ОЦЕНКИ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ ЧЕРЕЗ НОВЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 24-43.

УДК 517.5

ОЦЕНКИ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ ЧЕРЕЗ НОВЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Л.И. ГАФИЯТУЛЛИНА, Р.Г. САЛАХУДИНОВ

Аннотация. В статье введены новые геометрические характеристики выпуклой области с конечной длиной границы и приведен а.;п'оритм их вычисления. Доказан ряд изопериметричееких неравенств между новыми функционалами и известными интегральными характеристиками области. Отметим, что некоторые неравенства имеют широкий класс экстремальных областей. Рассмотрены приложения новых характеристик к задаче об оценке жесткости кручения выпуклой области.

Ключевые слова: выпуклая область, функция расстояния до границы области, жесткость кручения, изопериметричеекое неравенство, экстремальная область.

Mathematics Subject Classification: 26А99, 26D99, 30С99

1. Введение

Пусть G — односвязная область на плоскости. Одной нз ее важных характеристик является функционал

P(G) :=2 J u(x,G)dA, (1.1)

G

где и(ж, G) — функция напряжения, которая является решением краевой задачи

△и = -2, х е G, и = 0, х е dG,

а через dA обозначен дифференциальный элемент площади. Хорошо известно, что такая функция напряжения существует и определяется единственным образом (см.. например. |1|- |2|).

Первые экспериментальные результаты вычисления с крутильными весами проделаны в 1784 г. Купоном. Он обнаружил, что усилие, необходимое для скручивания однородного стержня прямо пропорционально его длине /, углу в, на который необходимо скрутить, некоторой физической постоянной к, зависящей от материала, из которого изготовлен стержень, а также некоторой характеристике Р, зависящей только от формы сечения однородного стержня, таким образом

F = кЮР.

Величина Р в дальнейшем была названа жесткостью кручения. Заметим, что Р пропорциональна функционалу ( ), Таким образом, функционал P(G) называется жесткостью

L.I. Gafiyatullina, R.G. Salakhudinov, Estimates for torsional rigidity of convex domain

via new geometric characteristics.

© ГАФИЯТУЛЛИНА Л.И., САЛАХУДИНОВ Р.Г. 2024. Поступила 15 августа 2023 г.

кручения области С. Хотя определение ( ) не было известно Кулону, им была предложена формула

4

= ^ 2

для вычисления жесткости кручения с круговым сечением, где г — радиус сечения. Хорошо известно, что именно благодаря формуле Купона появилась константа «2» в определении (1.1). Оказалось, что функционал (1.1) является важной физической характеристикой области не только в теории кручения, по и в гидродинамике.

Одной из классических задач математической физики является вычисление Р(С) для конкретных сечений, а также изучение ее свойств. Нахождение точных форму:: дня вычисления жесткости кручения оказалось непростым долом |2|, поэтому естественной является задача оценки жесткости кручения через более простые характеристики области. Это направление исследования оказалось тесно связано с изонеримотрическими неравенствами математической физики. В этом направлении написаны сотни работ |3|, среди которых можно отметить работы О. Коши, В. Сеп-Вопапа, Г. Полна, Г. Сего, Е. Макан, Л.Е. Пей-па, Ф.Г. Авхадиева,

В 1951 году Полна и Сего |1| показали, что дня любой выпуклой области справедливо неравенство

2Л(С)р(С)2 < Р(С), (1.2)

где р(С) — радиус максимального круга, содержащегося в С и Л(С) — площадь области С. Равенство в ( ) достигается для круга.

Позднее Макан |4| показал, что для любой выпуклой области

р(с) < 4ур(х,с)2ад, (1.з)

с

где р(х, С) — функция расстояния от точки х до границы области С, Константа 4 в неравенстве (1.3) является наилучшей из возможных, и достигается в продело, например, па последовательности прямоугольников Qra = [0,1] х [0,1/п], при п ^ Как следствие

этого неравенства им была получена оценка

4

Р(С) < 4Л(С)Р(С)2, (1.4)

Константа 4/3 является наилучшей из возможных и достигается также в пределе, когда область вырождается.

Ф. Г. Авхадиев во второй половине 90-х годов XX века определил интегральный геометрический функционал

1Р(С) = у р(ж,С)раА, (1.5)

с

который называется евклидовым моментом области относительно границы порядка р. При р = 2 функционал естественно назвать евклидовым моментом инерции области (см. [5]), а при р = 1 — стационарным евклидовым моментом области. Авхадиев [5] показал важную роль счзклидового момента инерции в теории кручения однородного стержня с одно-связным сечением. А именно, Ф.Г. Авхадиев установил, что Р(С) и 12(С) эквивалентные величины в смысле Полиа и Сего |1|,

В данной работе будут введены новые легко вычислимые геометрические функционалы области и через них даны верхние границы жесткости кручения выпуклой области, а также новые нижние оценки Р(С).

Основным методом исследования являются оценки функционалов области на множествах уровня функции области.

2. Функционалы K(G) и d(p(G)) и их свойства

Обозначим через

G(p) := [z Е G | p(z, G) ^ р], a(p) := A(G(p)) := J dA

G(p)

множество уровня функции расстояния р(х, G) и площадь множества уровня G(p), соответственно, Через L(G) обозначим длину границы области G. Пусть

l(р, G) := L(G(ß)), l(p(G)) := lim l(p, G). (2.1)

ß^p(G)

Если рассматривается только одна область, то кратко будем функционал l(p,G) обозначать через l (р).

Будем называть выпуклую область G растяжением выпуклой области G0, если область G0 можно получить из G путем вырезания прямоугольного фрагмента и соединения оставшихся частей параллельным переносом так, что p(G0) = p(G). С другой стороны, область G0 естественно назвать сжатием G. Заметим, что не все области можно растянуть. Действительно, нетрудно видеть, что треугольник, правильный многоугольник с нечетным числом сторон являются примерами нерастяжимых областей. Если область G не растяжимая, то положим Go = G. С другой стороны, если l(p(G)) ^ 0, то выпуклая область G растяжима и сжимаема (см. [ ]), Например, растяжением круга является область типа Боннезена, состоящая из двух полукругов радиуса г и прямоугольника со сторонами d и 2г. Такие области образуют двухпараметрическое семейство выпуклых областей, зависящих от параметров ^г,

Рис. 1. Круг и его растяжение.

Как и в статье [ ], будем обозначать через Г подмножество выпуклых областей, содержащее описанные около некоторой окружности многоугольники, а также круговые многоугольники, получаемые из описанных многоугольников заменой некоторых сторон или их частей дугами вписанной в многоугольник окружности. Формирование множества ГГ

Г

Г

многоугольников.

Для областей D из Г введем функционал

K(D) := sup (-l'(р)) , (2.2)

ß v 7

где l (p) — производная функции l(p). Известно (см., например, [ ]), что для выпуклых многоугольных областей l (р) кусочно-линейная, убывающая и вогнутая, а для класса Г функция l(р) линейная, тогда

K(D) = - lim l' (р).

ß^p(D)

Область Д из множества Г характеризуется набором параметров а^ При этом

п т

71 = ж для всех I и ^ а^ — = ж(п — т — 2), На рисунке 2 показана роль параметров

г=1 ¿=1

аг, 7г для области из класса Г,

Г

Тогда нетрудно, видеть, что

п т

Ь(Д)р(С) = 2р(Б) ^ с^(аг/2) + р(Б) ^ /З3,

г=1 j=1

поэтому

п т

К(Я) = 2 ^ ctg(ai/2) + ^ /З3. (2.3)

г=1 3=1

Так как € (0, л), то го ( ) следует, что функционал К(С) принимает конечные значения и может неограниченно расти, если хотя бы один из углов ^ 0. Это, например, видно в случае треугольника. Заметим, что значение функционала К(И) не зависит от углов 71.

Таким образом, для несжимаемой области И € Г имеем:

™ = Ж.

Если И — сжимаемая область из класса Г, то, очевидно, получим

К(в) = Ь(Д)-уд)). ■

Нашей ближайшей целью является построение аналога функционала К(И) для произвольной выпуклой ограниченной области. С этой цслыо приведем пример области не

Г

С — полукруг радиуса г (см. рис. 3). Для области С имеем: р(С) = г/2 и

IЫ) = 2л/г2 — 2г^ + (г — ( ж — 2агсвт—-— ) .

V г — V)

Г

Отсюда нетрудно получить, что

sup ( — 1 (ß)) = lim ( — 1 (ß)) =

ß v / ß^r/2 \ )

Этот простой пример показывает, что распространение определения (2,2) (или (2,3)) на более широкий подкласс выпуклых областей является затруднительным и не эффективным, так как для «хорошей» области — для полукруга, этот функционал не является конечной величиной. В действительности этот пример далеко не единственный. Несмотря на это, ниже будет приведен класс областей, для которых это возможно, В действительности пример полукруга является ключевым, и для корректного обобщения определения K(D) на произвольные выпуклые области необходим критерий конечности предела

lim -l Ы . (2-5)

ß^p(G) \ /

Пусть G — произвольная выпуклая область. Сопоставим области G область D Е Г, которая содержит область G, имеет тот же самый радиус максимального круга и наименьшую длину границы области.

В следующих утверждениях приведем алгоритм построения области D.

Лемма 2.1. Для, любой области G Е Г и сектора Sec(^) раствора ß, с вершиной в центре .максимального вписанного в область G круга, справедливы неравенства,

mf L(dG П Sec(^)) ^ ßp(G), mf A(G П Sec(^)) ^ ßp(G)2 ,

где dG — граница области G.

Г

образом, лемма утверждает, что наименьшая длина и площадь области G Е Г будут у области, граница которой содержит дугу сектора раствора ß.

Лемма 2.2. Пусть G — выпуклая область конечной площади и l(p(G)) = 0. Тогда существует область D Е Г такая, что

L(D) := min{L(Q) : Q D G, p(Q) = p(G),Q Е Г}.

При, этом:

1) если часть границы G совпадает с дугой сектора .максимального вписанного круга, то эта, дуга, целиком принадлежит D;

2) если граница G строго содержит дугу сектора максимальной вписанной окружности, то часть границы D будет образована касательными к области G. Причем, часть области D будет содержать часть области G и рассматриваемый сектор (см,, рис. ).

Рис. 4. Выпуклая область у которой l(p(G)) = 0.

Доказательство. Пусть С — выпуклая область. Рассмотрим максимальную окружность в С и множество точек касания вписанной окружности и границы области С. Проведем во всех таких точках касательные к области С, исключая касательные, проведенные во внутренних точках дуг вписанной окружности, являющиеся граничными для области С, если такая дуга или дуги существуют. Отметим, что на концах этих дуг существуют касательные к области С, так как в противном случае дуга не является дугой вписанного круга в С, либо не выполняется условие выпуклости.

Поэтому проведенные касательные и дуги вписанной окружности образуют многоугольник из класса Г. Покажем, что построенную область можно взять в качестве области И.

Обозначим через 5(ОАгАг+1) круговой сектор раствора @ < л, С(ОАгАг+1) криволинейный сектор раствора @ < л, где А^ А+ соседние точки касания вписанной окружности и границы области С. Сначала рассмотрим случай, когда 5(ОА^А^) = С(ОА^Аг+1), Тогда согласно лемме дуга окружности А^А^ будет «оптимальной», т.е. эта дуга будет частью границы искомого многоугольника И (см, рис, ),

Пусть Б(ОА2А^+1) с С(ОА^А,-+1), но эти секторы не совпадают, В рамках введенных ограничений невозможно уменьшить длину построенного многоугольника И: ломаную А^АА^+1 (см. рис, ) нельзя заменить дугой А^Аг+1, вписанной окружности, поскольку тогда С С В, либо произвольным отрезком, соединяющим стороны ломаной А^АА^+1.1

Г

Таким образом, построение границы области И будет состоять из углов типа АгААг+1 и дуг вписанной окружности, являющиеся оптимальными. Это завершает построение области И и доказательство леммы , □

В следующей лемме рассмотрим оставшиеся варианты построения области И.

Лемма 2.3. Пусть С — выпуклая область конечной площади. Тогда существует многоугольник И Е Г такой, что

ЦБ) := ш1п(Х(д) : Q э С, р(Я) = р(С)^ Е Г}.

Доказательство. Приведем алгоритм построения области И с минимальной длиной границы для выпуклой области С, основанный на расположении различных касательных, проведенных в точках касания максимальной вписанной окружности и границы области С.

Рис. 5. Выпуклая область с единственной окружностью

Пусть С — выпуклая область. Впишем в С максимальную окружность или дуги окружности, Рассмотрим касательные прямые только па концах дуг общих дня окружности и границы С, если такие дуги присутствуют, а также в остальных точках касания вписанной окружности и границы С, не связанные с дугами.

Далее, построение области И разбиваем на два случая:

1) когда среди множества касательных пет параллельных либо имеется более одной пары параллельных касательных и I (р(С)) = 0;

2) когда среди касательных найдется одна пара параллельных касательных и I(р(С)) = 0 либо таких пар параллельных касательных более одной и I(р(С)) = 0, В нервом случае, очевидно, что вписанная окружность единственная (см, рис, 5, 6),

Тогда касательные и дуги окружности из С (И) образуют область из класса Г, Согласно леммам и построенная область и является областью И.

Более интересен второй случай. Пусть среди проведенных касательных имеются параллельные, Тогда вписанная окружность может быть единственной (полукруг, эллипс), либо их бесконечно много (любая сжимаемая область).

Предположим, что С — сжимаемая (см. рис. ), т.е. I(р(С)) = 0, Параллельно множеству С(р(С)).; являющейся отрезком, проводим касательные к области С, получим полосу содержащую С, Далее построим прямоугольник Р, содержащий С так, чтобы все его стороны касались границы области С, либо прямоугольник имел общие точки с С. Причем две построенные стороны прямоугольника могут быть как касательными к области С, так и не касательными (см, рис, ), В полученный прямоугольник Р вписываем область типа Боннезена В (см. | ¡).

Далее проводим касательные к области С через общие точки границы С и границы В, а также, если граница области С содержит догу границы В, то через точки на концах дуг. Если на границе Р имеются крайние точки выпуклой области С (см, [ , стр. 14]), то через эти точки также проводим касательные к В (на рис, этой ситуации соответствует касательная, проходящая через точки А^ ), Отметим, что эта касательная прямая не будет являться касательной к границе С. Проведенные касательные, стороны Р и дуги границы области В образуют некоторый многоугольник И Е Г содержащий С (см, рис, ), т.к. В является растяжением круга.

Поскольку требуется найти многоугольник с наименьшей длиной границы, то И необходимо оптимизировать. Прежде всего заметим, что прямолинейные стороны области В будут частью области И. Действительно, эти стороны или их части не могут быть заменены дугами вписанной окружности, так как в противном случае нарушается выпуклость

Рис. 6. Выпуклая область с единственной окружностью

Р

Рис. 7. Построение области Б го класса Г

Л;+1

Рис. 8. Построение области Л из класса Г

многоугольника, следовательно получаем область не из класса Г (см. рис. ), Аналогично, замена части сторон на отрезки меньшей длины, например, касательные к С, приводит

Г

области В и В , Обозначим эти точки через А^ Если границы В и В имеют общие отрезки прямых или общие дуги, то среди этих точек рассмотрим только точки, совпадающие с концами отрезков или дуг. Дня каждой нары соседних точек применим леммы 2.1 и 2.2 и заменим части границ многоугольника В' на дуги или стороны меньшей длины (рис. ), Это завершает построение области В Е Г для случая сжимаемой области.

В случае, когда среди рассматриваемых касательных, проведенных к несжимаемой области С, имеется одна пара параллельных, построение области В проводится аналогично предыдущему случаю.

Построение области В Е Г закончено. Лемма доказана. □

Пусть С — произвольная выпуклая область. Пусть В — область, соответствующая С. Определим новый функционал:

К(С) := К(В). (2.6)

Как будет видно ниже, одного функционала К(С) для получения оценок жесткости кручения недостаточно. Определим еще один функционал:

й(р(О) := I(Р(В)). (2.7)

Из определения следует, что для любой выпуклой области С

а(р(О) ^ I(р(с)). (2.8)

Этот функционал, в отличие от I(р(С)), более точно показывает, насколько область С растянута. Например, для эллипса с полуосями а и Ь, величина й (р(С)) = 4(а — Ь), а I(р(С)) = 0. Это соответствует нашему восприятию эллипса как растянутой области.

Приведем еще один пример применения лемм 2.1, 2.2, 2.3 для нахождения области В с минимальной длиной границы для выпуклой области С. Рассмотрим полукруг С радиуса г (см. рис. 9). Для построения области В Е Г опишем вокруг полукруга прямоугольник, Применяя лемму 2,3, заменим части сторон прямоугольника дугой вписанной в С окружности. Получаем в качестве области В прямоугольник с двумя срезанными дугой максимальной вписанной окружности углами, У полукруга I(р(С)) = 0, а(р(С)) = I(р(В)) = 2г, К(С) = К(Д) = 4 + Ж.

Теорема 2.1. Пусть С — выпуклая ограниченная, область. Тогда,

(—1 (^) = ^р(С) \ /

^Р(С)

тогда, и только тогда, когда, СЕ Г и й (р(С)) > 0.

Рис. 9. Пример области И.

Доказательство. Достаточность. Пусть СЕ Г и й (р(С)) > 0. Тогда имеются две параллельные отрезку И(р(С)) (множество С(р(С)) возможно является точкой) касательные к области С в точках касания области С и максимальной вписанной окружности. Обозначим через Н круговую лунку. Отметим, ввиду выпуклости области С, точек касания вписанной окружности и границы области С либо ровно две, либо их бесконечное число. В нервом случае можно взять симметричную круговую .пупку. Во втором случае — .пупку, ограниченную хордой. В виду того, что при значениях близких р(С), множество С(р) содержит круговую лунку Н(р) (см. рис. ), получим

I(р,С) 2 I(р,Н).

Рис. 10. Выпуклая область, содержащая круговую лунку При этом справедливо следующее неравенство

I(р,С) — I(р(С)) 2 I(р,н) - I(р(С)).

Поделим последнее неравенство на р — р(С).; тогда 0 ^ р ^ р(С). Умножая на (—1),

получим

' I(р,с) — I(р(О) 2_ I(р,н) — I(р(0))

ß - p{G) ß - p{G)

Перейдя к пределу при ß ^ p(G), нетрудно видеть

lim (-1'(ß,G)) 2 lim (-1'(ß,Hj)

;-j-p(G) \ J «-)•p(G) \ J

ß^p(G) \ / ß^p(G)

Из рассмотренного выше примера следует, что

lim (-l' (ß,H ))=+ж.

ß^p(G) \ V

Таким образом, достаточность доказана.

Необходимость. Пусть G - выпуклая область и G Е Г такая, что

lim^ (-l'И = +

•,—tp(G) V /

Если допустить, что й(р(С)) = 0, т0 и I(р(&)) = 0. Кроме того, по лемме 2.3 найдется область В Е Г такая, что В э С, р(В) = р(С), I(р,В) 2 I(р,0). Следовательно,

lim (-l'(ß,D)) 2 lim i-l'(ß,G))

ß^p(G) \ / ß^p(G) \ /

Тогда из последней оценки К(И) = а по определению функционал К(И), для любой выпуклой области из класса Г, принимает конечное значение. Получилось противоречие, завершающее доказательство теоремы 2.1. □

Следствием теоремы 2,1 и определения (2,7) является разбиение выпуклых областей на два класса. Первый подкласс состоит из областей С, для которых ^(р(С)) > 0, а второй — для которых ^(р(С)) = 0, Второй подкласс представляет собой области, близкие к кругу. Отметим, что класс областей, близких к кругу, подробно выделялся и изучался в монографии Полна и Сегё (см, [ , Гл. 6]), Таким образом, в классе областей с ^(р(С)) = 0, мы можем определять функционал К(С) по формуле ( ), но изучение этого случая остается за рамками данной статьи. Заметим, что лемма 2,2 имеет отношение к классу выпуклых областей с ^(р(С)) = 0, а лемма 2.3 относится к случаю ^(р(С)) > 0, Перечислим некоторые основные свойства введенного функционала К(С): 1. Пусть С1 и С2 — подобные выпуклые области, тогда К(^) = К(С2).

Г

от величины углов, а свойство преобразования подобия сохраняет величины углов между кривыми, откуда немедленно вытекает данное свойство, В частности, из этого свойства следует, что функционал К(С) не является монотонным как функция области. Например, для областей, изображенных на рис, И1 С С но

Кр1) = К(Д0 = 2^ ^ К(Д0 = 8.

Г

2, Пусть С — сжимаемая выпуклая область и Со — сжатие С, тогда К(С) = К(С0). Утверждение следует непосредственно из определения К(С),

3, Для любой области И Е Г справедливо следующее равенство:

I(р) = К(Я)(р(Я) - р) + I(р(Б)), 0 ^ р ^ р(Б).

Рассмотрим следующее равенство

р(о)

Iы = - i I'(г)М + i(р(и)). (2.9)

Утверждение 3 получается применением равенства

п т

I' (*) = 2 ^ ctg(ai/2) + ^ &

Л®г

г=1 j=1

справедливого для И Е Г, и интегрированием ( ).

4. Если С — выпуклая область и И — минимальная область из Г р(И) = р(С) и С С И, тогда

I(р, с) ^ К(с)(Р(с) - р) + а(Р(с)). (2.Ю)

Равенство в неравенстве достигается для областей из класса Г для любо го р Е [0, р(С)\. Поскольку С(р) С О(р), (0 ^ р ^ Р(Сг)), поэтому I(р,С) ^ I(р,В) и с учетом свойства 3 получаем:

I(р, С) ^ К(Я)(Р(Я) - р) +1(рф)) = К(С)(Р(С) - р) + а(р(С)).

В частности справедливо следующее неравенство

вд ^ к(с)Р(с) + а(Р(с)). (2.И)

В таблице 1 приведены приближенные значения отношения лсчзой и правой частей неравенства (2.11) па примере эллипса. Из таблицы 1 видно, что эти значения .нежат между числами, близкими к 1. Следствием этого примера является невозможность замены ¿(р{С))^а I(р(С)) в ( ).

Эллипс с полуосями а, Ь вд

к(С)р(С) + а (р(О)

а/Ь = 1 1

а/Ь = 6/5 0.977779

а/Ь = 4/3 0.967349

а/Ь = 3/2 0.95769

а/Ь = 7/4 0.948036

а/Ь = 2 0.942164

а/Ь = 3 0.935708

а/Ь = 4 0.938395

а/Ь = 7 0.951491

а/Ь = 12 0.965792

а/Ь = 100 0.994597

а/Ь ^ то 1

Таблица 1: Иллюстрация неравенства (2.11) па примере эллипса.

В качестве замечания к этому свойству отметим, что существуют выпуклые области, множества уровня которых, начиная с некоторого являются областями из класса Г. Нетрудно привести пример таких областей. Рассмотрим трапецию, одна сторона которой не касается вписанной окружности. Пусть Ь — это точка пересечения биссектрис, ближайшая к границе области. Тогда для любого р Е [0,р(Ь,С)] множеством уровня является трапеция С(р), подобная С, при р Е [р(Ь,С), р(С)\ множеством уровня трапеции будет

Г

Рис. 12. Построение области С(р)

5. Среди всех п-угольников Оп, описанных около данной окружности, наименьшее значение К(Ип) имеет правильный п-угольник Ип, т.е.

К(Д0 ^ К(Б'п).

Утверждение следует из свойства 1 и из экстремальных свойств правильных многоугольников 1131.

' К(до = ^ > т=

рфп) Р(Оп)

6, Если И1 и И2 несжимаемые области из класса Г причем р(^) то К(^) < К(^2).

Действительно, поскольку И1 Е Г и И2 Е Г, то

ВД) ВД) ЦА)

р(^) И А С Б2,

К(!>1)

<

р(^1) р(^2) р№)

К(^).

Из свойства 6 вытекает утверждение, что если Ип и Оп+1 — описанные около данной окружности п- и (п + 1)-угольники, такие, что Оп+1 С Ип, то наименьшее значение К(Оп) имеет многоугольник с наибольшим числом сторон п:

К(Яга+1) ^ К(Бп).

Поскольку значения функционала К(И) для растяжения области из класса Г и его сжатия равны, то отсюда следует, что свойство 6 не выполняется для областей, являющихся

Г

кие, что А С В2 С но К(А) = К(Д3) ^ К(Ъ2).

Г

Лемма 2.4. Пусть С1 и С2 — выпуклые области та,кие, что С1 С С2, р(С1) = р(С2) и I(р(С1)) = I(р(С2)) = 0. Пусть п1; п2 — количество точек касания максимальной вписанной окружности и границы области С1 и С2, соответственно. Тогда если Щ ^ п2 > 2, то

ВД) ^ К(С2).

Доказательство. Пусть С1 С С2, р(С1) = р(С2) и п1 = п2 > 2, тогда максимальные вписанные окружности в С1 и С2 единственные и они совпадают. Также будут совпадать точки касания М1, М2, М3 максимальной вписанной окружности и границы областей С1 и С2. Следовательно, при сопоставлены и областям С1 и С2 области из кл асса Г с минимальной длиной границы, мы получим один и тот же многоугольник (см, рис, 14),

N3

Г

Поэтому К(Сг) = К^).

Пусть С1 С р(0\) = р(С2) и п1 > п2 > 2, тогда максимальные вписанные окружности в С1 и С2 единственные и они совпадают. Для иллюстрации этого случая мы представили отдельно рисунки областей для С1 и С2.; в действительности, общий случай получается наложением рисунков так, что все точки касания максимальной вписанной окружности и границы области С2 будут совпадать с точками касания максимальной вписанной окружности и границы области но С1 имеет и другие точки касания (см, рис, ),

Г

При сопоставлении областям С1 и С2 области из класса Г с минимальной длиной границы получим, что многоугольник соответствующий и многоугольник И2, соответствующий С2.; будут описаны около одной и той же окружности. Поскольку у И1 число сторон больше, чем у многоугольника И2, то го свойства 6 получаем, что < К(С2),

Это завершает доказательство леммы. □

Теорема 2.2. Пусть С — выпуклая область, тогда, функционал

=1 м-1

Р(С) - р

возрастает на, отрезке [0; р(О)].

Заметим, что функция (р) почти всюду дифференцируема и

Г М (р(С) - ц) +1Ы -1(р(С))

Ъ(Ц)

(р(С) - р)2

С другой стороны, I(р) — выпуклая вверх функция. Следовательно, почти всюду I' (у) монотонно убывает. Тогда, воспользовавшись равенством (2.9), верное дня всех выпуклых областей, получаем утверждение леммы. Из теоремы 2.2 следует неравенство

вгЫ > 0,

эквивалентное неравенству

1 Ы > ЧШ (р(°) - *)+ * , 0 ^ » ^ Р(°)- (2-12)

Заметим, что неравенство (2.12) легко доказать без применения теоремы 2,2, Как отметили выше I (у) выпукла вверх, функционал в правой части ( ) является линейной и совпадает с I(у) на концах отрезка [0, р(С)].

В таблице 2 приведены примеры вычисления значения функционалов К(С) и ^(р(С)) дня областей рассмотренных в классической монографии Полна и Сего.

Область K( G) d (p(G))

Круг радиуса а 2п 0

Эллипс с полуосями а и Ь 2тТ 4(а — b)

Квадрат со стороной а 8 0

Прямоугольник со сторонами а,Ь, 8 2(а — b)

а ^ Ь

Полукруг радиуса а 4 + п 2a

Сектор радиуса а, раствора 7 = 2 (ctg 2 + 2ctg) 0

2^ А, 0 < Л < 2

Равносторонний треугольник со 6^3 0

Треугольник с углами 45°, 45°, 90° 11.6569 0

Треугольник с углами 30°, 60°, 90° 12.9282 0

Таблица 2: Значения функционалов K(G) и d(p(G)).

3. Формулировки основных результатов В основе дальнейших оценок для жесткости кручения .нежит следующая

Теорема 3.1. Пусть G — выпуклая область на плоскости конечной площади. Тогда при р > 1 справедливо неравенство

L(G)(p + 2) + l(p(G))(p +1) ^ (Р + ^ K(G)p(G) + (Р + 2)d(p(G)).

Знак равенства в неравенствах достигается, тогда, и только тогда, когда, G Е Г.

Важную роль при построении новых оценок для жесткости кручения будут играть функции |11|

f(p):= lp(G(p)), (3.1)

где 0 ^ p ^ p(G), р — вещественный параметр, для которых справедливо представление

p(G)

fp(p)= У ( s -p)pl(s)ds, (3.2)

для р > — 1.

Теорема является следствием теоремы о двусторонних оценках fp(p).

Теорема 3.2. Пусть G — выпуклая ограниченная, область. Тогда при р ^ 0 справедливы неравенства

Р(G)P+l (^гл ,l(Р(G))((P+1)P(G)+p)W p \p+2

— - (р+1)^+2) с) + ш-р ) I1 -т) , (3-3)

f ( р) < р(°)р+2 (К(С)+ * (р(°)) \(1 Р Г ^

<тггиг¥+т-рр) I1 - т) (3-4)

Для, любого р Е [0, р(С)} знак равенства в неравенствах достигается, для, областей из класса, Г.

Отметим два следствия теоремы 3.2

Следствие 3.1. Пусть С — выпуклая область, с конечным евклидовым моментом порядка р 2 Г Тогда, справедливы неравенства,

< -Р+г (Щ + ) ^ - . <-)

^ -р^ (к() ^ С) (,6)

Следствие 3.2. Пусть С — выпуклая область, с конечным евклидовым моментом порядка р 2 2. Тогда справедливы неравенства,

) 2 (Ц(С) + I(р(С))((р - 1)р(С)+р)\ р

^(11) пЖ) + —Р(С)(Р(С) -р)—) (р(с) - ^ ' (3-7)

КМ < (к( С) + (р(С) - V)р. (3-8)

Из неравенства ( ) заключаем, что функционал ^Р(р) монотонно убывает на [0,р(С)], а из ( ) получаем, что ^Р(р) выпукла вниз на [0,р(С)],

На основании фупкциопала

С (р+1)(р + 2) ( I(р(С)) р(СУ^\ > Г

н( С;р := р(Су+1 [иС)--РЛ-)> р> -Г

введенного в |7|, рассмотрим следующий фупкциопал области:

н ( ) г (< ( ) 1(р(с))(р(С) -У)р+1 \ ,ч

где 0 ^ р ^ Р(С).

Теперь сформулируем теоремы, дающие оценки снизу и сверху дня жесткости кручения выпуклой области.

С

справедливо неравенство

Р(С) ^ (К( С)Р(С) + 24(Р(С)) - пр(С)). (3.10)

Равенство достигается, в пределе, например, на последовательности прямоугольников Qn = [0,1] х [0,1/п], при п ^

Из таблицы 3 видно, что неравенство Макай (1.3) дает более точную оценку дня жесткости кручения чем (3.10). Преимущество полученного неравенства (3.10) дня жесткости кручения состоит в том, что Р( С) оценивается через легко вычислимые геометрические

С

Область 3Р( С) Р(С)

2р(С)3 (24(р(С)) + К(С)р(С) - жр(С)) 412 ( С)

Круг радиуса г 0, 75 0, 75

Эллипс, а/Ь = 6/5 0.703834 0.767925

Эллипс, а/Ь = 4/3 0.692329 0.787693

Эллипс, а/Ь = 3/2 0.685232 0.812711

Эллипс, а/Ь = 7/4 0.68005 0.845916

Эллипс, а/Ь =2 0.676727 0.87273

Эллипс, а/Ь =3 0.664704 0.934614

Эллипс, а/Ь =7 0.6447 0.974535

Эллипс, а/Ь = 12 0.61617 0.995411

Эллипс, а/Ь = 100 0.592589 0.99993

Эллипс, а/Ь ^ ж 0.58905 1

Квадрат со стороной а 0.694435 0.843462

Прямоугольник, а/Ь = 2 0.853665 0.914729

Прямоугольник, а/Ь = 3 0.908926 0.947939

Прямоугольник, а/Ь = 4 0.934152 0.962788

Прямоугольник, а/Ь = 5 0.948443 0.971053

Прямоугольник, а/Ь = 6 0.957634 0.976324

Прямоугольник, а/Ь = 7 0.964041 0.97996

Прямоугольник, а/Ь = 8 0.968776 0.982637

Прямоугольник, а/Ь = 10 0.975277 0.986291

Прямоугольник, а/Ь = 12 0.979537 0.98867

Прямоугольник, а/Ь = 100 0.997616 0.998692

Прямоугольник, а/Ь = ж 1 1

Полукруг радиуса а 0.595121 0.885363

Сектор радиуса г, раствора 7 = 2ж А А =1/12 0.596293 0.91068

Сектор г, угол 7=2 ж А, А = 1/10 " 0.602724 0.900422

Сектор г, угол 7 = 2ж А, А = 1/8 0.603784 0.888036

Сектор г, угол 7 = 2ж А А = 1/6 0.584973 0.873561

Сектор г, угол 7 = 2жА, А = 1/4 0.492653 0.860148

Сектор г, угол 7 = 2ж А А = 1/3 0.360299 0.859949

Сектор г, угол 7=2 ж А А = 5/12 " 0.200915 0.868803

Узкий сектор г = 1 7 = 2жА ^ 0 0.5 1

Равносторонний треугольник, сторона а 0.644978 0.900001

Треугольник с углами 45°, 45°, 90° " " 0.624461 0.912417

Треугольник с углами 30°, 60°, 90° " " 0.608295 0.920522

Правильный шестиугольник 0.729602 0.797505

Таблица 3: Иллюстрация теоремы 3.3 в сравнении с неравенством Макай (1.3).

Из неравенства Полна-Сегё (1.2) легко получить оценку жесткости кручения через длину границы области

" р(с) > А^ > (ад + ;ма)))

равенства в которых достигаются, например, для круга.

Теорема 3.4. Пусть С — выпуклая область на плоскости конечной площади. Тогда для, д > 0 справедливо неравенство

Р( С) > 2^) С) + 1 (р(+ !) + Щр(°)) - (3'И)

При д = 0 равенство в (3.11) достигается, для, круга.

Результаты, полученные нами в теоремах 3.3 и 3.4, интересны в том отношении, что

С С

4. Доказательства основных результатов

Доказательство теоремы . Получим оценку снизу для ^(р). Для этого применим равенство (3.2) и неравенство (2.12) и проинтегрируем его. Тогда имеем

р(С) р(С)

Ш)= /(8 -Р)р1 (^ > ¡(8 -р)Р( *щ(р(С) - ') +

Р+2

= р(С)р+2 ( _р_\ВД + I (р(С))((р+1)р(С)+р)\ (р + 1)(р + 2) \ р(С)) \р(С) + р(С)(р(С)-р) )■

Теперь докажем оценку сверху. Для этого установим, что функционал Нр(р) монотонно возрастает при р > 0, для произвольной выпуклой области с ограниченным евклидовым

Как известно из |7|, имеет место следующее неравенство

(р + 1)(р + 2)Ир(р) > р(р + 1)Ир-1(р).

С( р)

^р(р) ( )> получим следующее неравенство

Р + 2 ( I(р(С(р)))(р(С) - р)р+1 \ > ,() )))(п(г) \р

(р(С) -р) ур(р)--(р + 1)-) > -{р(р) - 1 (р(а(р)))(р(а) - р) .

Умножим последнее неравенство на положительную на сегменте [0, р(С)] функцию

1/(р(С) - ру+\

Получим

(р + 2)^р(р) + fP(P) - (р + 2)1(р(С(р))) + 1(р(С(р))) > 0.

(р(С) -р)р+3 (р(С) -р)р+2 (р+1)(р(С) -р)2 (р(С) -р)

Тогда

1(р(С(р)))

>

( ^р(р) \

ЫС) - р)р+2)

((р+1&(р) - 1 (р(С(р)))(р(С) -р)р+1 \ > \ (р+1)(р(С)-р)р+2 )> .

(р + 1)(р(С) - р)2

Последнее неравенство равносильно оценке

й ((гр + р

Применяя определение функционала Нр (р), неравенст во Нр(р( С)) 2 НР(р), р Е [0,р(С)], имеем

. ((Р+1)Ш - I(Р(С))(Р(С) -р)р+1 N 2 Щ___1(Р(С))

(р + 1)(р( С)-рУ+2 ) 2 (Р(С)(р+1)(р(С)-р) - [-)

Поскольку Нр(р) возрастающая функция при р 2 0, поэтому функционал слева в ( ) монотонно возрастает.

Тогда неравенство ( ) справедливо и для 4(р(С)):

. ((р+1)Щ - 4(Р(С))(Р(С) -р)р+ \ 2 Щ___4(р(С))

(р + 1)(р( с) - ¡,у+2 ) 2 (р(С) - (р + 1)(р(С) -р)' [ ■ )

Рассмотрим дробь, стоящую в левой части неравенства (4,1), и преобразуем ее, применяя

к( С)

(р+Шр) - 4(р(С))(р(С) -р)р+ (р+1)(р(С) р(о)

(р+1) У ( в -р)р1 (8,С)<18 - 4(р(С))(р(С) -р)р+1 =_м_

= (р + 1)(р( С) -ру+2

р(о)

(р+г) У ( в -р)р1 (8 - 4 (Р(С))(Р(С) -ру+

<

<

<

(р+1)(р(G) -рУ+2

P(G)

(Р +1) | J (s - рУ (K(G)(p(G) - s) + d(p(G))) ds | - d(p(G))(p(G) - p)p+1 _м_

(p+1)(p(G) -рУ+2

K(G)

(p+1)(p + 2)'

Таким образом, лечзая часть неравенства (4,1) ограничена сверху. Следовательно,

+ 1)f» - d(p(G))(p(G) -рУ+1 \ < K(G)

y ((P+1)W - d(p(G))(p(G) -p)p+1 \

■-SM (p+1)(p( g) -РУ+2 )

(p + 1)(p(G)-рУ+2 ) ^ (p+1)(p + 2)'

Отсюда получаем следующее неравенство

K( G) > f» d (p(G))

(p+1)(p + 2)2 (p(G) -рУ+2 (p+1)(p(G) -p)

Это неравенство эквивалентно неравенству (3,4), Все неравенства в теореме 3,2 обращаются в равенства для областей из класса Г, Это завершает доказательство теоремы

Доказательство теоремы 3.1. Определим фупкциопал, рассмотренный в |10|, Для любой односвязной области G при р > р0 > 0 положим

Г P(G)

ÍP(P):=P tp-1a(t)dt. (4.3)

J jU

При p = 0 это — евклидовый момент области G относительно границы, т.е. ip(0) = IP(G), Известны следующие равенства дня производных |11|:

f'2(p) = -2i1(p), f' (p) = 2a(p). (4.4)

Из |12| известно, что

Р(О)

1р( С)=р(р - 1) У рр-2'ц(р)с1р. 0

Учтем, что 11(р) = ^(р) [12], Применяя теорему 3,2, получим:

.,«> * -,, ]рр-(ЦЩ + ) а,

)■

р(С)р+2 (Ц(С) + I (р(С) )(р+1) р> 1.

(р+1)(р + 2)\р(С) ' р(С)

Наконец, применяя неравенство ( ) теоремы , получим оценку сверху для 1р( С)

р(о)

1р( С)=р(р - 1) У рр-2fl(р)dр 0

Р(С)

г рр-2

" ' 2 1( Р(С)-о) ■ 3

* - «Ж 0» + - р)3ар

0

р(С)р+1

( + 1)( + 2)

(К( С)р( с) + а (р( С))(р + 2)).

Теорема 3,1 доказана.

Доказательство теоремы . Пусть р > д и 0 2, Тогда для жесткости кручения

справедливо следующее неравенство |6|:

4 2) !р<С) - (Р -Ы(Р(О)Р(С)^ 2'<2 -

4

Р( С) ^ ^^ ^ ' Л!' ' 1р(с) - (р - 0)1 (Р(С))Р(С)Л\ -

3(д + 2)У р(С)р-2 Р ) 3(^ + 2)

Применим к функционалу 1р( С) теорему , справедливую для р > 1, получим

Р( С) ^

(а <« + 2) + к<смс) - Щ-Ш).

Полагая д = 0, получаем утверждение теоремы 3,3,

Доказательство теоремы . Пусть д > 0и0 < р < д, тогда справедливо неравенство |6|:

Р( С) >

1

2( + 2)

( + 1)( + 2)

Р(С)

2 р

1р( С) + (д - р)1 (р(С))р(С)

+

р(С)4 2(д + 2)

Последнее неравенство в совокупности с теоремой , при р > 1, дают следующее неравенство

Р<С) > Р<С)4 ^(С) + I<Р<С))<д + 1) , \

Р<С) > 2(2+^1 р(С) + р<С) +">).

Отсюда получаем утверждение теоремы 3,4,

3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г. Полна, Г. Сегё. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физ-матгиз (1962).

2. С.П. Тимошенко. Истрия науки о сопротивлении материалов. М.:ГИФМЛ (1957).

3. L.E. Payne. Some isoperimetric inequalities in the torsional problem for multiply connected regions. In: Stud. Math. Anal, related Topics, Essays in Honor of G. Polya, Standford University Press, California, 270-280 (1962).

4. E. Makai. On the principal frequency of a membrane and the torsional rigidity of a beam. In: Stud. Math. Anal, related Topics, Essays in Honor of G. Polya, Standford University Press, California, 227-231 (1962).

5. Ф.Р Авхадиев. Решение обобщенной задачи Сен-Венана // Мат. сб. 189:12, 3-12 (1998).

6. Л.И. Гафиятуллина, Р.Р Салахудинов. Об одном, обобщении неравенств Полиа-Сегё и Макай для жесткости кручения // Изв. высш. учебн. завед., мат. 11, 86-91 (2021).

7. R.G. Salakhudinov, L.I. Gafivatullina. Two-Sided Estimate for the Torsional Rigidity of Convex Domain Generalizing the Polya-Szego and Makai Inequalities // Lobachevskii J. Math. 43:10, 3020-3032 (2022).

8. E. Makai. A proof of Saint-Venant's theorem on torsional rigidity // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 17, 419-422 (1966).

9. Р.Г. Салахудинов. Изопериметрические свойства евклидовых граничных моментов односвяз-ной области // Изв. высш. учебн. завед., мат. 8, 66-79 (2013).

10. R.G. Salahudinov. Refined inequalities for euclidean moments of a domain with respect to its boundary // SIAM J. Math. Anal. 44:4, 2949-2961 (2012).

11. Р.Г. Салахудинов. Некоторые свойства функционалов на множествах уровня // Уфим. мат. ж. 11:2, 118-129 (2019).

12. R.G. Salahudinov Torsional rigidity and euclidian moments of a convex domain // Q. J. Math. 67:4, 669-681 (2016).

13. B.M. Тихомиров. Рассказы о максимум,ax и минимумах М.: МЦНМО (2006).

Лилия Ильгизяровиа Гафиятуллина,

Казанский (Приволжский) федеральный университет,

ул. Кремлевская, 18,

420008, Россия, РТ, i ?. Кс13с1НЬ

E-mail: [email protected]

Рустем Гумерович Салахудинов,

Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, 420008, Россия, РТ, i ?. Кс13с1НЬ E-mail: [email protected]