Оценки числа итераций для некоторых декомпозиционных алгоритмов решения задач размещения предприятий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

уДК51" А. А. КОЛОКОЛОВ

Н. А. РУБАНОВА

Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН 'Омский государственный университет путей сообщения

ОЦЕНКИ ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ_

В работе продолжаются исследования по оценкам числа итераций алгоритмов, основанных на декомпозиции Бендерса. для решения ряда известных задач размещения предприятий. Приводятся новые результаты для р простейшей задачи размещения и ее модификации, в которой требуется, чтобы каждое открытое предприятие обслуживало хотя бы одного клиента.

Ключевые слова: задачи оптимального размещения предприятий, декомпозиция Бендерса, отсечения, оценки числа итераций.

В области дискретной оптимизации значительное внимание уделяется задачам размещения предприятий, к которым относятся, в частности, простейшая задаче! размещения (ПЗР). задача размещении с ограничениями па объемы производства, двухэтамная задача размещения, задача о р - медиане [2-5.9J. Необходимость в решении таких задач возникает в экономике, планировании, управлении,» сфере сервиса и других областях. Многие задачи оп тимального размещения предприя тий могут быть описаны в терминах частич-

но целочисленного программирования, вследствие чет для разработки алгори тмов их решения применяется методдекомпозиции Бендерса [2-4,6-9,111.

Вопросы, связанные с оцеикгми числа итераций и устойч и в< )сты<»дек* >м позицио! к I ых алге »ритмов для решения ПЗР п задачи о р - медиане, рассматривались и |2,3,9|. В данной работе для указанных алгоритмов получены новые оценочные результаты, относящиеся к р простейшей задаче размещения и ее модификации ( р ак тивной ПЗР).

!. Постановки задач размещения

Простейшая задача размещении может быть сформулирована следующим образом. Даны пункты предполагаемого размещения предприятии / = ¡1.....и множество клиентов ./ = {I.....///}. каждый из которых обязательно должен быть обслужен. Известны затраты с"на размещение предприятия в / -м пункте, / е /. а также затраты с,, предприятия, расположенного в /-м пункте, на обслуживание /-го клиента, /е /, /е./ . Требуется разместитьпредпри-ятия в пунктах производства и прикрепить к ним клиентов так. чтобы суммарные затраты были минимальными.

Введем булевы переменные задачи г и л'„. /е /, / е./ . Пусть г, = I. если предприятие в / -м пункте входит в число откры тых и г - 0 в противном случае, /е/. Будем предполагать, что х„ I. если предприятие / -го пунк та обслуживает ] -т клиента и -V, =0 в противном случае, /<= /. / е./. Обозначим Г = (-). .Г = (Л„), /€/./€./.

Тогда модель целочисленной) линейного программирования (ЦЛП) дли ПЗР имеет вид:

<е/ /б/ /е./

Г(=.х)

min

(1)

при условиях

2>,

=

j е./, /е /,/е./.

x,rzt € {0,1}, /е /. je J.

(2)

(3)

(4)

К числу задач размещения предприятий относится также р - простейшая задача размещения. Ее о тличие от ПЗР состоит в том, что в ней необходимо выбрать ровно р пунктов размещения предприятий, при этом не ко всем откры тым предприятиям могут быть прикреплены клиенты. Модель ЦЛП для р - простейшей задачи размещения отличается от модели ПЗР дополнительным ограничением:

/е/

(5)

В случае, когда каждое открытое предприятие должно обслуживать хотя бы одного клиен та, мы получим рассматриваемую в литературе р - ак тивную ПЗР. Условие «ак тивности» открытых предприятий записывается с помощью системы дополнительных ограничений:

(G)

/е./

Как видно из формулы (6), если rf = I для некоторого /, то хотя бы одна из переменных Xir jeJ. тоже равна 1. А это и означает, что открытое предприятие должно обслуживать, по крайней мере, одного клиента.

К задачам оптимального размещения предприятий относится также задача о р - медиане. В отличие от р - простейшей задачи размещении в ней все затраты с] равны 0.

2. Схема декомпозиции

Рассмотрим процесс декомпозиции на примере р - простейшей задачи размещения.

Производственным планом этой задачи называется булев вектор /., координа ты которого удовлет-

воряют условию

При фиксированном про"

изводственном плане f из задачи (1)-(5) получается задача прикрепления клиентов:

II

te/ J

C„.v„ -> nun

при условиях

2>„ I. je./.

1€/

*„<£,. ieLjeJ.

л'(/ € {0.1 ¡. /е /. je./.

Вместе сданной задачей рассмотрим задачу линейного программирования 7 (f):

ХХс'л min

»■I /е./

при условиях

Z-Vv = I. У е./,

ы/

0<.v„<í,. ieJ.jeJ.

Известно [9|, что н и задачи обладают следующим свойством. Вели с. с), е Z. i е I/ е ./. то для любого производственного плана z среди оптимальных решении задачи линейного программирования 7(f), соответствующей задаче прикрепления клиентов, всегда найде тся целочисленное. Поэтому вместо задачи прикрепления клиентов можно решать задачу 7"(£).

Обозначим F(z) F(z%x(z)). где x(z) - оптимальное решение задачи прикрепления клиентов. Вве-

дем множество

/с/

опишем общую схему рассматриьаемых нами декомпозиционных алгоритмов.

Процесс Р

Положим Г}(|> = Г01 = но.

Итерации к. к > \

Шаг I. Находим некоторый производственный план г<А> е О'** • Если такого плана не сущес твует, то процесс завершае тся. 11лан, на котором достигается рекорд /.,,х_11, является оп тимальным.

Шаг2. Решая задачу прикрепления клиентов при фиксированном -<*». находим оптимальное решение Вычисляем рекорд Г,1> = тт{/;(г'"). Г{К

.Шаг 3. Строим по некоторому правилу линейное неравенство (отсечение):

/ I -I г ? Л» -II - /о •

(7)

Добавляем неравенство (7) к систем«» ограничений многогранника £2,Х| и, обозначив получившуюся область через, переходим к следующей иге-рации (на шаг 1).

Будем предполагать, что отсечения (7) в процессе О обладают следующими свойствами:

а) точка не удовлетворяет неравенству (7), 1>) отсечение (7) не исключает никакую целочисленную точку т'е^'.для которой /''(г')< /Г<Х)•

Свойство «а» позволяет гарантировать конечность процесса О, а свойство «I)»— оптимальность найденного им решения.

В качестве неравенств (7) в процессе О нами используются отсечения Вепдерса, которые удовлетворяют условиям «а» и «Ь».

Число производственных планов, исключаемых неравенством (7) из множества будем называть глубиной отсечения.

Важной особенностью предлагаемых декомпозиционных алгоритмов является отсутствие целочисленной оптимизации при построении последова тельности производственных планов. Для поиска производственных планов может быть использован любой алгори тм, обладающий свойс твом неповторения решений, что исключает возможность зацикливания. В алгоритме ветвей и границ это может бы ть достигнуто, например, путем учета уже пройденных ветвей; в алгоритме перебора /.-классов 111 запоминанием L-класса, на котором закончена предыдущая итерация и продолжением процесса с лексикографически минимального элемен та из множества не просмотренных ранее производственных планов.

В процессе D система ограничений многогранника задачи растет за счет присоединяемых отсечений, что приводит к увеличению трудоемкости поиска производственного плана и накоплению ошибок округления. Ч тобы избежать этого, можно заранее фиксировать максимальное число неравенств в системе ограничений и «лишние» отсечения отбрасывать. В этом случае возможно восстановление некоторых ранее исключенных точек многогранника задачи, но поскольку при решении производственной задачи используются алгоритмы, обладающие свойством неповторения решений, это не приведе т к проверке ранее просмотренных точек.

Отметим, что указанный процесс может быть адаптирован для решения всех описанных выше задач. Однако если для ПЗР, р—простейшей задачи размещения и задачи ор—медиане1 задача прикрепления клиентов легко решается анали тически: каждый клиент прикрепляется к тому пункту, где его затраты являются наименьшими среди всех открытых предприятий, то в случае» р—активной ПЗР задача прикрепления клиентов являе тся более сложной.

3. Отсечения Бендерса

Для р—простейшей задачи размещения рассмотрим задачу 0( :ik'), которая являе тся двойственной к T(ztkt):

ie.l le/ ;'€./

сечения Бендерса имеют более сложную струк туру:

при условиях:

Пусть и\к\ ir'*\/€ Л./е J-оптимальные значения переменных этой задачи, тогда отсечение Бендерса, построенное по точке -«*>. будет выглядеть следующим образом:

t(l J<J If.l

и -и;, <c„.ie IJeJ, ir >0Je. /, jG./.

(8)

Такой же вид будут иметь и отсечения Бендерса для ПЗР |3|. так как задачи ЛП T(z), связанные с задачей прикрепления клиентов, в случае прос тейшей и р—простейшей задач размещения совпадают.

В задаче ор— медиане с" 0. /е /. вследствие чего для этой задачи получается следующее отсечемте:

(9)

Гак как р—активная простейшая задача размещения отличается от р—простейшей задачи размещения дополнительным ограничением (6). то и соответствующей ей задаче 0(гш) появляется еще одна группа неотрицательных неременных у'",/с- /. а от-

KcTttf'¿у,".

ICJ

(10)

Отметим, что в отсечениях |8)-(10| возможен переход к знаку " < " после вычитания из правой части достаточно малого числа £ . Если коэффициенты целевой функции задачи целочислепны, можно положит!. /; - |.

В общем случае оптимальное решение задачи 0(г"') не единственно, поэтому по точке может быть построено несколько различных отсечений. В (2.3| предложены два способа определения оп тимальных значений двойственных переменных для ПЗР и задачи о р-медиане, которые могут быть применены и к р-простейшей задаче» размещения. Укажем первый из утих способов:

II)

= (//«;•-с',Г,/е Луб./.

В [3J показано, что глубина отсечений существенно зависит от выбора оптимальных значений двойственных оценок, используемых при ого построении.

Далее будем предполагать, что в исследуемых декомпешщионных алп>ритмах для пост роения отсечений используются формулы ill).

4. Оценки числа итерации

Для исследования доком позиционных алгоритмов и изучения свойств отсечений Бендерса в работах |3,9| предложены семейства ПЗР и задач ор—медиане, у которых т = п> 3, с матрицами С ~{с )./е /. /е./. двух видов:

(М I ... I Л/ ..,

I I ...

м

с\ =

I д/

М I

л/ м

|'Ае М >2-

В 13] было показане), что для решения процессом О-задачи о р—медиане на минимум с матрицей вида С, потребуется одна итерация, а для решения этой задачи с матрицей С, необходимо перебрать все* допустимые производственные планы, т.е. построить С; (хгсечений. Установлено также, что для решения ПЗРс коэффициентами с," Л/./е / иСС, процессом О, в котором производственные планы генерируются в порядке лексикографического возрастания, потребуется не более п и тераций. Для ПЗР с коэффициентами с" I. /с / и С = (\ отмечено, что среди генерируемых процессом О отсечений существую! отсечения глубины I. Аналогичные результаты получены нами и приводятся ниже» для р простейшей задачи размещения и р—активной ПЗР.

Теорема 1.11ри речнении процессом Ор—простейшей задачи размещения \ р>2) с коэффициентами с," Л/./'с / и матрицей (' = (", ютребуется лишь одно отсечение.

Доказательстве>. Применяя (|юрмулы (1 1), для любо-IX) производственного плана получасам следующие' значения двойственных переменных: = I и

»«¿4| О./е /.у е./. По (|х>рмуле (8) строим отсечение

Бендерса, кагоре и» будет иметь вид: Этому от-

'С/

сечению не удовлетворяет ни одни допустимый произ-ве>лствеппый план, поэтому :и!дача решается за одну те-

ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОМСКИИ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N1 3 (70). 200в