Исследование декомпозиционных алгоритмов с отсечениями Бендерса для решения некоторых задач размещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

куда угодно, а в соответствии с потенциальными возможностями самой среды. Свобода выбора есть, но сам выбор ограничен возможностями устойчивой структуры, поскольку устойчивая структура является не пассивным, инертным материалом, а обладает, если угодно, собственной «свободой».

Действительно, согласно нашим представлениям, все сложные структуры в Мире должны находиться в устойчивом неравновесии и их развитие может носить, например, колебательный характер. В одном режиме они локализуют и удерживают хаос в определенной форме и границах, а в другом — вблизи момента обострения — само это удержание посредством положительной обратной связи способствует действию хаоса, что влечет за собой статистическое поведение устойчивой структуры.

Библиографический список

1. Пригожин И.Р. Философия нестабильности. // Вопросы философии. 1991. №6. С. 46-57.

2. Федоров В.К. Концепция устойчивого неравновесия. Версия сотворения материи и разума. Омск, Изд-воОмГТУ. 2003. С. 150

3. Визгин В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М. Наука. 1972. С. 240.

ФЕДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроники и электроснабжения промышленных предприятий.

УДК А. А. КОЛОКОЛОВ

Н. А. КОСАРЕВ Н. А. РУБАНОВА

Омский государственный университет

Омский государственный университет путей сообщения

ИССЛЕДОВАНИЕ

ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ С ОТСЕЧЕНИЯМИ БЕНДЕРСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ

Исследуются отсечения Бендерса, используемые в декомпозиционных алгоритмах решения простейшей задачи размещения (ПЗР) и задачи о р-медиане на минимум. Показана зависимость глубины отсечений от выбора оптимальных значений двойственных оценок, используемых при построении отсечений. Предложены семейства задач, для которых получены оценки числа итераций рассматриваемых алгоритмов.

Работа выполнена при поддержке гранта РГНФ 04 02 00238а.

Введение

Метод декомпозиции Бендерса является известным подходом к решению многих задач дискретной оптимизации, на основе которого разработано значительное число алгоритмов [2-10]. Однако в теоретическом плане он пока недостаточно изучен. В [2] введено понятие глубины отсечений, с помощью которого удобно анализировать эффективность рассматриваемых декомпозиционных алгоритмов. Для задачи о р-медиане на максимум нами установлено, что глубина отсечений существенным образом зависит от выбора оптимальных значений двойственных оценок, используемых при их построении. Представлены семейства задач, для которых найдены оценки числа итераций некоторых декомпозиционных алгоритмов [2,4,8,9].

Данная работа является продолжением указанных исследований для простейшей задачи размещения и задачи о р-медиане на минимум, которые широко применяются в экономике, планировании и дру-

гих областях [3]. Предложены семейства задач, для которых получены оценки числа итераций ряда декомпозиционных алгоритмов. Показано, что глубина отсечений может изменяться от 1 до С' для задачи о р-медиане и от 1 до 2""' для ПЗР.

1. Схема декомпозиции

Простейшая задача размещения может быть сформулирована следующим образом. Даны пункты предполагаемого размещения предприятий /= {1,.,.,л} и множество клиентов J= {1,...,ш}, каждый из которых обязательно должен быть обслужен. Известны затраты с° на размещение предприятия в ¡-м пункте, а также затраты с0 на обслуживание ;-го клиента предприятием, расположенным в 1-м пункте, ¡е IljeJ. Требуется разместить предприятия в пунктах производства и прикрепить к ним клиентов так, чтобы суммарные затраты были минимальными.

Введем переменные задачи z. и х ц , /е Пусть = 1, если предприятие в 1-м пункте входит в число

открытых и z, =0 в противном случае, iel, Далее, х = 1, еслиу-й клиент обслуживается предприятием i-го пункта и Ху =0, в противном случае, iel.jeJ.

Тогда модель целочисленного линейного программирования (ЦАП) для ПЗР имеет вид:

F(Z, *) = Ъ+ Z X cvxv min

Iel Iel jej

при условиях

Iel

Хи<2„1е rjej,

е{0,1 },ieI,jeJ.

Совокупность значений булевых переменных z,,..., z„, удовлетворяющих условию ^ z. > 1, назы-

ie¡

вается производственным планом ПЗР. При фиксированном производственном плане z.....zп получается

следующая задача прикрепления клиентов Т{ £)

-> min

(1)

iel jeJ

при условиях

0 < хы < I е е У.

Необходимо отметить, что оптимальное решение этой задачи легко получается аналитически: каждый клиент прикрепляется к тому пункту, где затраты на его обслуживание являются наименьшими среди всех открытых предприятий.

Задача о р-медиане на минимум отличается от ПЗР тем, что с° = 0,; е / и число р открываемых предприятий заранее известно (р<п).

Модель ЦАП для задачи о р-медиане на минимум может быть записана следующим образом:

F(z,x)

= ЕЕс'Л"> min

íe/ jeJ

Процесс Р

Положим, П(|) = П, = +оо.

Итерация к,к>\

Шаг 1. Находим некоторый производственный план г(4) е 0.1к). Если такого плана не существует, то процесс завершается. План, на котором достигается рекорд , является оптимальным.

Шаг 2. Решая задачу прикрепления клиентов при фиксированном г1к), находим оптимальное решение ха). Вычисляем рекорд = шт{^(г(М), Т^"'1}.

Шаг 3. Строим по некоторому правилу линейное неравенство (отсечение):

(2)

Добавляем неравенство к системе ограничений многогранника О*'' и, обозначив получившуюся область через 0(*+1), переходим к следующей итерации (на шаг 1).

Будем предполагать, что отсечения (2) в процессе О обладают следующими свойствами:

a) точка г{к) не удовлетворяет неравенству (2),

b) отсечение (2) не исключает никакую целочисленную точку 2 е Ос*'. для которой Р(г ) < Г(к).

Свойство «а» позволяет гарантировать конечность процесса О, а свойство «Ь» - оптимальность найденного им решения.

Отметим, что указанный алгоритм применим и для решения задачи о р-медиане, при этом в качестве П выбирается множество =р, 0<г,<1,

| е!

¿6/}.

Обозначим 1к = {/ е /: г\к) = 0}, У* = {/ е /: г)к) = 1}. Примером отсечений, удовлетворяющих условиям «а» и «Ь», для задачи о р-медиане являются неравенства вида

(3)

при условиях

Для ПЗР указанными свойствами обладают неравенства

Zz» = А

(4)

ХЛ = Ъ ) е Л

/<5/

^¿¿„ге/.у'е./, x¡),zl&{0^},ielJ eJ.

Совокупность значений булевых переменных г1> •■■>?„< удовлетворяющих условию ^^ = р, называется производственным планом задачи о р-медиане. Подзадача 7"(г) здесь также имеет вид (1).

Обозначим = Р(г,х(г)), где х(г) -оптимальное решение задачи Т{г). Для ПЗР введем множество

^ = {г: £ г, > 1,0 < < 1, г е /} и опишем общую схе-

ш

МУ рассматриваемых нами декомпозиционных алгоритмов.

Покажем, например, что отсечение (4), построенное по плану г{к), удовлетворяет условиям «а» и «Ь». Действительно, при подстановке в это неравенство

плана г(к) онопринимаетвид]/*^ то есть усло-

вие «а» выполняется.

С другой стороны, для любого другого производственного плана г ^ г1к) левая часть неравенства (4)

будет, очевидно, меньше |/,*|. Это значит, что данное

отсечение не исключает ни одного производственного плана, кроме г"1, следовательно, условие «Ь» тоже выполняется. По своей форме неравенства (3), (4) похожи на вполне регулярные отсечения для задач булева программирования [ 1 ].

В качестве неравенств (2) в процессе О нами используются отсечения Бендерса, которые также удовлетворяют условиям «а» и «Ь». Для изучения эф-

фективности алгоритмов удобно пользоваться понятием глубины отсечения.

Глубиной отсечения называется количество целочисленных точек, исключаемых неравенством (2) из многогранника П(4) ■ Рассмотрим, например, неравенство (3). Из условий ^ г1 = р и г, е {0,1}, /' е I след-

(к)

ует, что для любого производственного плана т. ^ г задачи о р-медиане хотя бы одна из координат г,, /' е /0 должна быть положительной, откуда вытекает, что глубина данного отсечения равна 1. Из проверки условия «Ь» для отсечения (4) следует, что его глубина также равна 1.

2. Отсечения Бендерса для ПЗР

Рассмотрим двойственную к Цг'*') задачу

при условиях

u|-wIJ<cl],ieI,jeJ, wlJ>0,i€lJeJ.

Пусть и«*», м^*', i&I,jeJ - оптимальные значения переменных этой задачи, тогда отсечение Бендерса, построенное по точке , будет выглядеть следующим образом [3]:

Так как ß<c,,<pi + v, то w)k) < v, а значит,

vm.

jeJ

Следовательно, с° - ут~ут =

Первое отсечение в процессе В будет построено по плану г(1). В силу неотрицательности коэффициентов левой части отсечения, вместе с этим планом исключатся также и все производственные планы, у которых г„ = 1. Так как процесс В лексикографически монотонный, то следующим за планом г(1) будет построен план также содержащий только одну координату г™, равную 1. Отсечение, построенное по этому плану, исключит все производственные планы, у которых г, = 1. И далее процессом В будут порождаться только производственные планы, у которых = 1. Таким образом, для решения задачи

потребуется не более л отсечений. Теорема доказана.

Выберем М > 2 и рассмотрим ПЗР , у которой л=т, а коэффициенты имеют вид:

С® =1,16/,

М М Мл М 1 ... М

М М

(8)

16/ j£J

jeJ

(5)

По формулам (6) получаются следующие значения двойственных переменных:

В общем случае оптимальное решение задачи В(2{к)) не единственно, поэтому по точке г'к) может быть построено несколько различных отсечений.

Рассмотрим сначала следующий способ вычисления оптимальных значений двойственных переменных:

M(t) = J 1. ес/шуе/,,

' [М,если je 1к,

М-1,если i = j uiel*, О, в противном случае.

(9)

u^=m\n{cv:iei:),

(6)

Выберем числа ц,у ^Ъ*. Определим ограничения для коэффициентов целевой функции ПЗР:

сЧ > vm, ß<c{j< ß + v,i е /, /' е J.

(?)

Если отсечение (5) строится по плану г<к\ на котором достигается рекордное значение целевой функции, то оно будет выглядеть следующим образом:

(10)

ie/J

Mt

Обозначим через В процесс D, в котором производственные планы генерируются в порядке лексикографического возрастания, начиная с лексикографически минимального плана z(1) с координатами z,(l) = 0,..., = 0, zj;" = 1, а отсечения (5) строятся с использованием оценок (6).

Теорема 1. При решении процессом В простейшей задачи размещения, коэффициенты которой удовлетворяют условию (7), будет построено не более п отсечений.

Доказательство. Докажем сначала, что при условиях (7) коэффициенты в левой части (5) неотрицательны. По формулам (6) определяем значения двойственных отсечения переменных. Пусть =

= arg min {с,у: i е /,), je J. Тогда и(к)

I iel,jeJ.

Так как 2-М < 0, то нетрудно заметить, что этому неравенству не удовлетворяет только план z'k>, а значит глубина отсечения (10) равна 1. При М=3 оно совпадает с отсечением (4).

При использовании иных способов нахождения оптимальных значений двойственных переменных получаются, вообще говоря, другие отсечения.

Пусть = argmin{ciy :i е /*}, j е J. Если |/*|> 2,

то оптимальные значения двойственных переменных можно определить по формулам:

u^^minic^.z^^liel^li^JeJ,

w

= (u)*>-cljy,ie],jeJ.

(11)

В случае, когда |/, =1, оптимальные значения

двойственных переменных вычисляются по формулам (6).

Рассмотрим процесс Е> решения задачи семейства (8) с использованием (11). В этом случае значения двойственных переменных будут такими:

2>,>Р+1.

u{k) = M,jeJ,

wf» =

V

М-1, если i = j, i е I, О, в противном случае.

(12)

Если на плане г01' достигается рекорд целевой

функции и |ф 2, то отсечение Бендерса будет иметь следующий вид:

ы

Очевидно, что оно отсекает все планы, у кото-рых|/,|<|/,*|.

Таким образом, выбор оптимальных значений двойственных оценок может оказывать существенное влияние на глубину отсечений Бендерса.

3. Отсечения Бендерса для задачи о р-медиане

Отсечение Бендерса для задачи о р-медиане на минимум, построенное по точке г(к), выглядит следующим образом:

/6/ jeJ jzJ

(13)

Мы будем выбирать значения двойственных оценок согласно (6). Легко показать, что данные значения являются оптимальными и для задачи о р-медиане.

Рассмотрим задачу с матрицей коэффициентов целевой функции

С =

1 М М 1

м м

м м

1)

(14)

Очевидно, что оно исключает все производственные планы, то есть в процессе О будет построено только одно отсечение (его глубина равна СЦ).

Прежде чем предложить более широкое семейство задач о р-медиане, трудных для алгоритма Бендерса, докажем несколько вспомогательных утверждений.

Будем называть два производственных плана г1 и г1 соседними, если р(г',г2) = 2, где р(г',г2) =

■II«

расстояние Хемминга.

Лемма 1. Если для любого производственного плана г' задачи о р-медиане, являющегося соседним для г'*1, выполняется неравенство (13), то его глубина равна 1.

Доказательство. Запишем отсечение (13) в виде

и заметим, что все коэффициенты у, являются неотрицательными. При доказательстве для упрощения обозначений мы будем опускать номера итерации у коэффициентов у, • Рассмотрим произвольный производственный план г" * г1к) и индексы / и в такие, что г" = 1, г(к) = 0, г" = О, =1. Обозначим через г' соседний с г(к) производственный план, для которого

Z, =

l = s, i = t.

rAe M> 2.

Используя правило выбора (6), как и в случае ПЗР, получаем значения двойственных переменных (9). Отсечение Бендерса для данной задачи, будет иметь вид

let¡

Разделив данное неравенство на М -) и добавив к правой части 1, что можно сделать, учитывая буле-вость переменных z,, получаем отсечение (3), глубина которого, как уже было отмечено, равна 1.

При использовании способа (11) вычисления значений двойственных переменных (они также являются оптимальными для задачи о р-медиане на минимум при р > 2 по плану z(*> получаем (12).

Отсечение Бендерса с данными двойственными оценками выглядит следующим образом

leí

Разделив обе части этого неравенства на М- Í и добавив к правой части /, можно записать отсечение в виде

Отсечение (13) исключает г{к\ но, по условию, не исключает г', следовательно

у, < для всех <е/,,5е/0. (15)

Учитывая (15), получаем X?7/2,' > У о- Лем-

/<=/ ¡б/

ма доказана.

Для производственного плана г найдем с,(г) = тт{с,,: г, = 1,/ е /}, у е J.

В этих обозначениях =

№

Лемма 2. Построенное по точке г{к) отсечение (13) не исключает соседнюю к ней точку г', если

X(cдz<t))-c,yr>/?(г,<,)-^г(^ (16)

где Ь — номер, для которого г,'*' = 0, г,' = 1.

Доказательство. Достаточно заметить, что во введенных обозначениях отсечение будет иметь вид

№

При подстановке в него г' получим >Яг('))-^(", откуда и следует

утверждение леммы.

Далее процесс Д в котором используются отсечения Бендерса (13) с оценками (6), будем обозначать через Ь-

Рассмотрим задачу о р-медиане, у которой т=п. Выберем числа а, р,у , (/? <у) так, чтобы выполнялось неравенство

а<(п-р + \)р-(п-р)у. (17)

Пусть коэффициенты целевой функции задачи удовлетворяют ограничениям:

ся =а,0<си< у, /' * }, /' е /, ] е У. (18)

Например, если а = 0, то все сц (/ Ф _/') должны лежать в интервале (Д ——р) для произвольного п —р

р> 0.

Теорема 2 Если коэффициенты задачи о р-медиане на минимум удовлетворяют ограничениям (18), то при ее решении процессом Ь глубина отсечений равна 1.

Доказательство. Согласно лемме 1, достаточно доказать, что для любой точки г{1' отсечение не исключает никакой производственный план, находящийся на расстоянии 2. Пусть для точки г' имеет место р(г11),г') = 2 и f — индекс для которого. Тогда

Х^'Ьс,/ >ф'к))-с„> р-а.

Из свойств матрицы целевой функции задачи о р-медиане, коэффициенты которой удовлетворяют ограничениям (18), следует, что

Г(к)>ра + (п-р)Р и Г(2{к))<ра + (п- р)у,

откуда ^ (*> - Р(г{к)) > (п - р)(Р - у). Значит, для выполнения условия (16) необходимо, чтобы имело место -(/? -аг) < (я - р)(Р -у), что эквивалентно условию (17). Так как индекс í выбирался произвольно, то теорема доказана.

Используя теорему 2, нетрудно заметить, что для решения задачи, коэффициенты которой удовлетворяют условиям (18), потребуется С' итераций процесса Ь.

Заключение

В работе предложены семейства задач о р-медиане на минимум и ПЗР, являющиеся «легкими» для декомпозиционных алгоритмов Бендерса при некотором способе выбора оптимальных значений двойственных оценок и получены оценки числа итераций этих алгоритмов.

Построены также семейства ПЗР и задач о р-медиане на минимум, при решении которых указанными алгоритмами порождаются отсечения глубины 1. Отсечения Бендерса для данных семейств по своей структуре подобны вполне регулярным отсечениям целочисленного линейного программирования. Установлено, что применение разных способов вычисления оптимальных значений двойственных переменных существенно влияет на глубину отсечений. При использовании декомпозиционных алгоритмов на практике целесообразно эвристическим путем определять лучшую систему выбора двойственных оценок для увеличения глубины отсечений.

Библиографический список

1. Колоколов А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании// Сибирский журнал исследования операций. 1994. № 2- С. 18-39.

2. Колоколов А А, Косарев НА Исследование отсечений Бендерса для задачи о р-медиане //Материалы Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Omck.2003.-C.96.

3. Колоколов АА., ЛевановаТ.В. Задачи оптимального размещения предприятий и методдекомпозиции Бендерса//Учебно-методическое пособие. Омск, 2004,- 39с.

4. Косарев Н.А,, Рубанова Н.А. Об отсечениях Бендерса для некоторых задач размещения предприятий // Материалы Российской конференции «Дискретный анализ и исследование операций», Новосибирск, 2004,- С. 164.

5. Gascon V., Benchakroun A., FerlandJ. Benders decomposition for network design problems with underlying tree structure // Investigación Operativa, 6,1997.-P. 165-180.

6. Hooker J.N., OttossonG. Logic-based Benders decomposition. // Mathematical Programming Series A 2003. vol.96, N° 1.- P.33-60.

7. Kolokolov A.A. Decomposition Algorithms for Solving of some Production—Transportation Problems// Triennal Symposium on Transportation Analysis II. Preprints. Vol. 1.- Capri, Italy, 1994.-P. 179-183.

8. Kolokolov A.A., KosarevN.A. Analysis of decomposition algorithms with Benders cuts for p-median problem// Proceedings of The 2nd International Workshop 'Discrete Optimization Methods in Production and Logistics', Omsk-Irkutsk, 2004,- P.66-69.

9. Kolokolov A.A., Kosarev N.A. Analysis of some Benders decomposition algorithms for p-median problem} // EURO Working Group on Location Analysis, XIV Meeting, Corfu,Greece, 2003,-P.36.

10. Randazzo D., LunaH.P.L., MaheyP. Benders Decomposition For Local Access Network Design With Two Technologies // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 4,2001.-P.235-246.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, профессор, заведующий кафедрой ПиВМ Омского государственного университета.

КОСАРЕВ Николай Александрович, аспирант Омского государственного университета. РУБАНОВА Наталья Алексеевна, старший преподаватель Омского государственного университета путей сообщения.