Оценки решения квазилинейных параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

диффузионного. Модели рефрактограмм наглядно демонстрируют явление рефракции СЛИ и дают возможность подобрать оптимальные условия для экспериментального исследования рефракции. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (№ 14-08-00948-а). Список использованной литературы:

1. Евтихиева О.А., Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С. Лазерная рефрактография. М:. ФИЗМАТЛИТ, 2008. 176 с.

2. Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С., Толкачев А.В., Ширинская Е.С. Рефракция цилиндрического лазерного пучка в температурном пограничном слое. // Оптика и спектроскопия, 2009. Т.106. №6. С. 1016 - 1022.

3. Крикунов А.В., Ринкевичюс Б.С. Расковская И.Л. Рефракция астигматического лазерного пучка в переходном слое стратифицированной жидкости // Оптика и спектроскопия, 2011. Т.111, №6. С. 1020 - 1026.

4. Павлов И.Н., Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С., Сапронов М.В. Лазерная визуализация динамических процессов в жидкости при тепло- и массопереносе. // XV Минский международный форум по тепло- и массообмену: тезисы докладов и сообщений, 2016. Т.1. С. 169 - 172.

© Сапронов М.В., 2016

УДК 513.948

А.Ш. Шамшиев , А.О.Мусаев, Т. Ж. Аззамов,

Физика-математический факултет Джизакский государственный педагогиский институт

Узбекистан, Джизак

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

Рассматривается вопрос о том , когда решения задачи Коши или какой-либо решения смешенной задачи для квазилинейного параболического уравнения разрушается в конечное время, - имеют коллапс, изучается выявление тех случаев когда указанные задачи неразрешимо 'в целом".

Ключевые слова Коллапс, квазилинейные уравнение, оценки сверху и снизу.

Теоремы существования классических решений квазилинейных уравнений параболического типа различными краевыми условиями доказаны в 1960-с годы [3], [4], [5], [6], где отмечается следующий факт [2]: существования решения краевой задачи и задачи Коши в малом имеет место для любого квазилинейного

п

параболического уравнения вида и{ — ^^ ау (х, ?, и, их )ихх = а(х, ?, и, их ) (1)

при достаточно гладких функциях а у (X, и, их ) и а( X, и, их) , без какого-либо ограничения на характер

роста этих функции относительно и(х,1;) и их(х, £). Такие условия необходимо, если рассматривать краевые и задачи Коши в целом.

В работе [1] доказано теорема сравнения для (1) в цилиндрической области при весьма общих граничных условиях. Это теорема может быть использована к применению критерий устойчивости к установлению априорной границы решения.

Рассматривается вопрос о том , когда решения задачи Коши или какой-либо решения смешенной

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

задачи для квазилинейного параболического уравнения разрушается в конечное время, - имеют коллапс (настоящее время этот случай принято назвать решении обострениями ). Здесь занимаемся выявлением тех случаев когда указание задачи неразрешимо 'в целом". Этот вопросы естественно был в поле зрения тех , кто занимался вопросами разрешимостью ''в целом" смешанных задач для квазилинейного параболического уравнения. По видимому одним из первых был С.Н. Бернштейн [7] показавший необходимость ограничивать

рост по Ux второго члена в эллиптических уравнениях

n

£ üj (x, t, u, Ux )uXiXj + Ф, t, U, ux ) =0 (2)

i, j=1

требованиям вида

|a(x,u,p)| < c(1+|p|2) YHj ац(x,u,p) (3)

Он построил пример в котором нарушение этого требования (точнее замена в (3) ( 1 + |р|2) на ( 1 + |p|2)1+e ,£ > 0 вело к неразрешимости задачи Дирихле. Более просты и эффективные примеры подобного рода даны в [4] , [5], [6]. Во всех этих работах такие явлении обнаруживается на основе того, что для этих уравнений имеет место принцип максимума

Пусть начальная функция удовлетворяет условиям согласования с граничными данными. Локальная по времени классическая разрешимость таких краевых задач хорошо известно [1] [3], [4], [5], [6]. При никоторых предположениях о нелинейности а^- и а , которые позволяет доказать оценки решений в

1 0 WW ??

пространстве Cx,'t "глобальная" по времени разрешимость также была доказана [3], [4], [5], [6].

Нарушение вышеупомянутых условий на нелинейные слагаемые приводит к появлению режимов с обострением. Это означает, что норма такого решения в некотором функциональном пространстве неограниченно возрастает за конечное время [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

В случае выполнения типичных условий гладкости и роста интегранда но градиентной переменной, для решения таких квазилинейных параболических уравнений имеет место принцип максимум.

С точки зрения условий теоремы существования выше указанные задачи не удовлетворяют так называемым ограничениям квадратичного роста: в случае квазилинейного уравнения (1) это ограничения на рост имеют вид

< К<р(\их\), с /о - = » (5)

Как было показано [2], [3], [4], [5], [6], [7] в ряде примеров, нарушение условия роста (5) отношения

Ь(х,и,их) „ .

а^хии ^ по их может вызвать неограниченный рост производной их(х, t) за конечное время

В работе рассматривается вопрос получения оценок, которое могли быть использованы, чтобы показать, что решение квазилинейного уравнения

n

ut - £ üj (x' t' U Ux Ux = ü(x t> U Ux ) (1)

г ,1=1

в цилиндрической области Q = Qx(ö, T ], где Qe En, становиться неограниченным в течении

некоторого конечного интервала времени т.е. t ^ T0 , (T0 -конечное число) растет слишком быстро как

функция переменной u . Вид сравнительного рассуждения использованный в [1] недостаточен для применения этих сценок, когда граничные значения решения заданы. Но, мы имеем возможность показать, что какое либо решение неравенства

n я

't -£— j dx

l,J=1 г

f г \ ди Л üj(x) —

V J

> F(u) (2)

в цилиндрической области Q с ограниченным основанием О е Еп, может быть сделано неограниченным в течении любого заданного интервала времени просто заданием его начального или граничного значений большими. Здесь матрица ( я^- ) - положительно определена, Р ('и) - выпуклая

функция, которая достаточно быстро растет, т.е. J

+ВД 7

du

о

F (u)

Оценим sup u (x, t) снизу:

xeQ

Теорема. Предположим, что Q -ограничена и 1L{Xrt)tL ' в QT и удовлетворяет неравенству

u — L\u] > G(u, t) (3),

где L = ^

и ^ д ^ д Л -a (x)-

dx J dx,

V 1 J J

самосопряженный однородный эллиптическии

1 ,J^V

i3 ,

дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами из С\П) и Ст (и, С) выпуклая функция по и для

каждого фиксированного { > 0 Пусть ф(х) удовлетворяет

dф

= G

ф(о)= inf u(x,0)

dф = GФt)-\{ф-k(t)) для о < t < T , dt

где к(t) = inf u(x, t) , первое собственное число задачи — L\y] = Рьщ в Q с у = 0 на

xedQ

dQ .

Тогда sup u(x, t) > ((t) для 0 < t < T

xeQ

Доказательство. По теореме Куранта, собственная функция, соответствующая собственному значению не меняет знак в Q . Тогда мы можем взять x) > 0 в Q ; более того, можем предположить

что J x)dx = 1

п

Обозначим U(t) = J u(x, tx)dx ,

п

где u(/) = (//(/), (//) - скалярное умножение в L . Умножим обе части (3) на >//(х) и проинтегрируем

по Q .

Имеем (ut,y/) = , так как и является непрерывно дифференцируемой по t; кроме того в силу dt

теоремы Стокса

— (L\u = J^Taiy dy-dUd.x — J-yd^i

Q ji dxi dx j

d

где да - элемент площади (n-1) мерной поверхности dQ, ~ - производную по отношению к

конормальному полю направлений, заданному уравнением t) = (Кi<^2> ■•■> in) ГДС

п

(х, t) = ^ ilij (х, i)i]j (х) i= 1,2,... ,n - внешнее поле направлений, так как (О. ц) - положительно определена. i=1 J Также в силу теоремы Стокса

— (L\y\u) = fyy. ^ — dx — uda и так как w = 0 на dQ, и

£,v=i 4 Ox, dxj

(Ctij) = (ffijj-), т.е. (Q ij) - симметрично, то имеем

— (L[u ], щ) = —(u) + Г3щ ud& = \ü(t) + i3^ ud& ■

L L

j" i//(x)clx является положительной мерной суммарной массы равной 1 на Q и G ('Ii, t ) - выпуклая функция переменной Ы для каждого фиксированного t, то в силу неравенству Енсена J G(u(x, t), t)щ(x)dx > G( J u(x, t)щ(x)dx, t) = G(u(t), t) ■

x, t), tx)ax > j и( n n

Таким образом получаем du о ^ f9W

0(й(/), /) — \й(1) — |-иёа .

ап

Оценим последнее выражение справа. По предположению минимальное значение у равно 0 в каждой точке аП , то V у должно быть в каждой точке вектором, направленным по внутренней нормали ( может

быть нулевым), ¿г - внешнее поле, то — 0 для всех х е

ап .

Таким образом Г—иёа < к (/И — ёа .

ап аЬ ап аЬ

Снова применяя теорему Стокса с функциями у и 1, получим

К =А\у(.х)ёх = —(Ь[у],1) = —{^у .

п ап а£

Более того

й ёа<—Кк (г) ,

ап

таким образом имеем

и'(г) > 0(й(//), /) — К (и(г)—к (г))

Так как, й(0) > ф(0), мы можем применять специальный случай теоремы 1 [2], чтобы заключить что й(г) > ф(г) для 0 < г < Т Так как

Бири(х, г) > й(г).

хеп

Теорема доказана.

В частности, если ф(г) ^ при / ^ То то это имеет место и для Бир й(х, /) .

хеп

Проиллюстрируем это: рассмотрим уравнение

й— Ь[й ] = ^ (й), (4)

где F (li) - выпуклая функция и положительная для И > и f < +оо . Допустим мы пытаемся

; F{n)

Uq

найти решение li(xr t) уравнения (4) в От такое, что m < и(х,0) < M для x е Q и к < u{x,t) < К для

xe9q и 0<t<T .

Как велико может быть Т?

Предположим, что ТПи к настолько большие, что Wl>m{) и ¡(u ) - Ax(ii - к) > О для U>TYl Тогда по теореме такое решение должно становиться неограниченным при t ^ Tq , где

du

F(u) - \ (u - k) Более того, рассуждения в [3] убеждает, что du

T0 > f

F (u )

Таким образом, мы получим оценки снизу и сверху для времени убегания решения u(x, t) (3). Список использованной литературы:

1. Аззамов Т.Ж., Асроров Ф.А., Данилов Я. До питания виникнения колапшв при розвязуванш квазшшийних пораболiческих рiвнянь. - Вюник Киiвского университету. Серiя: физико-математичш науки. Вып №3. Киiв, 2006

2. Кружков С.Н., Олейник О.А. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. УМН,т.16,вып.5,1961

3. Лаврентьев М.М.(мл). Решение параболических уравнений через функционалы Ляпунова. Сибирский математический журнал.

Т. 46, №5, 2005

4. Ладыженская О. A. ,Солоников B. A. , Уральцева H. A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. M. Наука ,1967.

5. Филиппов A. Ф . Условия существования решений квазилинейных параболических уравнений. ДАНСССР, 1961 , Т141

6. Колонтаров B. K. , Ладыженская O.A. О возникновения коллапсов для квазилинейных уравнений параболических и гиперболических типов. Записки научных семинаров ЛОМИ, Т 69. Краевые задачи мат. физики и смежные вопросы теории функции. ЛГУ Ленинград , 1977

7. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений.- том 3: дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия. Изд-во АН СССР, 1960.

© Шамшиев А.Ш., Мусаев А.О., Аззамов Т. Ж.,2016

УДК 517.946+531

О.В. Шемелова

к.ф.-м.н.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», г. Нижнекамск, Российская Федерация

ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИКОЙ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация

Рассматривается метод построения математической модели управления динамикой систем, содержащих компоненты различной физической природы. Строится алгоритм определения реакций связей, обеспечивающих выполнение уравнений связей. Также проводится модификация уравнений динамики, которая позволяет решить задачу стабилизации связей и обеспечить точность численного решения системы дифференциально-алгебраических уравнений в форме уравнений Лагранжа.

Ключевые слова

Уравнения динамики системы, управление динамикой систем, уравнения возмущений связей, системы

различной физической природы.