CC BY
78УДК 512
Н.В. Юрова
О КЛАССАХ СОПРЯЖЕННОСТИ В СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЕ SP4(q)
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Данная статья продолжает ряд работ по проверке гипотезы о том, что в конечной простой группе неединичный класс сопряженности содержит коммутирующие элементы. Ранее это утверждение было проверено
для спорадических, проективных Ln (q), знакопеременных групп An, групп Ри 2G2 (q) и Сузуки 2B2 (q). Ряд
серий простых конечных групп остается непроверенным, среди них имеются ортогональные О2п+1(д), О2п(д)± , унитарные Un(q) и симлектические Sp2n(q) группы. В данной работе начата проверка упомянутого выше предложения для серии симплектических групп.
Ключевые слова: симплектическая группа, класс сопряженности, конечная простая группа, коммутирующие элементы, цетрализатор.
В предлагаемой статье производится проверка группы Sp (q) в качестве подготовительного этапа в исследовании группы SP2n (q). Сведения о симплектических группах можно найти в [1-3]. Следующее утверждение оказывается полезным при исследовании как Sp(q), так и других групп Шевалле [ 1].
Предложение 1. [4, с. 442]. Пусть V конечномерное векторное пространство над конечным полем Fq и x линейное преобразование с характеристическим многочленом f (x).
Если f(x) = f^(x)f"2 (x)... разложен на неприводимые множители, то V разлагается в прямую сумму x инвариантных подпространств
k
V = V Ф V2 Ф... Ф Vk =Yyt,
i=1
где подпространство V аннулируется многочленом f" (x), то есть f"' (x)(u) = 0 при любых
u из пространства V, i = 1, k.
В симплектическом случае предложение 1 можно уточнить: при x ^ x_1 корни характеристического уравнения f (x) = 0 переходят в себя. Это следует из
(xu, v) =
' 1 N
u,—v
V x у
где (и, V) — симплектическая метрика.
Обратимся теперь к исследованию группы Бр (д) . Сначала разберем случай четного д
Можно считать, что д > 2, так как группа Бр (2) изоморфна симметрической группе Е6, а она разобрана в [5].
Информация о классах сопряженности в группе Бр (д) содержится в статье Еномото [6]. Еномото рассматривает Бр(д) как группу Шевалле [1], построенную по диаграмме Дынкина [7, с. 312].
Система корней исследуемой группы выглядит следующим образом.
© Юрова Н.В., 2018.
Ь а + Ь 2а + Ь
Рис. 1
где
Представители классов изображаются верхними треугольными 4 х 4 матрицами вида
Х = ЬХа (и1 К (и2 К+Ь ("3 )х2а+Ь (и4 )
Г Н
н =
У
картановскии элемент, а
X х х х __-11 Т- у
«, Ь, а+Ь' 2а+Ь корневые подгруппы. Аргументы '
в алгебраическом замыкании поля " 4 и х
Н, Н, Н \
берутся
2 являются корнями характеристического многочлена х.
В приводимой таблице ^ _1 [6] легко обнаруживается, что класс полупростого элемента и смешанного однозначно определяются своими характеристическими многочленами.
Поскольку такой многочлен инвариантен при замене Н ^ Н ' то указанные элементы сопряжены со своими обратными.
Осталось разобрать унипотентные классы. Таковые представляются элементами
Х2а+Ь (1), Ха+Ь (1), Ха+Ь 2а+Ь
(1), Ха (1)Х (1), Ха (1)Хь (1)Х 2а+Ь
где 5 е р таково, что многочлен х2 + х + 5 неприводим над ц. Формула [ 1 ]
Иа(г )хр(и )ка( У1 = х,(/ ^ и) при подходящих I и а дает коммутирующий с хр(и) и сопряженный с ним элемент
хр (^ и) Тем самым вопрос положительно решается для первых из трех классов унипотен-тов.
Далее,
[ха (1)хь (1)]_1 = хь (_1)ха (_1)= хь (1>а (1)= хь (1)ха (1>*Ь (^ (^, то есть ха (1)х6(1) сопряжен с обратным. Оба элементы различны, так как ха и хъ не коммутируют. Наконец, обратный элемент к ха (1)хь (1)х2а+ь (5), не будучи инволюцией, не может лежать в рассмотренных унипотентных классах, а, значит, сопряжен с ха (1)хй (1»х2а+¿(5). Случай ц > 2 рассмотрен.
Н
2
Пусть теперь д нечетно. Здесь нужную информацию можно извлечь из работы
Шринивасана [8]. Он работает с группой БР4(д), накрывающей группы Бр (д), и, поэтому
надо соблюдать некоторую осторожность с перенесением выводов на Бр (д) . Представители
классов представлены 4 х 4 матрицами с элементами из алгебраического замыкания поля Е ,
а потому характеристический многочлен класса легко определяется. Просмотр соответствующей таблицы приводит к заключению, что, как и при четном д, полупростой класс (уже в
л
Бр(д), а не в БР4(д) однозначно определяется своим характеристическим многочленом.
с"1 следует из соответствующей инвариантности многочлена. Конечно, случаи
Вывод х
х =
х = ± х 1 ничего нового не дают. Их мы разберем позднее.
Смешанные элементы определяются своими характеристическими многочленами, если они имеют вид Р2 (х), где р(х) - самосопряженный многочлен с корнями, отличными от ± 1. Поэтому дальнейшему исследованию подлежат, кроме ранее упомянутого случая х ~
± х4, характеристические многочлены Р(х) (х ± 1) (х2 -1)2 и унипотенты.
Случай, когда х = ± х 1, то есть инволюция в Бр (д), можно исключить в силу приведенного в [5] утверждения, по которому в любой простой конечной группе класс инволюций содержит коммутирующие элементы.
Обратимся к исследованию унипотентов. Имеются два класса с представителями типа
(1 а 0 0 ^ 0 10 1 0 0 10
V0 0 0 1 у
в стандартном базисе е, е2; е, е4 (то есть подпространства {ех, е2) и (е3, е4) ортогональны и симплектические произведения (е1, е2), (е3, е) равны единице) и 4 класса с представителями типа
(1 а 0 0 ^ 0 10 0 0 0 1 ь
V0 0 0 1 у
В первом случае легко проверить, что х, х"1, х2 различные, а поэтому два элемента из трех должны оказаться в одном классе. Но тогда х ~ х_1,х2 или х~2, то есть класс элемента х содержит коммутирующие элементы. Во втором случае базис можно также выбрать стандартным. Базис остается стандартным, если их заменить на
е^ , е ^ ^ , е^ ^^^, е^ *
При этом а и Ь в выражении для матрицы х приобретают множители, являющиеся квадратами в Ед *. При д > 3 можно тогда считать а и Ь различными. Симплектическое преобразование
^ = (е -о- е, е2 е)
х =
дает
У = 8х8 =
(1 Ь 0 0 ^ 0 10 0 0 0 1 а
V0 0 0 1 у
л
то есть класс х содержит коммутирующие элементы х и у . Это рассуждение не проходит при q = 3 , так как 1 единственный квадрат в Е * •
В этом случае надо рассмотреть лишь
(110 0 1 0 10 0 0 0 11 V0 0 0 1 х
Здесь мы полагаем
^ = (е ^ е+е, е ^ е+е, е ^ —е+е, е ^ —е+е)
X =
и
у=(е ^ е, е ^ е+е, е ^ е, е ^ е+е )
Проверяется, что £ и у симплектичны и ву = ув, то есть у ~ х. Наконец, хУ = —ух, т.е. х и у коммутируют в группе 8Р4 (д) •
Для смешанных элементов с характеристическим многочленом Р(х)(х ± 1)2, Р(±1) ^ 0 имеем представление
(X 0 1 х = ,
10 ± Е)
где X, Е, 0 — 2х 2 матрицы и проходит прежнее рассуждение:
Е 0 1 0 X
х ~ у =
и ху = —ух.
В оставшемся случае, когда характеристический многочлен равен
(х2 — 1)2 =(х — 1)2 (х +1)2
матрица х выглядит как
(1 а 0 0 1 0 10 0 0 0 — 1 — Ь ч0 0 0 — 1 у Вновь при q > 3 а и Ь можно считать различными. И опять
х ~ у =
и х, у коммутируют.
При q = 3 остается случай а = Ь = 1. В том же базисе выберем
(—1 — Ь 0 01
0 —1 0 0
0 0 1 а
V 0 0 0 1,
х =
1 1 0 0 1 (0 0 1 21
0 1 0 0 0 0 0 1
, у =
0 0 —1 —1 1 2 0 0
0 0 0 —ъ V 0 1 0 0,
О 0
в =
0
1
0
0
10 —10 0 12 0 — 1
Непосредственно проверяется, что все элементы симплектичны и sx = ys.
Библиографический список
1. Кострикин, А.И. Введение в алгебру / А. Кострикин. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
2. Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классе сопряженности / В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 8. - С. 12-20.
3. Enomoto, H. The characters of the finite symplectic group Sp(4,q), q = 2f / H. Enomoto // Osaka J. Math. - № 9. - 1972. - С. 75-94.
4. Серр, Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.-П. Серр. - М.: Мир, 1969. - 375 с.
5. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М.: Мир, 1975. - 263 с.
6. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. - М.: Мир, 1985. - 352 с.
7. Дьедонне, Ж. Геометрия классических групп. - М.: Мир, 1974.
8. Srinivasan, B. The characters of the finite symplectic group Sp (4,q) / B. Srinivasan // The research was supported by a National Research Council (Canada) Postdoctoral Fellowship at the University of British Columbia. - September 16. - 1966.
9. Ерофеева, Л.Н. О простой группе Ри 2G2(q) / Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева, Н.В. Мохнина, Н.В. Юрова // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2017. - № 3 (118). - С. 24-27.
10.Галкин, В.М. Коммутирующие элементы в классах сопряженности в группе Сузуки 2B2 (q) /
В.М. Галкин, Н. В. Мохнина, Н. В. Юрова // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2017. - № 4. - С. 45-49.
Дата поступления в редакцию: 16.10.2018
N.V. Yurova
ON CONJUGACY CLASSES IN THE SYMPLECTIC GROUP Sp (q)
Nizhny Novgorod state technical university n. a. R.E. Alekseev
Purpose: There is the conjecture that every conjugacy class of finite simply group contains the commuting elements. The conjecture for the group Sp (q) is verified.
A
Design/methodology/approach: Information on the conjugacy classes of Sp (q) and SP4 (q) is using. Findings: This result is an stage of the testing of the general conjecture.
Research limitations/implications: Methods of this paper may be used for the investigation the other groups. Originality/value: The result is new.
Keywords: symlectic group, conjugacy class, finite simple group, commuting elements, centralizer.
