О решении одной задачи регионального планирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863

А.А. Колоколов, *Т.Ю. Степанова, **Е.Я. Семерханова Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Омск *Омский государственный аграрный университет им. П.А. Столыпина, г. Омск **Омский государственный технический университет, г.Омск

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ РЕГИОНАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

Отдельные направления деятельности предприятий характеризуются кратковременным сроком выполнения задач и необходимостью использования определенного набора ограниченных ресурсов для их осуществления. Несвоевременное завершение таких процессов может привести к негативным последствиям не только для самого предприятия, но и для всей системы, в которой данный хозяйствующий субъект функционирует.

Рассматривается следующая постановка задачи: пусть имеется конечное множество предприятий, каждому из которых необходимо выполнить определенное число работ различного объема в ограниченный период времени. Каждая работа характеризуется допустимым сроком выполнения, отклонение от которого влечет экономические потери. Известно, что отдельные предприятия (клиенты) испытывают потребность в ресурсах и не могут закончить некоторые виды работ самостоятельно в установленный срок, другие же предприятия (поставщики), напротив, имеют недоиспользованные мощности, которые могут быть применены для выполнения работ (оказания услуг) клиентам. Заданы значения параметров размещения и функционирования предприятий. Требуется для всей системы предприятий

найти такой вариант сотрудничества по оказанию производственной услуги заданного вида, при котором суммарные затраты на потребление услуг и доставку ресурсов для клиентов б у-дут минимальными.

Для нахождения схемы эффективного взаимодействия предприятий введем следующие обозначения: п - общее число предприятий (поставщиков и потребителей), I = {1...,п}; p -

номер предприятия; пусть I1

- множество потенциальных поставщиков услуги (работы) для сторонних предприятий,

11 □I ; I 2

- множество потребителей услуги,

12 □I ; Ьр - объем работы заданного вида на предприятии р; с - стоимость выполнения одной единицы услуги поставщиком 1 ( { □ I1 ); 'у - расстояние от предприятия 1 до потребителя ] Б] - потребности

клиента ] в услуге; - возможности поставщика 1 при оказании услуги;

□ - величина допустимых затрат на потребление услуг и доставку техники в течение всего периода прои з-водства для клиента ] □ - цена доставки средств оказания услуги.

Введем переменные модели: х^ - объем работы, выполняемый предприятием 1 для клиента ] ( I □ I1 ,

] □ I2 ); ^ - вспомогательная булева переменная, = 1, если поставщик 1 выполняет потребителю ] работу заданного вида (является активным), 0 - в противном случае

( 1 □ I1 ,

Модель частично целочисленного линейного программирования, построенная для планирования схемы взаимодействия предприятий по выполнению определенной услуги, имеет вид:

f □ □ □(с х1. 20у;.2;. ) □ шт

1Ш ]□! 1 1') ' 4 4

(1)

при условиях

п

□х.

.□1

□ д,

1 □ ,

(2)

п

□х.

1Е1

□ з.,

. т2,

(3)

х .

ч

□М^

15

1 □ I1 ,

. □ I2,

(4)

2Ц

□ □. . 1 □ I1 , . □ I2,

(5)

х .

У

□0,

п п

□ВД

1 □ I1 ,

] □ I2 .

(6)

С целью получения точного решения сформулированной задачи применим декомпозиционный алгоритм Бендерса с учетом специфики изучаемой задачи. Для описания алгоритма введем следующие обозначения: Р(1) - производственная задача на 1-й итерации алгоритма, Б(г) - система ее ограничений, г(1) - решение задачи Р(1); Т(г(1)) - соответствующая транспортная задача, х(1) - оптимальное решение задачи Т(г(1)); Б(г(1)) - задача, двойственная к Т(г(1)),

52

111 - тЧ0)

V, у, и - оптимальное решение этой задачи; Р ; - начальное значение рекорда целевой функции, Б(1) - значение рекорда на 1-й итерации [1].

Предварительный шаг. Формулируем исходную задачу целочисленного программирования Р(1): найти лексикографически минимальное решение системы Б(1), состоящей из ограничений:

□ □Д

□ □3, ,

(7)

1 пн ]□

2^

w . .г~

1] 1]

□ □.,

]

1 □ I1 ,

]□ I2,

(8) г,-□

1]

вд

1 □ I1 ,

] □ I 2

(9)

Условие (1) гарантирует выбор планов г, при которых суммарный объем предоставляемых услуг будет не меньше суммарных потребностей в этих услугах, т.е. Т(г) разрешима. Ограничения (2) гарантируют, что для каждого потребителя ] сумма затрат на доставку техники при выполнении рассматриваемой услуги не превосходит заданной величины □] .

Итерация 1,

п п

п

Шаг 1. Решаем задачу Р(Т) с помощью алгоритма перебора Ь-классов. Если она неразрешима, то производственно-транспортный план, на котором достигается рекорд Б(Т-1) является оптимальным решением исходной задачи. Процесс решения завершается. Иначе идем на шаг 2.

Шаг 2. Формулируем и решаем транспортную задачу Т(2(Т)).

= Т7(Т) = ™;,літ7(Т-1) ті'/'-ДиДКі т;т%(ТХДК <" Т7(Т-

Вычисляем = Б(Т) = шт{Б(Т-1), Е(2(Т)х(Т))|. Если Б(2(Т)х(Т)) < Б(Т-1), то Б(Т-1) заменяем на Б(Т) в Решаем двойственную к Т(2(Т)) задачу и находим значения двойственных переменных

Т) (Т)

, и .

Шаг 3. Строим следующее неравенство (отсечение Бендерса):

(Т) (Т) (Т)

V , у , и .

□ □^Оу

Mv ( 1 } )г

□ Б( 1 } ' □ и(1)' □ у(1)

(10)

т

1] ]□

1] 1]

1 1 1а

Шаг 4. Формируем задачу Р(1+1): найти г, который является лексикографически минимальным решением системы ограничений Б(1) и (11).

Переходим к следующей итерации (на шаг 1).

Алгоритм заканчивает работу за конечное число итераций и получает либо оптимальное решение исходной задачи, либо информацию о его отсутствии.

Отметим, что для решения задачи Р(1) могут быть использованы и другие алгоритмы целочисленного программирования.

Начальное решение для рассматриваемой задачи можно получить путем применения метода Балинского для транспортной задачи с фиксированными доплатами. Идея метода основана на решении задачи с исключением условия целочисленности [2].

Пусть

х , г

/ /

1] 1]

1 □ I1 ,

] □ I2 - оптимальный план транспортной задачи с фиксированными доплатами в целочисленной постановке, тогда

53

/ / 1 2

х ■ ■ ОМ-г- ,

1] 1] 1] ’

1 □I ,

п п

п

п

(11)

где

М □ш1п □3 , <2 □ отсюда следует, что при поиске оптимального плана задачи без учета

1] ] 1

требования целочисленности можно выразить г1] из (12) через х1]:

г-- Ох ■ ■ / М- ,

у у у ’

1 □ I1 ,

]□ I2

(12)

и прийти тем самым к задаче минимизации функции

п п п п

□ □(С1 х1] 2Ш / Мц ) = □ □(С1

2Юу ■■ / М- )х-

у у у 1]

(13)

ил ]сч ил ]сч

По оптимальному решению задачи

х ,

ч

* 1 □I1 ,

]□ I2

х ,

У

0

определяется

0 1 2 0 0 * 0 * 0 *

г ■ ,

У ’

1 □I ,

]□ I

: х ■ . □г Ю0 , если х □0 ; х □ х ,

ц ч ' ч ’ ч ч ’

г □ 1, если х ■ С0 .

1] ' 1]

На основе разработанной математической модели и метода ее решения проведены вычислительные эксперименты на данных Большереченского района Омской области.

Полученная схема производственных связей предприятий по оказанию производственной услуги «Вспашка» приведена на рис. 1.

ООО Новологиново

КФХ Савенко

ООО Евгащинское

СПК Уленкульский

КФХ Порядин

КФХ Вяткина ООО Красноярское

ООО Северное

ООО Лидер

ЗАО Восход КФХ Боченков ЗАО Ингалинское КФХ Кузнецов

Условные обозначения:

Предприятие

ООО Мегаполис-Д

0 Производственная услуга Посев

Рис. 1. Схема взаимодействия предприятий по оказанию услуги «Посев»

54

55

Результаты расчетов показали, что предложенные модель и методы перспективны для определения наилучшего варианта использования ресурсов в системе взаимодействующих предприятий.

Библиографический список

1. Колоколов, А. А. Задачи оптимального размещения предприятий и метод декомпозиции Бендерса / А. А. Колоколов, Т. В. Леванова. - Омск : Изд-во ОмГУ, 2004. - 78 с.

2. Корбут, А. А. Дискретное программирование / А. А. Корбут, Ю. Ю Финкельштейн. -М. : Изд-во Наука, 1969. - 368 с.

3. О решении одной задачи производственного обслуживания АПК / А. А. Колоколов [и др.] // Сборник научных трудов V Международной школы-симпозиума АМУР-2011 / ТНУ им. В. И. Вернадского. - Симферополь : 2011. - С. 172-175.

4. Степанова, Т. Ю. Развитие рынка производственных услуг в АПК / Т. Ю. Степанова // Сибирская деревня : история, современное состояние, перспективы развития. - Омск, 2004.

- № 3. - С. 125-127.