2(в, у)р - 2(а, у - 2([3, у)[3)а = у - 2((, у) - (а, у)а).

Учитывая, что

(в У)в + (а, У)а = У,

так как левая часть последнего равенства является разложением у по взаимно ортогональным векторам, получаем

®а®р (У) = У- 2У=-У ,

что и требовалось доказать.

Обратимся к проверке гипотезы. Проверим ее для полупростых элементов. Наличие в полупростых классах коммутирующих элементов следует из предложения.

Теорема 1. В группе 2В2(д), полупростой элемент сопряжен со своим обратным.

Доказательство. От группы В2(д) перейдем в алгебраическую группу В2 над алгебраическим замыканием ¥, и покажем, что в ней полупростой элемент сопряжен со своим обратным.

Из [5] известно, что полупростой элемент сопряжен с картановским элементом

й=П К &).

а

В диаграмме Дынкина ([8], с. 296) имеется пара ортогональных корней (а, у). Отражение с помощью

Ю=ЮаЮу,

где а ± у,

ш - представитель элемента из группы Вейля, переводит элемент вида йа('а) в йш(а)('а) такой, что

ШЙа ('а )®-1 = й»(а)0).

Это следует из соотношения

ШаЙв (0Ша = Йша (Р)(0

в формулировке леммы 20 ([5], с. 31).

Отражение, являющееся композицией отражений относительно двух ортогональных корней

Ю=ЮаЮу,

переводит каждый корень в противоположный (лемма):

Йш(а)('а ) = Й-а ('а ).

Но из соотношения (8) определения 1 ([5], с. 32) имеем

Йа (') ^ ) = *р(' <Р,а>и).

Откуда следует, что

К ('«х) = К (t «X

по крайней мере, с точностью до множителя из центра группы.

Таким образом, сопряжение картановского элемента элементом ю переводит каждый множитель в h в обратный:

aha (')ю-1 = ha(a)(t) = h-a (t) = ha4t).

Но так как множители коммутируют, значит, и h переходит в обратный:

QhQ-1 =П hffl(tt)(ta ) =П h-a (ta ) =П К (t-1) = h"1.

a a a

Следовательно, полупростой элемент сопряжен со своим обратным в алгебраической группе - некотором максимальном торе.

Далее, мультипликатор Шура группы B2(q) равен 1 [9]. Теперь воспользуемся результатом статьи Т. А. Спрингера и Р. Штейнберга ([6], с. 200), по которому и в группе 2B2(q) полупростой элемент сопряжен со своим обратным.

Наши рассуждения проходят при t Ф tто есть когда h не является инволюцией. Но по теореме 2.1 из работы [1]: в любой конечной простой группе класс инволюций содержит коммутирующие элементы. Следовательно, это верно и для группы 2B2(q). Полупростые классы разобраны.

Перейдем к рассмотрению унипотентных элементов. Централизаторы любого элемента и его обратного имеют один и тот же порядок.

В B2(q) имеются классы с одинаковым порядком централизатора. Это 4A и 4B**

(4 - элементы). Элемент из класса 4А имеет обратный.

Если X е 4A, то х- е 4B**.

Теорема 2. В классе 4A, а также 4B** имеются коммутирующие элементы.

Доказательство. Пусть (a, ß) - 4 элемент.

Пользуясь равенствами (1) и (2) замечаем, что

0 и k_1(a,ß)k = (ak,ßk2) .

Если взять k0 = 1 , то из (1) устанавливаем, что оба элемента коммутируют. Что и требовалось доказать.

Библиографический список

1. Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классе сопряженности / В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 8. - С. 12-20.

2. Ерофеева, Л.Н. О простой группе Ри 2G2(q) / Л. Н. Ерофеева, С. В. Лещева, Н. В. Мохнина, Н. В. Юрова // Труды НГТУ. - 2017. - № 3(118). - С. 24-27.

3. Бусаркин, В. М. Конечные расщепляемые группы / В. М. Бусаркин, Ю. М. Гончаров. - М.: Мир, 1985. - 111 с.

4. Abdullah, A. / The solvable subgroups of large order of Suz(q) / A. Abdullah, Abduh and Gaitha M. Alzabeedy // Global Journal of Mathematics. Vol. 4. - No. 2. - October 06. - 2015.

5. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М.: Мир, 1975. - 263 с.

6. Семинар по алгебраическим группам. - М.: Мир, 1973. - 315 с.

7. Серр, Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.-П. Серр. - М.: Мир, 1969. - 375 с.

8. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. -М.: Мир, 1985. - 352 с.

Дата поступления в редакцию 02.11.2017

N.V. Mokhnina, N.V. Yurova Commuting elements in conjugacy classes in the group Suzuki

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev

Purpose: There is the conjecture that every conjugacy class of fin noabelian group contains the commuting elements. The conjecture for Ree group 2 B2(q) is verified.

Design/methodology/approach: The formation on the structure of the exclusive groups of the Lie type is using. Findings: This result is an stage of the testing of the general conjecture.

Research limitations/implications: Methods of this paper may be used for the investigation the other groups. Originality/value: The result is new.

Key words: group Suzuki, conjugacy class, simple group, switching elements, centralizer.