Моделирование рефракции цилиндрического лазерного пучка в плоско- стратифицированной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070

Теорема 2. Из каждой точки эллипса плоскости Лобачевского, полуоси p=\AB\/2 и l=q/2 которого связаны соотношением (1), главный диаметр эллипса виден под прямым углом. Список использованной литературы

1. Liebmann H. Nichteuklidische Geometrie. Leipzig, 1912.

2. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

3. Каган В. Ф. Основания геометрии : в 2 ч. Ч. II. М. : ГТТИ, 1956.

4. Певзнер С. Л. Фокально-директориальные свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского // Изв. вузов. Математика. 1960. № 6. С. 18-194.

5. Певзнер С. Л. Свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского, двойственные фокально-директориальным // Изв. вузов. Математика. 1961. № 5. С. 39-50.

6. Певзнер С. Л. Детальная классификация нераспадающихся кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского с помощью фокально-директориальных инвариантов // Изв. вузов. Математика. 1962. № 6. С. 85-90.

7. Ромакина Л. Н., Бондарева М. А. Об одном метрическом свойстве овальных линий гиперболических плоскостей // Математика. Механика : сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2013. № 15. С. 68-73.

8. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 37-44.

© Ромакина Л.Н., 2016

УДК 535.324.2

М.В. Сапронов

магистрант 2 курса института радиотехники и электроники Национальный исследовательский университет «МЭИ» Научный руководитель: Б.С. Ринкевичюс д. ф.-м. н., профессор кафедры физики им. В.А. Фабриканта Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Москва, Российская Федерация

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕФРАКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В ПЛОСКО-

СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация

Составлен алгоритм расчета 2D- и 3D-рефрактограмм цилиндрического СЛИ в диффузионном слое жидкости. На его основе разработана программа моделирования рефракции СЛИ в диффузионном слое. Рассчитаны модели 2D- и 3D-рефрактограмм в динамике.

Ключевые слова

Лазерная рефрактография, математическое моделирование, диффузионный слой жидкости, 2D- и 3D-рефрактограммы.

Введение

Метод лазерной рефрактографии является современным методом исследования оптически неоднородных сред [1]. Данный метод основан на явлении рефракции структурированного лазерного излучения (СЛИ) в исследуемой оптически неоднородной прозрачной среде.

В настоящее время с помощью метода лазерной рефрактографии решены задачи определения температурных полей в тонкой приграничной области около поверхности нагретых или охлажденных сред [2]. Задача исследования диффузионного слоя в жидкости с помощью лазерной рефрактографии впервые

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

была рассмотрена в [3]. В качестве зондирующего излучения было использовано плоское СЛИ, которое не позволяет с достаточной точностью восстановить свойства диффузионного слоя. Актуальность работы [3] заключается в обосновании и доказательстве справедливости применения тангенциальной модели (1) для описания поля показателя преломления n(x) в диффузионном слое жидкости [1]:

f ^ ^ \

(1)

n( x) = —-2 + —-2 ■ th

2 2

x xs

v h у

где п\, П2 - показатели преломления среды соответственно менее плотной и более плотной жидкости, - положение центра диффузионного слоя,

к - характерная ширина слоя, х - вертикальная координата, направленная в сторону, противоположенную силе тяжести.

Схема, демонстрирующая работу метода для исследования диффузионного слоя жидкости с помощью цилиндрического СЛИ, приведена на рис. 1.

1 - полупроводниковый лазер, 2 - ДОЭ, 3 - коллимирующая линзовая система, 4 - кювета с диффузионным слоем, 5 - экран, 6 - фотокамера, 7 - компьютер.

Рисунок 1 - Схема экспериментальной установки для регистрации 2Б-рефрактограмм.

Источником излучения служит полупроводниковый лазер 1. Дифракционный оптический элемент 2 (ДОЭ) формирует конусно-структурированный пучок, который коллимируется линзовой системой 3, приобретая цилиндрическую пространственную форму. Зондирующий пучок направляется на входную грань кюветы 4 с исследуемой средой, распространяясь внутри которой, испытывает рефракцию и искажается. После выхода из кюветы он попадает на экран 5. Наблюдаемое изображение содержит информацию о свойствах исследуемой среды и называется 2Б-рефрактограммой. Рефрактограммы регистрируются с помощью цифрового матричного фотоприемника 6 с высоким пространственным разрешением и передаются в компьютер 7 для восстановления свойств среды.

Компьютерное моделирование рефракции цилиндрического СЛИ

Соотношение (2) представляет собой уравнение траектории луча в плоскослоистой среде при известном распределении показателя преломления п(х) и заданных начальных условиях: координата zo = г(0) и угол ао = а(0) точки входа луча в среду, значение показателя преломления в этой точке по [1]. Знак перед квадратным корнем в (2) определяется знаком tg{а(x)} (рис. 2).

п0 вт( а0)ёх

z (x) = z 0 +f , " V • (2)

о ± д/n (x) - n2 sin (a0)

Рисунок 2 - Траектория луча в среде с наличием градиента показателя преломления [1].

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

Одна из особенностей применения СЛИ для исследования неоднородных сред заключается в том, что расчет его распространения с высокой точностью можно вести по законам геометрической оптики [1]. Цилиндрическое СЛИ представляется набором лучей, направленных по образующим цилиндра.

На рис. 3 приведены модели 2D- и 3Б-рефрактограмм при различных положениях зондирующего СЛИ относительно слоя, рассчитанные при следующих параметрах: r = 10 мм, ао = 0, zo = 0 мм, xs = 50 мм, h = 3 мм, n\ = 1,3300, П2 = 1,3500, где r - радиус пучка. Далее вводится величина xc - координата центра пучка.

а) xc = 35 мм 80

60

х,мм 40

20

20 4(

б) xc = 45 мм

20

у, мм у, мм

г) xc = 35 мм, z = 300мм д) xc = 45 мм, z = 300мм е) xc = 60 мм, z = 300мм

Рисунок 3 - Модели рефрактограмм: а) - в) 3D-рефрактограммы, г) - е) 2D-рефрактограммы.

Для математического моделирования рефрактограмм задается дискретный набор лучей, образующих цилиндр, и рассчитываются их траектории по соотношению (2). Чтобы построить 2Б-рефрактограмму в какой-либо плоскости, нужно задать координату г и подставить ее в (2). Полученное уравнение решается относительно х для всех лучей, образующих цилиндр. Совокупность решений определяет форму СЛИ в заданной плоскости. Если найти подобные решения для множества различных плоскостей, задавая различные координаты г, то можно построить трехмерную структуру пучка - 3Б-рефрактограмму.

Заключение

С помощью разработанного алгоритма можно проводить анализ динамики изменения моделей рефрактограмм не только при изменении положения оси пучка относительно диффузионного слоя (рис. 3), но и при изменении радиуса пучка, показателей преломления жидкостей и характерной ширины

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

диффузионного. Модели рефрактограмм наглядно демонстрируют явление рефракции СЛИ и дают возможность подобрать оптимальные условия для экспериментального исследования рефракции. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (№ 14-08-00948-а). Список использованной литературы:

1. Евтихиева О.А., Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С. Лазерная рефрактография. М:. ФИЗМАТЛИТ, 2008. 176 с.

2. Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С., Толкачев А.В., Ширинская Е.С. Рефракция цилиндрического лазерного пучка в температурном пограничном слое. // Оптика и спектроскопия, 2009. Т.106. №6. С. 1016 - 1022.

3. Крикунов А.В., Ринкевичюс Б.С. Расковская И.Л. Рефракция астигматического лазерного пучка в переходном слое стратифицированной жидкости // Оптика и спектроскопия, 2011. Т.111, №6. С. 1020 - 1026.

4. Павлов И.Н., Расковская И.Л., Ринкевичюс Б.С., Сапронов М.В. Лазерная визуализация динамических процессов в жидкости при тепло- и массопереносе. // XV Минский международный форум по тепло- и массообмену: тезисы докладов и сообщений, 2016. Т.1. С. 169 - 172.

© Сапронов М.В., 2016

УДК 513.948

А.Ш. Шамшиев , А.О.Мусаев, Т. Ж. Аззамов,

Физика-математический факултет Джизакский государственный педагогиский институт

Узбекистан, Джизак

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

Рассматривается вопрос о том , когда решения задачи Коши или какой-либо решения смешенной задачи для квазилинейного параболического уравнения разрушается в конечное время, - имеют коллапс, изучается выявление тех случаев когда указанные задачи неразрешимо 'в целом".

Ключевые слова Коллапс, квазилинейные уравнение, оценки сверху и снизу.

Теоремы существования классических решений квазилинейных уравнений параболического типа различными краевыми условиями доказаны в 1960-с годы [3], [4], [5], [6], где отмечается следующий факт [2]: существования решения краевой задачи и задачи Коши в малом имеет место для любого квазилинейного

п

параболического уравнения вида и{ — ^^ ау (х, ?, и, их )ихх = а(х, ?, и, их ) (1)

при достаточно гладких функциях а у (X, и, их ) и а( X, и, их) , без какого-либо ограничения на характер

роста этих функции относительно u(x,t) и их(х, £). Такие условия необходимо, если рассматривать краевые и задачи Коши в целом.

В работе [1] доказано теорема сравнения для (1) в цилиндрической области при весьма общих граничных условиях. Это теорема может быть использована к применению критерий устойчивости к установлению априорной границы решения.

Рассматривается вопрос о том , когда решения задачи Коши или какой-либо решения смешенной