Оценки погрешности восстановления производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

При совпадении имён ключей в связываемых отношениях можно вместо равенства ключей использовать только имя ключа.

Можно определить, если необходимо, рабочие области, перечислив множества отношений, их образующих, с указанием связей внутри области. Связать рабочие области можно, определив необходимые связи между отношениями, принадлежавшими разным рабочим областям. В этом случае следует использовать составные имена отношений:

<Имя_рабочей области>.<Имя_отношения>.

Данная методика была использована при разработке БД сменно- суточного планирования грузовых железнодорожных перевозок [8|.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Цикритзис Д., Лоховски Ф. Модели данных. М.: Финансы и статистика, 1985.

2. Маклаков С.В. BPWin и Erwin. Case средства разработки информационных систем. М.: Диалог-ММИФИ, 1999.

3. Мюллер РД. Базы данных и UML. М.: Лори, 2002.

4. Гершвальд A.C. Оптимизация оперативного управления процессом 1рузовых перевозок на железнодорожном транспорте. М.: Интскст, 2001.

5. МейерД. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987.

6. Описание стандартов. IDEF1X. www.citforum.ru

7. Заму пин A.B. Системы программирования баз данных и знаний. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-с, 1990.

8. Ьлипкоа ЮЛ., Иванов В.А., Ковалев АД., Мозжилкин В.В., Орёл A.A. Применение генетических алгоритмов к задаче оперативного планирования грузопотоками на железной дороге // Компмотерныс науки и информационные технологии: Тез. докл. междунар. конф., посвящ. памяти проф. A.M. Богомолова. Саратов, 14 18 мая 2002 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 10.

УДК 517.51.518

И. Д. Молодснкина

ОЦЕНКИ ПОГ РЕШНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть /(x)eW22[a,£>], где W22[a,fo] одномерное пространство Соболева с нормой ||/||tv2 j[/ 2 (*) + (/ "С*))2]5^ -Пусть ka - интегральные

операторы (а>0 - параметр) с ядрами ka(x,t) такие, что kaf eC'[a,b] и

IM"/1см, прИ

Рассмотрим два класса функций:

1) р2[-я,я]=(/(д0еЖ22[-*,*]: /(*>(-л)= /<*>(*), к =0,1; Ц/Ц^ <lj,

2) Ц22[0,1]=(/(д:)е^22[0Д]:||/|^ <l|,

и величины Д(8Да,ц) = 5ир|*а/6-/|с[в Ь]: /ец[а,Ь], ||/5 - /Ц^ <б), где

ц = [—тс,71] в случае 1) и ц = ц.|[ОД] в случае 2).

Указанные классы были рассмотрены Г. В. Хромовой [1], и на них ею были получены точные и оптимальные по порядку оценки погрешности приближенных решений уравнений 1-го рода, в частности, задачи восстановления функций вместе с их производными. В данной статье методика Хромовой получения таких оценок применена к операторам, построенным в [2,3].

Для осредняющих интегральных операторов с ядрами к„(х,1) =

5

= 2>|(*)ф<(0 [2,3], переводящих сплайны в их производные, доказана ¡=1

ТЕОРЕМА. При достаточно малых 5 справедлива двусторонняя оценка:

051/2<д(м//{5),ц)<2051/2,

~2г 1 ■ >> 2тс

где для ц = ц2[~7С<71] "н ~ операторы, зависящие от параметра // =--,

п +1

п - натуральное число, переводящие тригонометрические сплайны, введённые П.-Ж. Лораном, в их производные (см. [2]), Я(5) = ,

й = шах шах

;

В = тах

5

1=1 /=1 ч 1=1

ИсХ/ >0

Щ^Н1 Ж

и

К ¡=1

л/сЛк/Л

1/4

Ие X, >0

1/2

к = тах тах| 5 х

1/2

где 5 = 3, т =13, <7 = 14, ^ = —, х3=-п, при хе

-я,* —

«1

хЗ=хп + ~ ПРИ

«1

Т'*

5_1 2

5;

; 5=5, /л = 6, <7 = 7, 1Х =-, *5 = х,

при х е

5,"

Х1 + у>х/+1

, / = 1,л-1; 5 = 7, т = 1, <7 = 1, /, =1,

5,

Хп =х, —- для х е 2

5, б, х, —-,х, + — 1 2 ' 2

, / = 1,я; =~\ а,(х), полу-

чаются из систем (см. [2]); для ц = //2[0Д] Ац " операторы, зависящие от

76

параметра Н = —, п - натуральное число, переводящие кубические поли-п

номинальные сплайны дефекта один в их производные (см. [3]), Я(8) = |8,

Э = шах шах

5 *

4 4

\1/4

/—1т=1

В = тах--; 5 5е

от V ¿у,=1т=1

1/2

Л = тахтах —

^ X /)

"К«,«)2

V 1=1

1/2

где

Х.|=л/-Т, £.'Ш( - константы [4], 5 = 4, ю = 8, /] = 3,

х4 = х0 при д: е

т1 §1

*4 = + у "РИ * 6

хп-1 + ~Г">лл

; 5 = 4,

1 8 С — —, т = /] = 1, = + ^ при д: е

С = т = ¿1 = 1, х5 = хч - — при х 6

§1 §1 + 2 2

, /-1,1.- 2; 5 = 5,

, 9 = 1,я-1; 5Х

5] 6,"

л:--- х ч—-

4 2 4 2

а,(х), а;(л;5) ищутся из систем (см. [3]).

Доказательство следует из известной двусторонней оценки [5],

К

оценки \АН | = г— и асимптотического равенства

Л\(Ан,\а)=ВнУ2 +о\ И &

(см. в случае 1) [61), в случае 2) для получения Д\(Ля,ц) использована та же методика, что и в [6] с функцией Грина

4

8/=1

4

I

т=1

где = Ц^Л, ст| - константы, зависящие от краевых условий; знак "+" соответствует т| > знак "-" г| < (см. [4]); дифференциального оператора I (/у = у(4> + у, у(*>(0) = у<*>(-1) = 0, к = 2,3).

БИБЛИОГРАФИИЕС.'КИЙ СПИСОК

1. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближённых решений уравнений первого рода// ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 609.

2. Молодепкова ИД. Построение операторов, восстанавливающих производные // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. С. 95 98.

3. Хромова Г.В., Молодепкова ИД. Методы приближённого решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. II.

4. Хромова Г.И. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений I рода // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3-10.

5. Хромова Г.В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. 1993.Х» 1. С. 13 18.

6. Хромова Г.В., Молодепкова ИД. Об одной модификации задачи Колмогорова-Никольского // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С. 155- 159.

УДК 51 1.3

С. И. Небалуев

ТОЛЕРАНТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ПУТЕЙ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПОДНЯТИИ ТОЛЕРАНТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

В теорию толерантных пространств удаётся перенести значительную часть аш-ебро-топологической техники [1]. В частности, получена полная теория толерантных накрытий [2]. Доказательство теоремы о классификации толерантных накрытий существенно опирается на основную теорему о поднятии толерантного отображения, которая в свою очередь использует свойства толерантного пространства путей. Целью статьи является изложение упомянутого выше.

Толерантное пространство - это пара (Х,т), где X - множество, а таХхХ - рефлексивное и симметричное отношение. Отображения толерантных пространств, сохраняющие толерантность, называются толерантными.

В теории толерантной гомогопии вместо единичного отрезка используются толерантные пространства (Iп,\п), где п е N,

/„ =

1 п п

Толерантное отображение со„ :(/„,1„)->(.У,т) назовем толерантным путём в пространстве (Х,т) длины п. Для любого т е N такого, что т > и, определим толерантный путь ютп :(/т,1т)->