ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 58-68.

УДК 517.5

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП

А.С. КРИВОШЕЕВ, О.А. КРИВОШЕЕВА

Аннотация. В работе изучаются пространства функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости. Рассматриваются подпространства таких пространств инвариантные относительно оператора дифференцирования. Исследуется проблема фундаментальжнх) принципа для инвариантших) подпространства, т.е. проблема представления всех ei'o элементов при помощи ряда из собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в этом подпространстве экспонент и экспоненциальных мономов. Приводится полное описание пространства последовательностей коэффициентов рядов, посредством которых представляются функции из инвариантших) подпространства. Исследуется также задача кратной интерполяции в пространствах целых функций экспоненциальнохх) типа. Рассматривается двойственность проблем интерполяции и фундаментального принципа. Задача указанной двойственности полностью решена. Установлена двойственность проблем фундаментального принципа и интерполяции для произвольной выпуклой области без каких-либо ограничений.

Ключевые слова: экспоненциальный моном, выпуклая область, фундаментальный принцип, интерполяция, двойственность.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Пусть Л = [\к,Пк_ последовательность различных комплексных чисел А& и их кратностей Пк- Считаем, что |А&| не убывает и |А&| ^ го, к ^ го. Пусть D С C — выпуклая область и Н(D) — пространство функций аналитических в области D с топологией равномерной сходимости на компактах из D. Отметим, что Н(D) является пространством Фреше-Шварца ([ , гл. I, теорема 4.6]). Символом W(Л,И) обозначим замыкание в пространстве Н(D) линейной оболочки системы

£ (Л) = К exp(Afc ^ГД^о.

Если система £ (Л) не полна в пространстве Н (D), то W (Л, D) является нетривиальным (= Н(D), {0}) замкнутым подпространством в Н(D). Из определения W(Л,И) вытекает, что оно инвариантно относительно оператора дифференцирования. При этом система £ (Л) — это набор собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W(Л, D), а Л — его кратный спектр.

Пусть W С Н(D) — нетривиальное замкнутое подпространство инвариантное относительно оператора дифференцирования, и Л = {А&,Пк} — его кратный спектр. Он является

го

В случае, когда спектр W конечен, оно совпадает с пространством решений однородного

A.S. Krivosiieev, O.A. Krivosiieeva, Interpolation and fundamental principle.

(с) Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. 2024.

Поступила 7 января 2024

линейного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, Более общим примером инвариантного подпространства служит множество решений уравнения свертки ^(д(г + т)) = 0 (или системы таких уравнений), где ^ Е Н*(И) и Н*(И) — пространство линейных непрерывных функционалов на пространстве Н(И). Частными случаями уравнения свертки являются линейные дифференциальные, разностные, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами конечного и бесконечного порядков, а также некоторые виды интегральных уравнений.

Основная задача в теории инвариантных подпространств — представление всех его функций посредством собственных и присоединенных функций хпеХкХ оператора дифференцирования, Если Ш — пространство решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами конечного порядка, то оно совпадает с линейной оболочкой системы £ (Л), Этот результат известен как фундаментальный принцип Л, Эйлера, В этой связи задача представления функций д Е Ш посредством рядов по элементам £(Л)

<Х,Пк — 1

^ , (1.1) к=1,п=0

(которые сходятся в топологии пространства Н(О)) называется проблемой фундаментального принципа дня инвариантного подпространства. Первым шагом па пути к представлению (1.1) является решение проблемы спектрального синтеза, т.о. выяснение условий, при которых система £ (Л) полна в подпространстве Ш (другими словами, когда Ш = Ш(Л, И)). Проблему фундаментального принципа, естественно, имеет смысл рассматривать лишь дня инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, т.е. для подпространств вида Ш(Л, И).

К концу 40-х годов прошлого столетия была замечена тесная связь между проблемой фундаментального принципа и проблемой интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального тина. Оказалось, что они двойственные. Первый, кто использовал разрешимость интерполяционной задачи дня разложения решений уравнения свертки в ряды экспонент, был, по-видимому, А.Ф. Леонтьев. Вслед за ним указанная связь использовалась уже систематически. Проблема интерполяции в пространствах целых функций сама по себе представляет значительный интерес и имеет богатую историю. Исследования указанных двойственных задач, проводившиеся вначале независимо друг от друга, имеют богатую историю. Основные ее этапы отражены в работах |3| и |4|, В последней работе получен наиболее общий на данный момент результат о двойственности пробном фундаментального принципа и интерполяции для произвольной выпуклой области И С С при одном ограничении на относительную кратность Л : пк(р) /|Ак(р)| ^ 0 для любой последовательности |Ак(р)} такой, что \к(р)/|Ак(р)| ^ е-гр и Н(<р,0) < где

Н (<р,0) = вир Ке(ге-р)

— опорная функция области И.

В данной работе задача указанной двойственности полностью решена. Установлена двойственность пробном фундаментального принципа и интерполяции дня произвольной выпуклой области И С С без каких-либо ограничений,

2. Фундаментальный принцип

Пусть Л = (Ак, пк}, И — выпуклая область и Ш(Л, И) — нетривиальное подпространство в пространстве Н(И). По теореме Хана-Банаха последнее равносильно существованию ненулевого функционала ^ Е Н*(0), который обращается в ноль на Ш(Л, И).

Пусть /2 обозначает преобразование Лапласа функционала ß е H*(D): ß(X) = ß(eXz). Функция /2 является целой и имеет экспоненциальный тип, т.е, для некоторых А,В > 0 верно неравенство lß(\)l ^ Аexp(B|А|), А е C, Известно ([1, гл. III, §12, теорема 12,3]), что преобразование Лапласа устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространствами Н*(D) и Рд,где Pd — индуктивный предел банаховых пространств

р = {/ е н(C): ||/||e = sup lf (rei<p)l exp(-rH(-<р,Ка)) < го},

rezve C

K,(D) = — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая область D,

т.е. Ks С intXs+1, s > 1, (int обозначает внутренность множества), и D = \JC^=1KS. Из определения K-(D) следует, что найдутся числа as > 0 s > 1, такие, что

Н(<p,Ks) + as ^ Н(<p,Ks+i), р е [0, 24 (2.1)

Отметим, что

Pi С Р2 С • • • С Ps С (2.2)

и множество Рд состоит из объединения множеств Ps, s > 1. Пространство Pd есть так называемое LN* пространство, т.е. представляет собой объединение последовательности банаховых пространств, дня которых верно (2.2) и вложения вполне непрерывны (это следует из оценки ( ), Следовательно, Pd является отделимым и полным ([ , гл. I, §2, теорема 2,4|),

Поскольку W(Л, Р) нетривиально, то существует ненулевой функционал ß е Н*(D), который обращается в ноль на всех функциях системы £ (Л). Тогда его преобразование Лапласа Д = f е Pd обращается в ноль в точках с кратностью не меныней чем пк.

Пусть К — сопряженная диаграмма функции f ([ , гл. I, §5]). По теореме Полна ([ , гл. I, §5, теорема 5.41) верно равенство

hf (ф) = Н(-<р,К), ip е [0, 2ж\,

где hf — (верхний) индикатор функции /:

h,М = lm hllf

Г

Включение f е Pd означает, что

Н(-у, К) = hf (ф) ^ Н(-у, Ks) < Н(-у, D), <р е [0, 2п\, (2.3)

для некоторого номера s > 1. Отсюда следует вложение К С D.

Наличие функции f с указанными свойствами влечет за собой ([ , гл. IV, §1, п. 2]) существование биортогональной к £ (Л) системы функционалов

~(^D) = {ßk,nС Н*(D) : ßk,n(zleXj*) = 1,

если j = l = п, к ßk,n(zleXjz) = 0 в противном случае. Она строится при помощи функции f. Так как функций f с указанными свойствами бесконечно много, то система Е(Л,И) определяется не единственным образом.

Предположим, что ряд (1.1) сходится равномерно па компактных подмножествах области D к функции д. Тогда, пользуясь непрерывностью и линейностью функционалов получаем dk>n = ßk,n(д), к > 1, п = 0,пк — 1. Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть Л = {Хк,пк}, D — выпуклая область и W(Л,Б) — нетривиальное подпространство в пространстве Н(D). Если, функция g е W(Л,Б) представляется,

рядом ( ), сходящимся в топологии Н(D), то представление единственное, а его коэффициенты можно вычислить по формуле dk>n = Цк,п(д), где E(A,D) = к,п} — произвольная биортогональная последовательность к си,стем,е £ (Л).

Пусть Л = [Ак,пк}, \к = гкегрК; к > 1, и D — выпуклая область. Опишем пространство последовательностей коэффициентов [4,п}телга=0' ПРИ которых в об ласти D сходится ряд ( ), Для каждого s > 1 введем банахово пространство

<^3(Л) = [d = [dk,n} : ||d||s = sup |4,n|snехр(гкН(-фк,К8)) < то}.

к, п

В силу (2,1) выполнены неравенства

|M|i ^ ||d||2 ^ ••• ^ ||d||8 ^ ••• , d е Q(D, Л). (2.4)

Следовательно, имеет место цепочка вложений

Qi№) Э Q2(Л) Э ••• Э (¿8(Л) Э ••• (2.5)

Положим

те

Q(D, Л) = П ^(Л).

В пространстве Q(D, Л) определим метрику

те

p(d,b) = £ 2-

'SV

S=1

S=1 1 + lid -

С этой метрикой Q(D, Л) становится пространством Фреше, Нетрудно заметить, что для выпуклой области D1 D D верно вложение Q(D1, Л) С Q(D, Л). Пусть Л = {Ак ,пк}, Положим

т(Л) = lim —^г, п(Л) = lim , а (Л) = lim ,

к^те |Лк | З^те ^ | ^ |

где {^j} — неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек \к, причем каждая \к встречается в ней ровно пк раз.

Лемма 2.2. Пусть D — выпуклая область, Л = {Хк ,пк} и £ (Л) не полна в Н(D). Тогда для, каждого s > 1 найдутся Cs > 0 и номер m(s) та,кие, что

те,т^ — 1

^ |4,n| sup |zraezХк| ^ C,|HUW, d = {d-,n} G Q(D,Л). (2.6)

к=1,п=0 zEKs

Доказательство. По условию система £ (Л) не полна в пространстве Н(D). Следовательно, существует целая функция, которая обращается в ноль в точках \к с кратностью не меньшей чем пк. Тогда по теореме Линделефа ([ , гл. I, теорема 15]) имеем: п(Л) < то. Отсюда следует, что ст(Л) = 0. Таким образом, выполнены все условия леммы 2.6 в работе |7|, Поэтому верно и ее утверждение, которое совпадает с утверждением данной леммы. Лемма доказана, □

Покажем, что при некоторых естественных условиях пространство Q(D, Л) совпадает с пространством коэффициентов сходящихся в области D рядов вида ( ),

Пусть А — число комплексно сопряженное с А. Символ ом в(Л) обозначим множество пределов всех сходящихся последовательностей вида {\kj/|\кj Очевидно, что в(Л) — замкнутое подмножество окружности S(0,1) = {z G C : |z| = 1}, Положим

т(Л,ß) = sup lim -~-L,

3^те X-j

где супремум берется по всем подпоследовательностям {Х^} таким, что Хк:)/\Хк} | ^ М-Если ^ ф ®(Л), то, очевидно, верно равенство т(Л,^) = 0, Пусть И — выпуклая область. Положим

3(Б) = {егср е ^(0,1) : Н(<р, Б) = +то}.

Символом J(D) обозначим замыкание множества J(D).

Лемма 2.3. Пусть D — выпуклая область, Л = {Ак ,пк}, £ (Л) не полна в Н (D) и

т(Л, /л) = 0, v е О(Л) \ J(D). (2.7)

Тогда эквивалентны, утверждения:

1) Ряд ( ) сходится, в области D.

2) Имеет место включение d = {dk,n} е Q(D, Л).

Доказательство. Как и в лемме 2.2 верно неравенство п(Л) < то, Отсюда следует, что т(Л) < то и ст(Л) = 0. Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.1 в работе |7|, Поэтому верно и ее утверждение, которое совпадает с утверждением данной леммы. Лемма доказана. □

Замечание 2.1. Согласно леммам 2.2 и 2.3 при выполнении условий леммы, 2.3 поточечная сходимость ряда ( ) в области D эквивалентна его абсолютной и равномерной сходимости на, компактах этой области.

Л

реме 4.2 работы |8| доказывается, что это условие является необходимым дня наличия фундаментального принципа в инвариантном подпространстве W(Л,И). Сформулируем этот результат в удобной дня пас форме.

Лемма 2.4. Пусть D — выпуклая область, Л = {Хк ,пк}, £ (Л) не полн а в Н (D). Предположим, что каждая, функция g е W(Л, D) раскладывается, в ряд ( ), сходящийся равномерно на, компактах из области D. Тогда верно ( ).

Пусть E — оператор, который элементу d = {dknn} е Q(D, Л) ставит в соответствие сумму ряда (1.1).

Лемма 2.5. Пусть D — выпуклая область, Л = {Хк ,пк}, £ (Л) не полна в Н (D). Тогда, оператор E определен, на, всем, пространстве Q(D, Л), E(Q(D, Л)) С W(Л,И), оператор E иньективен и непрерывен. Если дополнительно оператор E сюръективен, то он осуществляет изоморфизм линейных топологических пространств Q(D, Л) и W(Л,И).

Доказательство. В силу (2.6) для любого элемента d = {dk,n} е Q(D, Л) ряд (1.1) сходится равномерно на компактах в области D. Следовательно, оператор E определен на всем пространстве Q(D, Л) и E(d) = g е Н(D). Более того, так как функция g представляется рядом ( ), то g е W(Л, D). Также в силу ( ) для каждого s > 1 имеем:

sup |E(d)| ^ CMIm{s), d е Q(D, Л).

K

Это означает, что E : Q(D, Л) ^ W(Л,И) — непрерывный оператор. Согласно лемме 2.1

EE мо об открытом отображении дня пространств Фрешо (|9, гл. VI, н. 3, теорема 8|) оператор E осуществляет изоморфизм линейных топологических пространств Q(D, Л) и W(Л,И). Лемма доказана. □

Теорема 2.1. Пусть И — выпуклая обл асть, Л = {Хк ,пк}, £ (Л) не полна в Н (И). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) В пространстве Ш(Л, И) имеет место фундаментальный принцип;

2) Оператор Е : (^(Б, Л) ^ Ш(Л, И) — изоморфизм.

Доказательство. Пусть верно 1), т.е. каждая функция д € Ш(Л, И) раскладывается в ряд ( ), сходящийся равномерно на компактах из области И. Тогда по лемме 2,4 верно ( ), Поэтому согласно лемме 2,3 каждая функция д € Ш(Л, И) раскладывается в ряд ( ) с коэффициентами {¿к,п} € Q(D, Л^, Это означает, что Е сюръективен. Следовательно, по лемме 2,5 верно 2),

Пусть теперь верно 2), Тогда Е сюръективен, т.е. каждая функция д € Ш(Л, И) раскладывается в ряд (1.1) с коэффициентами {¿к,п} € Q(D, Л). В силу (2.6) этот ряд сходится равномерно на компактах из области И. Тогда верно 1). Теорема доказана. □

3. Интерполяция

При помощи преобразования Лапласа проблема фундаментального принципа сводится к задаче кратной интерполяции в пространстве целых функций экспоненциального тина. Исследуем эту задачу.

Пусть $ € Рв- Тогда существует номер 5 такой, что для индикатора hf выполнено неравенство (2.3). Отметим еще одно свойство индикатора (|6, гл. I, §18, теорема 28|): для каждого е > 0 существует Я(£) > 0 такое, что

1п и(ге**)1 ^ (^(р) + е)г, у € [0, 2п], г > Ще). (3.1)

Отсюда и ( ) следует, что неравенство ( ) влечет за собой включение f € Рв- Таким образом, функция / € Рв тогда и только тогда, когда выполнено ( ), Другими словами функция / € Рв тогда и только тогда, когда ее сопряженная диаграмма К лежит в области И.

Введем еще пространства комплексных последовательностей

К3(Л) = {Ь = {Ък,п} : ||&||в = 8пр 1Ьк,п1з-п ехр(-гкН(-ук,К8)) < ж}, 8 > 1,

к,п

где гкег1рк = \к и {К8} = К,(И). Пусть ^(О, Л) — индуктивный предел банаховых пространств 'Я.ц(Л). Тогда имеет место равенство множеств

те

ЩБ, Л) = У П3(Л).

3=1

Пространство ^(О, Л) является ЬМ* пространством. Рассмотрим кратную интерполяционную задачу:

/{п)(Хк) = Ьк>п, п = 0,пк - 1, к > 1. (3.2)

Найдем, прежде всего, естественные оценки на комплексную последовательность {Ьк,п} при условии, что функция $ € Рв-

На пространстве Рв определим линейный оператор Е так, что каждой функции f он ставит в соответствие последовательность Ь = {Ьк,п} = {/(п\\к)}.

Лемма 3.1. Пусть Б — выпуклая область и Л = {Хк,пк}. Тогда для, каждой функции / € Рв последователен ость Ь = ) принадлежит пространству ^(О, Л). Оператор Е : Рв ^ Л) непрерывен.

Доказательство. Пусть f е Ps С Рд, Из определения индикатора hf и пространства Ps следует, что верно ( ), Это означает, что сопряженная диаграмма K функции f лежит на компакте Ks. Тогда контур <9Ks+i, охватывая (в силу ( )) компакт Ks, будет охватывать

К

целой функции экспоненциального тина (|2, гл. I, §5, теорема 5,2|)

f(A) = ^ j

dKs+1

диаграмма является выпуклой оболочкой множества особых точек функции у. Отсюда, дифференцируя под знаком интеграла, для любых к > 1 и п = 0,пк — 1 имеем:

I!(п)( Ак)| ^ ^ sup |znezA*| sup |ф)1 ls+i, (3.3)

2^г zeks+I zeKs+I

где Is+1 — длина контура dKs+1. Выберем номер m(s) > s + 1 такой, что

max I zI ^ m(s). (3.4)

ze Ks+I

Тогда из ( ) следует включение Е(f) е ^т(^(Л) С V,(D, Л). Докажем непрерывность Е. Для этого нам нужно оценить у во всех точках контура dKs+1. Пусть z0 е dKs+1. Через каждую граничную точку выпуклого компакта Ks+1 проходит хотя бы одна опорная прямая. Другими словами, найдется p е [0, 2и] такое, что Н(p,Ks+{) = Re(z0е-г(р). В полуплоскости

[z :Re(ze-i(p) > Н(p,K)}

y(z) = J vf (tfi)e-zt^dt, v = e-T 0

Так как в силу (2.1) и (2.3)

Re(zoe-гр) = Н(pKs+1) > Н(p,K) > Н(p,K) = hf (—p), то оно выполнено в точке z0. Поэтому с учетом вклю чения f е Ps, выбор a p и ( ) имеем:

|у( *o)| ^ j | f(tv)Ie^(z°^)dt ^IlfUs J ехр(1Н (p,K) — Ш (p,Ks+1)) dt 00

^||/||s exp(—t as)dt =

J ^s

0

Отсюда с учетом (3.3) и (3.4) получаем:

(п)( а )| ^ I s+1||/l|s

|/(п)( Ак )| ^ s+1im 's (m( s ))п exp (ГкН (—pk ,Ks+1)), п = 0,пк — 1, к > 1. 1 1 2nas

Так как m(s) > s + 1, то в силу ( )

Н(—Pk,Ks+1) ^ Н(—Pk,Km(s)), к> 1. Поэтому согласно предыдущему неравенству имеем:

||Е( f)llm(s) ^ ^

2т: ач

Оператор Е непрерывен на индуктивном пределе Рр, если его сужение на любое Ps непрерывно ([ , гл. V, §2, предложение 5]), Так как Е переводит пространство Ps в ^m(s)(Л), то непрерывность Е : Pd ^ 'R-(D, Л) следует из непрерывности отображения Е : Ps ^ Кт(3)(Л), которая имеет место в силу последнего неравенства. Лемма доказа-

Пусть D — выпуклая обл асть, Л = {\к ,пк}, система £ (Л) не полна в Н (D) и I (Л,И) — ядро оператора Е : Pd ^ 'R-(D, Л). Это замкнутое подпростр анство в Pp. Так как £ (Л) не полна в Н(D), то оно нетривиально. Подпространство I(Л, D) С Pd состоит из тех и только тех функций, которые обращаются в нуль (но крайней мере) в точках \к с кратностью не меньшей чем пк.

Фактор-пространство Pd/I(Л,И) как и Pd является LN* пространством и представляет из себя объединение возрастающей последовательности банаховых пространств Ps,0. Элемент [f] е Pd/I(Л, D) принадлежит Ps0 тогда и только тогда, когда некоторый представитель д е Pd класса эквивалент ности [f ] принадлеж ит Р,. При этом но рма H[f ]||s равна инфимуму норм ||g||s по всем представителям д е Ps класс a [f]. Оператор Е обычным образом порождает оператор Ео, действующий из Pd/1 (Л,И) в V,(D, Л). Отображение

Ео : PD/I(Л, D) ^ K(D, Л) (3.5)

является уже ипъективпым, а также непрерывным в силу леммы 3.1 и определения фактор-топологии. Таким образом, верно следующее утверждение.

Лемма 3.2. Пусть D — выпуклая облас тъ и Л = {Xk ,пк} и система £ (Л) не полна в Н(D). Оператор ( ) непрерывен и иньективен.

Лемма 3.3. Пусть D — выпуклая облас тъ и Л = [Хк ,пк} и система £ (Л) не полна в Н(D). Предположим, что оператор ( ) сюръективен. Тогда Е0 осуществляет изоморфизм линейных топологических пространств Pd/I(Л,И) и K(D, Л).

Доказательство. По лемме 3,2 оператор (3,5) непрерывен и инъективен. Если он еще и сюръективен, то но теореме об открытом отображении (|9, приложение 1, теорема 2|) дня отделимых пространств, покрываемых счетным семейством своих подпространств Фреше (каковыми, очевидно, являются LN* пространства), oneратор Е0 есть изоморфизм линейных топологических пространств. Лемма доказана, □

Замечание 3.1. Сюрьективность оператора, Е0 (или, что эквивалентно, оператора, Е) означает, что интерполяционная задача, ( ) разрешим а в пространстве Pd для, любой правой части, b = {bk,n} е *R-(D, Л).

Замечание 3.2. Пусть ortW(Л, D) — совокупность функционалов v е Н*(D), аннулирующих подпространство W (Л, D). Так как сист ем,а, £ (Л) полна, в W (Л,И), то v е ortW (Л, D) тогда, и только тогда, когда,

v(zneXkz) = 0, п = 0,пк - 1, к > 1.

Таким образом, с учетом определения преобразования Лапласа находим, что подпространство I(Л, D) есть совокупность преобразований Лапласа функционалов

v е ortW(Л,Б).

4. Двойственность

Теорема 4.1. Пусть D — выпуклая область, Л = {Хк ,пк} и система £ (Л) не полна в Н(D). Следующие утверждения эквивалентны:

1) В подпространстве W(Л,И) имеет место фундаментальный принцип;

2) Интерполяционная задача, ( ) разрешима, в пространстве Pd для, любой, правой части, Ь = {bk,n} G ^(D, Л).

Доказательство. Пусть верно утверждение 1) и b = {bk,n} G %(D, Л). Выберем номер s > 1 такой, что b G ^ s(Л), Тогда

| bk,nl < IMssn exp(rkH(-pk ,KS)), п = 0,пк - 1, к> 1. (4.1)

По теореме 2.6 и лемме 2.1 каждая функция g G W(Л, D) представляется рядом ( ), где d = {dkn} G Q(D, Л). В частности, d G Qs+i(Л), т.е.

|dknl ^ ||d||s+i(s + 1)-nexp(-ГкН(-ipk,Ks+l)), п = 0,пк - 1, k> 1.

Отсюда с учетом (4.1) и (2.1) получаем:

тепк — 1 те

^Т | dknll М ^ ||d|| s+ilMs ^2'nk exp( r-k (Н (-pk ,KS) -Н (-pk ,Ks+i)))

k=1,n=0 k=1

те,пк — 1

^ l|d||s+MI3 ¿ nke—r*a°.

k=1,n=0

Как и в лемме 2.3 верно равенство а (Л) = 0. Поэтому в силу леммы 2.1 в работе [10] последний ряд сходится. Следовательно,

те,n^z — 1

¿ IdknlI bk,nI ^Cs||d|| s+1||6|| s, bGKs (Л), d G Q(D, Л).

k=1,n=0

Таким образом, с учетом теоремы 2.6 на подпространстве W(Л, D) определен линейный непрерывный функционал

те,n^z — 1

v(g) = dk,nbk,n.

k=1,n=0

Н( D)

ный и непрерывный функционал. Пусть f G Pd — преобразование Лапласа функционала v G Н*(D). Из определения преобразования Лапласа и функционала v следует, что

f(n)(Xk) = v(zneXkZ) = bk,n, n = 0,nk - 1, k> 1.

Это означает, что утверждение 2) верно.

Н( D)

замечания 3.2 к лемме 3.3 имеют место изоморфизмы |11|:

W(Л, D) = (Н*(D)/oñW(Л, D))* = (Pd/I(Л, D))*.

Пусть g — произвольная функция из подпространства W(Л, D) и функционалы В G (Н*^)/ortW^,D))* и ш G (Pd/I(Л,D))* сопоставляются ей при указанных изоморфизмах. Фиксируем z G D, Если Sz — функционал Дирака, сосредоточенный в точке

g(z) = Sz (g) = [5 z ](g) = д([6z ])=ш([ fz ]),

где fz — преобразование Лапласа функционала Sz и [5z], [fz] — классы эквивалентности соответственно из пространств Н*^)/от\№(Л,D), Pd/I(Л, D). Функция fz(X), как легко видеть, совпадает с еzх. Таким образом, имеет место равенство

д(г) = ш([е zA]).

Согласно утверждению 2), лемме 3,3 и замечанию , пространство Рв/I(Л, И) изоморфно Л). Поэтому найдется функционал к € (Я,(0, Л))* такой, что

g(z ) = u([ezX]) = h(E(ezX)) = h({z пеХк* }).

(4.2)

Выберем номер 5 такой, что Ь = {Ьк,п} = {гпеХк*} € (Л), Фуикционал к непрерывен на Л). Поэтому его сужение на банахово пространство ^^(Л) (как и на любое другое Кт(Л)) будет непрерывным ([ , гл. V, §2, предложение 5]), т.е.

Рассмотрим элементы е в противном случае. Положим

Щ{ак,п})1 ^ cs||a||s+1, а = {ак,п} е П8+1(Л).

к.п г ,к,пл ^ ^ / Л \____к,п

(4.3)

{а^'™} е (Л), где щ'™ = 1, есл и I = к, j = щи а

к,п 1,3

dk,n = h(ek,n), п = 0,пк - 1, к > 1,

(4.4)

т-1,Пк — 1

b(m,p) = Y^ bk,nek,n + Y ьш,пет,п, р = 0,пт - 1.

к=1,п=0

п=1

Тогда из (4.2) и (4.3) с учетом (2.1) получаем:

т—1,п^ — 1

g(z) - £ dk,nzneXkz

S d"

np\mz с

k=1,n=0

n=1

lh(b - b(m,p))l

^ с sup_lbk,nl(s + 1) n exp(-rkH(-yk,K8+1))

k>m,n=1,nк

^ Cs sup_\bk^~n exp (-rkH(-<pk,KS))exp (-rk(H(-ipk,Ks+1) - H(-<pk,KS)))

k>m,n=1,nк

^ csllblls sup e~rkas ^ 0, m ^ <x>.

k>m,n=1,nк

Таким образом, в любой точке г е D верно представление

<Х>,Пк — 1

g(z)= ^ dk,nzneXk z

к=1,п=0

В сипу (4.3) и (4.4) имеем:

Ик,п1 < св||е*,га||в+1 = ф + 1)-га ехр (-гкН(-щ,К8+1)), п = 0,пк - 1, к > 1.

Так как включение ек,п € К3+1(Л) и неравенство ( ) верно для любых 5 > 0, то отсюда следует, что й = {¿к,п} € Q(D, Л). Тогда по лемме 2.2 последний ряд сходится равномерно на компактах из области И, т.е. верно утверждение 1). Теорема доказана. □

Из теорем 2.6, 4.1 и леммы 3.3 получаем следующий результат.

Теорема 4.2. Пусть Б — выпуклая область, Л = {Хк ,пк} и система £ (Л) не полна в Н(И). Следующие утверждения эквивалентны:

1) В подпространстве Ш(Л, И) имеет место фундаментальный принцип;

2) Оператор Е : (^(Б, Л) ^ Ш(Л, И) — изоморфизм;

3) Оператор Е0 : Рб/I(Л, О) ^ К(0, Л) — изоморфизм;

4) Интерполяционная, задача, ( ) разрешима, в пространстве Рв для, любой правой части, Ь = {Ьк,п} € К(0, Л).

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. B.B. Напалков. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука (1982).

2. А.Ф. Леонтьев. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука (1983).

3. A.A. Гольдберг, Б.Я. Левин, И.В. Островский. Целые и мероморфные функции // Итоги науки техн., Сер. Соврем, пробл. мат., Фундам. направления 85, 5-186 (1991).

4. A.C. Кривошеев. Фундаментальный принцип для, инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. Росс. акад. наук, сер. мат. 68:2, 71-136 (2004).

5. А.Ф. Леонтьев. Ряды, экспонент. М.: Наука (1976).

6. Б.Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат (1956).

7. A.C. Кривошеев, O.A. Кривошеева. Сходимость рядов экспоненциальных мономов // Уфим. мат. ж. 14:4, 60-72 (2022).

8. O.A. Кривошеева, A.C. Кривошеев. Представление функций из инвариантного подпространства с почти вещественным спектром // Алгебра и анализ. 29:4, 82-139 (2017).

9. А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон. Топологические векторные пространства. М.: Мир (1967).

10. O.A. Кривошеева. Область сходим,ост,и, рядов экспоненциальных мономов // Уфим. мат. ж. 3:2, 43-56 (2011).

11. А.О. Гротендик. О пространствах (F) и (DF') // Математика. 2:3, 81-127 (1958).

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Олеся Александровна Кривошеева,

ФГБОУ ВО "Уфимский университет науки и технологий", ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]