НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 3 (2023). С. 71-81.

УДК 517.5

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ

A.C. КРИВОШЕЕВ, O.A. КРИВОШЕЕВА

Аннотация. В работе изучаются пространства Н(D) функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости. Также изучаются подпространства W(Л, D) таких пространств. Подпространство W(Л, D) является замыканием в пространстве Н (D) линейной оболочки си стемы £ (Л) = {zn exp(Afc ¿)}д=ПП=о> где Л — это последовательность различных комплексных чисел А& и их кратноетей Пк- Данное подпространство является инвариантным относительно оператора дифференцирования. Основной задачей в теории инвариантных подпространств является представление всех его функций при помощи собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования — zneXkz. В данной работе исследуется проблема фундаментального принципа для инвариантного подпространства W(Л,И), т.е. проблема представления

£(Л)

стые геометрические условия, которые необходимы для наличия фундаментального принципа. Эти условия формулируются в терминах длины дуги выпуклой области и максимальной плотности последовательности показателей экспонент.

Ключевые слова: экспоненциальный моном, выпуклая область, фундаментальный принцип, длина дуги.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Пусть Л = {Afc,пк— последовательность различных комплексных чисел Ак и их кратноетей пк. Считаем, что |Ак| не убывает и |Ак| ^ го, к ^ го, Пусть D С C — выпуклая область и Н(D) — пространство функций аналитичееких в области D с топологией равномерной сходимости на компактах из D. Символом W(Л, D) обозначим замыкание в пространстве Н(D) линейной оболочки системы

£ (Л) = {zn exp (Хк z)}^^.

Если система £ (Л) те ^^^^а в пространстве Н (D), то W (Л, D) является нетривиальным (= Н(D), {0}) замкнутым подпространством в Н(D). Из определения вытекает, что оно инвариантно относительно оператора дифференцирования. При этом система £ (Л) — это набор собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W(Л, D), Л

Пусть W С Н(D) — нетривиальное замкнутое подпространство инвариантное относительно оператора дифференцирования, и Л = {Ак ,пк} — его кратный спектр. Он является

A.S. Krivosheev, O.A. Krivosheeva, Necessary condition of the fundamental principle

for invariant subspaces on unbounded convex domain.

© Кривошеее A.C., Кривошеева O.A. 2023. Поступила 6 января 2023 г.

Исследование второго автора выполнено при поддержке конкурса «Молодая математика России».

не более чем счетным множеством с единственной предельной точкой то [1, гл. II, §7], В случае, когда спектр Ш конечен, оно совпадает с пространством решений однородного линейного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, Более общим примером инвариантного подпространства служит множество решений уравнения свертки ^(д(г + т)) = 0 (или системы таких уравнений), где ^ — линейный непрерывный функционал па пространстве Н(И). Частными случаями уравнения свертки являются линейные дифференциальные, разностные, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами конечного и бесконечного порядков, а также некоторые виды интегральных уравнений.

Основной задачей в теории инвариантных подпространств является представление всех его функций при помощи собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования — гпеХк\ Если Ш — пространство решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами конечного порядка, то оно совпадает с линейной оболочкой системы £ (Л), Этот результат известен как фундаментальный принцип Л, Эйлера, В этой связи задача представления функций д € Ш посредством рядов по £(Л)

— 1

^ ак>пгпеХк2, (1.1)

к=1,п=0

называется проблемой фундаментального принципа для инвариантного подпространства. Первым шагом на пути к представлению (1.1) является решение проблемы спектрального синтеза, т.е. выяснение условий, при которых система £ (Л) полна в подпространстве Ш (другими словами, когда Ш = Ш(Л, И)). Проблему фундаментального принципа, естественно, имеет смысл рассматривать лишь для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, т.е. для подпространств вида Ш(Л, И).

Исследование проблемы фундаментального принципа имеет богатую историю. Частично она отражена в работе [2]. Полное решение проблемы фундаментального принципа в случае ограниченной выпуклой области И получено в работах [3]-[5]. Доказывается, что каждая функция д € Ш(Л, И) представляется рядом (1.1) в области И тогда и только тогда, когда Бл = 0 и

йс(Л(^1 ,^2)) ^ Т°(-^2, , <Р1,<Р2 € Ф(Л), о <^2 - (1.2)

¿ж

Здесь Б л — индекс конденсации последовательности Л, введенный в работе [2], п0 (Л) — максимальная плотность Л, Ф(Л) — некоторое не более чем счетное множество, <р2) — последовательность, состоящая из всех пар А&, пк таких, что \к лежит в угле

Г(^1,^2) = [г = : у € (^1,^2),1> 0},

Тд р2) — длина дуги области И. Она соединяет точки касания опорных прямых

Ь(-<р2, Б) = [г :Вфе^2) = Н(-<р2, Б)}, Ь(-щ,0) = [г : Вфе^1) = Н(-ръО)}

с границей дИ, где Н(р, И) — опорная функция облаети И.

В работе [6] получен критерий представления (1.1) в случае, когда И = С. Для такого представления необходимо и достаточно неравенство Б л < то. Случай, когда об лаеть И является полуплоскостью, изучен в работах [7] и [8]. Критерий представления формулируется только при помощи индекса Б л- В работе [9] получено полное решение проблемы фундаментального принципа в случае, когда в(Л) не содержит внутренних точек множества, где ограничена опорная функция области И. Здесь в(Л) — совокупность пределов всех сходящихся последовательностей вида [\к:)/1А^. |}^=1. Это решение также формулируется лишь при помощи индекса Б л-

В данной работе рассматриваются произвольные выпуклые области D. Доказывается, что неравенство (1.2) необходимо для представления (1.1) при любых p1,p2 G Ф(Л) таких, что дуга {егv : p G [—p2, — pl]} лежит внутри множества, где ограничена функция Н(p,D).

2. Построение специальной целой функции

Символами B(z, г) и S(z, г) обозначим соответственно открытый круг и окружность с центром в точке z G С и радиуса г > 0. Пусть Л = {Лк,пк} и п(г, Л) обозначает число точек Лк с учетом их кратноетей пк в круге B(0, г) Положим

... т.— пк _. . т.— п( г, Л) т(Л) = lim ——-, п(Л) = lim -,

к^те |Лк | г^те f

-/л еч Т'— п( Г, Л) — п((1 — 5) Г, Л) _ _

по (Л, ö) = li^ ^ ^-^-,-L-L, по (Л) = lim по (Л, 6).

г^те дГ ¿^0

Величины п(Л) и по(Л) называются соответственно верхней и максимальной плотностью

Л Л п(Л)

п( , Л)

п(Л) = lim .

г^те f

По лемме 2.1 из работы [10] имеем:

п(Л) ^ по(Л, 6) ^ по (Л), ÖG (0,1). (2.1)

Л

п(Л) = п(Л) = по (Л, 6) = по(Л), ÖG (0,1). (2.2)

Ъ. | f(z)l ^ А + B|z|, zg С.

Функция

hf (p)= ln 1 f(r ^, p G [0, 2-k],

г^+те f

для каждого e > 0 существует R(e) > 0 такое, что

ln |¡(гег^)1 ^ (hf (p)+e)r, p g [0, 2тт], r>R(e). (2.3)

Функция hf совпадает с опорной функцией

Н (p,T )=maxRe(z е-г *)

некоторого выпуклого компакта T с С, который называется индикаторной диаграммой функции f. Сопряженная диаграмма К функции f является компактом комплексно со-

T

hf (р) = Н(—p, К), p G [0, 2тт].

Отсюда следует, что функция hf непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [0, 2к], Поэтому для каждого £о > 0 найдется g (0,1) такое, что

|thf (ф) — hf (p)| = ltН(—ф, К) — Н(—p, К)| ^

p G [0, 2ж], гегф G B(ег1р, 8о).

ln I f(rег1р)\

hf (p)= jim 1 J( )|, p g [0, 2k],

где Е С (0, +го) — множество нулевой относительной меры (ЕО-мпожество), т.е.

mes(E П (0,г))

lim -^-\-L-LL = о

f

(символ mes обозначает лебегову меру множества). Классический результат Б,Я, Левина [11, гл. II, теорема 2, гл. III, теорема 4] утверждает, что f имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда ее кратное нулевое множество Л f = {\k,nki является правильно распределенным. При этом выполнено равенство

fi

2жп(Л, (ръ = h'f Ы - h'f (рг) + hf (p)dp, pi, i Ф^), (2.5)

fi

где Ф(Л) — множество всех р таких, что

• г Т^— п(г, Л(<р - а,р + а)) inf lim -.

а>0 f

Отметим, что множество Ф(Л f) совпадает с множеством чисел р., для которых производная h'f (р) не существует. При этом всегда существуют односторонние производные h f

Говорят также, что f имеет регулярный рост на луче Lf = [гегf, г > 0}, если

h, М= lim ,

где Ef — £0_множество. Еели f имеет регулярный рост на каждом луче, то множество Ef, вообще говоря, зависит от р i [0, 2ж\. Оказывается, однако, что можно подобрать исключительное ^-множество, которое подходит для всех р i [0, [11, гл. III, §1, теорема 1]. Другими словами, функция f имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда она имеет регулярный рост на каждом луче. Известно также другое эквивалентное определение функции регулярного роста [12, лемма 4.1]. Функция f имеет регулярный рост на луче Lf тогда и только тогда, когда существует последовательность {zm}m=i такая, что

lim \zm\ = го, lim ^ = eitp, lim J^+r = 1, lim Ь ^^ = h,(p). (2.6)

" \zm\ \Zm \ т^ж \Zm\

m^-rx m^-rx

Символом hf обозначим нижний индикатор функции f [13]:

1 f ln \ f (z) \ hf(p) = lim lim —™ -dxdy, z = x + iy.

B(t el<p, t)

Отсюда с учетом (2.3) получаем:

hf (р) ^ hf (р), р i [0, 2^\. (2.7)

Если hf (р) > с, то то лемме 2,7 го работы [14] существует поеледовательноеть {zm}m=i такая, что

lim \zm\ = го, lim = е"1 f, lim = 1, lim > c. (2,8)

' " ' \Zm\ m^-<x \Zm\ m^-rx \Zm\

m

m^<x m^<x

Пусть Д — выпуклая область и Л = ,пк}. Символом I(И, Л) обозначим множество всех целых функций f экспоненциального типа таких, что

(р) <Н(р,В), р е [0, 2ж\,

и для каждого к > 1 функция / обращается в нуль в точке Хк с кратностью не меньшей чем пк. Другими словами, Д — целая функция, где

ГО / \ Пк

-1—Г / X \ К пкг

п 0 - хк)

к=1 у к/

Отметим, что функция Д — целая функция первого порядка и возможно бесконечного типа, т.е., вообще говоря, она не является целой функцией экспоненциального типа. Она будет таковой тогда и только тогда, когда П(Л) < той

lim

пк Лк

< то.

Е

| Afc 1<г

Положим

J(D) = {егр G S(0,1) : Н(p, D) = +то}. Н( p, D)

D

Н( p, D)

Если D ограничена, то J(D) = 0. В случае неограниченной области D возможны следующие ситуации:

J( D) = S(0, 1) D = С

2) D — полуплоскость {z G С : Re(zе-гр < а} и J(D) = S(0,1) \ {егр},

3) D - полоса {zG С : b < Re(zе-г*) < а} и J(D) = S(0,1) \ {егег^+ж},

J( D)

на угол раствора не меньше чем п. Через K(D) = {Кр}те= i

D

те

кр сЫКр+1, р> 1, D = у Кр.

P=I

Пусть М С С и p(z, М) обозначает расстояние от точки z до множества М. Положим

Ms = U B(z, ф|).

zeM

Сформулируем результат, который является частью результата, доказанного в теореме 5,1 из работы [2]. Он вытекает непосредственно из этой теоремы.

Лемма 2.1. Пусть D — выпуклая область и Л = {Лк,пк}. Предположим, что т(Л) = 0, система £ (Л) неполна в Н (D), и каждая функция g G W ^,D) представляется рядом (1.1) для, всех z G D. Тогда для каждого р > 1 и каждого компакта Т С S(0,1) \ J(D) существует f G I(D, Л) такш, что для любого 5 > 0 найдутся числа ß,T > 0, удовлетворяющие условию: Лк G (Mp)s, если, р(Лк ЦЛк I, Т) < ß и 1Лк | > T, где

_ Мр = {z = гeiLp : Ь If (z)I > гН(—p, Кр)}, Кр С К(D),

и Л — число комплексно сопряженное с Л.

Используем этот результат для построения целой функции с нужными свойствами.

Лемма 2.2. Пусть D — выпуклая облас ть и Л = {Лк ,пк}. Предположим,, что т(Л) = 0, система £ (Л) неполна в Н (D), и каждая функция g G W ^,D) представляется рядом (1.1) для, всех z G D. Тогда для любых p1 и p2 таких, ч,то 0 < p2 — p1 < п

и _

{егр : p G [ p2, —pi]} С S(0,1) \ J(D), (2.9)

существует функция и е I(С,Л(^,ф2)) такая, что

Ы*(Ф) = К(ф), у е [0,2^\, К(Ф) = Н(-<р,Б), У е ЬъЫ (2.10)

Доказательство. В силу (2,10) существует а > 0 такое, что

[е-гср : у е [^1 - 2а, ^2 + 2а]} С 5(0,1) \ ТЩ. (2.11)

Положим

Вх = [г : Ее(ге-^) < Н(ф, Б),(р е [-^2 - 2а, + 2а\}.

Уменьшая при необходимости а > 0, можно считать, что ф2 - + 4а < п. Тогда — неограниченная выпуклая область, лежащая в угле, стороны которого находятся на опорных прямых Ь(-ф2 - 2а, Б) и Ь(-ф\ + 2а, Б). При этом

Н(ф, Бх) = Н(ф, Б), <р е [-ф2 - 2а,-фх + 2а\.

Пусть е дВ\ П Ь(-1р1 + 2а, Б) ж г2 е дБ\ П Ь(-<р2 - 2а, Б). Имеем:

Ее(^е-^) <Н(ф,Бг), Ее^е-^) <Н(ф,Бг), <р е (-^2 - 2а, + 2а).

Ее(г1е^1-2а)) = Н(2а - ), Ке(г2е^2+2а)) = Н(-щ - 2а, ^).

Пусть Б2 = Б\ П П, где П — полуплоскость, граничная прямая которой содержит отрезок Т = [^, г2\, такая, что Б2 — ограниченная область. Из предыдущих соотношений имеем:

Н(ip,D2) = Н(ф,Б), у i [-^2 - 2а, + 2а\, (2.12)

Н(<p,D2) >Н(<р,Т), у i (-^2 - 2а,+ 2а), (2.13)

Н(<p,D2) = Н(<р,Т), i S(0,1) \{е-г* : $ i (-^ - 2а,+ 2«)}. (2.14) Положим

ф0(г) = lim sup{^(w) : ф i SH(C),^(w) + ln\h(w)\ ^ rH(-<p,D2),w i C},

w—^z

где w = гег1р и SH(C) — пространство субгармонических в плоскости функций. Функция ф0 также принадлежит этому пространству и удовлетворяет оценке вида

^o(z) ^ Со + ao\z\2, z i C.

Тогда по теореме 5 из работы [15] существует целая функция и0 такая, что

\ ln \u0(z)\- ф0(z)\ ^ В0 ln \z\, z i C \ E, (2.15)

где B0 > 0 а исключительное множество E может быть покрыто кругами B(£j, rj), j > 1, такими, что = А < го.

Пусть и = и0¡л■ Тогда и — целая функция. Покажем, что она искомая. Прежде всего, заметим, что и обращается в ноль в точках i Л(^, <^2) с кратностью не меньшей чем пк. В силу (2.15)

\ ln \u(z)\- Mz) - ln\h(z)\\ ^ B0 ln\z\, z i C \ E. (2.16)

Поскольку

ln\h(z)\ = nmln\uh\,

w—z

то из определения ф0 следует, что:

ф(г) +ln\U(z)\ ^ rH(-<p,D2), z = re1f i C. Тогда с учетом (2.16) получаем:

ln \u(z)\ ^ rH(-<p,D2)+ В0 ln г, z = re1f i C \ E. (2.17)

Пусть \w\ > 3А. Поскольку сумма диаметров кругов В(, rj), j > 1, равна 2А, то в круге В(w, ЗА) найдется окружность, на которой выполнено (2,17), Тогда по принципу максимума модуля получаем:

ln \u(w)\ ^ sup (гН(-ф, D2) + В0 lnr).

zeB(w,3A)

Отсюда и из (2,4) следует, что для каждого е > 0 найдется t(e) > 3А такое, что

ln lu(z)l ^ r(H(-<р, В2) + е), \w\ > t(e).

Поэтому верно неравенство hu(ф) ^ H(-р,В2) + £, ф Е [0, 2п]. Так как е > 0 — любое, то

М ф) ^ H(-ф, D2), ф Е [0, 2тт]. (2.18)

Таким образом, u е I(C, Л(ф1,ф2)).

Докажем теперь равенства (2.10). Предположим, что для некоторого числа ф0 Е [0, 2п] и е Е (0, £ о) верно неравенство

hu(фо) < H(-фо, D2) - 4£.

Тогда в силу предложения 9.3 из работы [16] существует е (0,1/3) и последовательность {tm} такие, что tm ^ +то, т ^ то, и

ln \u(tтеip)\ ^ h(—фо, D2) - 3£, е^ Е В{е, 2So), т > 1.

m

Уменьшая при необходимости 50 Е (0,1/3).; в силу (2.4) получаем:

ln \u(reip)\ ^ r(H(—ф, D2) - 2е), reip Е В(tmeiip°, 25otm), т > 1.

Тогда согласно (2.16) имеем:

мz) + ln \ fA(z)\ ^ r(H (-ф, D2) - 2е), reiip Е В(1т^Р0, 2 So tm) \Е, т > 1. (2.19)

В силу (2.11) найдется компакт Ki Е K,(D) такой, что

H(-ф,К) >H(-ф,D) - £, ф Е [-ф2 - 2а,-ф1 + 2а]. (2.20)

Пусть £i Е (0,£/20) удовлетворяет условию

H(-ф,К) ^ H(-ф,D) - 20£i, ф Е [0, 2тт]. (2.21)

Выберем компакт Kp Е K,(D) такой, что

H(-ф,Кр) >H(-ф,D) - £1, ф Е [-ф2 - 2а, -ф1 + 2а]. (2.22)

Положим Т = {eiip : ф Е [-ф2, -ф\]}., и пусть f Е I(D, Л) — функция из леммы 2.1. Согласно (2.11) найдется 5 Е (0,50/36) такое, что

\tH(-ip,D) - H(-ф^)\ + 19еi\ 1 -t\ ^ £i,

ф Е [—ф2 - 2а,-ф1 + 2а], teгф ЕВ (eip, 366).

В силу (2.3) можно считать, что

ln \ f(reip)\ ^ (hf (ф)+ £1)г, ф Е [0, 2тт], г > R(e 1) > 1.

Так как f Е I(D, Л), то hf ( ф) < H(ф,D), ф Е [0, 2п]. Поэтому

ln \ f(reip)\ ^ (H (ф^)+ £1) г, ф Е [0, 2тт], г > R(e 1) > 1. (2.24)

Можно также считать, что еip Е {e-il9 : $ Е [ф1 - а,ф2 + а]} для каждой точки reip Е В(z, 365\z\) и каждого круга В(г, который содержит хотя бы одно

Хк Е Г(ф1,ф2).

Пусть Хк Е Г(ф1,ф2) и \Хк\ > max{T, 2R(£Согласно (2.22) и лемме 2.1 существует wk = teil9 такое, что

ln \ f(wk)\ > tH(-$,КР) > t(H(-$,D) - £1) (2.25)

и \k i В(wk, öt). Можно считать, что öt > А. В силу (2,23) и (2,24) имеем:

ln \f (z)\ ^ t(H(-ti,D) + 2el), z i B(wk, 366t). Отсюда и (2,25) получаем:

f (z)

ln \fk (z )\ ^ 3£!t, Z i B(Wk, 365t), f (z) = -j-^.

J (Wk )

Тогда по теореме об оценке снизу модуля аналитической функции [1, гл. I, теорема 4,2]

ln \fk(z)\ > -18^i, z i B(wk, 66t) \ Ew,

где Ew — объединение кругов, сумма радиусов которых равна öt. Выберем окружность S(wk,öt(wk)), которая те пересекает Ew U такую, что t(wk) i (t, 6t). В силу (2,25)

ln \f (z)\> t(H(-ti,D) - 19ei), z i 5(wk,öt(wk)).

Учитывая еще (2,23) и (2,21), получаем:

ln\rf (гегср)\ > r(H(-<p,D) - 20^) > rH(-<p,Kt), re^ i S(wk,öt(wk)). (2.26)

Пусть \k i и \A k\ ^ max{T, 2R(ei)}, Выберем круг B(Xk,rk) С Г(^ь^2), кото-

рый не содержит других точек \j. Положим

b = min min (ln\rf (гег1р)\ - rH(-ф,К1)) ,

где первый минимум берется по всем указанным \k. Рассмотрим множество

{z = гег,р : г ln \f (z)\ < rH (-<p,Ki) - \b\}.

Пусть Q — объединение всех его связных компонент, каждая из которых содержит хотя бы одну точку \k i Г(<ф2). Тогда множество Q содержит все точки \k i Г(^,^2), а само содержится в объединении кругов B(wk, öt(wk)) и B(Xj, Tj). Из (2.26) и определения числа b следует, что Q С Г(^ - а,ф2 + а). Положим

фг(z) = ln\zf (z)\, = Ф!(гег1р) = rH(-<р, Кг) - \b\, fo(z) = rH(-<р,Т),

(z) - ln\h(z)\, z i Q, _

4( = 1 max(^j(z) - ln\h(z)\), z i C \ Q. \j=1,2

Функции ^2(z) и ф3(г) являются выпуклыми то всей плоскости. Поэтому ф2,ф3 i SH(C), Поскольку функция zf (z)/(/a(z)) — целая, а функцпя ¡л не имеет пулей на множестве C \ Q (в частности, ln \f\(z)\ — гармоническая функция), то непосредственно из определения функции ф4 вытекает, что она является субгармоничеекой в C \ дQ, Пусть z i dQ. Тогда в силу полунепрерывности сверху функций фj(z) - ln \f\(z)\, j = 1, 2, и определения Q

ф4(г) = фх(z) - ln \A(z)\ > lim(^(w) - ln\Д(ш)\) = lim fa(w),

w—z w—z

т.е. 'ф('ш) полунепрерывна сверху в точке z, Кроме того, при достаточно малом т > 0 Zf (z)

^a(z) = ln

ш

^ ^ I (ln\wf (w)\- ln\1л(ы)\)0,х0,у ^ I i>4(w)dxdy.

В(г ,т) В(г,т)

Таким образом, ф4 е БН(С), Поскольку f е I(Б, Л), то с учетом (2.3) найдется компакт К8 С К,(И), 8 > I, и число Ь\ > 0 такие, что

1п Ц(гег<р)1- Ъг ^ гН(-<р,К8), гег<р е С.

Отсюда с учетом определения ф4 получаем:

ф4(г) - Ъг +1п |Д^)| ^ гН(-у,К8), гег1р е С. (2.27)

Положим

тах{ф4(г) - bi,ip3(z) - ln \fA(z)\}, z Е Г(ф1 - 2а, ф2 + 2а), ф3(г) - ln \ fA(z)\, ZE C \ Г^ - 2а, ф2 + 2а).

Так как Ks С K.(D), то в силу (2.12), (2.14) и (2.27)

ф3(г) - ln \ fA(z)\ > ф4(г) - bi, ZE дГф - 2а, ф2 + 2а).

Тогда, как и выше, имеем: ф Е SH(C), Кроме того, из (2.27), (2,12)-(2,14) и определения функции ф следует неравенство

ф(г)+Ы \ fA(z)\ ^ rH(-ф^2), z = гeip Е C.

фо

ф(г)+Ы \ fA(z)\ ^ r(H (-ф^2) - 2е), z = r eip ЕВ (tmeip0 , 280tm) \Е, т > 1. (2.28)

Пусть круг В(tm(j)eip°, 350tm(j)/2) j > 1, не содержит ни одну из точек wk. Это означает, что

В^и)eip0,60tm(j)) П П = j> 30. (2.29)

Можно считать, что tm(j) > 2А. Тогда найдется точка Uj Е В(tm(j)eip0, 50tm(j)) такая, что

ф( и3 )+ln \ fA( и3 )\ ^ р3 (H (-в3 ,D2) - 2е), и3 = p3eie>, j> 30. (2.30)

Из (2.29) и определения функции ф следуют неравенства

ф(Uj) + ln \fA(Uj)\ > PjH(-6j,T), Uj E C \ Гф - 2а, ф2 + 2а),

ф(^) + ln \ fA(^)\ > PjH(-dj, Ki) - \b\ - bi, ^ E C \ Гф - 2а, ф2 + 2а). В силу (2.14), (2.12) и (2.20) последние два неравенства противоречат (2.30).

Предположим, теперь, что для всех т > т0 круг В(tmeip°, 350tm/2) содержит точку wk(m)- Тогда

S(wk(m),5t(wk(m))) с В(tmeip°, 280^), т > т0. Поскольку окружность S(wk(m), 5t(wk(m))) не пересекает множество Е, то в каждой ее точке выполнены одновременно неравенства (2.26) и (2.28). С учетом (2.12) и (2.20) получаем противоречие. Таким образом,

hu(ф) >н( ф, D22), ф Е [0, 2ж\.

Вместе с (2.7), (2.12) и (2.18) это дает нам (2.10). Лемма доказана. □

3. Фундаментальный принцип

D i 2 д D ( i, 2, D)

чим длину дуги 7 С dD, соединяющей z-^ъ z2, движение то которой от ^ к z2 осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Для каждого ф Е R такого, что еip Е S(0,1) \ J(D) пересечение

Ь(ф) = {z : Re(ze-ip) = HK(eip)} П dD

(опорной прямой и границы области) является либо точкой z(ф) либо отрезком. Множество Ф^) направлений ф, для которых Ь(ф) — отрезок, не более чем счетное множество. Положим

Sd ^,ф2 )= sup s( Zi, Z2,D).

ziEL(pi), Z2&L(p2)

Функция Sd(фъф2) является неубывающей по ф2 и невозраетающей по фЬ а множество ее точек разрыва по обеим переменным совпадает с Ф^). Если фь ф2 Е Ф(D), то

Sd= s(z^i), z^),D).

ф(г)

Используя формулу (1,114) из книги [11], получаем:

¥2

SD(<ри = Н\ф2, D) - Н'(<ри D) + J Н(<р, D)d<p, £ Фр). (3.1)

¥1

Отметим, что множество Ф(^) совпадает с множеством чисел ф, для которых производная Н'(<p,D) не существует. При этом всегда существуют односторонние производные функции Н (<p,D).

Пусть Л = [\k ,nk }. Си^лом в(Л) обозначим множество пределов всех сходящихся последовательностей вида {Afc(.,-)/|Afc(.,-)|} . . Очевидно, что в(Л) — замкнутое подмножество окружности S(0,1). Положим

т(Л, ß) = sup lim Л ,

к^ж l\k(j)1

где супремум берется по всем подпоследовательностям {А^-)} таким, что ^

Если ^ е в(Л), то полагаем т(Л,у) = 0, Нетрудно заметить, что т(Л) = 0 тогда и только тогда, когда т(Л,у) = 0 ^ е О(Л).

Теорема 3.1. Пусть И — выпуклая область и Л = {\к,пк}. Предположим, что система, £ (Л) неполна в Н (И), и каждая функция д е Ш (Л, И) представляется, рядом, (1.1), который сходится равномерно на, компактах в области Б. Тогда, для любых е Ф(Лf) таких, что 0 < <р2 - < к и

{е*р: у е ]}С 5(0,1) \7Щ,

верно неравенство

п0(Л(щ,ф2)) ^ — Бв(-ф2,-фх). (3.2)

¿ж

Доказательство. Если выполнены условия данной теоремы, то по теореме 4.2 из работы [7] т(Л,у) = 0 ^ е {ег(р : ф е [-ф2,-щ]}. Отсюда следует, что т(Л(щ,ф2)) = 0. По условию каждая функция д е Ш(Л, И) представляется рядом (1.1) для всех г е Б. В частности, это относится ко всем функциям д е Ш(Л(^, ф2), И). Система £(Л(<р1,<р2)) неполна в Н (Д), т.к. этим свойством обладав т система £ (Л). Таким образом, для последовательности Л = Л(^1, <^2) выполнены все условия леммы 2.2. Тогда согласно этой лемме существует функция и е I(С,Л(^,^2)) такая, что верно (2.10).

Из первого равенства в (2.10) с учетом (2.6)-(2.8) находим, что и имеет регулярный рост. Тогда выполнено (2.5). Из этого равенства, (3.1) и второго равенства в (2.10) имеем:

п(Ли (ф1,ф2)) = тт" ^ (-Р2,-р1). ¿ж

Отсюда и (2.2) получаем: Так как и е I(С, Л(^ь <^2)), то последнее равенство дает нам (3.2). Теорема доказана.

По(Ли(фъ<ф2)) = ^ Sd (-<Р2,-<Р1). ¿ж

U

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ф. Леонтьев. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

2. A.C. Кривошеев. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН. Сер. матем. 68:2, 71-136 (2004).

3. O.A. Кривошеева, A.C. Кривошеев. Критерий выполнения, фундаментального принципа, для, инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости II Функц. анализ и его прил. 46:4, 14-30 (2012).

4. A.C. Кривошеев, O.A. Кривошеева. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном, подпространстве // Магс.м. заметки. 99:5, 684-697 (2016).

5. A.C. Кривошеев, O.A. Кривошеева. Базис в инвариантном, подпространстве аналитических функций 11 Матем. сб. 204:12, 49-104 (2013).

6. A.C. Кривошеев, O.A. Кривошеева. Базис в инвариантном подпространстве целых функций ff Алгебра и анализ. 27:2, 132-195 (2015).

7. O.A. Кривошеева, A.C. Кривошеев. Представление функций из инвариантного подпространства с почти вещественным спектром // Алгебра и анализ. 29:4, 82-139 (2017).

8. A.C. Кривошеев, O.A. Кривошеева. Инвариант,ные подпространства в полуплоскости // Уфимск. матем. журн. 12:3, 30-44 (2020).

9. A.S. Krivosheev, O.A. Krivosheeva. Invariant subspaces in unbounded domains // Probl. Anal. Issues Anal. 10 (28):3, 91-107 (2021).

10. А.И. Абдулнагимов, A.C. Кривошеев. Правильно распределенные подмножества в комплексной плоскости ¡I Алгебра и анализ. 28:4, 1-46 (2016).

11. Б.Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

12. O.A. Кривошеева, A.C. Кривошеев, А.И. Рафиков. Оценки снизу целых функций // Уфимск. матем. журн. 11:3, 46-62 (2019).

13. П. Лелон, Л. Груман. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир. 1989.

14. A.C. Кривошеев. Об индикаторах целых функций и продолжении, решений, однородного уравнения свертки ff Матем. сб. 184:8, 81-108 (1993).

15. P.C. Юлмухаметов. Об Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematics. 11, 257-282 (1985).

16. A.C. Кривошеев, B.B. Напалков. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 47:6, 3-58 (1992).

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: kriolesya2006@yandex.ru

Олеся Александровна Кривошеева,

ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий», ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: kriolesya2006@yandex.ru