CC BY
101
УДК 519863 А. А. КОЛОКОЛОВ
Т. Ю. СТЕПАНОВА Е. Я. СЕМЕРХАНОВА В. А. МИХАЛЬ
Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Омский государственный аграрный университет им. П. А. Столыпина
Омский государственный технический университет
РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ________________________________
В работе предложен подход для определения эффективных производственных связей между предприятиями, основанный на применении методов оптимизации. Представлены результаты апробации разработанных математических моделей для агропромышленного комплекса на примере данных одного из районов Омской области.
Ключевые слова: математическое моделирование, производственное обслуживание, схема взаимодействия, целочисленное линейное программирование.
Введение. Отдельные направления деятельности предприятий характеризуются ограниченным и кратковременным сроком выполнения, отклонение от которого может привести к отрицательным последствиям не только для самого предприятия, но и для всей системы, в которой данный хозяйствующий субъект функционирует.
Для выполнения необходимых операций используются ресурсы, которых бывает недостаточно для завершения работ в требуемый период, либо, напротив, может быть избыточное количество. В таких условиях взаимовыгодное сотрудничество субъектов системы позволяет повысить результативность их деятельности, обеспечить эффективное использование ресурсов, сократить время выполнения работ, не допускать нарушения оптимальных сроков.
Процессы распределения ресурсов выполняются в различных сферах деятельности, среди них можно привести следующие примеры: финансовая взаимопомощь предприятий, входящих в холдинг (некоторые предприятия в холдинге нуждаются в незамедлительной финансовой поддержке от других предприятий холдинга); система производственного обслуживания в сфере аграрного производства, взаимодействие лесных хозяйств при тушении пожаров; формирование профессорского состава кафедр высших учебных заведений, распределение техники дорожных служб при уборке автомобильных дорог от снега (несвоевременность данной операции может привести к аварийным ситуациям на дорогах).
В сложившихся условиях выявление наиболее выгодных связей между предприятиями по распределению ограниченных ресурсов является актуальной задачей, которая может быть эффективно решена с использованием методов математического моделирования и оптимизации.
1. Постановка задачи. Пусть имеется конечное множество предприятий, каждому из которых необходимо выполнить заданное число работ различного объема за ограниченный период времени. Каждая работа характеризуется допустимым сроком выполнения, отклонение от которого влечет определенные экономические потери. Известно, что некоторые предприятия (клиенты) испытывают потребность в ресурсах и не могут закончить определенные виды работ самостоятельно в установленный срок, другие же предприятия (поставщики), напротив, имеют недоиспользованные мощности, которые могут быть применены для выполнения работ (оказания услуг) клиентам. Заданы значения параметров размещения и функционирования предприятий. Требуется для системы предприятий найти такой вариант сотрудничества по оказанию производственных услуг, при котором финансовые потери, связанные с нарушением оптимальных сроков, суммарные затраты на потребление услуг и доставку ресурсов для клиентов будут минимальными.
Для решения данной задачи предварительно необходимо определить потенциальных клиентов и поставщиков услуг, т.е. установить потребности и возможности предприятий, учитывая при этом, что средствами выполнения работ могут выступать комбинации различных ресурсов, например, сельскохозяйственный агрегат; техническое устройство; сотрудник, владеющий определенными знаниями, команда экспертов, и т.п. Для нахождения производственных возможностей предприятий нами разработана модель целочисленного линейного программирования.
2. Модель максимизации производственных возможностей. Задача формулируется следующим образом: имеется некоторое множество предприятий, каждое из которых обладает заданным набором
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012
Оптимальный марочный состав техники предприятий для выполнения работы вида «Боронование»
Агрегат / предприятие КФХ Кузнецов ООО Лидер ООО Евгащинское ООО Северное СПК Уленкульский
К700 + 21БЗТС 2
К700 + 4БИГ 1
Т150К+18БЗТС 3
МТЗ12321 + 18БЗТС 5 9 1
МТЗ80 + 18БЗТС 7
МТЗ80 + 15БЗТС 1
МТЗ80 + 12БЗТС 5 1
ресурсов. Известны условия сочетания ресурсов для получения средства выполнения определенной работы и величины производительности для каждой возможной комбинации ресурсов. Необходимо определить состав средств выполнения для каждого вида работ таким образом, чтобы обеспечить максимальную суммарную производительность предприятий [1, 2].
Введем следующие обозначения:
п — число предприятий, Р={1...,п}; т — число вариантов комбинаций ресурсов, 1={1...,т}; 1 — число ресурсов, R={1...,1}; а. — производительность средства 1; Ь. — количество ресурсов вида г для составления средства 1; — количество ресурсов
вида г на предприятии р; d — допустимая длительность выполнения всего комплекса работ.
Переменные модели:
х1р — количество средств для выполнения заданной работы, составленных по варианту 1 на предприятии р;
ур — суммарная производительность средств предприятия р для выполнения заданной работы.
Модель частично целочисленного линейного программирования:
£ Ур -> тах р=1
при условиях
^шРг' реР, г є я,
/=1
т
Ур = реР,
1=1
Хірег+, І Є І, рєР,
Ур>0, рєР.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
луг), К={1...,т}; г — число видов средств выполнения работ (оказания услуг), Т={1...,г}.
Пусть Рк— множество потенциальных поставщиков услуги к для сторонних предприятий, Ркс1; 12к — множество потребителей услуги к, 1\с1.
Известны значения следующих параметров:
Ьрк — объем работы к на предприятии р; dk — директивный срок выполнения работы к; с — стоимость выполнения одной единицы услуги вида к поставщиком 1 (1е Рк); эд.. — расстояние от предприятия 1 до потребителя . (км); е — цена доставки средств оказания услуги; ^ — усредненная величина финансовых потерь при отклонении от разрешенного срока для работы к; . — величина допустимых затрат для предприятия . на транспортировку средств при выполнении работы к; 5. — величина допустимых затрат на потребление услуг и доставку техники в течение всего периода производства для клиента р Величины, определяемые на основании исходных данных:
ирк — суммарная производительность предприятия р при выполнении работы к за период времени dk; ^к — потребности клиента . в услуге вида к; Q.k — возможности поставщика 1 при оказании услуги вида к. Величина ирк находится в результате решения модели максимизации производственных возможностей предприятий (1) — (5).
Если ирк>Ьрк, то предприятие р выступает потенциальным поставщиком услуги вида к (реРк); если ирк<Ьрк, тогда предприятие р — потребитель услуги вида к (ре12к); если ирк = Ьрк, то предприятие р не является участником системы при выполнении работы к. Потребности клиентов находятся по формуле:
Б =Ъ -и, ієР„, кєК.
]к ]к ]к' л к'
(6)
Возможности поставщиков вычисляются по формуле:
= и -Ъ.„, ієІ‘ ,кєК . ік ік ік' к'
(7)
Целевая функция (1) состоит в максимизации производительности предприятий. Ограничения (2) гарантируют составление средств выполнения работы только из ресурсов, имеющихся на предприятиях. Условия (3) позволяют определить суммарную производительность ресурсов для каждого предприятия.
3. Модель планирования оптимальных производственных связей. Для нахождения схемы эффективного взаимодействия предприятий введем следующие обозначения: п — число предприятий (поставщиков и потребителей), 1={1...,п}; р — номер предприятия, ре!; т — число видов работ (ус-
Введем переменные модели: х,.к — объем работы к, выполняемый предприятием 1 для клиента . (1е11к, ]еРк, кеК); z..k — вспомогательная булева переменная, zi.k =1, если поставщик 1 выполняет потребителю . работу вида к (является активным), 0 — в противном случае (1е 11к,.е 12к, кеК); у — объем работы к, выполняемый в неоптимальные сроки.
Модель частично целочисленного линейного программирования, построенная для планирования схемы взаимодействия предприятий по выполнению всего комплекса заданных работ за планируемый период времени, имеет вид:
Оптимальный марочный состав техники предприятий для выполнения работы вида «Боронование»
Агрегат / предприятие ООО Красноярское ООО Новологиново ЗАО Восход ЗАО Ингалинское
К701 + 21БЗТС 4 2
К700 + 21БЗТС 5 З З
К700 + 5БИГ
Т150К+1ВБЗТС
Т150 + 1ВБЗТС 4
МТЗ12З21 + 1ВБЗТС 3 2
МТЗВ0 + 15БЗТС 1
МТЗВ0 + 12БЗТС З 4
служивания, определяющей более половины всех издержек, то в современных условиях приобретают
п п т
f = S X 5lt(cikxijk + Уjk^k + i=l j=\k=l
+ 2&w^z^k) -> min (8)
при условиях
(9)
м
л 2
(10)
1=1
x!ji *Mzijk' el{, jell кек, (11)
2ewyzyi it !k> ]'Ell keK< (12)
л m
(13)
i=l£=l
xijk>0, iel\, jel\, keK, (14)
zijk e{0,1}, iel[, jelj, keK. (15)
Целевая функция (8) состоит в минимизации финансовых потерь, затрат на потребление услуг и доставку средств выполнения работ для клиентов. Ограничения (9) означают, что возможности любого поставщика не могут быть превышены для каждого вида услуг. Условия (10) отражают требование удовлетворения потребностей любого клиента по каждому виду услуг. Ограничения (11) гарантируют, что услуги будут оказываться только активными поставщиками. Условия (12) ограничивают удаленность поставщиков. Условия (13) устанавливают допустимую сумму затрат на потребление услуг и доставку средств предприятия за оптимальный период.
4. Апробация подхода для сферы аграрного производства (на примере одного из районов Омской области). Данная задача имеет особую актуальность для агропромышленного комплекса (АПК) России, поскольку устойчивому развитию сельского хозяйства и росту объемов производства препятствует недостаточная техническая оснащенность предприятий аграрного сектора. Пополнение машинно-тракторного парка у большинства товаропроизводителей уступает темпам списания устаревшей техники вследствие ограниченности финансовых средств на ее приобретение.
Поскольку результативность сельскохозяйственного производства зависит от системы его об-
актуальность вопросы повышения эффективности использования имеющейся техники. Данная проблема может быть решена на основе построения системы взаимовыгодного сотрудничества сельскохозяйственных предприятий.
Различные аспекты развития рынка производственных услуг агропромышленного комплекса (АПК) рассматривались в трудах отечественных и зарубежных авторов. Значительное число работ посвящено изучению организационно-экономических, правовых сторон данной проблемы, таких как формирование региональных рыночных систем производственного обслуживания; обоснование производственных мощностей по зонам с учетом рационального распределения объемов полевых, ремонтных и транспортных работ; осуществление мониторинга потребностей товаропроизводителей в услугах; развитие конкретных направлений услуг в АПК (материально-техническое обеспечение, создание МТС, агрохимическое и транспортное обслуживание, лизинг, ремонт техники и другие) [3, 4, 5].
В настоящее время эффективному сотрудничеству предприятий сферы АПК препятствуют следующие факторы: нехватка информации о рынке проТаблица 3
Возможности предприятий по оказанию производственной услуги «Боронование»
Предприятие Производительность за допустимый агротехнический срок, га
КФХ Боченков 0
КФХ Савенко 0
КФХ Кузнецов 2820
КФХ Порядин 0
ООО Лидер 17240
ООО Евгащинское 28480
ООО Северное 9380
ООО Мегаполис-Д 0
КФХ Вяткина Т.М. 0
СПК Уленкульский 2820
ООО Красноярское 19420
КФХ Каурцева Е.А. 0
ООО Новологиново 20650
ЗАО Восход 7880
ЗАО Ингалинское 18280
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012
по оказанию производственной услуги «Прикатывание почвы»
Условные обозначения:
Предприятие
" Производственная услуга Боронование
Рис. 2. Схема взаимодействия предприятий по оказанию производственной услуги «Боронование»
изводственного обслуживания, его конъюнктуре, отсутствие инструментов прогнозирования спроса и предложения.
Апробация построенных математических моделей для сферы АПК выполнена на примере одного из районов Омской области. Проведен вычислительный эксперимент, позволивший получить схему сотрудничества для 15 предприятий по оказанию восьми видов производственных услуг (вспашка, боронование, прикатывание почвы, посев, культивация, боронование по всходам, прикатывание посевов, уборка урожая) на основе выбранного критерия.
Результаты расчета модели максимизации производительности предприятий по виду работ «Боронование» представлены в табл. 1 — 3.
Полученные схемы производственных связей предприятий для услуг «Боронование», «Прикатывание почвы» приведены на рис. 1, 2.
Расчеты показали, что разработанный подход перспективен для определения наиболее выгодных вариантов взаимодействия предприятий по оказанию-потреблению производственных услуг в условиях ограниченного срока выполнения работ.
Библиографический список
1. О решении одной задачи производственного обслуживания АПК / А. А. Колоколов [и др.] // Сборник научных трудов V Международной школы-симпозиума АМУР-2011. — Симферополь : ТНУ им. В. И. Вернадского, 2011. — 411 с.
2. Михаль, В. А. Повышение эффективности системы производственного обслуживания районного АПК с использованием моделей оптимизации / В. А. Михаль, Е. Я. Семерханова // Теоретические знания — в практические дела : сб. науч. ст. XII Межд. науч.-инновационной конф. — Омск : Филиал ГОУ ВПО «РосЗИТЛП» в г. Омске, 2011. - С. 151-152.
3. Кормаков, Л. Ф. Техническое обеспечение сельскохозяйственного производства. Организационно-экономический
аспект / Л. Ф. Кормаков, Л. С. Орсик. — М. : ФГНУ «Росинфор-магротех», 2005. — 232 с.
4. Степанова, Т. Ю. Развитие рынка производственных услуг в АПК / Т. Ю. Степанова // Сибирская деревня: история, современное состояние, перспективы развития. — Омск, 2004. — № 3. — С. 125— 127.
5. Стукач, В. Ф. Развитие регионального рынка производственных услуг в АПК / В. Ф. Стукач, Т. Ю. Степанова, Н. А. Храмцова — Омск : ООО «Издательско-полиграфический центр «Сфера», 2004. — 180 с.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Адрес для переписки: е-таП: kolo@ofim.oscsbras.ru СТЕПАНОВА Татьяна Юрьевна, кандидат экономических наук, доцент (Россия), заведующая кафедрой информатики Омского государственного аграрного университета им. П. А. Столыпина.
Адрес для переписки: е-таП: stepanovatatyana@list.ru СЕМЕРХАНОВА Елена Яковлевна, аспирантка кафедры «Математические методы и информационные технологии в экономике» Омского государственного технического университета.
Адрес для переписки: е-mail: semerkhanova@rambler.ru МИХАЛЬ Виктор Александрович, аспирант лаборатории дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Адрес для переписки: е-mail: msheul.san@gmail.com
Статья поступила в редакцию 13.02.2012 г.
© А. А. Колоколов, Т. Ю. Степанова, Е. Я. Семерханова, В. А. Михаль
Книжная полка
51/Ж86
Жуков, В. М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы / В. М. Жуков. - Ростов н/Д. : Феникс, 2012. - 343 с. - ISBN 978-5-222-17544-6.
Учебное пособие «Практические занятия по математике: теория, задания, ответы» выгодно отличается тем, что весь учебно-методический материал разделен на параграфы, каждый из которых соответствует одной теме учебной программы по математике, предлагаемой к проработке на практическом занятии. Каждый параграф содержит: краткую теорию, формулы, используемые на данном практическом занятии; задачи для решения на практическом занятиях и для домашнего задания. Задачи для решения на практических занятиях расположены по возрастанию сложности и представляют интерес для студентов с различной математической подготовкой. Задачи для домашнего задания подобраны так, чтобы студент, выполняя его, мог закрепить и развить навыки, приобретенные на практическом занятии.
51/Ч-45
Червенчук, В. Д. Введение в дискретную математику и логику : учеб. пособие / В. Д. Червенчук, И. В. Чер-венчук. - М., 2011. - 258 с. - ISBN 978-5-91146-13-0.
Излагаются основы дискретной математики и языка логики предикатов на базе теоретико-множественной концепции с позиций математического платонизма с учетом современных требований, предъявляемых к изучению математических дисциплин в высшей школе. Излагаемый материал написан на основе лекционных курсов по дисциплинам «Вводный курс математики», «Основы дискретной математики», «Математическая логика» и «Теория алгоритмов», читаемых авторами в течение многих лет. В конце каждого раздела, для оценки понимания прочитанного, читателю задаются вопросы для самоконтроля. Пособие содержит примеры с решениями, проясняющими изучаемые понятия.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
