Оценки числа итераций ддя декомпозиционных алгоритмов решения двухуровневой задачи размещения предприятий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

уД"A.A. КОЛОКОЛОВ

Н. А. РУБАНОВА

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Омский государственный университет путей сообщения

ОЦЕНКИ ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ

В данной работе продолжаются исследования алгоритмов, основанных на декомпозиции Бендерса, для решения задач размещения предприятий. Строятся оценки числа итераций декомпозиционных алгоритмов, предложенных авторами ранее для решения двухуровневой задачи размещения.

Ключевые слова: двухуровневое программирование, задачи оптимального размещения предприятий, декомпозиция Бендерса, отсечения, оценки числа итераций.

Для решения задач размещения предприятий, во- Для некоторых из перечисленных задач получены

зникающих в экономике, планировании, управлении, результаты по оценкам числа итераций и устойчиво- i

в сфере сервиса и других областях, получил широкое сти декомпозиционных алгоритмов, разработанных

распространение методдекомпозиции Бендерса [ 1 — 9]. с помощью указанного подхода [ 1, 3, 5, 9].

К таким задачам относятся задача о р - медиане, про- Двухуровневая задача размещения предприятий

стейшая задача размещения (ПЗР), различные ее (ДЗР) [4,10,11], рассматриваемая в данной работе и яв-

модификации (р - простейшая задача размещения, р- ляющаяся обобщением простейшей задачи размеще-

активнаяПЗР), задача размещения с ограничениями ния, при некоторых предположениях может быть

на объемы про-изводства, двухстадийная задача раз- сведена к эквивалентной ей задаче одноуровневой оп-

мещенияит.п. тимизации[ 10]. Для ее решения в [4] были предложены

>

алгоритмы, основанные на методе декомпозиции Бендерса. В данной работе для ДЗР приводятся новые результаты по оценкам числа итераций этих декомпозиционных алгоритмов.

1. Двухуровневая задача размещения

Двухуровневая задача размещения может быть сформулирована следующим образом. Даны пункты предполагаемого размещения предприятий 1={/,..., п}, оказывающих некоторые услуги, и множество клиентов J={ 1,...,т}, каждый из которых обязательно должен быть обслужен. Известны затраты с? на открытие предприятия в z'-м пункте, затраты cv предприятия, расположенного в ¡-м пункте, на обслуживание j-то клиента, а также затраты d0 j-го клиента при его обслуживании предприятием, расположенным в г'-м пункте, ieI,jeJ.

Производители, находясь на верхнем уровне иерархии, стремятся разместить предприятия таким образом, чтобы минимизировать суммарные затраты на открытие предприятий и обслуживание клиентов. Клиенты (нижний уровень иерархии) выбирают среди открытых предприятия с минимальными собственными затратами на обслуживание. Необходимо решить задачу верхнего уровня с учетом оптимального решения задачи нижнего уровня.

Введем булевы переменные задачи zi и xt], / € xtJ, / е /, Пусть 2 =1, если предприятие в i'-м пункте входит в число открытых и zi =0 в противном случае, / € I. Будем предполагать, чтох=1, если предприятие 1-го пункта обслуживает j-то клиента и xtJ =0 в противном случае, i е I, j eJ .

Обозначим z = (z/), х = (xv ), i el,je J.

Модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП) для двухуровневой задачи размещения имеет вид:

F(z,j:) = Xc"z, +ZZсЛ (1)

/€/ ml jaJ

при условиях

z, e{0,l},;e/,z*0, (2)

где х— оптимальное решение задачи:

ElХл min (з)

при условиях

1л =1>Je J> (4)

,е/

Xv < Z/; / 6 I, j G J, (5)

jc#6{0,1 },iel,jeJ. (6)

Особенностью этой модели является способ задания множества допустимых решений. Пара (z,x) называется допустимым решением двухуровневой задачи, если х при данном z является оптимальным решением задачи нижнего уровня. Допустимое решение называется оптимальным, если целевая функция верхнего уровня принимает на нем минимальное значение.

Обозначим с0 = (сС = (с;]), D = Ц,), i ei, je J. Элементы матрицы D определяют предпочтения каждого клиента на множестве I. Если dtJ* d:j для всех / ф I, i,l е /, j е J, то выбор каждого потребителя однозначен. При этих условиях очевидно, что xtj = 1, если dy = min {dkJ : zk = 1, к e /} и xtJ=0 в противном случае. В данной работе мы ограничимся только ситуацией, когда выбор потребителей однозначен.

Рассмотрим неравенства

2- - хч + X2" ' 6 7' 1 6 ^

/еХ„

где Б у = {/б/:Л„ < ^ }, / е/, у е У.

В [ 10] показано, что множества допустимых и оптимальных решений ДЗР (1) — (6) совпадают с соответствующими множествами следующей одноуровневой задачи:

= ХХЧ -> чип (8)

/е/ ¡е1 jeJ

при условиях

Тхи ■/> (9)

/б/

x9Zzl,ieI,jeJ, (10)

+ /е/,./е./, (П)

/«¡я,

х„,г, e{0,l},ie/,jeJ. (12)

Если из модели (8) — (12) исключить ограничения (11), то получается модель ЦЛП простейшей задачи размещения, в которой смысл всех коэффициентов и переменных такой же, как у двухуровневой задачи. При 0=С множества допустимых и оптимальных решений двухуровневой и простейшей задач размещения с одинаковыми значениями коэффициентов с" и С совпадают. Отметим, что ДЗР является более сложной оптимизационной задачей по сравнению с ПЗР, при этом обе они относятся к классу №— трудных задач.

2. Схема декомпозиции

Рассмотрим процесс декомпозиции для задачи (8) — (12). Производственным планом этой задачи назовем ненулевой булев вектор г. При фиксированном производственном плане г из задачи (8) — (12) получается задача прикрепления клиентов:

(СЕ/ ¡4]

при условиях

Хл = 1> 1е •/>

/е/

Ху <zi,ieI,jeJ,

xiJs{0,l},isI,jsJ.

Вместе с этой задачей рассмотрим задачу линейного программирования Г(г),отличающуюся тем, что требования хи е {0,1}, / е /, у е./ заменяются на ограничения хц > 0, / е I, у е

Для любого производственного плана г среди оптимальных решений задачи Т(г) всегда найдется целочисленное. Поэтому для поиска прикрепления клиентов можно решать задачу Т(г).

Положим Р(г)=Р(г,х(г)), где х(г)—оптимальное решение задачи прикрепления клиентов для производственного плана г. Введем множество О = {г ^ 0:0 < < г, < 1, / е 1} и опишем общую схему рассматриваемых нами декомпозиционных алгоритмов.

Процесс Р

Положим П(1) = П, = + да.

Итерация к, к >1

Шаг 1. Находим некоторый производственный план г^к) еСУ*'. Если такого плана не существует, то процесс завершается. План, на котором достигается рекорд Я*'", является оптимальным.

Шаг 1. Отыскиваем оптимальное решение х'*1 задачи прикрепления клиентов при фиксированном г'*'. Вычисляем рекорд Я*1 = тт{Р(21*'), Я*'"}.

ШагЗ. Строим по некоторому правилу линейное неравенство (отсечение):

(13)

Добавляем это неравенство к системе ограничений многофанника и, обозначив получившуюся область через О1*4'", переходим к следующей итерации (на шаг 1),

Будем предполагать, что отсечения (13) обладают следующими свойствами, позволяющими гарантировать конечность процесса О и оптимальность найденного им решения:

a) точка не удовлетворяет неравенству (13),

b) отсечение (13) не исключает ни одной целочисленной точки г' е С1(к), для которой Р(г) < Р ""

В качестве неравенств (13) в процессе О нами используются отсечения Бендерса, обладающие указанными выше свойствами. Чтобы избежать роста системы ограничений многофанника задачи за счет присоединяемых отсечений, их число можно офаничить сверху заранее заданной величиной.

Для поиска производственных планов г{к) может быть использован, например, алгоритм перебора -классов [12], исключающий возможность зацикливания при фиксировании верхней границы числа добавляемых отсечений.

3. Отсечения Бендерса для двухуровневой задачи размещения

Рассмотрим задачу 0(г{к)), которая является двойственной к Т(гт):

уе./ /е/ уе./

/сб^ /е/ ус«/

yf* = min{c(> :/€/}, je J,

„(*>. к -УТ> eam ХТ='6 JeJ> (15)

'' { 0, в противном случае, vf> = 0, í € /, i е J.

Легко проверить, что значения двойственных переменных, определяемые по формулам (15), образуют допустимое решение задачи D(zw). Докажем их оптимальность. Для этого достаточно показать справедливость равенства /(х"") = G(xw, u1*1, v1*'). Заметим

z<*> _ V z<*> =! предварительно, что соотношение ' '

V

имеет место только в том случае, когда х1; '*'= 1.

Итак, ) = ^уТ + Z Z ~

JGJ jsJ

-ZW'-ZZ^X^

ls/ jíJ

= 2>r+ZZ = = IУТ+ZZrf - Z yf = ZZ ^r = f(*w),

16/ jüJ jeJ ¡6/ JÍJ

что и требовалось доказать.

Далее будем предполагать, что в исследуемых декомпозиционных алгоритмах используются формулы (15).

4. Оценки числа итераций

Глубиной отсечения (13) называется число исключаемых им из многогранника производственных планов. Очевидно, что глубина отсечений, порождаемых декомпозиционным процессом, может существенным образом влиять на его скорость.

Для посфоения оценок числа итераций декомпозиционных алгоритмов и глубины отсечений Бендерса при решении двухуровневой задачи размещения нами предложены семейства задач SI и S2, описанные ниже.

Пусть М >2 и т = п>3. В задачах семейства S1 коэффициенты целевых функций определяются следующим образом: с0 = (М,..., М), элементы матрицы D— произвольные неотрицательные числа и

при условиях у + - уу < с(/, / е /,у е J,

иц >0, vIJ>0yie^,jeJ.

Пусть и у**', V***, / е /, у е У-оптимальные значения переменных этой задачи, тогда отсечение Бендерса, построенное по точке г"", имеет вид:

jtj

fe/

(А)

Ч

~ZZZz'Mf <F<i)-z>,r-

ie/ jíJ /еХ„

(14)

'м 1 . г

1 м 1

J 1 . л/,

Коэффициенты целевых функций задач из 52 имеют вид: с0 = (1,..., 1),

С =

м

Отметим, что в отсечении (14) возможен переход к знаку "<" после вычитания из правой части достаточно малого положи тельного числа е. Если коэффициенты целевой функции задачи целые, можно положить е = 1. В общем случае оптимальное решение задачи 0(г1к]) не единственно, поэтому по точке г{к) может быть построено несколько различных отсечений. Укажем один из способов определения оптимальных значений двойственных переменных:

М 1

М М

D =

V

1 3

м м

2 1

(я + l) (я + 1)

(и+1) 1

Обозначим через Dí процесс типа Ц в котором производственные планы генерируются в порядке лексикографического возрастания, начиная с лексикографически минимального плана г1 = (0,..., 0, 1).

Пусть /<*> = {/£/: 7<*> = 0) /<*> ={/£/: 7<*> = 1}

Теорема 1. Число итераций процесса Dí при решении двухуровневых задач размещения предприятий из семейства 5í не превосходит л.

Доказательство. Первое отсечение в процессе Dí будет построено по плану г1. Вычислим значения двойственных переменных: у, = ... = уп = 1, и^ = М — 1, остальные м,у = 0, / е I, у е У. Рассмотрим задачу с матрицей

>+1) 1 1 ... 1

2 (и+1) 2 ... 2 £>= .

К п п п ...(« + 1)у

Из формулы (14) получаем отсечение:

г, + ... + 2Л_, + (2Л/ - 1)гп < 2М -1, исключающее все производственные планы, у которых гп = 1. Так как процесс Dí лексикографически монотонный, то следующим за планом г' будет найден план г2, также содержащий только одну координату г(2, равную 1. Построенное по нему отсечение будет иметь вид:

+... + (2М - 1)г1 < 2М -1.

Этому неравенству не удовлетворяет ни один производственный план, у которого = 1. И далее процессом Dí будут порождаться только производственные планы, у которых | /|1*11 = 1. Глубина каждого из этих отсечений не меньше, чем 2" '. При любой другой матрице затрат £> коэффициенты отсечений, соответствующие нулевым координатам плана, будут принимать значения, равные либо 1, либо М. Это значит, что отсечения будут иметь еще большую глубину. Таким образом, для решения задачи потребуется не более л итераций.

Теорема 2. В процессе Dí решения двухуровневых задач размещения предприятий из семейства 52 будет построено не менее л отсечений глубины 1.

Доказательство. Рассмотрим отсечение Бендерса, строящееся по плану г1*1, на котором произошло изменение рекорда целевой функции, т.е. Р(к> < Р{к~п. Пусть этот план содержит ровно р переменных, равных единице, расположенных на позициях г,< ...< 1 . Тогда х17(к| = 1, если /'£{/,,...,1^}, а также дс^*' =1, если je{i2,..., 1р }, остальные =0,1 е I, ] е У. Оптимальные значения двойственных переменных по формулам (15) будут такими: у\к) =... = у™ =1, =М-1, } <£ {г,,..., 1р I остальные и^к> = 0,; е /, ] е 3. На основе (15) построим отсечение Бендерса вида:

+{\ + {п-р)

/<3|

(М- 1)К1+

<2 р+(п-р)М-п. (16)

Это неравенство отсекает план г**1, по которому оно было построено. Заметим, что в силу выбора константы М коэффициенты отсечения (16) при переменных ^,/' е {/,,..., 1р), положительны, а при остальных переменных — отрицательны. Следовательно, любой дру-

гой производственный план удовлетворяет данному не-равенству. Значит, глубина этого отсечения равна 1.

Для любой задачи семейства 52 оптимальным является производственный план z* = (1,...,1), а наихудшим, с точки зрения значения целевой функции, — любой план, содержащий только одну координату, равную единице. При этом если | | > | /,w |, то F(zu}) < F(z<s)), а если | /,<*> | = | /,(s) |, то F(ztk>) = F(z's>).

Таким образом, в процессе D1 смена рекорда происходит каждый раз, когда находится производственный план z1*1, у которого мощность множества больше, чем на предыдущих итерациях. Так как процесс лексикографический, то смена рекорда произойдет л раз, и будет построено л отсечений вида (16). Теорема доказана.

Заметим, что при решении задачи семейства 52 декомпозиционным алгоритмом, не обладающим свойством лексикографической монотонности, будет построено хотя бы одно отсечение глубины 1.

Таким образом, установлено, что глубина отсечений Бендерса для двухуровневой задачи размещения может изменяться от 1 до а, гдеа>2"-1. Отметим, что ранее аналогичные результаты были получены и для простейшей задачи размещения и некоторых ее модификаций [5]. В дальнейшем было бы интересно изучить возможности построения семейств двухуровневых задач размещения предприятий, в процессе решения которых все порождаемые отсечения Бендерса имеют глубину 1.

Библиографический список

1. Колоколов, А. А. Об устойчивости декомпозиционных алгоритмов с отсечениями Бендерса для некоторых задач размещения / А. А. Колоколов, Н. А. Косарев // Методы оптимизации и их приложения : труды XIV Байкальской международной школы-семинара. Т. 1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. - С. 428 - 434.

2. Колоколов, А. А. Задачи оптимального размещения предприятий и методдекомпозиции Бендерса: учеб.-метод, пособие /

A. А. Колоколов, Т. В. Леванова. - Омск: ОмГУ, 2004. - 39 с.

3. Колоколов, А. А. Исследование декомпозиционного подхода для двухстадийной задачи размещения / А. А. Колоколов, Т. В. Леванова, А. С. Федоренко // Вестник Омского университета. — 2010. - №4. - С. 24-31.

4. Колоколов, А. А. Об одном декомпозиционном алгоритме решения двухуровневой задачи размещения / А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова //Методы оптимизации и их приложения: труды XII Байкальской международной школы-семинара. Т. 1. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. - С. 207-210.

5. Колоколов, А. А. Оценки числа итераций для некоторых декомпозиционных алгоритмов решения задач размещения предприятий / А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова//Омский научный вестник. - 2008. - №3. - С. 5-8.

6. Сергиенко, И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. — Киев: Наукова думка, 1988. — 472 с.

7. Hooker J. N., Ottosson G. Logic-based Benders decomposition // Mathematical Programming Series A. — 2003. — Vol. 96, N 1. - P. 33-60.

8. Kolokolov A. A. Decomposition Algorithms for Solving of some Production — Transportation Problems // Triennal Symposium on Transportation Analysis II. Preprints. Vol. 1. — Capri, Italy, 1994. — P. 179-83.

9. Kolokolov A. A., KosarevN.A. Analysis of decomposition algorithms with Benders cuts for median problem//Journal of Mathematical Modelling and Algorithms. - 2006. - №5. - P. 189-199.

10. Горбачевская, Л. E. Двухуровневая задача стандартизации в условиях однозначного выбора потребителей / Л. Е. Горбачевская,

B. Т. Дементьев, Ю. В. Шамардин //Дискретный анализ и исследование операций. - 1999. - Сер. 2. - Т. 6. - № 2. - С. 3- 16.

11. Васильев, И. Л. Метод ветвей и отсечений для задачи размещения с предпочтениями клиентов / И. Л. Васильев, К. Б. Кли-ментова//Дискретныйанализиисследованиеопераций. — 2009. — Т. 16. - С. 21-41.

12. Колоколов, А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании / А. А Колоколов // Сибирский журнал: исследования операций. — 1994. — Т. 1. — №2. — С. 18 — 39.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации

Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН, профессор Омского государственного технического университета. Адрес для переписки:е-тай: [email protected] РУБАНОВА Наталия Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), доцент кафедры высшей математики Омского государственного университета путей сообщения. Адрес для переписки:е-тай: [email protected]

Статья поступила в редакцию 01.03.2011 г. © А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова

УДК 625 855 2 А.М.ЗАВЬЯЛОВ

М. А. ЗАВЬЯЛОВ Е. А. БЕДРИН

Сибирская государственная автомобилыю-дорожная академия (СибАДИ), г. Омск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОГО СЛОЯ ГРУНТА, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕГО КАК ТЕПЛОВОЙ ДИОД

Построена и проанализирована на основе вычислительного эксперимента математическая модель устройства, обеспечивающего повышение прочностных свойств мерзлых грунтов.

Ключевые слова: математическая модель, тепловой диод, мерзлые грунты, вычислительный эксперимент, кондуктивный тепловой поток.

Вопросы повышения прочностных свойств мерзлых грунтов, лежащих в основании земляного сооружения, приобретают все большую актуальность в процессе освоения энергетических ресурсов, необходимости прокладки трубопроводов, строительства автомобильных дорог и других сооружений в холодных районах мира.

Предметом рассмотрения настоящей статьи являются процесс построения и анализ, на основе вычислительного эксперимента, адекватной математической модели термодинамического функционирования устройства, обеспечивающего повышение прочностных свойств мерзлых грунтов. На это устройство и способ его сооружения подано заявление о выдаче патента Российской Федерации на изобретение [ 1 ], технический результат которого заключается в повышении прочности и устойчивости (термической и сейсмической) основания земляного сооружения на вечной мерзлоте. Достигается этот результат тем, что в земляном сооружении на мерзлых грунтах, на поверхности грунтового основания устроен слой из водонасы-щенного и водоудерживающего материала (грунта). Материал обеспечивает впитывание и удержание слоя воды, под которым в природных условиях начинает образовываться вечная мерзлота. В дальнейшем это устройство будем называть тепловым диодом. Так как, по сути, он выполняет функции теплового диода, реализующего кондуктивный теплообмен:

— теплоизолятора — охладителя мерзлого основания летом;

— проводника холода в более длительный, чем летний, зимний период.

Причемв зимний период тепловой диод усиливает «подзарядку» холодом за счет увеличения температуропроводности в 6 — 8 раз после промерзания. В результате нулевая изотерма смещается вниз на толщину «теплового диода», чем и достигается сохранение поверхности грунтового основания в мерзлом состоянии в течение всего года (рис. 1). Одновременно обеспечивается понижение среднегодовой температуры, как поверхности, так и всей толщи вечномерзлого грунта основания, что позволяет значительно укрепить мерзлое основание сооружения.

Следует заметить, что процессы замерзания и оттаивания наиболее полно характеризуются моделью температурного поля теплового диода грунта. Температурное поле будем рассматривать как одномерное и стационарное, при установившемся процессе теплообмена без учета фазовых превращений и реализации известного условия Стефана. Поэтому перейдем непосредственно к построению температурного поля данного объекта, которое задается функцией Т(х, Ц, где Г, х, ( — температура, координата и время, соответственно.

Эту функцию можно определить как решение уравнения теплопроводности [2]