CC BY
7
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 3 (2020). С. 30-44.
УДК 517.5
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ПОЛУПЛОСКОСТИ
A.C. КРИВОШЕЕВ, O.A. КРИВОШЕЕВА
Аннотация. Изучаются подпространства функций аналитических в полуплоскости и инвариантных относительно оператора дифференцирования. Частным случаем инвариантного подпространства является пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Известно, что каждое решение такого уравнения представляет из себя линейную комбинацию элементарных решений - экспоненциальных мономов, показатели которых являются нулями (возможно кратными) характеристического многочлена. Наличие этого представления называется фундаментальным принципом Л. Эйлера. Другими частными случаями инвариантных подпространств являются пространства решений линейных однородных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков, а также более общих уравнений свертки и их систем. В работе исследуется задача фундаментального принципа для произвольных инвариантных подпространств аналитических функций в полуплоскости. Другими словами, изучается представление всех функций из инвариантного подпространства рядами экспоненциальных мономов. Эти экспоненциальные мономы являются собственными и присоединенными функциями оператора дифференцирования в инвариантном подпространстве. В работе получено разложение произвольного инвариантного подпространства аналитических функций на сумму двух инвариантных подпространств. Доказывается, что инвариантное подпространство в любой неограниченной области может быть представлено как сумма двух инвариантных подпространств. Их спектры соответствуют ограниченной и неограниченной частям выпуклой области. На основе этого результата получен простой геометрический критерий фундаментального принципа для инвариантного подпространства аналитических функций в полуплоскости. Он формулируется лишь при помощи индекса конденсации А.С. Кривошеева последовательности показателей указанных экспоненциальных мономов.
Ключевые слова: инвариантное подпространство, фундаментальный принцип, экспоненциальный моном, целая функция, ряд экспонент.
Mathematics Subject Classification: 30D10
1. Введение
Пусть Л = {Ак,Пк_ последовательность различных комплексных чисел Ак и их кратноетей пк. Считаем, что А| не убывает и |А&| ^ го, к ^ го, Символом £(Л) обозначим множество пределов сходящихся последовательностей вида {А^./|А^.|}^=1 (А — комплексное сопряжение). Множество £(Л) замкнуто и является подмножеством единичной
A.S. Krivosheev, О.A. Krivosheeva, Invariant subspaces in a half-plane.
©Кривошеев А.С., Кривошеева О.A. 2020.
Поступила 5 апреля 2020 г.
Исследование второго автора выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 18-11-00002).
окружности S(0,1), Введем семейство экспоненциальных мономов
£ (Л) =
Пусть D С C — выпуклая область и
HD (ф) = supRe(ze—у е [0, 2к]
zeD
- ее опорная функция. Положим
J(D) = {ei(p е S(0,1) : HD(ф) =
Если D — ограниченная область, то J(D) = 0, В случае неограниченной области возможны следующие ситуации:
1) J(D) = 5(0,1), т.е. D = C,
2) D — полуплоскость {z е C : Re(ze-^) < aj и J(D) = S(0,1) \ {ег1р},
3) D - полоса {z е C : b < Re(ze-^) < aj и J(D) = 5(0,1) \ {e^, },
4) в остальных случаях J(D) является дугой единичной окружности, которая опирается на угол раствора не меньше чем ж.
Символом intJ(D) обозначим совокупность внутренних точек (в топологии окружности S(0,1^) множества J(D).
Пусть Н(D) — пространство функций аналитичееких в области D с топологией равномерной сходимости на компактах К С D, vlW С Н(D) — нетривиальное (т.е. W = {0j, Н(D)) замкнутое подпространство, которое инвариантно относительно оператора дифференцирования, Спектр этого оператора в подпространстве W является не более чем счетным множеством } ([1], гл. II, §7). Пусть Л = {Л^,Пкj — кратный спектр оператора дифференцирования в подпространстве W. Тогда £ (Л) — семейство его собственных и присоединенных функций в W. Говорят, что подпространство W допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием W(Л, D) ^в ^^^странстве Н(D)) линейной оболочки системы £ (Л). Отметим, что проблема спектрального синтеза полностью решена в работах [2] и [3]. Если D — неограниченная выпуклая область, то всегда верно равенство W = W(Л,Д), т.е. W допускает спектральный синтез ([3], теорема 8.2).
Частными случаями инвариантных подпространств являются пространства решений линейных однородных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков, а также более общих уравнений свертки и их систем.
Основной задачей в теории инвариантных подпространств является проблема фундаментального принципа, т.е. представления произвольной функции из W при помощи ряда по элементам системы £ (Л) Говорят, что в подпроет ранетве W со спектр ом {А&,Пк} справедлив фундаментальный принцип, если любой функции д е W верно представление
—1
g(z)= ^ dk,nznex*z, z е D, (1.1)
fc=1,n=0
причем ряд сходится равномерно на компактах из D. Эта задача носит название проблемы фундаментального принципа. Название фундаментальный принцип появилось в связи с частным случаем инвариантного подпространства - пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Известно, что каждое решение такого уравнения есть линейная комбинация элементарных решений
- экспоненциальных мономов zneXkz, показатели которых являются нулями (возможно кратными) характеристического многочлена. Наличие этого представления называется фундаментальным принципом Л. Эйлера.
При помощи преобразования Лапласа проблема фундаментального принципа сводится к двойственной задаче кратной интерполяции в пространстве целых функций экспоненциального типа. Исследования обеих задач, проводившиеся вначале независимо друг от друга, имеют богатую историю. Основные ее этапы отражены в работах [4] и [5], В случае ограниченной выпуклой области проблема фундаментального принципа полностью решена в работах [5] [8]. Получен простой геометрический критерий фундаментального принципа ([8], теорема 3,2) для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, который формулируется лишь в терминах индекса конденсации А. С. Кривошеева 5л (он будет определен ниже), максимальной угловой плотности последовательности Л и длины дуги границы области И.
Гораздо хуже обстоит дело с неограниченными выпуклыми областями, В работе [5] получен критерий фундаментального принципа для произвольных выпуклых областей. Однако он имеет два недостатка. Присутствует некоторое ограничение на кратность пк точек Ак. Кроме того, в нем содержится следующее условие (оно эквивалентно наличию фундаментального принципа). Требуется существование семейства целых функции, обращающихся в ноль в точках Ак с кратностью не меньшей чем пк, рост которых является близким к регулярному и связан с И, Остается открытым вопрос, при каких условиях па Л и И подобное семейство существует. Задача построения этого семейства является достаточно сложной. Что же касается неограниченных областей, то в этой связи исследовались по большей части только два частных случая - И является плоскостью или полуплоскостью.
Полное решение проблемы фундаментального принципа для нетривиальных инвариантных подпространств целых функций получено в работе [9]. Доказывается, что наличие фундаментального принципа в любом таком подпространстве эквивалентно конечности индекса конденсации 5Л-
Инвариантные подпространства в полуплоскости изучались в случае простого положительного спектра, имеющего плотность, В работе [10] эта задача решена полностью, причем для произвольной выпуклой области И, Решение найдено в терминах простых геометрических характеристик последовательности Л и области И. Оно содержит в себе принципиально новый момент. Оказалось, что в случае вертикальной полуплоскости, для справедливости фундаментального принципа не требуется измеримости последоваЛ
функция полуплоскости ограничена в положительном направлении. Необходимым и достаточным условием в этой ситуации является равенство нулю характеристики 5л- В работе [11] этот результат распространен на случай инвариантных подпространств с почти вещественным спектром Л (т.е. £(Л) = {1})- Отметим, что результат работы [11] легко переносится на случай инвариантных подпространств со спектром Л, для которого £(Л) является одноточечным множеством.
Данная работа посвящена исследованию нетривиальных инвариантных подпространств с произвольным спектром в полуплоскости.
Работа состоит из четырех параграфов. Во втором параграфе приведены некоторые предварительные сведения, В третьем параграфе исследуется задача разложения инвариантного подпространства на сумму двух инвариантных подпространств. Доказывается, что инвариантное подпространство в любой неограниченной области может быть представлено как сумма двух инвариантных подпространств. Их спектры соответствуют ограниченной и неограниченной частям выпуклой области,
В последнем параграфе найдено полное решение проблемы фундаментального принципа для инвариантных подпространств в полуплоскости. Получен простой геометрический критерий фундаментального принципа, который опирается лишь на понятие индекса конденсации последовательности, составляющей спектр инвариантного подпространства.
2. Предварительные сведения
Прежде всего, напомним некоторые понятия и приведем некоторые факты, связанные с интерполирующей функцией А.Ф, Леонтьева, Пусть Л = [Хк,пк} и f — целая функция экспоненциального типа, т.е.
ln If(А)| ^ А + В|А|, А е C, А,В ^ 0.
Будем писать f (Л) = 0, если f обращается в пуль в точках Хк с кратностью не меньше чем пк. Индикатор ом f называется функция
h (v) = nm ln If (te^\, tp е [0,24
t—У^О t
Она совпадает с опорной функцией некоторого выпуклого компакта Т С C, называемого индикаторной диаграммой /.Символом 7 (t, f) обозначим функцию, ассоциированную по Борелю с f ([1], гл. I, §5). Сопряженной диаграммой К функции f называется выпуклая оболочка множества особых точек 7(t, f). Таким образом, ^(t, f) является аналитической вне компакта К. По теореме Полиа ([1], гл. I, §5, теорема 5.4)
hf (ф) = Нт(ф) = Нк(—ф, у е [0, 2^]. (2.1)
Следовательно, К является компактом, комплексно сопряженным к компакту Т.
Пусть D — выпуклая область, д е Н(D), 0 е К, и а е C такое, что сдвиг К + о сопряженной диаграммы К функции f лежит в области D. Интерполирующей функцией для функции д называется ([12], гл. I, §2)
uf (А, а, д) = е-стА2- f 1(t) f) f / g(t + а - V)ex*dV | dt, (2.2)
где Q — контур (простая замкнутая непрерывная спрямляемая кривая), охватывающий компакт К и лежащий в области D — а.
Снимем ограничение 0 е К. Выберем произвольную точку w е К. Сопряженная диаграмма функции fw(z) = f (z)e-wz совпадает с компактом Kw = К — w, который содержит начало координат. Тогда по формуле (2.2) определяется функция Ufw (Х,а,д) для всех а е C таких, что ком пакт Kw + а лежит в области D.
Отметим некоторые свойства функции Wfw (А, а, д). Из (2.2) следует, что она является целой и линейна по третьему аргументу. Пусть К(е) = К + В(0, е) — е-расшнренне компакта К, Q(e) = д(К(е)) — w и (е) = Q(e) + и С G. В силу (2.2) имеем:
(X,a,g)\ ^ 2-\е~аХ\ max \eXz | max \g(z)\ i h(t,fw )\\t\\dt\
2n zen(e) zeQa (e) J
n(s)
^Te exp(rHn(s)(—V) — ReM)) max \g(z)\ ф (t,f)\\dt\
zena (s) J
8K(e)
=A(f,e)exp(rHK(—ф) + er — Re(wA) — Re(aA)) sup \g(z)\, A = reiv,
zeQ-a (e)
где A(f,e) = (2n)-1re(f)de, d£ — диаметр области К(е) и r£(f) — последний интеграл. Отсюда с учетом равенства (2.1) для всех А е C получаем:
(X,a,g)\ < A(f,e)exp((hf (р) + e)r — Re((w + а)Х)) max \g(z)\. (2.3)
zeila (е)
Отметим теперь главное свойство интерполирующей функции. Пусть Л = [\к,пк}
р пк-1
Р(г) = ^ ^ ак,пгпех^.
к=1 п=0
Тогда имеют место равенства ([12], гл. I, §2, теорема 1,2,4):
1 Г (W) еdX = j- еХкЯ, а е с, к = 1^, (2.4)
г J U (А) ав(лк ,ьк) n=0
где dB(\к, Ьк) — окружность, внутри которой нет точек As, s = к. Следующие утверждения являются частными случаями соответственно теорем 2.1.1 и 2.1.2 из книги [12].
Лемма 2.1. Пусть Л = { \к ,пк}, D — выпуклая область, и система, £ (Л) не полна в пространстве Н(D). Предположим, что
g(z) = lim Pß(z), Pß(z) = V V ak,n,ßZne^z, (2.5)
k=l n=0
D
ЛЫ
ak,n = lim ak,n,ß, n = 0,nk - 1, к ^ 1.
Лемма 2.2. Пусть Л = { Ak, пк}, D — выпуклая область, и система £ (Л) не полна в Н( D)
ß nk-1
g(z) =) = lim Qß(z), Qß(z) = V V bk,n,ßzne^z,
к=1 n=0
D
lim ak,n,ß = lim Ьк,п,ц, n = 0, nk - 1, k^ 1.
Введем еще некоторые понятия и обозначения. Пусть Л = {Ak, nk}, n(г, Л) — число точек Ak (с учетом их кратноетей nk\ попавших в открытый круг В(0, г), и
n( , Л)
п(Л) = lim —^—-f
Л
гл. I, §11, теорема 15) П(Л) < тогда и только тогда, когда существует целая функция f экспоненциального типа такая, что /(Л) = 0.
Пусть U = {Um}^=1 — разбиение последовательности {Ak} на конечные группы, т.е. Um состоит из конечного числа точек Ak, Um HUi = 0, / = m, и UmUm = {Ak}. Положим
dA(U) = max .
\k,\v,\jeum \Aj \
Следуя [7], введем индекс конденсации
. ln\qT;U( Ak,i)\ ^( JJ fz-AAn
' qa,u (z, s)= и .
л,ев(лк,б|Afc|)\u, \ v 17
Sa(U) = lim lim min
Йо ш4«л1 eum \Ak \ ' ' 11 \36\Av \
Первоначально индекс конденсации был введен в работе [5] для тривиального разбиения (т.е. каждая группа ит состоит го одной точки) .В случае, когда разбиение и тривиально,
величина Sa(U) совпадает с величиной Sa, введенной в [5]. Поэтому в этом случае будем писать Sa вместо символа Sa(U),
Следующие два утверждения доказаны в работе [9] (соответственно теоремы 2,1 и 5,1), Во втором из них проясняется основной смысл введения величины Sл (U),
Теорема 2.3. Пусть А = {Хк, пк} и п(А) < +ж. Тогда для, каждого d > 0 существует разбиение U последовательности, А такое, что SA(U) > —ж и dA(U) < d.
Теорема 2.4. Пусть f — целая функция экспоненциального 'типа, Л = [Хк,пк} — ее кратное нулевое множество, U = {Um} — разбиение А, для которого SA(U) > — ж и dA(U) < +ж. Тогда существуют положительные числа {^fkтакие, что
lim max —— < +ж, (2,6)
Xk,Xvеит |
множества Вт = (JAfceUm В(Xk,/ук), т ^ 1, попарно не пересекаются, и для, каждого ß Е (0,1) существуют а,а1 > 0 такие, что
ln lf(z)l > —а1 — alz I, z Е dBm(ß), m > 1, Bm(ß) = |J B(^k,ßlk). (2.7)
^k £Um
3. Разложение инвариантных подпространств
Пусть D — неограниченная выпуклая область и W — нетривиальное замкнутое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в Н(D). Как уже отмечалось выше, в этом случае W допускает спектральный синтез, т.е. верно равенство W = W(А, D), где А — кратный спектр оператора дифференцирования в подпространстве W.
Нетривиальность подпространства W(А, D) означает, что система £ (А) не полна в пространстве Н(D). В связи с этим для изучения инвариантных подпространств W С Н(D) в неограниченной выпуклой области достаточно рассмотреть случай, когда W = W(А, D) и £ (А) те полна в Н (D).
Система £ (А) те полна в пространстве Н (D) тогда и только тогда ([1], гл. I, §7, теорема 7,2, и §5, теорема 5,2), когда существует целая функция f экспоненциального типа такая, что f (А) = 0 и некоторый сдвиг К + о те сопряженной диаграммы К лежит в области D.
Проблема полноты системы £ (А) в пространстве Н(D) решается просто в случае, когда область D не помещается ни в какую полосу. Это так называемая «большая» выпуклая область. Она содержит некоторый сдвиг любого выпуклого компакта. Следовательно, с учетом теоремы Линделефа в случае «большой» области система £ (А) те толна в Н(D) тогда и только тогда, когда й(А) < +ж,
В случае когда D лежит в какой-либо полосе простой критерий полноты системы
£ (А) получен в работах [14], [15]. Он формулируется в терминах логарифмической блокА
Пусть D — неограниченная выпуклая область. Символом J0(D) обозначим подмножество множества J(D), состоящее из всех точек e%v таких, что
{ега : а Е (р — ж/2, у + -к/2)} С J(D).
По определению J0(D) является замкнутым подмножеством единичной окружности S(0,1) Если D = C, то J0(D) = S(0,1) Если D — полуплоскость {z Е C : Re(ze-^) < а}, то Jo(D) = {ега : а Е [—ip — ж/2, — ^+^/2]}, Если D лежит в полосе {z Е C : b < Re(ze-^) < а}, то либо J0(D) состоит го двух точек {ег((р-ж/2, ег(^+ж/2'1} (в случае, когда D совпадает с этой или меньшей полосой) либо совпадает с одной из этих точек (в противном случае), В остальных случаях J0(D) является дугой {ега : а Е [<р1 ,<ß2}} единичной окружности, которая опирается на угол раствора строго меньше чем ж.
Таким образом, если область И те является полосой, то для некоторых у1,у2 таких, что ж ^ у2 — у1 ^ 2ж, верны равенства
3(И) = (е^ : у еI}, НИ) = (егр : у е [у + ж/2, у — ж/2]},
где I — отрезок, интервал или полуинтервал с концами у1,у2. Если у2 — у1 = ж, то отрезок [ у1 + ж/2,у2 — ж/2] вырождается в точку. Это будет, к примеру, когда И — область, ограниченная параболой, или И лежит в полосе, но сама полосой не является. Равенство у2 — у1 = 2ж реализуется лишь в случае, когда И — полуплоскость.
Лемма 3.1. Пусть И — неограниченная выпуклая область, и М — подмножество И. Тогда, для любых егр е 30(И) и Ь > 0 сдвиг М + Ьегр лежит в И.
Доказательство. Пусть ег р е 30(И), Ь > 0 и ге М. Согласно определению 30(И)
Ее((г + гегр)е-га) < = Нв(а), а е (у — ж/2, у + ж/2).
Кроме того, для всех а е [у + ж/2, у + 3ж/2] имеем:
Ее((г + гегр)е-га) = Ее(ге -га) + Ее(£егре-га) ^ Ее(ге -га) < НП(а).
Таким образом,
Ее((г + гегр)е-га) < Нв(а), а е [0, 2ж]. Это означает, что г + Ьегр е И. Лемма доказана. □
Лемма 3.2. Пусть И — неограниченная выпуклая область, 0 <а2 — а1 < ж и
2о = (егр : у е [а1,а2]} С и^3(И).
Тогда, существует егр0 е 30(И) такое, что для, любых К,С > 0 найдется ¿0 > 0, удовлетворяющее условию
Ее((£егр0 — г)ега) ^ С, е-га е Ео, N ^ К,
Доказательство. Так как Е0 е т13(И) и 0 < а2 — а1 < ж, то согласно определению множества 30(И) найдется егр° е 30(И) такое, что Е0 С (ега : а е (у0 — ж/2,у0 +ж/2)}. Тогда для некоторого 50 > 0 верно также вложение
Е0 С (ега :а е [у — ж/2 + у + ж/2 — (3.1)
Пусть К, С > 0. В силу (3.1) найдется с > 0 такое, что
Ке((гегр° — г)ега) ^ Ее(£егр0ега) — К с — К, е-га е Е0, И ^ К
Отсюда для ¿0 = ( К + С)-1 получаем требуемое неравенство. Лемма доказана. □
Сформулируем и докажем результаты о разложении инвариантных подпространств.
Лемма 3.3. Пусть Л = ( \к ,пк}, И — выпуклая область, и система £ (Л) не полна в Н(И). Для любого т ^ 1 и каждой функции д е Ш(Л, И) верно представление д = д1 + д2, где 91 е Ш(Л1, С) и д2 е Ш(Л2,0),
Л1 = (\к ,пк }^=1, Л2 = (Хк ,пк }Г=т+1, и Ш(Л1, С) — пространство экспоненциальных .многочленов
т пк — 1
Р(г) = ^ ^ акпхпеХкХ, ак,п е С, п = 0,пк — 1, к = 1,т.
к=1 п=0
Доказательство. Пусть т ^ 1, Так как д е Ш(Л, Б), то
и пк-1
д(г) = 11ш Р,(г), Р,(г) = V V ак^пех*2, (3.2)
и —Уоо -* ^-*
и^те
к=1 п=0
причем сходимость равномерная на компактах из Б. По лемме 2.1 существуют пределы
ак,п = 11ш а,к,п, и, п = 0,Пк — 1, к ^ 1.
Следовательно, последовательность многочленов
т пк-1
Р»М = ^ Е ак,п^Хкг, V > 1,
к=1 п=0
сходится равномерно на компактах плоскости к многочлену
т пк-1
91(г) = ЕЕ ак,п?пеХк*.
к=1 п=0
Тогда в силу (3.2) последовательность многочленов
и пк-1
РМ= ^ ^ ак,п,^пеХк*, ^ ^ т + 1,
к=т+1 п=0
сходится равномерно на компактах из области Б к функции д2 = д — д1. Поэтому д2 е Ш(Л2,Б). Лемма доказана. □
Пусть Л = {\к,пк}, Л1 = {^р,тр} и Л2 = }. Будем писать Л = Л1 и Л2, если для каждого к ^ 1 существует р ^ 1 такое, что \к = и пк = тр, либо сущеетвует ] ^ 1 такое, что \к = Яj и пк =
Теорема 3.4. Пусть Л = {Хк ,пк}, Б — выпуклая область, и система, £ (Л) не полна в Н(Б). Тогда существуют последовательности, Л1 и Л2 такие, что
Л = Л1 и Л2, 2(Л2) С 5(0,1) \intJ(Б),
и для, каждой функции д е Ш(Л, Б) верно представл,ение д = д1 + д2, где д1 е Ш(Л1, С) и д2 е Ш (Л2, Б). В частности, Л1 = Фи д1 = 0, когда -(Л) П'тЪТ (Б) = Ф, и Л2 = Фи д2 = 0, когда -(Л) С тМ(Б).
Доказательство. Пусть д е Ш(Л, Б). Рассмотрим вначале случай, когда
-(Л) П'ти(Б) = Ф.
Положим Л1 = Ф, д1 = 0 Л2 = Л и д2 = д. Тогда д2 е Ш(Л2, Б) = Ш(Л, Б). Таким образом, в этом случае утверждение теоремы верно.
Пусть теперь -(Л) П и^7(Б) = Ф. Выберем последовательности {«1г}, {®-2.1}-, 5 = 1, 2, такие, что
а2,1 — а1,1 <к, а^+1 <а2>1 < o>2íl+l, I ^ 1 -2,1 = {ег* : у е [а^]} С т^(Б), з = 1, 2,
те
У(-м и ~2>г) = т и (Б).
1=1
По условию система £ (Л) те полна в пространстве Н (Б). Тогда существует целая функция / экспоненциадьпого типа такая, что f (Л) = 0, и некоторый сдвиг К + /ш0 ее сопряженной диаграммы К лежит в области Б.
Пусть Л1 — кратное нулевое множество функции f. Так как f имеет экспоненциальный тип, то по теореме Липделефа имеем: ^(Л1) < +го, Тогда по теореме 2,3 для каждого й > 0 существует разбиение и(й) = {ит(3)} последовательности Л1 такое, что верпы неравенства 5Л1 (и(й)) > —го, йЛ1 (и(й)) < й.
Фиксируем I ^ 1, Составим подпоследовательность {ит(1,1,^(с1)} всех групп ит(й), каждая из которых содержит точку Хк = гкегрк такую, что е-гРк Е Е^, а также подпоследовательность {и т(2,1,])(й)} всех групп ит(с1), каждая го которых содержит точку \к = гкегрк такую, что е-гРк Е Е^г и при этом е-гРр Е Е^г для всех Хр = грегрр Е ит(2,1,^ (й) (в некоторых случаях совокупность {ит(2,1,^(й)} может оказаться пустой). Выберем теперь йI Е (0,1/2) и ^ так, что е -грк Е Ем+1 для всех Хк Е ит(3„и)(й1), 3 > 31 и 5 = 1, 2.
По теореме 2,4 найдем положительные числа гук = к ^ 1, такие, что верно (2,6) и множества Вт,1 = еит((11)В(Хк,^к,[), т ^ 1, попарно не пересекаются, а также для каждого числа ¡3 Е (0,1) найдем а = а(/3), а1 = а1 (/) > 0 такие, что верно (2,7),
Увеличивая при необходимости номер ^найдем ¡31 Е (0,1/2) такое, что для любых 3 ^ 31 и г = гегр Е Вт(3,1л)(01) имеет место включение е-гр Е Е5,15 = 1, 2,
Определим теперь множества В8,г,р. В качестве В8,^ возьмем все множества Вт(Зи)((31 )■ Пусть I > 1, В качеетве В3,1,р возьмем все множества
(и U U в,-)
Bm{s,u)(ßi)\ [и и и д
\,= 1 V=1 ß'^1
каждое из которых содержит хотя бы одну точку \к.
Отметим, что множества Д3,1,р попарно не пересекаются, любое из них содержит хотя бы одну точку Лк.; и каждая точка \к = гкегрк такая, что е-грк G intJ(D), принадлежит
одному и только одному из МНОЖеСТВ Д3,1,р-
Положим
Ai = max a(ßv), Ац = max a1(ßu).
В силу (2,7) имеем:
ln lf (z)l ^ - Ahl — Ailzl, zedBs,i,p, P,l > 1, s = 1, 2. (3.3)
Так как g G W(Л, D), то
ß nk-i
g(z) = lim Pß(z), Pß(z) = V V ak,n,ßZneXkZ,
k=1 n=0
причем сходимость равномерная на компактах из области D. Пусть w G К. По формуле (2.2) определяется интерполирующая функция Wfw (Л, а, Pß) для всех ß ^ 1 и а G C. Положим ak,n,ß = 0 к > ß. Из (2.4) следует, что
^ i (ЛпР) е^dЛ = Е ak,n,ßZneXk*, а G C, к > 1.
г J fw ( Л) П=О
ЭВ(Лк,Ьк) n=0
Фиксируем I ^ 1. По теореме о вычетах получаем:
[ иU (Л,а,Р^) „Лг^ _ V- „ n\kz
-р U ( Л)
Пусть
dЛ = Y^ ak,UßZne^z, р^ 1, s=1,2. (3.4)
Лк^Вв,1,р
h — 1 = max h f ( ю),
ре[0,2тг] f
^ = 1, 2 ж е > 0. Так как Ри — целая функция, то в силу (2,3), (3,3) и определения /и
имеем:
эв
и(А) 6 ^
^А(/,£)Ь2Ар шах ( хедв3!1,р \
ехр(|А|к — Ие((,ш + а — г) А))
ехр(—А1,1 — Аг|Л| — ) хеп*(е)
)
шах I Ри(х)1
А(/, е)Ъ2,1,рел^ шах |Р,(х)|
хеПа (е)
• шах ехр(|А|(к + Аг) — Ее((а — г)А)),
где Ь2,1,р — длина границы дВ2,1,Р, а е С и р ^ 1,
Для каждого р ^ 1 выберем какую-нибудь точку Ак(2>1>р) е В2,1,р. Отметим, что граница дВ2,1,р состоит го дуг окружностей 5(Ак), Ак е В (в,и,р), и ^ I, которые имеют непустое пересечение с окружностями Б(Ак), Ак е В2^р. Поэтому с учетом неравенств ^(Л1) < с1Л1 (и 1((10)) < и (2,6) найдутся числа С[, с0>1 > 0 такие, что
Ь2,1,Р ^ С0,11Ак(2,1,Р)12 ^ ае^м1, 1, 8 = 1, 2. (3.5)
Пусть 1. Согласно определению числа $ найдем но мер рг такой, что для л юбых р ^ р1, 8 = 1, 2 и г = гег1р е В2>1>Р имеет место включение е-г1р е -2,1+2. По лемме 3.2 существует ег(р° е (Д) такое, что для любого Я > 0 найдется ^ > 0, удовлетворяющее условию
Ее((^> г — г) X) ^ (к + Аг + М + Ы +4)|Л|, Л едВ2^} рг, |г| ^ Я.
Положим а2,1 = т + + ^е1^3'1, Пусть р ^ р1 ъ ^ Я. Тогда в силу (3.5) имеем:
эв
и(А) е ^
3,1'Р
^А(е)еА1'1 шах(е)1РМ1 Ъ2^р шах ехр(—4|Л|).
Так как ¿1,01 е (0,1/2), то, увеличивая при необходимоети помер р1, можно считать, что
—4|Л| ^ —2|Aк(2,l,р)|, А е дВ2,1,р, р > Р1.
Поэтому с учетом (3.5) получаем:
эв
и ( А) е *А
3' ' р
^ А(е,/) шах (е)|Ри(^)| е-1Хк(з^р)|, р^ Р1, |г| ^ Я,
иеп.
3'
где А(е, /) = А(/, е)еА1'1 С[. Имеем:
(е) = ОД + ^ = д(К (е)) — ы + = д(К (е)) + Ме^3'1.
Компакт К + лежит в области И. Поэтому согласно лемме 3.1 для некоторого числа еI > 0 компакт 0,аа1(е¡) также лежит в области И. Последовательность Ри сходится равномерно на этом компакте. Следовательно,
Р,) \х 1 , и ( А) е *А
ЭБ3,1,Р
Выберем номер рг(Я) такой, что
^А(£1,1)В(Я, 1)е-1Хк(3'1'Р)1, Р1, ^ Я, (3.6)
и ( А) 6 *^
^ е-1Ы3'1'Р)1/2, р ^ Р1 ( Я), |г| ^ Я.
(3.7)
Можно считать, что функция рг( Я) не убывает. Пусть ^ ^ 1, Представим многочлены Р, в виде
М Пк -1
Р,(г) = Рм(г) + Р^), » > 1, Рм(^) = ^ ^ ак^АгпеЛк2,
к=1 п=0
ак,п,м,1 = ак,п,„ п = 0,Пк - 1, \к е В3,1,р, 5 = 1, 2, 1, р ^ рг(/),
ак,п, = 0, п = 0,пк - 1, \к е В,%1,р, 5 = 1,2, 1, и(/).
С учетом (3,4), определения многочлена Р,^ 1, множеств В5,г,р и того, что последние попарно не пересекаются, получаем:
оо оо
Р,1 « = ЕЕ £ * " > 1
= Р=и(0 дВ,
Отметим, что последние суммы содержат лишь конечное число ненулевых слагаемых. Пусть т ^ 1, В силу (3,6) и (3,7) имеем:
т— 1 Р1(т)-1 те
1Рм(^)1 < Е Е ^, 1)В(т, 0 + Е е—|Лк 1/2, N ^ т, » > 1.
I=1 Р=Р1(1 ) к=1
Так как П(Л1) < то последний ряд сходится. Таким образом, последовательность
функций {|РМ)1|} равномерно ограничена па любом компакте плоскости. Применяя теорему Монтеля, найдем подпоследовательность {РМj,1}^=1) которая сходится равномерно на каждом компакте плоскости. Пусть
дъ0(г)=ИшР/.. л(г), ге С.
Поскольку {Р,} сходится равномерно па компактах из В, то РМj,2 = РМj — РМj,1 также сходится равномерно на компактах из В к некоторой функции д2,0. Очевидно, что 9 = 91,0 + 92,0-
По построению д1,0 е Ш(Л1,0, С), где Л1,0 — последовательность всех пар \к,пк таких, что \к е Вц,1,р, 5=1, 2, I ^ 1, р ^ рг(/), Пусть Л20 — последовательность, дополняющая Л^0 до Л, т.е. Л = Л10 и Л2,0. Тогда д2 е Ш(Л2,0, В), Отметим, что каждое из множеств
{г- :- е и ^2,1 ,г> 0}, 1,
содержит лишь конечное число точек Лк таких, что (Лк,пк) е Л2,0. Поэтому верно вложение 5(Л2,0 ) С 5(0,1) \intJ(В).
Пусть 5(Л) С'ти(В), Тогда Л2,0 — конечное множество. В этом случае д2,0 — многочлен. Поэтому д2,0 е Ш(Л2, 0, С) Положим д1 = д1,0 + д2,0, Л1 = Л1,0 и Л2,0, Л2 = % и д2 = 0, Пусть теперь 5(Л) \ 7(В) = 0, В этом случае положим Л1 = Л^0, Л2 = Л2,0, д1 = д1,0 2 = 2,0
' □
4. Фундаментальный принцип
В заключительном параграфе сформулируем и докажем основной результат работы. Но прежде, приведем некоторые известные результаты, которые нам понадобятся. Пусть а,ф е К, Рассмотрим полуплоскость
П(а, ф) = {хе С : Ее(ге—(р) < а}.
Положим
1п|,¿)1 ^ -гг (*чга
зд>)=т1п 11Ш 11Ш , дкА(г, 6) = Ц —,
где минимум берется по всем подпоследовательностям { А^,} последовательности {Ак} таким, что Ак^)/1Ак(ф ^ е-г1р, ] ^ ж.
Последовательность Л = {Ак ,Пк} называется почти веществен ной, если £(Л) = {1} и
ШАк > 0, к ^ 1.
Следующий результат доказан в теореме 3,5 из работы [11].
Теорема 4.1. Пусть а Е К Ш — замкнутое нетривиальное инвариантное подпространство в Н(П(а, 0)) с почти вещественным спектром Л = {Ак,Пк}■ Следующие утверждения эквивалентны.
1) Каждая функция д Е Ш раскладывается, в ряд (1.1), сходящийся равномерно на, компактах в П(а,0).
2) = 0.
Сформулируем еще результат из работы [9] (следствие из теоремы 9,5), который решает проблему фундаментального принципа для инвариантных подпространств целых функций.
Теорема 4.2. Пусть Л = {Ак, Пк}, П(Л) < +ж. Следующие утверждения эквивалентны:
1) > — ж;
2) Каждая функция д Е Ш(Л, С) представляется, рядом (1.1), который сходится равномерно на компактах плоскости.
Докажем теперь один вспомогательный результат, который имеет и самостоятельный интерес.
Теорема 4.3. Пусть Л = {Ак, пк}, Бл = —ж. Тогда
существуют числа, {(к,п} и ном,ера,
к3, 1 = к1 < к2 < ..., такие, что ряд
/ка+1-1 пь-1
(к,п^пе1 (4.1)
те /к.,+1-1 пк — 1 \
Е £ Е^
8=1 \ к=к8 п=° /
сходится равномерно на, компактах в плоскости, а ряд (1.1) расходится, в каждой точке плоскости.
Доказательство. Согласно условию и определению Бл найдем подпоследовательность натуральных чисел {к(р)}'те=1 такую, что
1п1 дкА{р)(Аk(P), ¿Р)| ^ , ,
IЛ I ^ Р, К^-^) 1 Ак(р)1
где (0,1/4) э 81 ^ ... ^ 8Р ^ 0, и
|Ай(р+1)| ^ 2|Аад|, р ^ 1. (4.3)
Положим
Ак(р) = грег1Рр, Вр(с) = В(Ак(р), сбрГр),
сР = у/1 дЦр)(Ак(Р), 6Р)1, (4.4)
1 [ еХг(А г, ^
Й'( (А — А*,)(»(А,«' 1 <45)
дВр (5)
Имеем:
|qkA(p\X, 6Р)1 > 1, X едВр(5).
Следовательно,
|gp(z)l ^ sup |е ^| ^ exp(Re( Xmz) + 5V>N), * G C. (4.6)
XedBp(5)
Пусть К — произвольный компакт. В силу (4.6)
|gp(z)l ^ eArр, z G К, р^ 1, для некоторого А > 0. Отсюда с учетом (4,2)-(4,4) получаем:
тете те
Е I°р9РШ < Е exp(rp(-p/2 + А)) ^ ^ е-Гр < ж, z G К.
p=po p=po р=ро
где ро ^ 2(А +1). Таким образом, ряд
те
9(z) = Е cP9P(z)
Р=1
сходится равномерно на каждом компакте плоскости. Используя вычеты и определение fc(p),
функции ( X, 8р) и (4,4) для каждого р^ 1, получаем:
пк-1
Cp9p(z) = 4(р),оеЛк(р^ + Е Е dk,n,zneXkZ, 4(р),о = k(p)^ Л ,
Лкевр(1),к=к(р) п=о Ял (х, М
Положим еще 4(p),n = 0, п =1, nk(p) — 1,
dk,n = 0, п = 0,nk(p) — 1, Xk G Bp(1), p^ 1. Так как 5p G (0,1/4) p ^ 1, то в силу (4,3) найдутся номера ks, 1 = k1 < к2 <...., такие,
что
/ks+i — l пк — 1
т /k3+i — 1 пк — 1 \ т
Ц Е Е dknZnеллkZ = Е cp9p(z), т > 1.
s=1 \ k=ks п=0 / p=1
Таким образом, ряд (4,1) сходится равномерно на компактах в плоскости, В силу (4,4) и (4,2) имеем:
14(Р),оеХк(р)*I = к 1 == |еХк(р)*I > ехр((р/2 - |г|)гр) ^ ю, р ^ ю. V 1 1аР)(Хк(P),
Следовательно, ряд (1.1) расходится в каждой точке плоскости. Теорема доказана. □ Сформулируем и докажем, наконец, основной результат работы.
Теорема 4.4. Пусть а,р G К Ш — замкнутое инвариантное подпространство в Н(П(а,(р)) со спектром Л = [Хк,пк}, гг(Л) < +<ю. Следующие утверждения эквивалентны.
1) Каждая функция д G Ш раскладывается, в ряд (1-1), сходящийся равномерно на, компактах в П(а,ф).
2) = 0 и За > —ю.
Доказательство. По условию П(Л) < +<ю, Следовательно, система £ (Л) не полна в Н(П(а, и Ш — замкнутое нетривиальное инвариантное подпространство в Н(П(а, 0)).
Пусть верно 1). Предположим, что ЗЛ = —го. Тогда по теореме 4.3 существуют числа {¿к,п} и номера к3, 1 = к\ < к2 < ..., такие, что ряд (4.1) сходится равномерно на
компактах в плоскости, а ряд (1.1) расходится в каждой точке плоскости. Пусть д — сумма ряда (4.1). Тогда д Е W(Л, C) С W(Л, П(а, ф)). Ранее отмечалось, что W допускает спектральный синтез. Поэтому W = W(Л, П(а, ф)), Согласно утверждению 1) имеет место представление
— 1
g(z)= Е ак,п^аеХкz, ZE П(а,ф),
к=1,п=0
причем ряд сходится равномерно на компактах в полуплоскости П(а, ф). Тогда из леммы 2.2 следует, что
dk,n = ак,п, n = 0,пк - 1, к ^ 1.
Это противоречит тому, что ряд (1.1) расходится в каждой точке плоскости. Таким образом, Sa > —ж.
Пусть {\k(j)} — подпоследовательность [Хк} такая, что Xk(j)/фцф ^ е—гф j ^ ж. Положим Л0 = {e%vXk(j), n^j)}■ Тог,да £(Л0) = {1}. Поэтому найдется номер m такой, что Л0,0 = {e%vXk(j), nk(j)}j=m является почти вещественной последовательностью. Пусть Л0,1 = {Xk(j), nk(j)}j=m- Согласно утверждению 1) каждая функция из подпространства W(Л0,1, П(а,ф)) С W(Л, П(а,ф)) раскладывается в ряд (1.1), сходящийся равномерно на П( а, ф)
подпространства W(Л00,П(а,0)), но уже на компактах в П(а,0). Тогда по теореме 4.1 верно равенство SsA0fi = 0. Отсюда следует, что SSa± = 0 гДе Л1 = {Xk(j), nk(j)}. Таким образом, Sл(ф) = 0.
Пусть теперь верно 2) и д Е W (Л, П(а, ф)). Так как П(Л) < то система £ (Л) не полна в Н(П(а, ф)). По теореме 3.4 существуют последовательности Л^ Л2 такие, что Л = Л1 U Л2, 2(Л2) с S(0,1) \ rntJ(П(а, ф)) и верно представление д = д1 + д2, где g1 Е W(Л1, C) а 92 Е W(Л2, П(а,ф)).
Поскольку Sл > —ж, то Sл1 > —ж. Тогда то теореме 4.1 функция д1 представляется рядом (1.1), который сходится равномерно на компактах плоскости.
Множество S(0,1) \ intJ(П(а, ф)) с точкой ellf. Поэтому 2(Л2) С {ег^}.
Пусть Л2 = {Xk(j), nk(j)}. Если Л2 — конечная последовательность, то д2 — экспоненциальный многочлен, и теорема доказана. В противном случае найдется номер m такой, что Л2 0 = {e%vXk(j), nk(j)}j=m является почти вещественной последовательностью. Пусть Л21 = {e%vXk(j),nk(j)}njl=—-)^vL Л2 2 = {Xk(j), nk(j)}'j=m. По лемме 3.3 верно представление д2 = д2,1 + д2,2, вде д2,1 — многочлен из пространства W(Л2,1, C) и
д2,2 Е W(Л2,2, П(а, ф)). Так как Sл(ф) = ^^о = 0. Тогда по теореме 4.1 каждая функция из W(Л2,0, П(а, 0)) раскладывается в ряд (1.1), сходящийся равномерно на компактах в П( , 0) 2,2
на компактах в П(а, ф). Теорема доказана. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А.Ф., Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.
2. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 87(129):4, 459-489 (1972).
3. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариант,ные подпространства аналитических функций.II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 88(130), 3-30 (1972).
4. Гольдберг A.A., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. 85, 5-185 (1991).
5. Кривошеев A.C. Фундаментальный принцип для, инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН. Сер. матем. 68:2, 71-136 (2004).
6. Кривошеева O.A., Кривошеев A.C. Критерий справедливости фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости II Функц. анализ и его прил. 46:4, 14-30 (2012).
7. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Базис в инвариантном, подпространстве аналитических функций 11 Матем. сб. 204:12, 49-104 (2013).
8. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном подпространстве ¡I Матем. заметки. 99:5, 684-697 (2016).
9. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Базис в инвариантном подпространстве целых функций II Алгебра и анализ. 27:2, 132-195 (2015).
10. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимск. матем. журн. 5:3, 96-120 (2013).
11. Кривошеева O.A., Кривошеев A.C. Представление функций из инвариантного подпространства с почти вещественным спектром // Алгебра и анализ. 29:4, 82-139 (2017).
12. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.
13. Левин В.Я.Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.
14. Хабибуллин Б.Н., О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Матем' сб. 180:5, 706-719 (1989).
15. Malliaven Р. , Rubel L. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. Prance 89, 175-201 (1961).
Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия Олеся Александровна Кривошеева,
ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет», ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: kriolesya2006@yandex.ru
